-Một số kiến thức cần thiết . Lý thuyết tổng quát -Hệ thống phương trình vi phân . -Hệ thống phương trình vi phân tuyến tính .
Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .
1 . Một số kiến thức cần thiết . 1.1 Hệ thống phương trình tuyến tính . +Nhắc lại hệ thống phương trình tuyến tính (1)
Ma trận mở rộng của hệ có dạng
+Hạng của ma trận A ký hiệu r(A) = r là số vector dòng ( hoặc cột ) lớn nhất độc lập tuyến tính của A . Ta tìm hạng của ma trận bằng phép biến đổi Gauss-Jordan theo dòng ( hoặc cột ) . Ví dụ :
Thực hành Maple bằng lệnh>Rank( ) ;
+Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính . Xét trường hợp m = n thì Anxn là ma trận vuông cấp n . (1) có dạng
Tương ứng với -Nếu r(A) = r(A|B) = r = n thì nghiệm X duy nhất . -Nếu r(A) = r < r(A|B) thì vô nghiệm X . -Nếu r(A) = r(A|B) = r < n thì vô số nghiệm X . +Định thức của ma trận vuông Anxn ký hiệu det(A) .
Ví dụ : Tính định thức của ma trận
+Sự liên quan giữa nghiệm của hệ phương trình tuyến tính và định thức . Xét hệ (1) : AX = B . -Hệ có nghiệm duy nhất nếu det(A) =/= 0 . -Hệ vô nghiệm hoặc vô số nghiệm nếu det(A) = 0 . Trong trường hợp hệ là thuần nhất i.e AX = 0 . -Hệ có nghiệm duy nhất X = 0nếu det(A) =/= 0 . -Hệ có vô số nghiệm X=/= 0nếu det(A) = 0 .
1.2 Trị đặc trưng và vector đặc trưng . +Nhắc lại về đa thức đặc trưng . Cho ma trận vuông Anxn, ta nói đa thức đặc trưng của A là det(A -mI) với Ilà ma trận đơn vị cấp n . -Phương trình đặc trưng của A là det(A - mI) = 0 . -Trị đặc trưng của ma trận A là nghiệm m tìm được từ phương trình đặc trưng . Nghiệm m có thể là thực - rời , thực - bội cấp p , phức , phức -căn bậc n , phức - bội cấp p (xem Chương 4-Phần 1 . 2.1.2 ) . -Vector đặc trưng tương ứng với trị đặc trưng m cảu ma trận A là nghiệm X thỏa AX = mX . Ví dụ : Tìm trị và vector đặc trưng của ma trận sau
Vector đặc trưng tương ứng với m = 2 . Giải AX = 2X .
2 .Lý thuyết tổng quát -Hệ thống phương trình vi phân . 2.1 Hệ thống phương trình vi phân cấp 1. +Hệ thống phương trình vi phân gồm nhiều phương trình chứa biến độc lập , ẩn hàm và các đạo hàm của ẩn hàm .
Việc giải hệ thống này là khảo sát biểu thức của ẩn hàm ( nghiệm ) và biến độc lập ở dạng hiển , dạng ẩn ( hoặc tham số ) và bằng hình thức giải tích , giải số hay đồ thị . +Nếu hệ phương trình chỉ chứa đạo hàm cấp 1 của ẩn hàm ta nói đây là hệ thống phương trình vi phân cấp 1 . Trong phần tiếp theo ta sẽ khảo sát hệ thống phương trình cấp 1 - hiển theo đạo hàm có dạng sau đây (2)
Hoặc rút gọn
2.2 Bài toán Cauchy và định lý tồn tại duy nhất nghiệm . +Bài toán Cauchy đối với hệ phương trình vi phân cấp 1 được phát biểu
+Định lý Picard - Lindelof :
+Các hàm y = (yk(x,C1,..,Cn)) xác định trên miềnW thuộcD´U, với các hằng số Ck , k =1,..,n được xác định duy nhất thỏa mãn (2) gọi là nghiệm tổng quát của hệ . -Nghiệm thỏa định lý Picard-Lindelof ta gọi là nghiệm duy nhất của hệ . -Nghiệm không thỏa mãn tính duy nhất được gọi là nghiệm kỳ dị . Ví dụ : Chứng minh rằng
Lời giải . Thay biểu thức của y1 và y2 vào hệ thống phương trình ,
Để ý rằng các hằng số C1 và C2 được xác định duy nhất theoy1 , y2 . 2.3 Quan hệ giữa phương trình vi phân cấp cao và hệ thống phương trình vi phân. + Xét phương trình vi phân cấp cao
Đây chính là hệ thống phương trình vi phân (2) . Ví dụ :
3 .Lý thuyết tổng quát -Hệ thống phương trình vi phân tuyến tính . 3.1 Hệ thống phương trình vi phân tuyến tính . +Hệ thống phương trình vi phân tuyến tính gồm nhiều phương trình chứa biến độc lập , ẩn hàm bậc nhấtvà các đạo hàm của ẩn hàm . (3)
Để viết dưới dạng ma trận
+Khi h(t) = 0 ta nói (3) có dạng tuyến tính thuần nhất . +Khi h(t) = 0 và các hàm aij(t) = const ta nói (3) có dạng tuyến tính thuần nhất hệ số hằng . Ví dụ :
3.2 Tập nghiệm của hệ thống phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất . +Hệ thống phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất có dạng y(t)' = A(t).y(t) (4) Với A(t) là ma trận các hàm aij(t) , ( i,j = 1,2,...,n ) liên tục trên miền D . +Giả sử hệ nghiệm của (4) là { yk(t) } , ( k = 1,2,...,n ) độc lập tuyến tính , mỗi yk(t) có thể viết ở dạng vector ( y1k(t) y2k(t) ... ynk(t) ) khi đó một số tính chất của hệ nghiệm như sau . -Nghiệm tổng quát của (4)yk(t) là tổ hợp tuyến tính của yjk(t) , ( j = 1,2,...,n ) -Hệ nghiệm { yk(t) } , ( k = 1,2,...,n ) còn gọi là hệ cơ sở của (4) có cấu trúc một không gian vector . -Để một hệ nghiệm của (4) là hệ cơ sở thì điều kiện cần và đủ là định thức Wronski của nó khác 0 .
3.3 Nghiệm của hệ thống phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất . +Như đã nói ở phần trên hệ thống phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất có dạng y(t)' = A(t).y(t) + h(t) (3) Với A(t) là ma trận các hàm aij(t) , ( i,j = 1,2,...,n ) và h(t) là vector cột ( h1(t)h2(t) ... hn(t) ) gồm các hàm hk(t) liên tục trên miền D . +Nếu biết nghiệm riêng của hệ không thuần nhất ( ký hiệu là yR ) và nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất tương ứng ( ký hiệu là yTN ) thì nghiệm tổng quát của hệ không thuần nhất ( ký hiệu yTQ ) sẽ là yTQ = yR + yTN +Nghiệm riêng của hệ không thuần nhất có thể tìm được bằng phương pháp biến thiên tham số . Đặt { yk(t) } , ( k = 1,2,...,n ) là hệ cơ sở của hệ tuyến tính thuần nhất . Khi đó yk(t) là tổ hợp tuyến tính của yjk(t) , ( j = 1,2,...,n ) Nghiệm riêng của hệ không thuần nhất được tính từ biểu thức
3.4 Hệ thống phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng . +Hệ thống phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng có dạng y(t)' = A.y(t) + h(t) (5) Với A là ma trận các hằng số thực aij , ( i,j = 1,2,...,n ) và h(t) là vector cột ( h1(t)h2(t) ... hn(t) ) gồm các hàm hk(t) liên tục trên miền D . +Nếu h(t) = 0 ta có hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng . y(t)' = A.y(t) (6) +Phương trình đặc trưng của (6) là det( A - mI ) = 0 . Đây là phương trình đại số bậc n theo ẩn đặc trưng mk , k = 1, 2 ... . +Nghiệm của phương trình này là nghiệm đặc trưng mk của hệ , vector đặc trưng tương ứng là vk(t) , tìm được bằng cách giải phương trình Avk(t) =mk .vk(t). +Một số trường hợp của trị đặc trưng như sau : a. Thực -rời . Nếu các mk , k = 1,2,..., n là thực và rời nhau thì hệ n vector đặc trưng tương ứng vk(t) là độc lập tuyến tính . Hệ nghiệm của (6) cũng độc lập tuyến tính và có dạng uk(t) = exp(mk t).vk(t) b. Phức . Nếu có mk = a + ib là trị đặc trưng với vector đặc trưng tương ứng là vk(t) thì a - ib cũng là trị đặc trưng của hệ . Khi đó 2 nghiệm thực độc lập tuyến tính của hệ sẽ là uk1(t) =Re{ exp(mkt).vk(t)} = exp(at).[Re{vk(t)}cosbt - Im{vk(t)}sinbt]
c. Thực - bội . Nếu có mj là trị đặc trưng thực - rời , j = 1,2,..., h với vector đặc trưng tương ứng là vj(t) và mộttrị đặc trưng m là thực - bội cấp p của hệ . Khi đó nghiệm của hệ được biểu diễn bởi
------------------------------------------------------------------------------------------- Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic. Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas. Albert Einstein .
Phép biến đổi Laplace . Phép biến đổi ngược Laplace . Giải phương trình vi phân bằng phép biến đổi Laplace . Bài tập thực hành .
Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .
Trần hồng Cơ . 14/05/2013 . ****************************************************************************
1. Phép biến đổi Laplace . Phép biến đổi Laplace là một trong số những phép biến đổi tích phân quan trọng nhất áp dụng cho việc giải các phương trình vi phân tuyến tính . Nhờ phép biến đổi Laplace ta có thể đưa phương trình vi phân tuyến tính cấp cao hệ số hằng về một phương trình đại số , đặc biệt hơn nữa nó rất hữu dụng khi tìm nghiệm cho các phương trình vi phân tuyến tính có vế phải là những hàm xung , hàm trơn từng khúc hoặc hàm gián đoạn . Trong phần này chúng ta sẽ tìm hiểu về phép biến đổi Laplace , các tính chất và ứng dụng cho việc giải phương trình vi phân tuyến tính cấp cao . 1.1 Định nghĩa - ký hiệu . Cho hàm số f(t) xác định với mọi t > 0 , phép biến đổi tích phân
Tích phân trong ký hiệu trên hiểu theo nghĩa suy rộng ,
1.1.1 Hàm gốc - định lý cơ bản . a. Hàm gốc .
Cho f(t) là hàm với biến thực t , ta nói f(t) là hàm gốc nếu :
( i ) f(t) liên tục từng đoạn khi t ³ 0
( ii ) " t > 0 , $ M > 0 , so³ 0 :
| f(t) | £ M exp(sot ) so gọi là chỉ số tăng .
( iii ) f(t) = 0 khi t < 0 . Định lý sau trong trường hợp tổng quát đúng với biến phức p = s + is .
b. Định lý cơ bản .
Cho
Ví dụ 1 . Tìm ảnh của các hàm sau
Lời giải .
1.1.2 Các tính chất - định lý Mellin .
a. Tính chất .
(i) Tuyến tính . Cho f(t) , g(t) là 2 hàm gốc , A , B là 2 hằng số thực ( hoặc phức )
(ii) Đồng dạng . Cho f(t) là hàm gốc , llà hằng số thực dương
(iii) Dời ảnh . Cho f(t) là hàm gốc , z là số phức tùy ý
(iv) Trễ . Cho f(t) là hàm gốc
b. Định lý Mellin .
Cho f(t) là hàm gốc có chỉ số tăng so và F(p) là ảnh của nó tại mọi điểm f(t) liên tục , ta có
Định lý Mellin cho phép ta tìm được hàm gốc f(t) dựa trên ảnh F(p) của nó qua phép biến đổi Laplace . Đây chính là cơ sở của phép tính Laplace ngược tìm hàm gốc sau khi đã thực hiện các tính toán trên hàm ảnh F(p) .
1.2 Bảng công thức Laplace - thực hành . 1.2.1 Bảng công thức Laplace . Dưới đây là bảng công thức Laplace áp dụng cho hàm gốc có biến thực t và biến của ảnh là số thực s .
Bảng Laplace .
Hàm hyperbolic và hàm Gamma .
Hàm Dirac .
1.2.2 Thực hành . Ví dụ 2 . Dựa vào bảng Laplace tìm ảnh của các hàm gốc sau
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License. ------------------------------------------------------------------------------------------- Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic. Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas. Albert Einstein .
wxMaxima 0.8.5
-
I have released wxMaxima version 0.8.5. There are no major changes in this
release. One of the cool things added are two new translations (Greek an
Japanes...
The Day in Photos – November 5, 2019
-
[image: Hindu women worship the Sun god in the polluted waters of the river
Yamuna during the Hindu religious festival of Chatth Puja in New Delhi,
India, ...
Bài tập B24.Tích phân học toán 12.docx
-
Để có thêm nguồn tư liệu cho HS học tập thi HK 2023 MÔN TOÁN, ÔN TẬP TRONG
LÚC HỌC TOÁN TRONG LỚP, EBOOKTOAN SƯU TẬP CÁC FILE TOÁN DOCX ĐỂ PHỤC VỤ CÁC
TH...
Overall Heat Transfer Coefficient
-
Hi,
I am in the process of determining the overall heat transfer for a HC gas
system (mostly C1-C4) at around ~720-750 PSIG. I am trying to estimate
...
The Orbit of Kepler 16b
-
[image: The Orbit of Kepler 16b]NASA's Kepler space telescope recently made
the news by finding a planet that orbits a double-star system, a situation
that...
develop solid forms
-
Hi, I am trying to illustrate the concept of solid areas, and I'm wondering
if there's a way to easily develop them (representing each of their faces
in ...
Danh sách 6 học sinh Việt Nam dự thi IMO 2024
-
Ngày 05/4/2024, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã công bố danh sách 6 học sinh Việt
Nam dự thi Olympic Toán học quốc tế năm 2024. Đây là 6 học sinh đạt điểm
cao nh...
Find All Wolfram News in One Place—The Wolfram Blog
-
This is the final post here at the Wolfram|Alpha Blog. Approximately six
and a half years ago our launch team started the Wolfram|Alpha blog just
prior to ...