TOÁN ĐƠN GIẢN - Chương 1 . 1.6

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

TOÁN ĐƠN GIẢN - Chương 1 . 1.6

Bài giảng  

1.6              ĐIỀU HÓA ĐƯỜNG THẲNG CHO CÁC ĐIỂM DỮ LIỆU –

            THIẾT LẬP MÔ HÌNH HÀM TUYẾN TÍNH . 

                  Chủ đề   

                 - Hồi quy tuyến tính .

                 - Thiết lập mô hình hàm tuyến tính  .

                 - Ứng dụng các mô hình tuyến tính   .

                 Ứng dụng 

                - Dữ liệu điểm  

                - Chăm sóc sức khỏe 

                - Phát tán khí thải 

                - Thất nghiệp và thu nhập cá nhân .

                Khái niệm cơ bản   

              Điều hóa đường thẳng cho các điểm dữ liệu – Hồi quy tuyến tính  ( Phương pháp bình phương cực tiểu ) – (Mô hình dữ liệu ,BFL đường điều hóa tốt nhất , Ngoại suy ) - Ứng dụng mô hình (Ngoại suy  , Nội suy) – Điều hóa tốt nhất ( Sai phân hằng cấp 1  )

1. Điều hóa đường thẳng cho các điểm dữ liệu .

Để minh họa cho khái niệm  điều hóa chúng ta xét một số ví dụ sau .

Ví dụ  * Dữ liệu điểm .  Phòng kỹ thuật công ty E-Digital  Technic xây dựng biểu đồ chuyển đổi để so sánh các dữ liệu của hệ thống tiêu chuẩn mới và cũ trong khoảng 10 năm trước đây . Hãy xác định mối quan hệ giữa 2 cấp độ này bằng cách thiết lập hàm số giữa cấp độ mới và cũ .  Chấm tọa độ các điểm trong đó x , y  biểu diễn cho cấp độ cũ và mới . Những điểm dữ liệu này rất gần với đường thẳng của hàm số tuyến tính .

Bảng dữ liệu như sau .

Vẽ điểm dữ liệu

 

Có thể phác họa một đường thẳng đi qua những điểm này tương đối phù hợp

Khi điều hóa bằng hàm tuyến tính ta sẽ thu được hàm mô hình như sau .

Như vậy có thể hiểu : “Điều hóa ( fitting ) là phương pháp làm  đầy  , điều chỉnh các dữ liệu điểm ( data points ) thành một biểu thức hàm số thích hợp với các dữ liệu đó “

Ví dụ  * Chăm sóc sức khỏe  . Bảng dưới đây cho biết số lượng công nhân viên  tại các bệnh viện trong những năm từ năm 1970 đến 1998 .

Năm	1970	1975	1980	1985	1990	1995	1998
Người (1,000)	222	331	415	480	580	644	666

a.  Hãy vẽ dữ liệu điểm với trục  x- biểu diễn số năm từ  ‘70  ,  và trục y – biểu diễn số người tương ứng theo năm ( đơn vị 1,000 người ) .

b. Hãy vẽ đồ thị của các hàm số sau và xác định xem đường thẳng nào là điều hóa tốt nhất cho dữ liệu

Lời giải .

a. Sắp xếp dữ liệu từ 1970  đến  1998 cho nhập liệu x  như sau  :

Năm	0	5	10	15	20	25	28
Người          ( 1,000 )

Dùng Curve Expert nhập và vẽ dữ liệu điểm  .

Điều hóa bằng hàm tuyến tính ( Linear Fit ) và kiểm tra tính thích hợp của đồ thị đường thẳng

Các hệ số b và  a của hàm tuyến tính tìm được .

b.  Trong 3 đồ thị hàm số được vẽ dưới đây  y  =  16 x  +  242  là gần với hàm điều hóa 

y  =  15.909 x  +  242.758

2 . Hồi quy tuyến tính . 

Xét hai điểm cho trước (x1,y1)  và  (x2,y2) , giả thiết rằng x , y có quan hệ tuyến tính  , khi đó ta sẽ tìm được đường thẳng nối 2 điểm này . Quá trình tìm phương trình đường thẳng này gọi là hồi quy tuyến tính . Phương trình thỏa mãn tính chất này được gọi là mô hình toán học của quan hệ tuyến tính .

Khi các dữ liệu điểm chi ra khuynh hướng tuyến tính , ta có thể thiết lập đường thẳng xấp xỉ tốt nhất . Đường thẳng này được gọi là đường điều hóa tốt nhất ( BFL , Best-fitted Line )  .

Ví dụ :  Cho các điểm  (5,14),(9,17),(12,16),(14,18),(17,23) .

1. Tìm đường điều hóa tốt nhất  (BFL)
2. Chấm tọa độ các điểm và vẽ đồ thị của BFL trên cùng mạt phẳng tọa độ  .

Lời giải .

Xét bảng số liệu sau .

Dùng công thức tính b  và  a .

  

LƯU Ý KỸ THUẬT 

Sau khi mô hình của tập hợp dữ liệu đã được tìm thấy, nó có thể được làm tròn cho mục đích báo cáo. Tuy nhiên, không sử dụng một mô hình làm tròn trong khi tính toán, và cũng không làm tròn đáp số trong quá trình tính toán, trừ khi có quy định khác. Khi mô hình được sử dụng để tìm các đáp số ngoại suy hay nội suy khác  , nên được làm tròn một cách thích hợp với yêu cầu bài toán , và khi kiểm tra lại không có độ chính xác quá sai biệt so với các xuất liệu gốc . 

 Ví dụ  * Phát tán khí thải     Luợng khí thải phát tán ở Hoa Kỳ  từ 1986  đến 1995 được cho ở bảng dưới đây

Năm	Khí thải  ( tấn )	Năm	Khí thải  ( tấn )
1986	109,199	1991	93,376
1987	108,012	1992	94,043
1988	115,849	1993	94,133
1989	103,144	1994	98,779
1990	100,650	1995	92,099

1. Sắp xếp các đữ liệu với x là số năm sau 1980 và y là khối lượng khí thải phát tán ( tấn )  . Vẽ các điểm dữ liệu này .
2. Viết phương trình đường điều hóa tốt nhất cho các điểm dữ liệu (BFL) .
3. Vẽ đồ thị của mô hình tuyến tính trên cùng hệ trục tọa độ với các điểm dữ liệu .
4. So sánh sự thay đổi của sự phát tán hằng năm và độ dốc của đường điều hóa tốt nhất BFL .

Lời giải  

a. Từ 1986  đến 1995 , ta sắp xếp lại dữ liệu của x  , chọn  x = 0  biểu diễn cho 1980 ,

Năm	Khí thải ( tấn )	Năm	Khí thải  (tấn)
6	109,199	11	93,376
7	108,012	12	94,043
8	115,849	13	94,133
9	103,144	14	98,779
10	100,650	15	92,099

Dùng CurveExpert tìm BFL . 

Nhập và vẽ các điểm dữ liệu .

b. Click vào Apply Fit  - > chọn  Linear Fit

Click Info xem kết quả tìm b và a .

4. Hệ số tương quan tuyến tính .

Ta luôn luôn có thể tìm được BFL cho bất kỳ các tập điểm dữ liệu , nhưng độ chính xác là bao nhiêu để đường thẳng tìm được có thể đáp ứng cho mô hình toán học đó ? 

Nếu những điểm dữ liệu phân tán xa BFL thì đây là quan hệ tuyến tính yếu  . Ngược lại nếu chúng tập trung gần với  BFL  ta có mối quan hệ tuyến tính mạnh và  BFL có thể đại diện cho những dự báo nội suy hoặc ngoại suy tốt .

Độ mạnh của khuynh hướng tuyến tính có thể được mô tả bởi hệ số tương quan tuyến tính , ký‎ hiệu là  r  .

Một cách tổng quát  ,  r  càng gần  -1  và  1 , khuynh hướng tuyến tính giữa x và y càng mạnh khi đó  BFL có thể áp dụng cho dự báo một cách đáng tin cậy  .  Nếu  r gần  0  ,  quan hệ tuyến tinh giữa   x  và  y  yếu đi  , BFL không cho ta những kết quả dự báo tốt . 

Ví dụ  . Cho các diểm dữ liệu sau  (5,14),(9,17),(12,16),(14,18),(17,23) .

Tìm hệ số tương quan tuyến tính  r ?

Lời giải .

Ví dụ .  * Thất nghiệp và thu nhập cá nhân  .   Bảng dữ liệu sau chỉ ra tỷ lệ thất nghiệp và tổng thu nhập cá nhân tại Hoa Kỳ theo các năm tương ứng .

1. Dùng hồi quy tuyến tính để dự báo tổng thu nhập cá nhân nếu tỷ lệ thất nghiệp là 5% ( nội suy ).
2. Dùng hồi quy tuyến tính để dự báo tỷ lệ thất nghiệp nếu tổng thu nhập cá nhân là    $10 billion  ( 10 tỷ USD ) ( ngoại suy ) .
3. Những dự báo ở  câu (a)  và  (b)  có đáng tin cậy không ? Giải thich ?

Năm	Tỷ lệ thất nghiệp               ( % )	Tổng thu nhập cá nhân           (Tỷ  $USD )
1975	8.5	1.3
1980	7.1	2.3
1985	7.2	3.4
1990	5.6	4.8
1995	5.6	6.1
2000	4.0	8.3

Lời giải

1. Nhập và vẽ các điểm dữ liệu bằng Curve Expert  với x là tỷ lệ thất nghiệp , y là tổng thu nhập .

Linear fit để tìm các hệ số của BFL  .

c.  Với hệ số tương quan tuyến tính   r  =  -0.970438  sát với -1 , có thể kết luận những dự báo này là có độ tin cậy tốt , quan hệ tuyến tính giữa x và y có mức độ mạnh .

 Ngoài ra , vì   r  <0  , ta có thể nói rằng tổng thu nhập cá nhân  y ( total personal income )  giảm dần  khi tỷ lệ thất nghiệp  x ( unemployment rate ) gia tăng .

**************************************************************



Trần hồng Cơ
13/05/2012



This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic  

Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.

Albert Einstein .