NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

NHỮNG  ỨNG DỤNG  CỦA  PHƯƠNG TRÌNH  VI  PHHÂN .



Bài viết này được trích từ các bài giảng của tác giả về phương trình vi phân . Các bạn có thể theo dõi đầy đủ chi tiết trong phần " GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN " đăng trên Blog này hoặc Blog TOÁN ĐƠN GIẢN  . Nội dung chính  bao gồm phần giải thuật , các ví dụ và bài tập tương tự cuối chương .


Trần hồng Cơ 
20/11/2012 .


1*. Sự phân rã phóng xạ .

Gọi A(t) là số lượng nguyên tử phóng xạ tại thời điểm t của một mẫu vật liệu cho trước . Với C > 0 phương trình 

là phương trình vi phân mô tả lượng nguyên tử phóng xạ .
a.Tìm nghiệm tổng quát của phương trình trên .
b.  Giả sử rằng  với  t = s ; A(s) = As . Tìm nghiệm riêng .

Sử dụng phương pháp tích phân , lời giải như sau 

Click vào link sau :

http://www.wolframalpha.com/input/?i=A%28t%29%27%3D-C*A%28t%29
b. Giả sử rằng  với  t = s ; A(s) = As đồng vị . Thực hiện  3 bước  tương tự như ở ví dụ trên khi đó nghiệm riêng có dạng 

Xem hình minh họa sau 

2*. Hàm doanh thu .

Giả sử biên tế doanh thu của mặt hàng máy tính bảng Archos được giới thiệu ra thị trường sau x tuần được biểu diễn bởi 

a. Tìm hàm doanh thu R , biết doanh số của sản phẩm này sau 10 tuần là $9380.25 .
b. Dùng hàm mô hình doanh thu để dự kiến doanh số của sản phẩm  5 tháng sau khi được giới thiệu ra thị trường .
Lời giải .
a. 

Đồ thị hàm doanh thu 

b. 5 tháng = 20 tuần . Thay x= 20 vào hàm R(x) ta có 

3*. Mô hình tăng trưởng mũ .
Giả sử tại thời điểm  t = 0 (s) , số lượng vi khuẩn là  100 , t  = 30 (s) , số lượng vi khuẩn là  200 . Hãy ước lượng số vi khuẩn phát triển trong 1 phút , biết mô hình tăng trưởng tuân theo hàm mũ và phương trình vi phân có dạng 

Lời giải .
Sử dụng phương pháp tích phân , lời giải như sau 

t = 0 ;  P(0) = C.exp(k.0)  = 100  => C = 100
t = 30 ;  P(30) = C.exp(k.30)  = 200  => 100. exp(30k) = 200
hay exp(30k) = 2  vậy  k  =  1/30 ln2 

Khi đó 

Xem lời giải bằng wMaxima 

Đồ thị hàm P(t) . 

4*. Vận tốc ca nô . 
Số liệu thực tế khi đo vận tốc của một ca nô được cho ở bảng sau [ cột X : thời gian t (s)  , cột Y là vận tốc V (m/s) ]

a. Dùng CurveExpert để điều hóa ( best fit )  số liệu này , chọn hàm số thích ứng .

b. Gọi vận tốc là hàm số  điều hóa ( best fit )  tìm được , hãy viết phương trình vi phân mô phỏng .
c. Giải phương trình vi phân này . Tìm khoảng cách ca nô đạt được tại thời điểm 10 giây (s) ?

Lời giải .
a. Exponential Fit: y=ae^(bx)

Coefficient Data:
a = 0.99902845
b = 0.50013606
Standard Error: 0.0113529
Correlation Coefficient: 0.9999995 
Vậy hàm điều hóa tốt nhất ( best fit ) là 
 y= 0.99902845 e^( 0.50013606 x)

Vậy vận tốc  V(t) =  0.99902845 e^( 0.50013606 t)

b. Phương trình vi phân

c. Giải phương trình vi phân này bằng Maple .

   

  

 

 d. Thay  t = 10  vào s(t) , ta tìm được 
s(10) ~  295.83m

5*. Mạch R-L nối tiếp . 

Một mạch R-L nối tiếp gồm có một điện trở R và cuộn dây L mắc vào nguồn có hiệu điện thế V , cường độ dòng điện i . 

Hiệu điện thế giữa 2 đầu điện trở và 2 đầu cuộn dây tương ứng là Vr  và Vl  được tính như sau 

Khi đóng nguồn điện cường độ dòng sẽ thay đổi theo thời gian  t .
Xét ví dụ cụ thể sau :
R =  50 (Ohm)  ,  L = 10 (H)  ;  V  =  100 (v)  ;  t  =  0  tại thời điểm đóng mạch .
a.  Viết phương trình vi phân mô phỏng . 
b.  Giải phương trình này .  Tìm i tại thời điểm  t  =  0.5
c.  Tìm thời điểm khi   Vr  =  Vl  
Lời giải .

a.  Phương trình vi phân mô phỏng . 

Với  t   =  0.5  ta có   i(0.5)  =  2  - 2exp(-5.0.5)  ~  1.836 

c .   khi   Vr  =  Vl   

6*.Dự báo phát triển dịch bệnh . 

Phương trình vi phân có thể dùng để dự báo sự phát triển của tổng số người , vật nuôi , vi khuẩn đang chịu tác động bởi các yếu tố khách quan . Hàm số logistic mô tả một thành phần tác động và một thành phần ngăn cản  , có thể dùng để dự báo tốc độ  sự phát triển của dịch bệnh .
Gọi  N = N(t)  là số người nhiễm bệnh tại thời điểm t , P  là tổng thể người ( hằng số ) ; c là hằng số phát triển  .
Ta có phương trình vi phân mô phỏng sau

Giả sử thành phố có 50,000 dân đang bị lây nhiễm AIDS . Virus do 100 người nhiễm bệnh lây lan lúc ban đầu và thống kê cho thấy có 1000 người mắc bệnh sau 10 tuần . 

a.  Viết phương trình vi phân mô tả và  giải phương trình này . 

b. Dự báo xem bao lâu thì nửa số dân trong thành phố sẽ mắc phải AIDS .

Lời giải .
a. Phương trình vi phân mô tả .

b. Dự báo xem bao lâu thì nửa số dân trong thành phố sẽ mắc phải AIDS .
Dựa vào hàm N(t) , giải phương trình N(t) = 25000
tìm t 

Dùng Maple kiểm tra lời giải 

7*.Định luật Newton về nhiệt độ môi trường .

Đây là mô hình  toán học  diễn tả sự thay đổi nhiệt độ của đối tượng được khảo sát trong một môi trường nhất định. Định luật phát biểu rằng tốc độ thay đổi (theo thời gian) của nhiệt độ tỷ lệ thuận với sai biệt giữa nhiệt độ T của đối tượng và  nhiệt độ Te  của môi trường xung quanh đối tượng.

Ví dụ . Một bình nước đang sôi ở nhiệt độ ban đầu là 100(oC)  , người ta muốn giảm xuống 70(oC) biết nhiệt độ môi trường là 26(oC) , nhiệt độ sẽ giảm xuống 96(oC) sau 1 phút . 
a . Viết phương trình vi phân mô phỏng và tìm nghiệm phương trình này 

b.  Tính thời gian để bình nước ở  63(oC) .  

Lời giải .

    

   

b.  Tính thời gian để bình nước ở  63(oC) . 

8*. Quy luật dược động học .  

Trước khi y tá tiêm hoặc cho uống thuốc, nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân là  0 . Khi thuốc di chuyển khắp cơ thể và được chuyển hóa, nồng độ  thuốc tăng dần lên . Nhưng sẽ đạt đến thời điểm khi nồng độ không còn tăng nữa và bắt đầu suy giảm . Đây là thời kỳ khi thuốc được phân rã hoàn toàn và quá trình trao đổi chất đang diễn ra. Theo thời gian, nồng độ thuốc sẽ  giảm xuống và thấp hơn một liều lượng nhất định có hiệu quả cho việc điều trị . Như thế bệnh nhân cần phải tiếp tục uống thuốc theo chỉ dẫn của bác sĩ  .Chúng ta có thể lập mô hình  toán học cho tình huống như vậy bằng phương trình vi phân. Nó có 2 phần - một phần có thể hấp thụ và một phần loại bỏ. Lúc đầu, sự hấp thụ (tăng lượng thuốc tập trung) có quyền ưu tiên và theo thời gian, phần đào thải hay loại bỏ (giảm nồng độ) là yếu tố quan trọng nhất.
Gọi các biến sau:
D = liều dùng thuốc .
V = thể tích phân phối trong cơ thể .
C(t) = nồng độ của thuốc tại thời điểm t .
F = tỷ lệ liều lượng đã được hấp thụ (còn gọi là sinh khả dụng)
A = tỷ lệ hấp thụ (không đổi)
E =   tỷ lệ đào thải (không đổi)

+ Phần hấp thụ : Điều này phụ thuộc vào số lượng của các loại thuốc nhất định, tỷ lệ này là phần đã được hấp thụ và tỷ lệ hấp thụ không đổi . Phần hấp thụ giảm dần theo thời gian . Các biểu thức về sự hấp thụ được cho bởi :  Ap(t)

+Phần đào thải : động lực loại bỏ chịu ảnh hưởng bởi  hằng số   đào thải , thể tích phân phối trong cơ thể và nồng độ còn lại của thuốc. Các biểu hiện cho phần này là :  Ep(t)  .  
Tích giữa số gia  nồng độ của thuốc tại thời điểm t và thể tích phân phối trong cơ thể = Hiệu giữa phần hấp thụ và phần đào thải .

Ví dụ : Bệnh nhân có thể tích hấp thụ là 15 (uva) ,
tỷ lệ hấp thụ là 0.5 , sinh khả dụng F = 2 , liều dùng thuốc  là 800 ( trên t : giờ ) ,  tỷ lệ đào thải là 0.4 .
a. Viết và giải phương trình vi phân mô phỏng .
b. Xác định thời điểm cao nhất và thấp nhất của nồng độ thuốc trong cơ thể bệnh nhân .
Lời giải .
a.Từ các số liệu cho trước , ta có 

b. Xác định thời điểm cao nhất và thấp nhất của nồng độ thuốc trong cơ thể bệnh nhân .
Đồ thị C(t)

Để tìm thời điểm nồng độ thuốc cao nhất ta tính đạo hàm C'(t) và giải phương trình C'(t) = 0 .

Để tìm thời điểm nồng độ thuốc thấp nhất  dựa vào đồ thị C(t) ta tính giới hạn 

 

Thời điểm cao nhất t ~ 2.23 (giờ) và thấp nhất t ~ 27 (giờ ) ( nồng độ còn khoảng 1% ) . 

 

 

9 *. Mô hình nguồn thủy sản . 
Trong những năm gần đây, vì rất khó tìm được nguồn thủy sản nên chi phí đánh bắt cá ngày càng tốn kém hơn . Và tất nhiên, điều này là do đánh bắt quá mức và việc nuôi trồng thủy sản không đủ đáp ứng nhu cầu .Cá là một trong những nguồn protein tốt nhất mà chúng ta có được từ thiên nhiên , đặc biệt là khi nó cung cấp cho chúng ta axit béo Omega 3 (là điều cần thiết cho sự phát triển của não), và nguồn dinh dưỡng này có thể cải thiện lượng cholesterol trong cơ thể người .

Suy giảm nguồn thủy sản .

Đã có một số sự suy giảm nghiêm trọng về nguồn cá được ghi nhận , bao gồm:

+Cá tuyết Đại Tây dương , đi từ một tỷ lệ bền vững khoảng 250.000 tấn mỗi năm vào cuối những năm 1950, đến 800.000 tấn vào năm 1968, và sau đó giảm sút trầm trọng chỉ còn khoảng 1.700 tấn năm 1995.
+Cá trích Na Uy , trữ lượng giảm từ cuối những năm 1960 và việc đánh bắt loại thủy sản này đã bị đóng cửa từ 1977 đến 1981.
+Cá cơm Peru , bị sut giảm vào những năm 1970, đặc biệt là do đánh bắt quá mức qua các biến cố El Niño ( xem biểu đồ thống kê sau ).

 


Nguồn :  http://en.wikipedia.org/
Mô hình toán học cho việc quản lý nguồn cá hiệu quả .

Chúng ta có thể tiến đến một ngành công nghiệp đánh bắt thủy sản bền vững với kế hoạch thích hợp và hạn ngạch được thực hiện nghiêm túc. Một cách để đạt được kế hoạch tốt là đưa ra mô hình quản lý gồm các yếu tố đầu vào (thực phẩm sẵn có, tỷ lệ con giống, nhiệt độ nước, chất gây ô nhiễm , thời tiết ... ) và các kết quả đầu ra (hao hụt tự nhiên, đánh bắt cá thương mại , ô nhiễm công nghiệp ... ). Mô hình này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng các phương trình vi phân . Phương trình vi phân này liên quan đến tỷ lệ thời gian tức thời việc thay đổi thời hạn khai thác , trong đó x là trữ lượng cá ở biển , và t là thời gian (thường là theo tháng hoặc năm).Được xây dựng trong mỗi phương trình nguồn cá là thành phần dương (tăng trưởng) (phụ thuộc vào nguồn cung cấp thực phẩm, tỷ lệ chăn nuôi, vv), và một thành phần âm (ức chế) (do giới hạn về thực phẩm sẵn có, vv).Dưới đây là một ví dụ rất đơn giản của một mô hình cho số lượng cá dự kiến ​​trong một khu vực cụ thể giới hạn bởi một số ranh giới địa lý cố định (ví dụ, một vịnh , cửa biển ... ) 

Ví dụ . Một cửa vịnh có nguồn cá trữ lượng ban đầu là 0.5 ( đơn vị 100000 tấn ) , sau một năm người ta có  số liệu là 1.268 ( đơn vị 100000 tấn ) .
a. Viết và giải phương trình vi phân mô phỏng .
b. Dự báo trữ lượng cá vào năm thứ 4 . Khi nào thì nguồn thủy sản tại khu vực này bảo hòa .
Lời giải .
a.

b. Dự báo trữ lượng cá vào năm thứ 4 . Khi nào thì nguồn thủy sản tại khu vực này bảo hòa .

Thay  t  =  4  vào  x(t) , tìm được x(4) ~ 8.443   ( đơn vị 100000 tấn )

Để tìm thời điểm khu vực này bảo hòa nguồn trữ lượng thủy sản dựa vào đồ thị x(t) ta tính giới hạn 

Thời điểm bảo hòa khoảng t = 10 đến t = 11 ( năm) 

     

Xem thêm điều tra nguồn thủy sản trên Youtube



Xem thêm :  http://www.intmath.com/blog/modeling-fish-stocks/7377


10*. Mô hình điều chỉnh giá cả thị trường . 
Trong kinh tế tài chính việc ứng dụng phương trình vi phân vào lĩnh vực quản trị rất quan trọng , hãy xét bài toán mô hình điều chỉnh giá thị trường sau đây .

               

Cập nhật : Dec 15 , 2021

Với p(0) = 0.5  nghiệm cụ thể là p(t) = 0.6 – 0.1exp(-t)

Xem  https://tinyurl.com/y6fvg2qq

IV. QUY LUẬT ĐIÊU CHỈNH GIÁ THỊ TRƯỜNG DO TÁC ĐỘNG TỪ HÀNG TỒN DƯ .

Mô hình điều chỉnh giá thị trường có tác động từ hàng tồn dư được thiết lập dựa trên các giả thiết :

1.  Hàm cung và hàm cầu là bậc nhất theo giá thời điểm p.

Xem   https://tinyurl.com/yxlem2jc    

Cập nhật : Dec 21 , 2021

 -------------------------------------------------------------------------------------------
Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.
Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.
Albert Einstein .