Wikipedia

Kết quả tìm kiếm

Giải toán trực tuyến W | A




Vẽ đồ thị trong Oxyz plot3D(f(x,y),x=..,y=..)
Vẽ đồ thị trong Oxy plot(f(x),x=..,y=..)
Đạo hàm derivative(f(x))
Tích phân Integrate(f(x))


Giải toán trực tuyến W|A

Hiển thị các bài đăng có nhãn toán kinh tế. Hiển thị tất cả bài đăng
Hiển thị các bài đăng có nhãn toán kinh tế. Hiển thị tất cả bài đăng

Thứ Bảy, 9 tháng 4, 2016

GIẢ DƯƠNG TÍNH VÀ GIẢ ÂM TÍNH .






 GIẢ DƯƠNG TÍNH VÀ GIẢ ÂM TÍNH .

 False-Positive2

Không phải tất cả các kết quả của các xét nghiệm y tế là hoàn toàn chính xác. Các nhà khoa học có thể mắc sai lầm khi họ kết luận rằng một điều gì đó là đúng khi nó thực sự là sai hay cái gì đó là sai trong khi nó thực sự là đúng . Khi một điều gì đó được kết luận đúng mà nó thực sự là sai, chúng ta sẽ mắc một lỗi giả dương tính hoặc sai loại I. Mặt khác, khi một cái gì đó được kết luận là sai mà nó thực sự lại là đúng sự thật, chúng ta có một giả âm tính hoặc sai loại II.

Nói như vậy liệu chúng ta có  thực sự nên lo lắng về một test y tế dương tính cho một căn bệnh hiếm gặp  chăng ?

Phương pháp chụp nhũ ảnh là một cách để phát hiện ung thư vú ở giai đoạn đầu của nó, giúp bệnh nhân để tăng tỷ lệ sống sót của họ. Năm 2009, John Allen Paulos, một giáo sư toán học tại Đại học Temple, đã viết một bài báo có tựa đề là Toán nhũ ảnh, để thảo luận xem liệu phụ nữ nên thường xuyên chụp nhũ ảnh của họ như thế nào . Nếu nhũ ảnh có thể giúp chẩn đoán ung thư vú, tại sao chúng ta lại không thực hiện chúng thường xuyên hơn? Theo Paulos, nó là chủ đề gây tranh cãi cho dù phụ nữ nên chụp nhũ ảnh hàng tháng kể từ khi các cuộc thử nghiệm cho rằng phương pháp này có thể gây ra các tác hại do ảnh hưởng bức xạ. Ngoài ra, giả sử bạn có một xét nghiệm dương tính, điều này có thật hoàn toàn đúng là bạn bị ung thư? Câu trả lời là không hẳn .



BN-HB837_HJourn_F_20150223124818

 Vậy bạn sẽ phải lo lắng ra sao nếu bạn có một xét nghiệm dương tính của một căn bệnh hiếm gặp?
Nói cách khác, một thử nghiệm chính xác là thế nào ? Lisa Goldberg, một giáo sư môn thống kê tại UC Berkeley, giải thích ngắn gọn về cách chúng ta nên tiếp cận vấn đề này trên một đoạn video của Numberphile,




Bạn có thực sự bị bệnh không? hay đó chỉ là giả dương tính . Goldberg đã thảo luận một số kết quả khả thi mà các xét nghiệm có thể mang lại cho chúng ta, được tóm tắt trong bảng dưới đây:





Trạng thái thực

 Test
Mắc bệnh
Khỏe mạnh
Mắc bệnh
Đúng
Sai(dương tính giả)
Khỏe mạnh
Sai (âm tính giả)
Đúng


Screen Shot 2016-05-13 at 1.05.24 PM
 Như chúng ta có thể thấy trên đây , có hai tình huống mà một thử nghiệm có thể không xác định được người có bệnh 'thực tế'.
-Thứ nhất, kiểm tra là âm tính trong khi các đối tượng kiểm tra là thực sự bị bệnh. Trong trường hợp này, nó là một âm tính giả .
-Thứ hai, các thử nghiệm có thể dương tính trong khi các đối tượng thử nghiệm thực sự khỏe mạnh, đó là một dương tính giả .
Do đó, điều quan trọng nhất là cần phải đo mức chính xác của các xét nghiệm khi bạn nhận được một xét nghiệm có kết luận dương tính.
Để làm được điều này , chúng ta có thể tìm thấy xác suất của bệnh tật với một kết quả dương tính ký hiệu là
P (Macbenh / Ketquaduongtinh)  [ tiếng Anh  P(Sickness|Possitive Result) ].

Áp dụng định luật Bayes về xác suất có điều kiện 

$P(\text{Sickness}\mid\text{Positive Result}) = \dfrac{P(\text{Positive Result}\mid\text{Sickness})\cdot P(\text{Sickness})}{P(\text{Positive Result})}$


$P ({Macbenh}|{Ketquaduongtinh}) = \frac {P ({Ketquaduongtinh}|{Macbenh}) . P ({Macbenh})} {P ({Ketquaduongtinh})}$



$P ({Ketquaduongtinh}) = P ({Ketquaduongtinh}|{Macbenh}) .P({Macbenh}) + P ({Ketquaduongtinh}|{Khoemanh}).P ({Khoemanh})$

Giả sử chúng ta có một căn bệnh hiếm xảy ra ở 1 trên 1000 người; thử nghiệm là 99% chính xác với những người thực sự bị bệnh và thử nghiệm không chẩn đoán là 1 trên số 10 người khỏe mạnh là bị bệnh. Theo giả thuyết của chúng ta thì

$P ({Ketquaduongtinh}|{Macbenh} ) = 0,99$ ;

$P ({Macbenh} )= \frac{1}{1000} = 0,001$ ;

$P ({Ketquaduongtinh}|{Khoemanh}) = \frac {1}{10} = 0,1$ ;

$P ({Khoemanh}) = 1- \frac {1}{1000} = 0,999 $ .

Kết quả là ,

$P ({Ketquaduongtinh} ) = (0.99).(0,001) + (0.1).(0,999) \approx 0.1$

Do đó,

$P ({Macbenh}|{Ketquaduongtinh}) = \frac {(0,99).(0,001)}{0,1} \approx 0,01$ .

Với căn bệnh hiếm gặp và một test về căn bệnh đó chủ yếu là có thể xác định tất cả người bệnh và cho ta 1 kết quả giả dương tính trên mỗi 10 đối tượng kiểm tra, cơ hội của bạn mắc bệnh là 0.01, hoặc 1 trong số 100 mà thôi. Vì vậy, một ý tưởng rất tốt là bạn nên tham khảo ý kiến ​​thứ hai .

Tất cả các test y tế có thể dẫn đến các sai số giả dương tính và giả âm tính. Bởi vì các xét nghiệm y tế không thể tuyệt đối đúng, giả dương tính và giả âm tính là hai vấn đề chúng ta phải đối phó . Một dương tính giả có thể dẫn đến điều trị không cần thiết và âm tính giả có thể dẫn đến một chẩn đoán sai, mà thực ra là rất nghiêm trọng vì một căn bệnh đã được bỏ qua.

Tuy nhiên, chúng ta có thể giảm thiểu các lỗi bằng cách thu thập thêm thông tin, xem xét các biến số khác, điều chỉnh độ nhạy (tỷ lệ dương tính thật) và độ đặc hiệu (tỷ lệ âm tính đúng) của các kiểm tra, hoặc tiến hành thử nghiệm nhiều lần.

Mặc dù vậy, công việc này vẫn rất là khó vì nếu giảm một loại lỗi này có nghĩa là gia tăng các loại hình khác của lỗi kia . Đôi khi, chỉ có một loại lỗi lại là thích hợp hơn so với cái khác, vì vậy các nhà khoa học sẽ phải đánh giá các hậu quả của các lỗi và đưa ra quyết định chính xác cuối cùng.


Trần hồng Cơ 
Trích dịch .

Ngày 07/08/2016

Tài liệu tham khảo


[1] Paulos, J. A. (2009, December 10). Mammogram Math [Web]. Retrieved from http://www.nytimes.com/2009/12/13/magazine/13Fob-wwln-t.html?_r=2
[2] Haran, B. [Numberphile]. (2016, March 16). Are you REALLY sick? (false positives) [Video file]. Retrieved from https://www.youtube.com/watch?v=M8xlOm2wPAA
[3] kingscollegelondon. (2013, November 25). ‘There’s A Math For That’-The Paradox Of The False Positive [Video file]. Retrieved from https://www.youtube.com/watch?v=6WuTNMleuQI
[4] Fernandez, E. (2011, October 17). High Rate of False-Positives with Annual Mammograms [Web]. Retrieved from https://www.ucsf.edu/news/2011/10/10778/high-rate-false-positives-annual-mammogram
[5] MEDCRAMvideos. (2014, March 16). Sensitivity and Specificity Explained Clearly [Video file]. Retrieved from https://www.youtube.com/watch?v=Z5TtopYX1Gc
[6] Diagnostic Accuracy. (n.d.). Retrieved from http://ebp.uga.edu/courses/ChapterDiagnosisSensitivityandspecificity.html



Nguồn  http://blogs.ams.org/mathgradblog/2016/08/06/false-positive-vs-false-negative/


-------------------------------------------------------------------------------------------

 If you know about what you are talking about , you have something more valuable than gold and jewels -

 Có nhiều vàng và châu ngọc , nhưng miệng có tri thức là bửu vật quý giá vô song . 

Châm ngôn 20:15 




Chủ Nhật, 20 tháng 1, 2013

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN . Chương 2-PHẦN 4 .





GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .


Chương 2-

PHẦN 4 .











Phương pháp toán tử vi phân ngược .  
Ví dụ minh họa .
Giải phương trình vi phân bằng Maple .
Bài tập thực hành . 








Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  



Trần hồng Cơ .
30/12/2012 .


****************************************************************************

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.



1. Phương pháp toán tử vi phân ngược .
1.1  Ký hiệu .
Đạo hàm cấp theo biến x của hàm số y ( khả vi liên tục đến cấp k ) được ký hiệu 




Khi đó ta nói D là toán tử vi phân .   


1.2  Tính chất .

1.3  Công thức .
Dưới đây là các công thức toán tử vi phân , rất thường được áp dụng cho việc tìm nghiệm phương trình .

1.3.1  Toán tử vi phân và hàm mũ .


Với P(t) là đa thức theo biến t  với các hệ số hằng , khi thay t bằng toán tử vi phân D ta có 


Liên hệ giữa toán tử vi phân và hàm mũ .
1.3.2  Toán tử vi phân ngược .


* Xét phương trình vi phân viết dạng toán tử 
** Toán tử vi phân ngược cấp k



1.3.3  Toán tử vi phân ngược và hàm mũ .


* Xét phương trình vi phân viết dạng toán tử 






** Liên hệ giữa toán tử vi phân ngược và hàm mũ .







2.  Ví dụ minh họa .

2.1  Phép tính trên toán tử vi phân và toán tử vi phân ngược .

















Lời giải .
1.

Kiểm tra bằng Maple 




2.



2.2  Áp dụng toán tử vi phân ngược   .

Xét phương trình vi phân cấp n hệ số hằng có dạng 


Để giải phương trình cấp cao này ta thực hiện 2 bước .
Bước 1 .  Giải phương trình cấp cao thuần nhất 



Bước 2 .  Tìm nghiệm riêng yR  của phương trình cấp cao như sau :
1. Tác động toán tử vi phân ngược cho 2 vế phương trình ( dùng khai triển Taylor cho biểu thức toán tử vi phân ngược ) nhận dạng các hàm cơ sở .
2. Khi có được hệ cơ sở ta biểu diễn yR qua các hàm cơ sở  với các hệ số  chưa biết thay vào phương trình vi phân rồi dùng phương pháp hệ số bất định .

Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình là 

yTQ  =  yR  +  yTN



Ví dụ . Giải các phương trình vi phân sau 








3.  Giải phương trình vi phân bằng Maple .
3.1  Các lệnh cơ bản giải phương trình vi phân . 
Khai thác gói công cụ 
>with(DEtools):
a .  Giải phương trình vi phân .
Cấu trúc lệnh . 

>dsolve(ODE)  ;
>dsolve(ODE,y(x),options) ;
>dsolve({ODE,ICs},y(x),options) ;


+ODE : phương trình vi phân thường 

+y(x) : biểu thức biến phụ thuộc .
+ICs : điều kiện ban đầu ( tìm nghiệm riêng ) dạng 
y(xo) = yo , D(y)(xo) = y1 , D(D(y))(xo) = y2 ...
+options : tùy chọn cho nghiệm ở dạng  explicit ( hiển )  , implicit ( ẩn ) , numerics ( số ) , series  ( chuỗi ) , useInt ( tích phân ) ...
+alias : bí danh cho biểu thức biến phụ thuộc y(x)  .
Ví dụ 1.



Để xem biểu thức giải tích ta dùng lệnh 
>value( ) ;
Tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân 

Tìm nghiệm bằng phép biến đổi Laplace 


b .  Giải xấp xỉ phương trình vi phân .
Câú trúc lệnh .

>dsolve({ODE,init},vars,numeric) ;
>dsolve(
{ODE,init},vars,numeric,options) ;



+ODE : phương trình vi phân thường 

+vars : biểu thức các biến .
+init : điều kiện ban đầu dạng 
y(xo) = yo , D(y)(xo) = y1 , D(D(y))(xo) = y2 ...
+options : tùy chọn cho phương pháp xấp xỉ như  method =rkf45 ( Runge-Kutta cấp 4 ) ,  method =dverk78 ,  method =classical ,  method =taylorseries ,  method =gear , method =mgear  ,  method =lsode , method =ck45 ,  method =rosenbrock ,  method = bvp ,   ...

 ( Trong Maple version 14 các tùy chọn gồm có :  rkf45, ck45, rosenbrock, bvp, rkf45_dae, ck45_dae, rosenbrock_dae, dverk78, lsode, gear, taylorseries, mebdfi,  classical)


Tìm giá trị của y tại x = 0.1 ta nhập lệnh dsol(0.1)

hoặc cho tùy chọn Array([ , , ]) vào lệnh dsolve 

Xem tiếp :  


http://cohtran-toan-don-gian.blogspot.com/2013/01/gioi-thieu-ve-phuong-trinh-vi-phan.html








  Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

-------------------------------------------------------------------------------------------

Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.

Albert Einstein .

Chủ Nhật, 13 tháng 1, 2013

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN . Chương 2- PHẦN 3 .





GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .


Chương 2-

PHẦN 3 .







Sơ lược về chuỗi hình học .
Tiêu chuẩn hội tụ - Chuỗi lũy thừa - Bán kính hội tụ .
Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân .
Ứng dụng nghiệm chuỗi cho  phương trình Airy và phương trình Hermite .  








Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  



Trần hồng Cơ .
30/12/2012 .


****************************************************************************

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.



1. Sơ lược về chuỗi hình học .
1.1  Chuỗi hữu hạn - chuỗi vô hạn . 
+ Chuỗi hữu hạn được xác định bởi 


+ Chuỗi vô hạn được xác định bởi  

Một vấn đề đặt ra là tìm số hạng tổng quát  an của chuỗi với một số giả thiết . 
Ví dụ . Tìm số hạng tổng quát  an của dãy số sau 
6 + 3 + 3/2 + 3/4 + 3/8 + ...
* Dùng Maple .

Bạn dùng lệnh >rsolve(eq,a(n)) tìm biểu thức  an của   chuỗi số .




** Dùng công cụ trực tuyến WA .
Bạn truy cập địa chỉ http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-trực-tuyến.php
Tìm chỉ mục G11.2 Đa thức truy hồi 

nhập liệu như hình vẽ , click Submit .
Xem thêm các chỉ mục từ bài viết 
 http://cohtran.blogspot.com/2012/04/cac-vi-du-minh-hoa-cach-su-dung-cong-cu_21.html

1.2  Chuỗi hình học - Geometry Series .

+Xét cấp số nhân - geometry sequence 

Tổng n số hạng đầu tiên là một chuỗi hữu hạn ký hiệu Sn và được tính bởi 


*Chuỗi hình học phân kỳ khi  |q| >= 1 .
*Chuỗi hình học hội tụ khi  |q| < 1 .
Ta có thể xem chuỗi  hình học hội tụ thỏa mãn 



+Thay  q = x   , ta có 

+Thay  q = - x   , ta có




+Tương tự cho các biểu thức theo biến , ta thu được  


1.3  Một vài ứng dụng của chuỗi hình học -

+ Khai triển chuỗi của hàm y = ln(x +1


+ Khai triển chuỗi của hàm y = arctanx  


Đồ thị hàm y = arctanx và xấp xỉ dạng chuỗi được mô tả trong hình sau ( màu đen : hàm arctanx ; màu đỏ :  chuỗi xấp xỉ  )
   


Nguồn : http://www.sosmath.com/calculus/powser/powser01.html

2. Tiêu chuẩn hội tụ - Chuỗi lũy thừa - Bán kính hội tụ .


2.1  Tiêu chuẩn hội tụ . 

+Chuỗi hội tụ : khi tổng riêng hữu hạn thứ n của nó tiến đến giá trị hữu hạn 

Ví dụ . Chuỗi  1/3 + 1/15 + 1/35 + 1/63 + 1/99 + ...
là chuỗi hội tụ .

+Chuỗi phân kỳ : khi tổng riêng hữu hạn thứ n của nó không tiến đến giá trị hữu hạn


Ví dụ . Chuỗi  1/2 + 2/5 + 3/8 + 4/11 + 5/14 + ...
là chuỗi phân kỳ .


a. Điều kiện cần của chuỗi hội tụ .

b. Hệ quả . 

c. Một vài tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi dương . 
1. Cho 2 chuỗi dương 


2.  Ít nhất một trong các đại lượng sau

 3. Cho 

d. Định lý Leibniz . 


Cho chuỗi đan dấu 
a1 - a2 + a3 - a4 + a5 - ... - an-1  +  a ...  >  0 
Với  { a} là dãy dương giảm ,  lim  a  = 0  
Khi đó chuỗi  đan dấu hội tụ .        


e. Định lý hội tụ cho chuỗi dấu bất kỳ .  


Cho chuỗi dấu bất kỳ
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ... + an-1  +  a  + ...  (A)
Nếu chuỗi 
|a1| + |a2| + |a3| + |a4| + |a5| + ... + |an-1|  +  |a| + ...

hội tụ thì chuỗi (A) hội tụ .

2.2  Định nghĩa chuỗi lũy thừa .  


Chuỗi lũy thừa theo biến x tại lân cận điểm  xo   có dạng  (1) 

Ví dụ :


 







2.3 Bán kính hội tụ .
a. Định lý Abel .
Cho chuỗi lũy thừa 

b. Bán kính hội tụ . 


+ Xét chuỗi (1) do định lý Abel , (1) sẽ có khoảng hội tụ L với tâm là điểm  xo
L = { x | x  -   xo  | < R }
hay  L = { x /  xo  - R <  x  <   xo + R   } .
Trường hợp đặc biệt đối với chuỗi (2) thì  xo  = 0 .

Số  R  được gọi là bán kính hội tụ .    
Nếu   R  = 0 thì (1) chỉ hội tụ tại điểm xo  . 
Nếu   R  = oo  thì (1) hội tụ trên toàn trục Ox 
(-oo , +oo )       
+ Để tìm khoảng hội tụ ta tìm bán kính hội tụ R và giải bất phương trình 
| x  -   xo  | < R  <=>  - R  <  x  -   xo  < R 
<=>   xo  - R <  x  <   xo + R  . 
Từ đó tìm ra khoảng hội tụ   L . + Công thức tính bán kính hội tụ .




Ví dụ : Xét sự hội tụ , tính bán kính hội tụ và tìm khoảng hội tụ L của các chuỗi sau


 








Lời giải .
khai triển biểu thức này bằng Maple 
>Raabe:=n*(((n+2)/(n+1))^5*((2*n+1)/(2*n+3))-1)+2;
>A:=expand((n+2)^5*(2*n+1)):
>B:=expand((n+1)^5*(2*n+3)):
>T:=simplify(A/B-1):
>R:=n*T+2:
> Raabe:= simplify(R);

kết quả ta thu được 


 





Dễ thấy rằng Raabe > 1  nên chuỗi đã cho là phân kỳ .
Lưu ý : Nếu dùng tiêu chuẩn D'Alembert bạn đọc có thể kiểm tra bằng đồ thị với các lệnh sau 
>D_Alembert:=((x+2)/(x+1))^5*((2*x+1)/(2*x+3));
>plot([D_Alembert,1],x=0..50,y=-2..10,
thickness=[3,1]);
Đồ thị biểu diễn biểu thức theo D'Alembert nằm phía trên đường thẳng  y  =  1 ( không thỏa mãn điều kiện có cận trên đúng  < 1 )  nên chuỗi đã cho là phân kỳ .


3. Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân .
3.1  Đạo hàm chuỗi .

Xét chuỗi lũy thừa (2) , giả sử rằng (2) liên tục và hội tụ đều trên khoảng hội tụ L . Khi đó đạo hàm chuỗi (2) được cho bởi



Tóm lại :

** Muốn thay chỉ số k chạy từ n thành 0 , ta cộng thêm n vào tất cả các thành phần nào có chứa chỉ số k trong chuỗi ban đầu ( thay k = k+n )



3.2  Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân hệ số hằng thuần nhất .
Với công thức đạo hàm chuỗi ở 3.1 , khi thay vào phương trình vi phân hệ số hằng thuần nhất , ta có thể rút gọn và đưa về phương trình truy hồi theo ẩn số an . Việc giải và tìm ra các hệ số  an  sẽ cho ta biểu thức nghiệm của phương trình vi phân .
Xét các ví dụ sau đây    


Ta có thể tìm a2 qua a0  , a3 qua a1 , a4 qua a2 rồi thay bằng biểu thức có a0  ,  a5 qua a3 rồi thay bằng biểu thức có a1  ...v.v. Tuy nhiên như đã trình bày ở phần 1.1 bạn dùng lệnh >rsolve(eq,a(n)) tìm biểu thức   ak   của   chuỗi số .
>restart;eq:={(k+1)*(k+2)*a(k+2)+9*a(k)=0,a(0)=C_1,a(1)=C_2};
>reeq[k]:=rsolve(eq,a(k));
>y:=sum(reeq[k]*x^k,k=0..10);

Kết quả thu được như sau 

Xem tiếp :




 http://cohtran-toan-don-gian.blogspot.com/2012/12/gioi-thieu-ve-phuong-trinh-vi-phan_29.html




Creative Commons License
-------------------------------------------------------------------------------------------
Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.
Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.
Albert Einstein .

*******

Blog Toán Cơ trích đăng các thông tin khoa học tự nhiên của tác giả và nhiều nguồn tham khảo trên Internet .
Blog cũng là nơi chia sẻ các suy nghĩ , ý tưởng về nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau .


Chia xẻ

Bài viết được xem nhiều trong tuần

CÁC BÀI VIẾT MỚI VỀ CHỦ ĐỀ TOÁN HỌC

Danh sách Blog

Thông tin hàng ngày.

Giới thiệu bản thân

Ảnh của Tôi


Các chuyên đề ứng dụng .

1. Phương trình vi phân  
2. Toán đơn giản - College Algebra 
3. Toán thực hành - Practical Mathematics 
4. Vật lý tổng quan ( đang viết )
5. Phương trình tích phân 
( đang chuẩn bị ) 

Gặp Cơ tại Researchgate.net

Co Tran