Wikipedia

Kết quả tìm kiếm

Giải toán trực tuyến W | A




Vẽ đồ thị trong Oxyz plot3D(f(x,y),x=..,y=..)
Vẽ đồ thị trong Oxy plot(f(x),x=..,y=..)
Đạo hàm derivative(f(x))
Tích phân Integrate(f(x))


Giải toán trực tuyến W|A

Hiển thị các bài đăng có nhãn giải tích. Hiển thị tất cả bài đăng
Hiển thị các bài đăng có nhãn giải tích. Hiển thị tất cả bài đăng

Thứ Ba, 5 tháng 7, 2016

GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN . Phần 15 . HÀM SỐ MŨ - PHƯƠNG TRÌNH MŨ .


GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN .

Phần 15 . HÀM SỐ MŨ  - PHƯƠNG TRÌNH MŨ.   

DANH MỤC CÔNG CỤ GIẢI TOÁN TRỰC TUYẾN  MATHEMATICA  WOLFRAM | ALPHA .

Giới thiệu .

Bạn đọc truy cập vào đường dẫn  http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen  để sử dụng các widgets giải toán trực tuyến W|A Mathematica theo chỉ mục trong danh sách dưới đây .

Những widgets này đã được tác giả sắp xếp theo từng môn học và cấp lớp theo ký hiệu như sau :

D : Đại số . Ví dụ  D8.1 widget dùng cho Đại số lớp 8 , mục 1 - Khai triển , rút gọn biểu thức đại số .
H : Hình học . Ví dụ  H12.3  widget dùng cho Hình học lớp 12 , mục 3 - Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian .
G : Giải tích . Ví dụ : G11.7  widget dùng cho Giải tích lớp 11 , mục 7 - Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
GI : Giải tích cao cấp I . Ví dụ GI.15  widget dùng cho Giải tích cao cấp I , mục 15 - Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GII : Giải tích cao cấp II .


++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++


 ĐẠI SỐ 8

D8.1  Khai triển , rút gọn biểu thức đại số
D8.2  Rút gọn phân thức
D8.3  Phân tích thừa số
D8.4  Nhân 2 đa thức
D8.5  Khai triển tích số ( có thể dùng để khai triển Newton )
D8.6  Phân tích thừa số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 10

D10.1 Giải phương trình nguyên Diophante
D10.2 Giải phương trình tuyệt đối
D10.3 Giải phương trình chứa tham số
D10.4  Giải phương trình đại số
D10.5  Giải phương trình từng bước
D10.6  Giải bất phương trình minh hoạ bằng đồ thị

D10.8  Tính giá trị biểu thức hàm số
D10.9  Giải bất phương trình đại số và minh hoạ bằng đồ thị
D10.10  Giải bất phương trình đại số - tìm miền nghiệm
D10.11  Giải phương trình đại số
D10.12  Giải phương trình vô tỷ
D10.13  Giải phương trình minh hoạ từng bước
D10.14  Giải phương trình dạng hàm ẩn
D10.15  Giải hệ thống phương trình tuyến tính , phi tuyến
D10.16  Giải hệ phương trình
D10.17  Vẽ miền nghiệm của bất phương trình đại số
D10.19  Tối ưu hoá hàm 2 biến với các ràng buộc
D10.20  Tìm giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành Ox , trục tung Oy

HÌNH HỌC 10

H10.1  Tính diện tích tam giác trong hệ toạ độ Oxy
H10.3  Khảo sát conic ( đường tròn , Ellipse , Parabola , Hyperbola )
H10.2  Tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng trong Oxy



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 11

D11.1 Thuật chia Euclide dùng cho số và đa thức  ( HORNER )
D11.2  Tính tổng nghịch đảo của n số tự nhiên




D11.6  Khai triển nhị thức Newton


GIẢI TÍCH 11


G11.1  Tính gíá trị một chuỗi số  theo n
G11.2  Đa thức truy hồi
G11.3  Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số
G11.4  Tính giới hạn của chuỗi số khi  $n \rightarrow  \infty$
G11.5  Tìm hàm số ngược của hàm số cho trước
G11.6  Tìm đạo hàm của hàm số hợp - giải thích
G11.7   Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
G11.8   Tìm giới hạn của hàm số
G11.9   Tìm giới hạn của hàm số
G11.10  Tính đạo hàm hàm số có dạng U/V
G11.11  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước
G11.12  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước

G11+12.1   Tính đạo hàm ,tích phân , giới hạn , vẽ đồ thị


LƯỢNG GIÁC 11

L11.1   Giải phương trình lượng giác
L11.2   Giải phương trình lượng giác trên một đoạn
L11.3   Tìm chu kỳ của hàm số tuần hoàn
L11.4   Khai triển công thức lượng giác



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 12

D12.1   Cấu trúc của số phức
D12.1   Giải phương trình mũ
D12.3   Giải  phương trình chứa tham số
D12.4   Giải  phương trình  bất kỳ  ( Bậc 2 , 3 , ... , mũ  , log , căn thức )
D12.5   Giải phương trình mũ



GIẢI TÍCH 12


G12.1  Vẽ đồ thị biểu diễn phương trình
G12.2    Khảo sát hàm số hữu tỷ
G12.3   Vẽ đồ thị trong toạ độ cực (Polar)
G12.4    Tìm cực trị của hàm số
G12.5    Vẽ đồ thị hàm số 2D
G12.6   Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số
G12.7    Vẽ nhiều hàm số - Basic plot. To plot two or more functions, enter {f1(x), f2(x),...}
G12.8    Tìm điểm uốn của hàm số cho trước
G12.9    Tìm nghiệm của các phương trình  y = 0 , y ' = 0 ,  y " = 0
G12.10    Tính tích phân bất định
G12.11    Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.12   Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.13   Tìm đường tiệm cận của hàm số
G12.14   Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.15  Tìm giao điểm của hàm số đa thức và trục hoành Ox - Vẽ đồ thị .
G12.16    Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi (C1) , (C2)
G12.17    Vẽ đồ thị hàm số ( có đường tiệm cận )
G12.18   Vẽ đồ thị 2D , 3D
G12.19   Tìm hoành độ giao điểm giữa 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.20    Vẽ đường cong tham số 3D
G12.21    Tính diện tich mặt tròn xoay
G12.22    Tích thể tích vật tròn xoay  (C) , trục  Ox , x =a , x= b
G12.23    Thể tích vật tròn xoay
G12.24    Tích thể tích vật tròn xoay (C1) , (C2) , trục OX , x = a , x = b
G12.25    Khảo sát hàm số đơn giản
G12.26    Tìm cực trị của hàm số
G12.27    Tìm nguyên hàm của hàm số
G12.28    Tính tích phân xác định


HÌNH HỌC 12


H12.1  Tính khoảng cách 2 điểm trong 2D , 3D
H12.2   Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm trong không gian
H12.3  Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian
H12.4   Tìm công thức thể tích , diện tích hình không gian
H12.5   Vẽ đồ thị 2D , mặt 3D
H12.6    Tích có hướng 2 vector



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

GIẢI TÍCH CAO CẤP

GI.1    Vẽ đồ thị , mặt 3D
GI.2   Vẽ đồ thị , mặt  3D
GI.3    Tích phân 2 lớp
GI.5    Tích phân kép
GI.6    Tích phân bội 3
GI.7    Tích phân bội 3
GI.8    Tích phân suy rộng
GI.9    Chuỗi và dãy số
GI.10    Các bài toán cơ bản trong vi  tích phân
GI.11     Vẽ hàm từng khúc ( piecewise ) - dùng để xét tính liên tục của hàm số
GI.12    Tính đạo hàm và tích phân một hàm số cho trước
GI.13     Vẽ đồ thị hàm số trong hệ toạ độ cực
GI.14     Tính đạo hàm riêng
GI.15    Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GI.16    Tính tổng chuỗi số  n = 1...$\infty$
GI.17     Vẽ  đồ thị  3 hàm số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Bài viết sau đây mô tả các khái niệm toán học và hướng dẫn tính toán chi tiết bằng công cụ trực tuyến , bạn đọc có thể tham khảo những nội dung chính yếu được đề cập đến trong giáo trình toán phổ thông  cùng với các ví dụ minh họa  .

Một số website hữu ích phục vụ cho việc giảng dạy và học tập môn toán :

http://quickmath.com/
http://analyzemath.com/
http://www.intmath.com/
http://www.mathportal.org
https://www.mathway.com/
https://www.symbolab.com/
http://www.graphsketch.com/
http://www.meta-calculator.com/online/?home
http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen
https://www.geekandnerd.org/edu-courses/

15.  HÀM SỐ MŨ - PHƯƠNG TRÌNH MŨ - Hàm số mũ .

15.1  Hàm số mũ .

15.1.1  Dạng hàm số $y=a^x$  .
a. Khái niệm  .

Click View Flashcard xem trang hiện hành - Click Flip xem trang kế tiếp .






















b. Các ví dụ .

Xem các ví dụ minh họa trong Flashcard sau .





Ví dụ 1. 
Tính toán giá trị .



Lời giải



Công cụ trực tuyến   https://www.symbolab.com/

$A=\frac{6593}{9}$    Xem  https://goo.gl/K4XtKe
$B=-\frac{25}{1024}$   Xem  https://goo.gl/yrYoMB
$C=\frac{65}{4}$    Xem  https://goo.gl/FfZsWX
$D=\frac{97}{8}$    Xem  https://goo.gl/VNGGug
$E=2^{\frac{1}{4}}$    Xem  https://goo.gl/T1WyK2
$F=3\cdot \:64^{\sqrt{3}}$    Xem  https://goo.gl/D8uJXk

Ví dụ 2. 
Rút gọn biểu thức .



Lời giải



Công cụ trực tuyến    https://www.symbolab.com/

$A=\frac{1}{a^{\frac{1}{6}}}=a^{-1/6}$    Xem  https://goo.gl/bvF2Hp
$B=\frac{1}{b^{\frac{5}{6}}}$    Xem  https://goo.gl/54wN8A
$C= a+b$    Xem  https://goo.gl/ivhjeE
$b = (a^{\sqrt{5}})^{1/ \sqrt{7}}$   cả Symbolab  và  W|A đều không cho ra kết quả cụ thể .
  Xem  https://goo.gl/5Msuwm  ,  https://goo.gl/b9Dqju


Ví dụ 3. 
So sánh trị số .

Lời giải




Công cụ trực tuyến    https://www.symbolab.com/

$a. \sqrt[3]{28}-\sqrt{17}<0$    Xem  https://goo.gl/RUU2ty
$b. \sqrt[4]{13}-\sqrt[5]{23}>0$    Xem  https://goo.gl/5hJtDk
$c. 2^{-\sqrt{12}}-\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{5}{2}} <0$    Xem  https://goo.gl/fZtuAH
$d. \left(\frac{\pi }{2}\right)^{\sqrt{2}}-\left(\frac{\pi \:}{5}\right)^{\sqrt{3}}>0$    Xem  https://goo.gl/sgoLGA
$e. \sqrt[5]{\sqrt[4]{\sqrt{2}}}-\sqrt[3]{\sqrt[4]{\sqrt[3]{9}}} <0$  Xem  https://goo.gl/G3XNco
$f. \sqrt{3^{-\frac{5}{6}}}-\sqrt[3]{3^{-1}\cdot \sqrt[4]{\frac{1}{3}}}=0$ Xem  https://goo.gl/zAdRQt


Ví dụ 4. 
Chứng minh đẳng thức-bất đẳng thức  .


Lời giải .



Ví dụ 5. 
Tìm m thỏa mãn đẳng thức-bất đẳng thức  .


Lời giải .





Công cụ trực tuyến

a*

Xem  https://goo.gl/AXRN2v

b* Chọn a là hằng số , ví dụ a = 2

Xem  https://goo.gl/zVvVZ6

c* Chọn a là hằng số , ví dụ a = 2

Xem  https://goo.gl/syY9pn

d* Chọn a là hằng số , ví dụ a = 2

Xem  https://goo.gl/mCQmt2






Ví dụ 6. 
Tìm tập xác định của hàm số mũ  .


Lời giải .




Ví dụ 7. 
Tìm tập xác định của hàm số mũ  .



Lời giải .

Ví dụ 8. 
Vẽ đồ thị hàm số  $y=2^x+x-6$ . Tìm giao điểm của đồ thị và trục hoành .



Nhận xét  $x = 2$

Ví dụ 9. 
Vẽ đồ thị hàm số  $(C1): y=7^{6-x}$ và $(C2): y=x+2 $ . Tìm nghiệm của phương trình $7^{6-x}=x+2$ .



Nhận xét  $x = 5$

Ví dụ 10. 
Tính đạo hàm của các hàm số sau



Lời giải





































































Trần hồng Cơ
Ngày 28/06/2016




 ------------------------------------------------------------------------------------------- 

 Love not the world, neither the things that are in the world. If any man love the world, the love of the Father is not in him. For all that is in the world, the lust of the flesh, and the lust of the eyes, and the pride of life, is not of the Father, but is of the world. 

1 John 2:15-16 KJV 

 Chớ yêu thế gian cùng những gì trong thế gian. Nếu ai yêu thế gian thì sự kính yêu Thượng Đế không ở trong người ấy. 

 I Giăng 2:15

Thứ Sáu, 10 tháng 6, 2016

GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN . Phần 14h . KHẢO SÁT HÀM SỐ - Điểm đặc biệt của hàm số.


GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN .

Phần 14h . KHẢO SÁT HÀM SỐ  - Điểm đặc biệt của hàm số .   

DANH MỤC CÔNG CỤ GIẢI TOÁN TRỰC TUYẾN  MATHEMATICA  WOLFRAM | ALPHA .

Giới thiệu .

Bạn đọc truy cập vào đường dẫn  http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen  để sử dụng các widgets giải toán trực tuyến W|A Mathematica theo chỉ mục trong danh sách dưới đây .

Những widgets này đã được tác giả sắp xếp theo từng môn học và cấp lớp theo ký hiệu như sau :

D : Đại số . Ví dụ  D8.1 widget dùng cho Đại số lớp 8 , mục 1 - Khai triển , rút gọn biểu thức đại số .
H : Hình học . Ví dụ  H12.3  widget dùng cho Hình học lớp 12 , mục 3 - Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian .
G : Giải tích . Ví dụ : G11.7  widget dùng cho Giải tích lớp 11 , mục 7 - Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
GI : Giải tích cao cấp I . Ví dụ GI.15  widget dùng cho Giải tích cao cấp I , mục 15 - Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GII : Giải tích cao cấp II .


++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++


 ĐẠI SỐ 8

D8.1  Khai triển , rút gọn biểu thức đại số
D8.2  Rút gọn phân thức
D8.3  Phân tích thừa số
D8.4  Nhân 2 đa thức
D8.5  Khai triển tích số ( có thể dùng để khai triển Newton )
D8.6  Phân tích thừa số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 10

D10.1 Giải phương trình nguyên Diophante
D10.2 Giải phương trình tuyệt đối
D10.3 Giải phương trình chứa tham số
D10.4  Giải phương trình đại số
D10.5  Giải phương trình từng bước
D10.6  Giải bất phương trình minh hoạ bằng đồ thị

D10.8  Tính giá trị biểu thức hàm số
D10.9  Giải bất phương trình đại số và minh hoạ bằng đồ thị
D10.10  Giải bất phương trình đại số - tìm miền nghiệm
D10.11  Giải phương trình đại số
D10.12  Giải phương trình vô tỷ
D10.13  Giải phương trình minh hoạ từng bước
D10.14  Giải phương trình dạng hàm ẩn
D10.15  Giải hệ thống phương trình tuyến tính , phi tuyến
D10.16  Giải hệ phương trình
D10.17  Vẽ miền nghiệm của bất phương trình đại số
D10.19  Tối ưu hoá hàm 2 biến với các ràng buộc
D10.20  Tìm giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành Ox , trục tung Oy

HÌNH HỌC 10

H10.1  Tính diện tích tam giác trong hệ toạ độ Oxy
H10.3  Khảo sát conic ( đường tròn , Ellipse , Parabola , Hyperbola )
H10.2  Tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng trong Oxy



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 11

D11.1 Thuật chia Euclide dùng cho số và đa thức  ( HORNER )
D11.2  Tính tổng nghịch đảo của n số tự nhiên




D11.6  Khai triển nhị thức Newton


GIẢI TÍCH 11


G11.1  Tính gíá trị một chuỗi số  theo n
G11.2  Đa thức truy hồi
G11.3  Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số
G11.4  Tính giới hạn của chuỗi số khi  $n \rightarrow  \infty$
G11.5  Tìm hàm số ngược của hàm số cho trước
G11.6  Tìm đạo hàm của hàm số hợp - giải thích
G11.7   Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
G11.8   Tìm giới hạn của hàm số
G11.9   Tìm giới hạn của hàm số
G11.10  Tính đạo hàm hàm số có dạng U/V
G11.11  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước
G11.12  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước

G11+12.1   Tính đạo hàm ,tích phân , giới hạn , vẽ đồ thị


LƯỢNG GIÁC 11

L11.1   Giải phương trình lượng giác
L11.2   Giải phương trình lượng giác trên một đoạn
L11.3   Tìm chu kỳ của hàm số tuần hoàn
L11.4   Khai triển công thức lượng giác



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 12

D12.1   Cấu trúc của số phức
D12.1   Giải phương trình mũ
D12.3   Giải  phương trình chứa tham số
D12.4   Giải  phương trình  bất kỳ  ( Bậc 2 , 3 , ... , mũ  , log , căn thức )
D12.5   Giải phương trình mũ



GIẢI TÍCH 12


G12.1  Vẽ đồ thị biểu diễn phương trình
G12.2    Khảo sát hàm số hữu tỷ
G12.3   Vẽ đồ thị trong toạ độ cực (Polar)
G12.4    Tìm cực trị của hàm số
G12.5    Vẽ đồ thị hàm số 2D
G12.6   Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số
G12.7    Vẽ nhiều hàm số - Basic plot. To plot two or more functions, enter {f1(x), f2(x),...}
G12.8    Tìm điểm uốn của hàm số cho trước
G12.9    Tìm nghiệm của các phương trình  y = 0 , y ' = 0 ,  y " = 0
G12.10    Tính tích phân bất định
G12.11    Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.12   Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.13   Tìm đường tiệm cận của hàm số
G12.14   Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.15  Tìm giao điểm của hàm số đa thức và trục hoành Ox - Vẽ đồ thị .
G12.16    Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi (C1) , (C2)
G12.17    Vẽ đồ thị hàm số ( có đường tiệm cận )
G12.18   Vẽ đồ thị 2D , 3D
G12.19   Tìm hoành độ giao điểm giữa 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.20    Vẽ đường cong tham số 3D
G12.21    Tính diện tich mặt tròn xoay
G12.22    Tích thể tích vật tròn xoay  (C) , trục  Ox , x =a , x= b
G12.23    Thể tích vật tròn xoay
G12.24    Tích thể tích vật tròn xoay (C1) , (C2) , trục OX , x = a , x = b
G12.25    Khảo sát hàm số đơn giản
G12.26    Tìm cực trị của hàm số
G12.27    Tìm nguyên hàm của hàm số
G12.28    Tính tích phân xác định


HÌNH HỌC 12


H12.1  Tính khoảng cách 2 điểm trong 2D , 3D
H12.2   Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm trong không gian
H12.3  Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian
H12.4   Tìm công thức thể tích , diện tích hình không gian
H12.5   Vẽ đồ thị 2D , mặt 3D
H12.6    Tích có hướng 2 vector



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

GIẢI TÍCH CAO CẤP

GI.1    Vẽ đồ thị , mặt 3D
GI.2   Vẽ đồ thị , mặt  3D
GI.3    Tích phân 2 lớp
GI.5    Tích phân kép
GI.6    Tích phân bội 3
GI.7    Tích phân bội 3
GI.8    Tích phân suy rộng
GI.9    Chuỗi và dãy số
GI.10    Các bài toán cơ bản trong vi  tích phân
GI.11     Vẽ hàm từng khúc ( piecewise ) - dùng để xét tính liên tục của hàm số
GI.12    Tính đạo hàm và tích phân một hàm số cho trước
GI.13     Vẽ đồ thị hàm số trong hệ toạ độ cực
GI.14     Tính đạo hàm riêng
GI.15    Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GI.16    Tính tổng chuỗi số  n = 1...$\infty$
GI.17     Vẽ  đồ thị  3 hàm số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Bài viết sau đây mô tả các khái niệm toán học và hướng dẫn tính toán chi tiết bằng công cụ trực tuyến , bạn đọc có thể tham khảo những nội dung chính yếu được đề cập đến trong giáo trình toán phổ thông  cùng với các ví dụ minh họa  .

Một số website hữu ích phục vụ cho việc giảng dạy và học tập môn toán :

http://quickmath.com/
http://analyzemath.com/
http://www.intmath.com/
http://www.mathportal.org
https://www.mathway.com/
https://www.symbolab.com/
http://www.graphsketch.com/
http://www.meta-calculator.com/online/?home
http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen
https://www.geekandnerd.org/edu-courses/

14.  KHẢO SÁT HÀM SỐ  - Điểm đặc biệt .

14.11  Điểm đặc biệt của hàm số .

14.11.1 Tìm điểm uốn của hàm số $y=f(x)$  .
a. Quy tắc chung .

*Hàm số có điểm uốn tại $x=x_{0} \Leftrightarrow $
+ Đạo hàm cấp 2 :  $y''(x_{0})=0 $
+ Đạo hàm cấp 2 $y''(x)$ đổi dấu khi đi qua $x_{0}$

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm điểm uốn của hàm số $y=(x^2+x+5)/(x^2+x+1)$

Lời giải

*Dùng widget  G12.I.1 TIM DIEM UON CUA HAM SO    https://goo.gl/FxdxU9


Điểm uốn : $M_1(-1,5);M_2(0,5)$


Ví dụ 2. 
Tìm điểm uốn của hàm số $y=(x^2-1)^2-5$

Lời giải


Điểm uốn : $M_1(-1/ \sqrt{3},-41/9);M_2(1/ \sqrt{3},-41/9)$


14.11.2 Tìm tập hợp điểm uốn của hàm số $y=f(x)$  .
a. Quy tắc chung .

*Hàm số có điểm uốn tại $x=x_{0} \Leftrightarrow $
+ Đạo hàm cấp 2 :  $y''(x_{0})=0 $
+ Đạo hàm cấp 2 $y'(x)$ đổi dấu khi đi qua $x_{0}$

Giải phương trình y''=0, tìm nghiệm m(x)
Khử m giữa y,x bằng cách thay m(x) vào y=f(x)

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm tập hợp điểm uốn của hàm số $y=x^3-3*(m-1)*x^2+2mx-1$

Lời giải .

*Dùng  widget  G12.I.1 TIM TAP HOP DIEM UON (bt9.1)    https://goo.gl/1MqUct


Xem  https://goo.gl/1zF5hf
*Dùng  widget  G12.I.1 TIM TAP HOP DIEM UON (bt9.2)    https://goo.gl/Ac34Cw


Tập hợp điểm uốn của hàm số là hàm bậc 3 : $y=-2x^3+2x^2+2x-1$
Xem  https://goo.gl/mfkmGf

14.11.3 Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số $y=f(x)$  .
a. Quy tắc chung .

*Hàm số có điểm cố định tại $M(x_0,y_0)  \Leftrightarrow  y_0=f(x_0,m) $ thỏa với mọi m

Xét  (Cm) : y = f(x,m) ;
Rút m làm thừa số chung .
Chuyển về dạng mA+B=0
Giải hệ A=0 ,B=0  tìm được điểm cố định

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số $y=x^3-mx^2+(m+1)x-1$

Lời giải .

Xét  (Cm) :$ y = x^3-mx^2+(m+1)x-1$ .
Rút m làm thừa số chung .
Chuyển về dạng mA+B=0 :  $m(x^2-x) + y +1 -x^3-x =0$
Giải hệ A=0 ,B=0 : $x^2-x =0 ;  y +1 -x^3-x =0$
Thu được  $x=0,y=-1$ ;  $x=1,y=1$
Vậy hàm số có 2 điểm cố định $M_1(0,-1);M_2(1,1)$

*Dùng  widget  G12.I.1 DIEM CO DINH CUA (Cm) (bt8.1)    https://goo.gl/t78vJU


*Dùng  widget  G12.I.1 DIEM CO DINH CUA (Cm) (bt8.2)    https://goo.gl/jGrK59


Vậy hàm số có 2 điểm cố định $M_1(0,-1);M_2(1,1)$
Tuy nhiên một số trường hợp điểm cố định của đồ thị hàm số chỉ tồn tại khi thỏa mãn các điều kiện của tham số . Hãy xét ví dụ sau đây :

Ví dụ 2. 
Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số $y=(x^2-mx+m-1)/(x+2m)$

Lời giải .
Tìm điều kiện tồn tại hàm số hữu tỷ ( phần dư Horner  hoặc trong khai triển Laurent phải khác 0 )

*Dùng  widget  G12.I.1 TIM PHAN DU CUA HAM SO HUU TY     https://goo.gl/hjWp3G


Giải điều kiện  $6m^2+m-1 \neq 0  \Leftrightarrow  m \neq -1/2 ;m \neq 1/3$
Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số $y=(x^2-mx+m-1)/(x+2m)$
*Dùng  widget  G12.I.1 DIEM CO DINH CUA (Cm) (bt8.1)    https://goo.gl/t78vJU


Xem  https://goo.gl/yB6TLE
*Dùng  widget  G12.I.1 DIEM CO DINH CUA (Cm) (bt8.2)    https://goo.gl/jGrK59



Vậy hàm số có 2 điểm cố định $M_1(1,0);M_2(-2/3,5/6)$
Điều kiện là $m \neq -1/2 ;m \neq 1/3$.
Xem  https://goo.gl/By5qb3


14.11.4 Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y=f(x)$  .
a. Quy tắc chung .

*Đối với hàm số bậc 3  $(C) : y = f(x) = ax^3+bx^2+cx+d,a \neq 0$
TÂM ĐỐI XỨNG = ĐIỂM UỐN
Tìm điểm uốn của hàm số
Áp dụng  widget  G12.I.1 TAM DOI XUNG CUA DO THI (bt10.1)     https://goo.gl/Zv1wg7
Áp dụng  widget  G12.I.1 BIEN DOI DO THI Y+y0=f(X+x0) (bt11.1)     https://goo.gl/Vwg1F2
Đây là phép tịnh tiến với  $x0,y0$ là tọa độ điểm uốn
Áp dụng  widget  G12.I.1 BIEN DOI DO THI Y+y0=f(X+x0) (bt11.2)     https://goo.gl/1oHeCu
Ta chứng minh hàm số mới  Y = F(X)  là hàm số lẻ ( đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O )

*Đối với hàm số hữu tỷ  $(C) : y = f(x) = (ax^2+bx^2+c)/(dx+f)$
TÂM ĐỐI XỨNG = GIAO ĐIỂM TIỆM CẬN ĐỨNG , TIỆM CẬN XIÊN
*Đối với hàm số nhất biến  $(C) : y = f(x) = (ax+b)/(cx+d)$
TÂM ĐỐI XỨNG = GIAO ĐIỂM TIỆM CẬN ĐỨNG , TIỆM CẬN NGANG

Tìm giao điểm của các tiệm cận tương ứng
Áp dụng  widget  G12.I.1 TAM DOI XUNG CUA DO THI (bt10.2)     https://goo.gl/h1cePT
Áp dụng  widget  G12.I.1 BIEN DOI DO THI Y+y0=f(X+x0) (bt11.1)     https://goo.gl/Vwg1F2
Đây là phép tịnh tiến với  $x0,y0$ là tọa độ điểm uốn
Áp dụng  widget  G12.I.1 BIEN DOI DO THI Y+y0=f(X+x0) (bt11.2)     https://goo.gl/1oHeCu
Ta chứng minh hàm số mới  Y = F(X)  là hàm số lẻ ( đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O )


b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+2$

Lời giải .
*Dùng  widget  G12.I.1 TAM DOI XUNG CUA DO THI (bt10.1)     https://goo.gl/Zv1wg7


Tâm đối xứng $I(1,0)$
Phép tịnh tiến tâm $I(1,0)$
*Dùng  widget  G12.I.1 BIEN DOI DO THI Y+y0=f(X+x0) (bt11.1)    https://goo.gl/Vwg1F2


Xem  https://goo.gl/WFeJiV
Chứng minh hàm số mới $y=x^3-3x$  là lẻ .
*Dùng widget  G12.I.1 BIEN DOI DO THI Y+y0=f(X+x0) (bt11.2)     https://goo.gl/1oHeCu



Hàm số sau khi biến đổi  $(C1') : y=x^3 -3 x$  là hàm lẻ , Đồ thị màu tím (violet) đối xứng qua gốc tọa độ O . Xem  https://goo.gl/yQm9TQ

Ví dụ 2. 
Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y=(x^2+x+1)/(x-1)$

Lời giải .
*Dùng  widget  G12.I.1 TAM DOI XUNG CUA DO THI (bt10.2)    https://goo.gl/h1cePT


Tâm đối xứng là $I(1,3)$
Phép tịnh tiến tâm $I(1,3)$
*Dùng  widget  G12.I.1 BIEN DOI DO THI Y+y0=f(X+x0) (bt11.1)    https://goo.gl/Vwg1F2


Xem  https://goo.gl/rKtxaC
Chứng minh hàm số mới  $y=x+3/x$ là lẻ .
*Dùng widget  G12.I.1 BIEN DOI DO THI Y+y0=f(X+x0) (bt11.2)     https://goo.gl/1oHeCu


Hàm số sau khi biến đổi  $(C1') : y=x+3/x$  là hàm lẻ , Đồ thị màu tím (violet) đối xứng qua gốc tọa độ O . Xem  https://goo.gl/iVjjTf


Ví dụ 3. 
Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y=(2x+1)/(x-1)$

Lời giải .
*Dùng  widget  G12.I.1 TAM DOI XUNG CUA DO THI (bt10.2)    https://goo.gl/h1cePT


Tâm đối xứng là $I(1,2)$
Phép tịnh tiến tâm $I(1,2)$
*Dùng  widget  G12.I.1 BIEN DOI DO THI Y+y0=f(X+x0) (bt11.1)    https://goo.gl/Vwg1F2


Xem  https://goo.gl/gk12PM
Chứng minh hàm số mới  $y=3/x$ là lẻ .
*Dùng widget  G12.I.1 BIEN DOI DO THI Y+y0=f(X+x0) (bt11.2)     https://goo.gl/1oHeCu


Hàm số sau khi biến đổi  $(C1') : y=3/x$  là hàm lẻ , Đồ thị màu tím (violet) đối xứng qua gốc tọa độ O . Xem  https://goo.gl/mCWv8c


14.11.5 Tìm điểm M trên đồ thị hàm số  $y=f(x)$  (C) cách đều Ox,Oy .
a. Quy tắc chung .

*Tìm tập xác định của hàm số $y=f(x) : (C) $
Giải hệ phương trình  ${y(C),y=x (PG1)} , {y(C),y=-x (PG2)}$

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm các điểm M trên đồ thị hàm số $y=x^3-5x^2+5x : (C)$ cách đều 2 trục tọa độ .

Lời giải .
*Dùng  widget  G12.I.1 TIM M : (C) CACH DEU Ox,Oy (bt22)     https://goo.gl/Q5LtvP
 Giải hệ ${y(C),y=x (PG1)}$


Giải hệ  ${y(C),y=-x (PG2)}$


Các điểm $M(0,0);M(1,1);M(4,4);M(2,-2);M(3,-3)$ thỏa mãn điều kiện của bài toán .


14.11.6 Tìm điểm M trên đồ thị hàm số  $y=f(x)$  (C) cách đều 2 đường tiệm cận .
a. Quy tắc chung .

*Tìm tập xác định của hàm số $y=P(x)/Q(x) : (C) $ [1]
Tìm phương trình đường tiệm cận đứng $P(x)=0 \Leftrightarrow x = x_0$ hay $x-x_0=0$
Tìm phương trình đường tiệm cận nagng $lim_{x-> \infty} P(x)/Q(x) = y_0 \Leftrightarrow y = y_0$ hay $y-y_0=0$
 Khoảng cách  $d[M,(TCD)]=d[M,(TCN)]$ [2]
Giải hệ [1],[2]

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm các điểm M trên đồ thị hàm số $y=(2x-1)/(x-1) : (C)$ cách đều 2 đương 2 tiêm cận .

Lời giải .
*Dùng  widget  G12.I.1 TIM M : (C) CACH DEU 2 T/CAN (bt23)     https://goo.gl/pnQPyk


Các điểm $M(0,1);M(2,3)$ thỏa mãn điều kiện của bài toán .
Xem  https://goo.gl/NfVmGA


14.11.7 Tìm điểm M trên đồ thị hàm số  $y=f(x)$  (C) khoảng cách từ M đến Oy gấp k lần khoảng cách từ M đến Ox .
a. Quy tắc chung .

*Tìm tập xác định của hàm số $y=f(x) : (C) $
 $d[M,Oy]=kd[M,Ox]$
Giải hệ phương trình  ${y(C),x=ky (th1)} , {y(C),x=-ky (th2)}$

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm các điểm M trên đồ thị hàm số $y=x^3-5x^2+5x : (C)$  thỏa  $d[M,Oy]=1/5. d[M,Ox]$ .

Lời giải .
*Dùng  widget  G12.I.1 TIM M : (C) d[M,Oy]=kd[M,Ox] (bt24)     https://goo.gl/FQUGtp
 Giải hệ ${y(C),x=ky (th1)};k>0$



Giải hệ ${y(C),x=-ky (th2)};k<0$


Các điểm $M(0,0);M(5,25)$ thỏa mãn điều kiện của bài toán .
Xem  https://goo.gl/xuwqFp

Ví dụ 2. 
Tìm các điểm M trên đồ thị hàm số $y=(x-1)/(x-2) : (C)$  thỏa  $d[M,Oy]=2 . d[M,Ox]$ .

Lời giải .
*Dùng  widget  G12.I.1 TIM M : (C) d[M,Oy]=kd[M,Ox] (bt24)     https://goo.gl/FQUGtp
 Giải hệ ${y(C),x=ky (th1)};k>0$


Giải hệ ${y(C),x=-ky (th2)};k<0$


Các điểm thỏa mãn điều kiện của bài toán .

$x = -\sqrt{2} ≈ -1.41421 ; y = (1 + \sqrt{2})/(2 + \sqrt{2}) ≈ 0.707107$
$x = \sqrt{2} ≈ 1.41421 ; y = (\sqrt{2} - 1)/(\sqrt{2} - 2) ≈ -0.707107$
$x = 2 - \sqrt{2} ≈ 0.585786 ; y =( -1 + \sqrt{2})/ \sqrt{2} ≈ 0.292893$
$x = 2 + \sqrt{2} ≈ 3.41421 ; y = (1 + \sqrt{2})/ \sqrt{2} ≈ 1.70711$


14.11.8 Tìm điểm M trên đồ thị hàm số  $y=f(x)$  (C) khoảng cách từ M đến TCĐ gấp k lần khoảng cách từ M đến TCN .
a. Quy tắc chung .

*Tìm tập xác định của hàm số $y=f(x) : (C) $
Tìm phương trình các đường tiệm cận đứng và ngang .
 $d[M,TCD]=kd[M,TCN]$
Giải hệ phương trình  ${y(C),d[M,TCD]=kd[M,TCN]}$

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm các điểm M trên đồ thị hàm số $y=(2x-1)/(x-1) : (C)$  thỏa  $d[M,TCD]=1/4. d[M,TCN]$ .

Lời giải .
*Dùng  widget  G12.I.1 TIM M : (C) d[M,TCD]=kd[M,TCN] (bt25)     https://goo.gl/6VF6PS


Các điểm thỏa mãn điều kiện của bài toán .
$M(1/2;0) ; M(3/2;4)$
Xem  https://goo.gl/ybJmRH

Ví dụ 2. 
Tìm các điểm M trên đồ thị hàm số $y=(3 x + 2)/(x + 1) : (C)$  thỏa  $d[M,TCD]=4. d[M,TCN]$ .

Lời giải .
*Dùng  widget  G12.I.1 TIM M : (C) d[M,TCD]=kd[M,TCN] (bt25)     https://goo.gl/6VF6PS

Các điểm thỏa mãn điều kiện của bài toán .
$M(-3;7/2) ; M(1;5/2)$
Xem  https://goo.gl/utcKGh


14.11.9 Tìm điểm M trên đồ thị hàm số  $y=f(x)$ có tọa độ là số nguyên .
a. Quy tắc chung .

*Tìm tập xác định của hàm số $y=f(x) : (C) $
Dùng thuật chia Horner tìm biểu thức của hàm sô .
Lưu ý :
TỬ / MẪU = THƯƠNG + DƯ / MẪU ; dk : DƯ chia hết cho MẪU


b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm các điểm M trên đồ thị hàm số $y=(x-5)/(x+1) : (C)$  có tọa độ là số nguyên .

Lời giải .
*Dùng  widget  G12.I.1 TIM M : (C) CO TOA DO NGUYEN (bt26)     https://goo.gl/QVqE2L


Các điểm thỏa mãn điều kiện của bài toán .
$M(0;-5) ; M(1;-2);M(2;-1);M(5;0);M(-7;2);M(-4;3);M(-3;4);M(-2;7)$



14.11.10 Tìm điểm M trên đồ thị hàm số  $y=P(x)/Q(x)$  sao cho { d[M,TCĐ]+d[M,TCB] }min .

a. Quy tắc chung .
Cho hàm số  $y=P(x) / Q(x)  : (C) $  có TCĐ $x-x0=0$ , TCN  $y-y0=0$
*Tìm tập xác định của hàm số $y=P(x) / Q(x)  : (C) $
Dùng thuật chia Horner tìm biểu thức của hàm sô .
Lưu ý : Thay biểu thức hàm số  TỬ / MẪU = THƯƠNG + DƯ / MẪU ;
Tính tổng khoảng cách {d[M,TCD]+d[M,TCN]}
Áp dụng BDT Cauchy

b. Các ví dụ .

Ví dụ 1. 
Tìm điểm M trên đồ thị hàm số $y=(x+2)/(x+1) : (C)$   sao cho {d[M,TCD]+d[M,TCN]} đạt min .

Lời giải .

*Dùng  widget  G12.I.1 M/{d[M,TCD]+d[M,TCN]}min (bt27)     https://goo.gl/PmdqEJ

Các điểm thỏa mãn điều kiện của bài toán .
$M(0;2) ;M(-2;0)$


14.11.11 Tìm 2 điểm M,N trên đồ thị hàm số  $y=P(x)/Q(x)$  sao cho MNmin .
a. Quy tắc chung .

Cho $(C): y = P(x) / Q(x)$ , tìm M,N trên 2 nhánh (C) : MN min
*Tìm tập xác định của hàm số $y=P(x) / Q(x)  : (C) $
Dùng thuật chia Horner tìm biểu thức của hàm sô .
Lưu ý :
TỬ / MẪU = THƯƠNG + DƯ / MẪU ; dk : DƯ chia hết cho MẪU
M trên nhánh TRÁI (C), N trên nhánh PHẢI (C)
$xM=xTCD- \alpha , xN= xTCD+ \beta ; \alpha , \beta > 0$
Tìm MN , áp dụng bất đẳng thức Cauchy 2 lần , tìm được MNmin và $\alpha$
Từ trị số của $\alpha$ ta có tọa độ diểm M,N .

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm 2 điểm M,N trên đồ thị hàm số $y=(x+2)/(x+1) : (C)$  (HSNB) sao cho MNmin.

Lời giải .


*Tìm M trên nhánh TRÁI (C)


*Tìm N trên nhánh PHẢI (C)


*Dùng  widget  G12.I.1 M,N:2 NHANH(C)/{MN}min(bt28.2)    https://goo.gl/q8BLmb
Nhập tung độ yM và yN vừa tìm được vào


Xem  https://goo.gl/R74zeZ
Vậy $\alpha=\beta=1 ;M(-2,0);N(0;2)$


Ví dụ 2. 
Tìm 2 điểm M,N  trên đồ thị hàm số $y=(x^2+x+1)/(x+1) : (C)$  (HSHT) sao cho MNmin. .

Lời giải .


*Tìm M trên nhánh TRÁI (C)


*Tìm N trên nhánh PHẢI (C)


*Dùng  widget  G12.I.1 M,N:2 NHANH(C)/{MN}min(bt28.4)    https://goo.gl/sSXwcq
Nhập tung độ yM và yN vừa tìm được vào , thay $\alpha = \beta$


Xem  https://goo.gl/PEL6XM
Vậy $\alpha=\beta = 1/2^{1/4}  ;M(-1/2^{1/4} - 1,-1 - 1/2^{1/4} - 2^{1/4});N(1/2^{1/4} - 1; -1 + 1/2^{1/4} + 2^{1/4})$

Hay   $\alpha=\beta = 1/2^{1/4} =1/\sqrt[4]{2}$
$M( -1 - 1/\sqrt[4]{2}  ; -1 - 1/\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{2} )$
$N( -1 + 1/\sqrt[4]{2} ; -1 + 1/\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{2})$



14.11.12 Tìm điểm M trên trục hoành ( tung ) từ đó kẻ được một số tiếp tuyến với đồ thị hàm số  $y=f(x)$  .
a. Quy tắc chung .

Điềm $M\in Oy\Leftrightarrow M(0,m)$ ; $M\in Ox\Leftrightarrow M(m,0)$
*Tìm tập xác định của hàm số $y= f(x) : (C) $
Phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm M
$+M(0,m) \in Oy : y-m=k(x-0) \Leftrightarrow y = kx + m (T)$
$++M(m,0) \in Ox : y-0=k(x-m) \Leftrightarrow y = kx - km (T)$

*Dùng diều kiện tiếp xúc
$\left\{\begin{matrix}
y(C)=y(T) [1] \\ y'(C)=y'(T)[2]
\end{matrix}\right.$

*Thế [2] vào [1] , đưa về phương trình bậc 2 (hoặc 3) theo x , m [3] .

LƯU Ý :
Nếu [3] là phương trình bậc 2 :
Điều kiện $a \neq 0 ; \Delta = b^2-4ac$

0 tiếp tuyến : $a \neq 0;\Delta = b^2-4ac<0$ hoặc $a = 0 ; b = 0 ; c \neq 0$
1 tiếp tuyến : $a \neq 0;\Delta = b^2-4ac=0$ hoặc $a = 0 ; b \neq 0$
2 tiếp tuyến : $a \neq 0;\Delta = b^2-4ac>0$

Nếu [3] là phương trình bậc 3 :
 Đưa [3] về dạng $g(x)=h(m)$ .
Áp dung khảo sát hàm số $g(x)$ cho $h(m)$ di động , tìm trị số m .


b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm  điểm M trên Oy có thể vẽ được 2 tiếp tuyến với  đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+2 : (C)$

Lời giải

Phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm M
$+M(0,m) \in Oy : y-m=k(x-0) \Leftrightarrow y = kx + m (T)$
Dùng diều kiện tiếp xúc
$\left\{\begin{matrix}
y(C)=y(T) [1] \\ y'(C)=y'(T)[2]
\end{matrix}\right.$

Hay
$\left\{\begin{matrix}
x^3-3x^2+2= kx + m  [1] \\ 3x^2-6x=k[2]
\end{matrix}\right.$

Thế [2] vào [1] , đưa về phương trình bậc 2 (hoặc 3) theo x , m [3] .
Xem  https://goo.gl/eivGpb
Thu được  $m=-2 x^3 + 3 x^2 + 2$ [3]
Vẽ đồ thị hàm số $y=-2 x^3 + 3 x^2 + 2$ , cho m di động . Để [3] có 2 nghiệm thì $m=2;m=3$
Xem  https://goo.gl/H7ER8E



Điểm $M(0,2);M(0,3)$ thỏa mãn điều kiện bài toán .






Trần hồng Cơ
Ngày 08/06/2016




 ------------------------------------------------------------------------------------------- 

 Love not the world, neither the things that are in the world. If any man love the world, the love of the Father is not in him. For all that is in the world, the lust of the flesh, and the lust of the eyes, and the pride of life, is not of the Father, but is of the world. 

1 John 2:15-16 KJV 

 Chớ yêu thế gian cùng những gì trong thế gian. Nếu ai yêu thế gian thì sự kính yêu Thượng Đế không ở trong người ấy. 

 I Giăng 2:15

*******

Blog Toán Cơ trích đăng các thông tin khoa học tự nhiên của tác giả và nhiều nguồn tham khảo trên Internet .
Blog cũng là nơi chia sẻ các suy nghĩ , ý tưởng về nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau .


Chia xẻ

Bài viết được xem nhiều trong tuần

CÁC BÀI VIẾT MỚI VỀ CHỦ ĐỀ TOÁN HỌC

Danh sách Blog

Thông tin hàng ngày.

Giới thiệu bản thân

Ảnh của Tôi


Các chuyên đề ứng dụng .

1. Phương trình vi phân  
2. Toán đơn giản - College Algebra 
3. Toán thực hành - Practical Mathematics 
4. Vật lý tổng quan ( đang viết )
5. Phương trình tích phân 
( đang chuẩn bị ) 

Gặp Cơ tại Researchgate.net

Co Tran