Wikipedia

Kết quả tìm kiếm

Giải toán trực tuyến W | A




Vẽ đồ thị trong Oxyz plot3D(f(x,y),x=..,y=..)
Vẽ đồ thị trong Oxy plot(f(x),x=..,y=..)
Đạo hàm derivative(f(x))
Tích phân Integrate(f(x))


Giải toán trực tuyến W|A

Hiển thị các bài đăng có nhãn my works. Hiển thị tất cả bài đăng
Hiển thị các bài đăng có nhãn my works. Hiển thị tất cả bài đăng

Thứ Năm, 12 tháng 5, 2016

GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN . Phần 14f . KHẢO SÁT HÀM SỐ - Vị trí tương đối của các cực trị .



GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN .

Phần 14f . KHẢO SÁT HÀM SỐ  - Vị trí tương đối của các cực trị .   


DANH MỤC CÔNG CỤ GIẢI TOÁN TRỰC TUYẾN  MATHEMATICA  WOLFRAM | ALPHA .

Giới thiệu .

Bạn đọc truy cập vào đường dẫn  http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen  để sử dụng các widgets giải toán trực tuyến W|A Mathematica theo chỉ mục trong danh sách dưới đây .

Những widgets này đã được tác giả sắp xếp theo từng môn học và cấp lớp theo ký hiệu như sau :

D : Đại số . Ví dụ  D8.1 widget dùng cho Đại số lớp 8 , mục 1 - Khai triển , rút gọn biểu thức đại số .
H : Hình học . Ví dụ  H12.3  widget dùng cho Hình học lớp 12 , mục 3 - Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian .
G : Giải tích . Ví dụ : G11.7  widget dùng cho Giải tích lớp 11 , mục 7 - Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
GI : Giải tích cao cấp I . Ví dụ GI.15  widget dùng cho Giải tích cao cấp I , mục 15 - Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GII : Giải tích cao cấp II .


++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++


 ĐẠI SỐ 8

D8.1  Khai triển , rút gọn biểu thức đại số
D8.2  Rút gọn phân thức
D8.3  Phân tích thừa số
D8.4  Nhân 2 đa thức
D8.5  Khai triển tích số ( có thể dùng để khai triển Newton )
D8.6  Phân tích thừa số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 10

D10.1 Giải phương trình nguyên Diophante
D10.2 Giải phương trình tuyệt đối
D10.3 Giải phương trình chứa tham số
D10.4  Giải phương trình đại số
D10.5  Giải phương trình từng bước
D10.6  Giải bất phương trình minh hoạ bằng đồ thị

D10.8  Tính giá trị biểu thức hàm số
D10.9  Giải bất phương trình đại số và minh hoạ bằng đồ thị
D10.10  Giải bất phương trình đại số - tìm miền nghiệm
D10.11  Giải phương trình đại số
D10.12  Giải phương trình vô tỷ
D10.13  Giải phương trình minh hoạ từng bước
D10.14  Giải phương trình dạng hàm ẩn
D10.15  Giải hệ thống phương trình tuyến tính , phi tuyến
D10.16  Giải hệ phương trình
D10.17  Vẽ miền nghiệm của bất phương trình đại số
D10.19  Tối ưu hoá hàm 2 biến với các ràng buộc
D10.20  Tìm giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành Ox , trục tung Oy

HÌNH HỌC 10

H10.1  Tính diện tích tam giác trong hệ toạ độ Oxy
H10.3  Khảo sát conic ( đường tròn , Ellipse , Parabola , Hyperbola )
H10.2  Tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng trong Oxy



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 11

D11.1 Thuật chia Euclide dùng cho số và đa thức  ( HORNER )
D11.2  Tính tổng nghịch đảo của n số tự nhiên




D11.6  Khai triển nhị thức Newton


GIẢI TÍCH 11


G11.1  Tính gíá trị một chuỗi số  theo n
G11.2  Đa thức truy hồi
G11.3  Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số
G11.4  Tính giới hạn của chuỗi số khi  $n \rightarrow  \infty$
G11.5  Tìm hàm số ngược của hàm số cho trước
G11.6  Tìm đạo hàm của hàm số hợp - giải thích
G11.7   Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
G11.8   Tìm giới hạn của hàm số
G11.9   Tìm giới hạn của hàm số
G11.10  Tính đạo hàm hàm số có dạng U/V
G11.11  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước
G11.12  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước

G11+12.1   Tính đạo hàm ,tích phân , giới hạn , vẽ đồ thị


LƯỢNG GIÁC 11

L11.1   Giải phương trình lượng giác
L11.2   Giải phương trình lượng giác trên một đoạn
L11.3   Tìm chu kỳ của hàm số tuần hoàn
L11.4   Khai triển công thức lượng giác



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 12

D12.1   Cấu trúc của số phức
D12.1   Giải phương trình mũ
D12.3   Giải  phương trình chứa tham số
D12.4   Giải  phương trình  bất kỳ  ( Bậc 2 , 3 , ... , mũ  , log , căn thức )
D12.5   Giải phương trình mũ



GIẢI TÍCH 12


G12.1  Vẽ đồ thị biểu diễn phương trình
G12.2    Khảo sát hàm số hữu tỷ
G12.3   Vẽ đồ thị trong toạ độ cực (Polar)
G12.4    Tìm cực trị của hàm số
G12.5    Vẽ đồ thị hàm số 2D
G12.6   Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số
G12.7    Vẽ nhiều hàm số - Basic plot. To plot two or more functions, enter {f1(x), f2(x),...}
G12.8    Tìm điểm uốn của hàm số cho trước
G12.9    Tìm nghiệm của các phương trình  y = 0 , y ' = 0 ,  y " = 0
G12.10    Tính tích phân bất định
G12.11    Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.12   Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.13   Tìm đường tiệm cận của hàm số
G12.14   Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.15  Tìm giao điểm của hàm số đa thức và trục hoành Ox - Vẽ đồ thị .
G12.16    Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi (C1) , (C2)
G12.17    Vẽ đồ thị hàm số ( có đường tiệm cận )
G12.18   Vẽ đồ thị 2D , 3D
G12.19   Tìm hoành độ giao điểm giữa 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.20    Vẽ đường cong tham số 3D
G12.21    Tính diện tich mặt tròn xoay
G12.22    Tích thể tích vật tròn xoay  (C) , trục  Ox , x =a , x= b
G12.23    Thể tích vật tròn xoay
G12.24    Tích thể tích vật tròn xoay (C1) , (C2) , trục OX , x = a , x = b
G12.25    Khảo sát hàm số đơn giản
G12.26    Tìm cực trị của hàm số
G12.27    Tìm nguyên hàm của hàm số
G12.28    Tính tích phân xác định


HÌNH HỌC 12


H12.1  Tính khoảng cách 2 điểm trong 2D , 3D
H12.2   Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm trong không gian
H12.3  Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian
H12.4   Tìm công thức thể tích , diện tích hình không gian
H12.5   Vẽ đồ thị 2D , mặt 3D
H12.6    Tích có hướng 2 vector



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

GIẢI TÍCH CAO CẤP

GI.1    Vẽ đồ thị , mặt 3D
GI.2   Vẽ đồ thị , mặt  3D
GI.3    Tích phân 2 lớp
GI.5    Tích phân kép
GI.6    Tích phân bội 3
GI.7    Tích phân bội 3
GI.8    Tích phân suy rộng
GI.9    Chuỗi và dãy số
GI.10    Các bài toán cơ bản trong vi  tích phân
GI.11     Vẽ hàm từng khúc ( piecewise ) - dùng để xét tính liên tục của hàm số
GI.12    Tính đạo hàm và tích phân một hàm số cho trước
GI.13     Vẽ đồ thị hàm số trong hệ toạ độ cực
GI.14     Tính đạo hàm riêng
GI.15    Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GI.16    Tính tổng chuỗi số  n = 1...$\infty$
GI.17     Vẽ  đồ thị  3 hàm số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Bài viết sau đây mô tả các khái niệm toán học và hướng dẫn tính toán chi tiết bằng công cụ trực tuyến , bạn đọc có thể tham khảo những nội dung chính yếu được đề cập đến trong giáo trình toán phổ thông  cùng với các ví dụ minh họa  .

Một số website hữu ích phục vụ cho việc giảng dạy và học tập môn toán :

http://quickmath.com/
http://analyzemath.com/
http://www.intmath.com/
http://www.mathportal.org
https://www.mathway.com/
https://www.symbolab.com/
http://www.graphsketch.com/
http://www.meta-calculator.com/online/?home
http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen
https://www.geekandnerd.org/edu-courses/

14.  KHẢO SÁT HÀM SỐ  - Cực trị của hàm số .

14.9  Cực trị của hàm số .

14.9.4 Tìm điều kiện để hàm số $y=f(x)$ có 2 điểm cực trị nằm về 1 (hay 2)  phía trục Oy .
a. Quy tắc chung .
SO Oy , CHIẾU Ox
Thực hành
*Tính đạo hàm $y'(x)$ , xét phương trình $y'(x) = 0$ ,

-Nếu $y'(x) = 0$ là PTB3 ta biến đổi PTB3 = PTB2 x PTB1 .
Lấy nghiệm của PTB1 thế vào PTB2 =/= 0
Xét PTB2 , điều kiện có 2 cực trị : $a \neq 0; \Delta > 0$
Lập bảng xét dấu
Cộng thêm 1 vào những chỗ không bị gạch chéo .

-Nếu $y'(x) = 0$ là PTB2 , điều kiện có 2 cực trị : $a \neq 0; \Delta > 0$ [1]

*Lập bảng xét dấu

m
-∞

                             +∞
$\Delta $



Số cực trị 




*Vị trí 2 điểm cực trị và trục Oy [2]
2 điểm cực trị nằm 1 phía Oy : $x_1;x_2$ cùng dấu , $P_x=x_1.x_2>0$
2 điểm cực trị nằm 2 phía Oy : $x_1;x_2$  trái dấu , $P_x=x_1.x_2<0$

Giải [1],[2] lấy phần giao .

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm m để $y =x^3/3+(m-1)x^2+(m+1)x+2 $ có 2 điểm cực trị nằm 2 phía Oy

Đạo hàm $y'(x)=x^2+2(m-1)x+m+1$
Phương trình $y'(x) = 0 \Leftrightarrow x^2+2(m-1)x+m+1=0$ ,
Điều kiện có 2 cực trị : $a \neq 0; \Delta > 0$
hay $1 \neq 0; \Delta '= (m-1)^2-(m+1)> 0  \Leftrightarrow   m^2-3m>0$ [1]

2 điểm cực trị nằm 2 phía Oy : $x_1;x_2$  trái dấu , $P_x=x_1.x_2<0$
Hay $P_x=m+1<0$ [2]
Xét dấu [1],[2] ta có  $m < -1$

*Dùng widget  G12.I.1 TIM m / HS CO MOT SO CUC TRI (bt2.1)    https://goo.gl/WPPnW2
Tìm nghiệm của phương trình $y'(x) = 0 $


Xem  https://goo.gl/Ky9ehL
Nghiệm $x_{1,2} = \pm \sqrt(m^2 - 3 m) - m + 1$
Tính $P_x=x_1.x_2$
*Dùng widget  G12.I.1 TIM m / CUC TRI NAM 1,2 PHIA Oy (bt5)    https://goo.gl/1H3qSV


Xem  https://goo.gl/Ve88Xa

Ví dụ 2. 
Tìm m để $y =mx^3/3+(m+2)x^2+(m-1)x+2  $ có 2 điểm cực trị nằm 1 phía Oy

Đạo hàm $y'(x)=mx^2 + 2(m+2) x + m-1$
Phương trình $y'(x) = 0 \Leftrightarrow  mx^2 + 2(m+2) x + m-1=0$ ,
Điều kiện có 2 cực trị : $a \neq 0; \Delta > 0$
hay $m \neq 0; \Delta '= (m+2)^2-m(m-1)> 0  \Leftrightarrow  5m+4>0$ [1]

2 điểm cực trị nằm 1 phía Oy : $x_1;x_2$  cùng dấu , $P_x=x_1.x_2>0$
Hay $P_x=(m-1)/m>0$ [2]
Xét dấu [1],[2] ta có  $-4/5<m<0 , m>1$

https://goo.gl/VgYkTi

*Dùng widget  G12.I.1 TIM m / HS CO MOT SO CUC TRI (bt2.1)    https://goo.gl/WPPnW2
Tìm nghiệm của phương trình $y'(x) = 0 $


Nghiệm $x = ((-2 m - 4) \pm  \sqrt((2 m + 4)^2 - 4(m -1) m))/(2 m)$
Tính $P_x=x_1.x_2$
*Dùng widget  G12.I.1 TIM m / CUC TRI NAM 1,2 PHIA Oy (bt5)    https://goo.gl/1H3qSV


Kiểm tra lại :
Ta có  $-4/5<m<0 , m>1$


14.9.5 Tìm điều kiện để hàm số $y=f(x)$ có 2 điểm cực trị nằm về 1 (hay 2)  phía trục Ox .
a. Quy tắc chung .
SO Ox , CHIẾU Oy
Thực hành
*Tính đạo hàm $y'(x)$ , xét phương trình $y'(x) = 0$ ,

-Nếu $y'(x) = 0$ là PTB3 ta biến đổi PTB3 = PTB2 x PTB1 .
Lấy nghiệm của PTB1 thế vào PTB2 =/= 0
Xét PTB2 , điều kiện có 2 cực trị : $a \neq 0; \Delta > 0$
Lập bảng xét dấu
Cộng thêm 1 vào những chỗ không bị gạch chéo .

-Nếu $y'(x) = 0$ là PTB2 , điều kiện có 2 cực trị : $a \neq 0; \Delta > 0$[1]

*Lập bảng xét dấu

m
-∞

                             +∞
$\Delta $



Số cực trị 




*Giải phương trình $y'(x) = 0$ tìm nghiệm $x_1,x_2$
Nếu nghiệm này đơn giản , thế $x_1,x_2$  vào (C) tìm $y_1,y_2$
Nếu nghiệm này phức tạp , tìm phương trình đường cực trị $yDCT$ đi qua $y_1,y_2$
- Đối với HSB3 ta lấy  $y(x)/y'(x)=THUONG+DU/MAU$
Phương trình đường cực trị đi qua $y_1,y_2$ là $yDCT=DU$
- Đối với HSHT $y=P(x)/Q(x)$ ta lấy  $yDCT=P'(x)/Q'(x)$

*Vị trí 2 điểm cực trị và trục Ox[2]
2 điểm cực trị nằm 1 phía Ox : $y_1;y_2$ cùng dấu , $P_y=y_1.y_2>0$
2 điểm cực trị nằm 2 phía Oy : $y_1;y_2$  trái dấu , $P_y=x_1.x_2<0$

Giải [1],[2] lấy phần giao .

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm m để (C) : $y = x^3/3-2x^2+m+2/3 $   có 2 điểm cực trị nằm 1 phía Ox

Đạo hàm $y'(x)=x^2-4x$
Phương trình $y'(x) = 0 \Leftrightarrow  x^2-4x=0$ ,
Nghiệm (đơn giản) : $x=0;x=4$
Thế $x_1,x_2$ vào (C) : $y_1=y(0)=m+2/3;y_2=y(4)=m-10$

2 điểm cực trị nằm 1 phía Ox : $y_1;y_2$  cùng dấu , $P_y=y_1.y_2>0$
Hay $P_y=(m+2/3)(m-10)>0$
Xét dấu $P_y$ ta có  $m>10 , m<-2/3$

Xem  https://goo.gl/5EV5BR

*Dùng  widget  G12.I.1 CTRI NAM 1,2 PHIA Ox (bt6.1)    https://goo.gl/wFoDJK


Xem  https://goo.gl/2jBjfY
Xét dấu  $P_y=(m+2/3)(m-10)>0$
*Dùng widget  G12.I.1 CTRI NAM 1,2 PHIA Ox (bt6.2)    https://goo.gl/fyrZ1x


Kết luận :   $m>10 , m<-2/3$

Ví dụ 2. 
Tìm m để (C) : $y = (x^2+x+m)/(x+m) $   có 2 điểm cực trị nằm 2 phía Ox

Đạo hàm $y'(x)=(x^2+2mx)/(x+m)^2$
Phương trình $y'(x) = 0 \Leftrightarrow  x^2+2mx=0$ ,
Nghiệm (đơn giản) : $x=0;x=-2m$
Thế $x_1,x_2$ vào (C) : $y_1=y(0)=1;y_2=y(-2m)=1-4m$

2 điểm cực trị nằm 2 phía Ox : $y_1;y_2$  trái dấu , $P_y=y_1.y_2<0$
Hay $P_y=1.(1-4m)<0$
Xét dấu $P_y$ ta có  $m>1/4$

*Dùng widget  G12.I.1 TIM m / HS CO MOT SO CUC TRI (bt2.1)    https://goo.gl/WPPnW2
Tìm nghiệm của phương trình $y'(x) = 0 $



Thế $x=0;x=-2m$ vào (C) : $y_1=y(0)=1;y_2=y(-2m)=1-4m$


*Dùng widget  G12.I.1 CTRI NAM 1,2 PHIA Ox (bt6.2)    https://goo.gl/fyrZ1x



Ví dụ 3. 
Tìm m để (C) : $y =x^3-x^2+mx $   có 2 điểm cực trị nằm 2 phía Ox

Đạo hàm $y'(x)=3x^2-2x +m$
Phương trình $y'(x) = 0 \Leftrightarrow  3x^2-2x +m=0$ ,
Nghiệm (phức tạp) : $x_1 =1/3(1+ \sqrt{1-3m}) ;x_2=1/3(1- \sqrt{1-3m})$
Tìm phương trình đường cực trị :
Tính  $y/y'= (6mx+m-2x)/(9(m +3x^2-2x))+x/3-1/9$ lấy phần dư , ta có $yDCT=\frac{x(6m-2)+m}{9}$
Thế $x_1,x_2$ vào (C) : $y_1=\frac{x_1(6m-2)+m}{9};y_2=\frac{x_2(6m-2)+m}{9}$

2 điểm cực trị nằm 2 phía Ox : $y_1;y_2$  trái dấu , $P_y=y_1.y_2<0$
Hay $P_y=[\frac{x_1(6m-2)+m}{9}].[\frac{x_2(6m-2)+m}{9}]<0$
Xét dấu $P_y=(6m-2)^2.x_1x_2+m(6m-2)(x_1+x_2)+m^2<0$
ta có  $x_1x_2=c/a=m/3;x_1+x_2=-b/a=2/3$
$P_y=(6m-2)^2*m/3+m(6m-2)*2/3+m^2<0   \Leftrightarrow  12m^3-3m^2<0$
Vậy  $0<m<1/4;m<0$

*Dùng widget  G12.I.1 TIM m / HS CO MOT SO CUC TRI (bt2.1)    https://goo.gl/WPPnW2
Tìm nghiệm của phương trình $y'(x) = 0 $


Xem  https://goo.gl/MEHzwi
Tìm phương trình đường cực trị .

*Dùng widget  G12.I.1 TIM PT DUONG CUC TRI (bt4.1)     https://goo.gl/wm4btC


Nhấn vào more để xem khai triển phần dư .


Xem  https://goo.gl/YWv9K9  ta có $yDCT=\frac{x(6m-2)+m}{9}$

*Dùng widget  G12.I.1 CTRI NAM 1,2 PHIA Ox (bt6.1)    https://goo.gl/wFoDJK


Xem  https://goo.gl/N4sWQJ


*Dùng widget  G12.I.1 CTRI NAM 1,2 PHIA Ox (bt6.2)    https://goo.gl/fyrZ1x


Nhấn vào Exact form


Xem  https://goo.gl/JPWt2z
Vậy  $0<m<1/4;m<0$










Trần hồng Cơ
Ngày 28/04/2016











------------------------------------------------------------------------------------------- 

 If you know about what you are talking about , you have something more valuable than gold and jewels - 

Có nhiều vàng và châu ngọc , nhưng miệng có tri thức là bửu vật quý giá vô song . 

Châm ngôn 20:15 

Thứ Ba, 3 tháng 5, 2016

GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN . Phần 14e . KHẢO SÁT HÀM SỐ - Cực trị của hàm số .



GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN .

Phần 14e . KHẢO SÁT HÀM SỐ  - Cực trị của hàm số .   


DANH MỤC CÔNG CỤ GIẢI TOÁN TRỰC TUYẾN  MATHEMATICA  WOLFRAM | ALPHA .

Giới thiệu .

Bạn đọc truy cập vào đường dẫn  http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen  để sử dụng các widgets giải toán trực tuyến W|A Mathematica theo chỉ mục trong danh sách dưới đây .

Những widgets này đã được tác giả sắp xếp theo từng môn học và cấp lớp theo ký hiệu như sau :

D : Đại số . Ví dụ  D8.1 widget dùng cho Đại số lớp 8 , mục 1 - Khai triển , rút gọn biểu thức đại số .
H : Hình học . Ví dụ  H12.3  widget dùng cho Hình học lớp 12 , mục 3 - Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian .
G : Giải tích . Ví dụ : G11.7  widget dùng cho Giải tích lớp 11 , mục 7 - Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
GI : Giải tích cao cấp I . Ví dụ GI.15  widget dùng cho Giải tích cao cấp I , mục 15 - Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GII : Giải tích cao cấp II .


++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++


 ĐẠI SỐ 8

D8.1  Khai triển , rút gọn biểu thức đại số
D8.2  Rút gọn phân thức
D8.3  Phân tích thừa số
D8.4  Nhân 2 đa thức
D8.5  Khai triển tích số ( có thể dùng để khai triển Newton )
D8.6  Phân tích thừa số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 10

D10.1 Giải phương trình nguyên Diophante
D10.2 Giải phương trình tuyệt đối
D10.3 Giải phương trình chứa tham số
D10.4  Giải phương trình đại số
D10.5  Giải phương trình từng bước
D10.6  Giải bất phương trình minh hoạ bằng đồ thị

D10.8  Tính giá trị biểu thức hàm số
D10.9  Giải bất phương trình đại số và minh hoạ bằng đồ thị
D10.10  Giải bất phương trình đại số - tìm miền nghiệm
D10.11  Giải phương trình đại số
D10.12  Giải phương trình vô tỷ
D10.13  Giải phương trình minh hoạ từng bước
D10.14  Giải phương trình dạng hàm ẩn
D10.15  Giải hệ thống phương trình tuyến tính , phi tuyến
D10.16  Giải hệ phương trình
D10.17  Vẽ miền nghiệm của bất phương trình đại số
D10.19  Tối ưu hoá hàm 2 biến với các ràng buộc
D10.20  Tìm giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành Ox , trục tung Oy

HÌNH HỌC 10

H10.1  Tính diện tích tam giác trong hệ toạ độ Oxy
H10.3  Khảo sát conic ( đường tròn , Ellipse , Parabola , Hyperbola )
H10.2  Tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng trong Oxy



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 11

D11.1 Thuật chia Euclide dùng cho số và đa thức  ( HORNER )
D11.2  Tính tổng nghịch đảo của n số tự nhiên




D11.6  Khai triển nhị thức Newton


GIẢI TÍCH 11


G11.1  Tính gíá trị một chuỗi số  theo n
G11.2  Đa thức truy hồi
G11.3  Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số
G11.4  Tính giới hạn của chuỗi số khi  $n \rightarrow  \infty$
G11.5  Tìm hàm số ngược của hàm số cho trước
G11.6  Tìm đạo hàm của hàm số hợp - giải thích
G11.7   Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
G11.8   Tìm giới hạn của hàm số
G11.9   Tìm giới hạn của hàm số
G11.10  Tính đạo hàm hàm số có dạng U/V
G11.11  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước
G11.12  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước

G11+12.1   Tính đạo hàm ,tích phân , giới hạn , vẽ đồ thị


LƯỢNG GIÁC 11

L11.1   Giải phương trình lượng giác
L11.2   Giải phương trình lượng giác trên một đoạn
L11.3   Tìm chu kỳ của hàm số tuần hoàn
L11.4   Khai triển công thức lượng giác



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 12

D12.1   Cấu trúc của số phức
D12.1   Giải phương trình mũ
D12.3   Giải  phương trình chứa tham số
D12.4   Giải  phương trình  bất kỳ  ( Bậc 2 , 3 , ... , mũ  , log , căn thức )
D12.5   Giải phương trình mũ



GIẢI TÍCH 12


G12.1  Vẽ đồ thị biểu diễn phương trình
G12.2    Khảo sát hàm số hữu tỷ
G12.3   Vẽ đồ thị trong toạ độ cực (Polar)
G12.4    Tìm cực trị của hàm số
G12.5    Vẽ đồ thị hàm số 2D
G12.6   Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số
G12.7    Vẽ nhiều hàm số - Basic plot. To plot two or more functions, enter {f1(x), f2(x),...}
G12.8    Tìm điểm uốn của hàm số cho trước
G12.9    Tìm nghiệm của các phương trình  y = 0 , y ' = 0 ,  y " = 0
G12.10    Tính tích phân bất định
G12.11    Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.12   Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.13   Tìm đường tiệm cận của hàm số
G12.14   Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.15  Tìm giao điểm của hàm số đa thức và trục hoành Ox - Vẽ đồ thị .
G12.16    Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi (C1) , (C2)
G12.17    Vẽ đồ thị hàm số ( có đường tiệm cận )
G12.18   Vẽ đồ thị 2D , 3D
G12.19   Tìm hoành độ giao điểm giữa 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.20    Vẽ đường cong tham số 3D
G12.21    Tính diện tich mặt tròn xoay
G12.22    Tích thể tích vật tròn xoay  (C) , trục  Ox , x =a , x= b
G12.23    Thể tích vật tròn xoay
G12.24    Tích thể tích vật tròn xoay (C1) , (C2) , trục OX , x = a , x = b
G12.25    Khảo sát hàm số đơn giản
G12.26    Tìm cực trị của hàm số
G12.27    Tìm nguyên hàm của hàm số
G12.28    Tính tích phân xác định


HÌNH HỌC 12


H12.1  Tính khoảng cách 2 điểm trong 2D , 3D
H12.2   Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm trong không gian
H12.3  Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian
H12.4   Tìm công thức thể tích , diện tích hình không gian
H12.5   Vẽ đồ thị 2D , mặt 3D
H12.6    Tích có hướng 2 vector



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

GIẢI TÍCH CAO CẤP

GI.1    Vẽ đồ thị , mặt 3D
GI.2   Vẽ đồ thị , mặt  3D
GI.3    Tích phân 2 lớp
GI.5    Tích phân kép
GI.6    Tích phân bội 3
GI.7    Tích phân bội 3
GI.8    Tích phân suy rộng
GI.9    Chuỗi và dãy số
GI.10    Các bài toán cơ bản trong vi  tích phân
GI.11     Vẽ hàm từng khúc ( piecewise ) - dùng để xét tính liên tục của hàm số
GI.12    Tính đạo hàm và tích phân một hàm số cho trước
GI.13     Vẽ đồ thị hàm số trong hệ toạ độ cực
GI.14     Tính đạo hàm riêng
GI.15    Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GI.16    Tính tổng chuỗi số  n = 1...$\infty$
GI.17     Vẽ  đồ thị  3 hàm số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Bài viết sau đây mô tả các khái niệm toán học và hướng dẫn tính toán chi tiết bằng công cụ trực tuyến , bạn đọc có thể tham khảo những nội dung chính yếu được đề cập đến trong giáo trình toán phổ thông  cùng với các ví dụ minh họa  .

Một số website hữu ích phục vụ cho việc giảng dạy và học tập môn toán :

http://quickmath.com/
http://analyzemath.com/
http://www.intmath.com/
http://www.mathportal.org
https://www.mathway.com/
https://www.symbolab.com/
http://www.graphsketch.com/
http://www.meta-calculator.com/online/?home
http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen
https://www.geekandnerd.org/edu-courses/

14.  KHẢO SÁT HÀM SỐ  - Cực trị của hàm số .

14.9  Cực trị của hàm số .

14.9.1  Điều kiện có cực trị của hàm số $y=f(x)$ .
a. Quy tắc chung .

*Hàm số có cực trị tại   $x=x_{0} \Leftrightarrow $
+ Đạo hàm cấp 1 :  $y'(x_{0})=0 $
+ Đạo hàm cấp 1 $y'(x)$ đổi dấu khi đi qua $x_{0}$
Thực hành
*Tính đạo hàm y'(x) , giải phương trình $y'(x) = 0$ , tìm cực trị hàm số .
*Lập bảng biến thiên tăng giảm

x
-∞

                             +∞
y’(x)



y(x)




Cực đại :   $y'(x_{0})=0 $  và   $y''(x_{0})<0 $
$y'(x)$ đổi dấu từ + sang -

Cực tiểu :   $y'(x_{0})=0 $  và   $y''(x_{0})>0 $
$y'(x)$ đổi dấu từ - sang +

Đạo hàm cấp 2 : âm lồi , dương lõm .

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm cực trị của hàm số $y=(x^2-2x+5)/(x-1)$

Lời giải

*Dùng widget  G12.I.1 TIM CUC TRI CUA HAM SO    https://goo.gl/zOH8q6



Xem  https://goo.gl/C4Z3Q3

Ví dụ 2. 
Tìm cực trị của hàm số  $y=f(x)$ biết $y'=(x-1)^3(x+2)^2(x-3)$

Lời giải
Lập bảng xét dấu

*Dùng widget  G11.II.3 XET DAU DAO HAM - TIM CTRI    https://goo.gl/eprwnm


Nhận xét :
$y'(x)$  đổi dấu từ  +1 sang  -1 khi đi qua $x_0=1$ : CỰC ĐẠI tại $x_0=1$
$y'(x)$  đổi dấu từ  -1 sang  +1 khi đi qua $x_0=3$ : CỰC TIỂU tại $x_0=3$

Xem  https://goo.gl/cEUDBp

Ví dụ 3. 


Tìm cực trị của hàm số  $y=f(x)$ biết $y'=(x^2-3x+2)(2x-1)/(x^2-4)$



Nhận xét :
$y'(x)$  đổi dấu từ  +1 sang  -1 khi đi qua $x_0=1/2$ : CỰC ĐẠI tại $x_0=1/2$
$y'(x)$  đổi dấu từ  -1 sang  +1 khi đi qua $x_0=1$ : CỰC TIỂU tại $x_0=1$
Tại điểm $x=-2$ đạo hàm $y'(x)$ có đổi dấu từ -1 sang +1 nhưng $x=\pm 2$ là điểm bất liên tục của hàm số nên không có cực trị ở  $x=-2$ .
Tại điểm $x=2$ đạo hàm $y'(x)$ không đổi dấu từ +1 sang +1 và có vết đứt nên $x=\pm 2$ là điểm bất liên tục của hàm số .



14.9.2 Tìm điều kiện có cực trị của hàm số $y=f(x)$ tại $x=x_{0}$ .
a. Quy tắc chung .

*Hàm số có cực trị tại   $x=x_{0} \Leftrightarrow $
+ Đạo hàm cấp 1 :  $y'(x_{0})=0 $
+ Đạo hàm cấp 1 $y'(x)$ đổi dấu khi đi qua $x_{0}$
Thực hành
*Tính đạo hàm y'(x) , xét phương trình $y'(x) = 0$ , thế $x=x_{0} vào , giải ra m .
*Kiểm tra lại bằng cách lập bảng biến thiên tăng giảm ( nếu có yêu cầu về cực đại hay cực tiểu )

x
-∞

                             +∞
y’(x)



y(x)





Hoặc
Cực đại :   $y'(x_{0})=0 $  và   $y''(x_{0})<0 $
$y'(x)$ đổi dấu từ + sang -

Cực tiểu :   $y'(x_{0})=0 $  và   $y''(x_{0})>0 $
$y'(x)$ đổi dấu từ - sang +

Đạo hàm cấp 2 : âm lồi , dương lõm .

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm m để hàm số  $y=-x^3+3mx^2+1$ có cực trị tại $x_{0}=2$
Lời giải

*Dùng widget  G12.I.1 TIM m / HS CO CUC TRI TAI x=x0 (bt1)    https://goo.gl/axyU4A


Xem  https://goo.gl/Ue7weg

Ví dụ 2. 
Tìm m để hàm số  $y=(mx^2+x+1)/(x^2-mx+m-2)$ có cực trị tại $x_{0}=-2$
Lời giải

*Dùng widget  G12.I.1 TIM m / HS CO CUC TRI TAI x=x0 (bt1)    https://goo.gl/axyU4A


Xem  https://goo.gl/deffhY


14.9.3 Tìm điều kiện để hàm số $y=f(x)$ có một số cực trị  .
a. Quy tắc chung .

*Hàm số có cực trị tại   $x=x_{0} \Leftrightarrow $
+ Đạo hàm cấp 1 :  $y'(x_{0})=0 $
+ Đạo hàm cấp 1 $y'(x)$ đổi dấu khi đi qua $x_{0}$
Thực hành
*Tính đạo hàm $y'(x)$ , xét phương trình $y'(x) = 0$ ,

-Nếu $y'(x) = 0$ là PTB3 ta biến đổi PTB3 = PTB2 x PTB1 .
Lấy nghiệm của PTB1 thế vào PTB2 =/= 0
Xét PTB2 , điều kiện có 2 cực trị : $a \neq 0; \Delta > 0$
Lập bảng xét dấu
Cộng thêm 1 vào những chỗ không bị gạch chéo .

-Nếu $y'(x) = 0$ là PTB2 , điều kiện có 2 cực trị : $a \neq 0; \Delta > 0$

*Lập bảng xét dấu

m
-∞

                             +∞
$\Delta $



Số cực trị 






b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm m để hàm số  $y=mx^3/3+(m+2)x^2+(m-1)x+2 $ có 2 cực trị .

Lời giải
Đạo hàm $y'(x)=mx^2+2(m+2)x+m-1$
Phương trình $y'(x) = 0   \Leftrightarrow mx^2+2(m+2)x+m-1 =0$ ,
Điều kiện có 2 cực trị : $a \neq 0; \Delta > 0  \Leftrightarrow m \neq 0 ; (m+2)^2-m(m-1) > 0 $
Hay $ m \neq 0 ; 5m+4 > 0 $
Vậy  $m>-4/5;m \neq 0$


*Dùng widget  G12.I.1 TIM m / HS CO MOT SO CUC TRI (bt2.1)    https://goo.gl/Qfh4g1
Tìm nghiệm $x(m)$ của phương trình $y'(x) = 0$


Xem  https://goo.gl/Zi5aFQ
Tìm ĐKCN của $x(m)$ .

Kiểm tra :  $m>-4/5;m \neq 0$
Xem  https://goo.gl/jLYyLL






Trần hồng Cơ
Ngày 28/04/2016



------------------------------------------------------------------------------------------- 

 If you know about what you are talking about , you have something more valuable than gold and jewels - 

Có nhiều vàng và châu ngọc , nhưng miệng có tri thức là bửu vật quý giá vô song . 

Châm ngôn 20:15 

Thứ Bảy, 23 tháng 4, 2016

GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN . Phần 14d . KHẢO SÁT HÀM SỐ - Sự biến thiên của hàm số .



GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN .

Phần 14d . KHẢO SÁT HÀM SỐ  - Sự biến thiên của hàm số .   


DANH MỤC CÔNG CỤ GIẢI TOÁN TRỰC TUYẾN  MATHEMATICA  WOLFRAM | ALPHA .

Giới thiệu .

Bạn đọc truy cập vào đường dẫn  http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen  để sử dụng các widgets giải toán trực tuyến W|A Mathematica theo chỉ mục trong danh sách dưới đây .

Những widgets này đã được tác giả sắp xếp theo từng môn học và cấp lớp theo ký hiệu như sau :

D : Đại số . Ví dụ  D8.1 widget dùng cho Đại số lớp 8 , mục 1 - Khai triển , rút gọn biểu thức đại số .
H : Hình học . Ví dụ  H12.3  widget dùng cho Hình học lớp 12 , mục 3 - Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian .
G : Giải tích . Ví dụ : G11.7  widget dùng cho Giải tích lớp 11 , mục 7 - Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
GI : Giải tích cao cấp I . Ví dụ GI.15  widget dùng cho Giải tích cao cấp I , mục 15 - Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GII : Giải tích cao cấp II .


++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++


 ĐẠI SỐ 8

D8.1  Khai triển , rút gọn biểu thức đại số
D8.2  Rút gọn phân thức
D8.3  Phân tích thừa số
D8.4  Nhân 2 đa thức
D8.5  Khai triển tích số ( có thể dùng để khai triển Newton )
D8.6  Phân tích thừa số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 10

D10.1 Giải phương trình nguyên Diophante
D10.2 Giải phương trình tuyệt đối
D10.3 Giải phương trình chứa tham số
D10.4  Giải phương trình đại số
D10.5  Giải phương trình từng bước
D10.6  Giải bất phương trình minh hoạ bằng đồ thị

D10.8  Tính giá trị biểu thức hàm số
D10.9  Giải bất phương trình đại số và minh hoạ bằng đồ thị
D10.10  Giải bất phương trình đại số - tìm miền nghiệm
D10.11  Giải phương trình đại số
D10.12  Giải phương trình vô tỷ
D10.13  Giải phương trình minh hoạ từng bước
D10.14  Giải phương trình dạng hàm ẩn
D10.15  Giải hệ thống phương trình tuyến tính , phi tuyến
D10.16  Giải hệ phương trình
D10.17  Vẽ miền nghiệm của bất phương trình đại số
D10.19  Tối ưu hoá hàm 2 biến với các ràng buộc
D10.20  Tìm giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành Ox , trục tung Oy

HÌNH HỌC 10

H10.1  Tính diện tích tam giác trong hệ toạ độ Oxy
H10.3  Khảo sát conic ( đường tròn , Ellipse , Parabola , Hyperbola )
H10.2  Tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng trong Oxy



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 11

D11.1 Thuật chia Euclide dùng cho số và đa thức  ( HORNER )
D11.2  Tính tổng nghịch đảo của n số tự nhiên




D11.6  Khai triển nhị thức Newton


GIẢI TÍCH 11


G11.1  Tính gíá trị một chuỗi số  theo n
G11.2  Đa thức truy hồi
G11.3  Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số
G11.4  Tính giới hạn của chuỗi số khi  $n \rightarrow  \infty$
G11.5  Tìm hàm số ngược của hàm số cho trước
G11.6  Tìm đạo hàm của hàm số hợp - giải thích
G11.7   Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
G11.8   Tìm giới hạn của hàm số
G11.9   Tìm giới hạn của hàm số
G11.10  Tính đạo hàm hàm số có dạng U/V
G11.11  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước
G11.12  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước

G11+12.1   Tính đạo hàm ,tích phân , giới hạn , vẽ đồ thị


LƯỢNG GIÁC 11

L11.1   Giải phương trình lượng giác
L11.2   Giải phương trình lượng giác trên một đoạn
L11.3   Tìm chu kỳ của hàm số tuần hoàn
L11.4   Khai triển công thức lượng giác



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 12

D12.1   Cấu trúc của số phức
D12.1   Giải phương trình mũ
D12.3   Giải  phương trình chứa tham số
D12.4   Giải  phương trình  bất kỳ  ( Bậc 2 , 3 , ... , mũ  , log , căn thức )
D12.5   Giải phương trình mũ



GIẢI TÍCH 12


G12.1  Vẽ đồ thị biểu diễn phương trình
G12.2    Khảo sát hàm số hữu tỷ
G12.3   Vẽ đồ thị trong toạ độ cực (Polar)
G12.4    Tìm cực trị của hàm số
G12.5    Vẽ đồ thị hàm số 2D
G12.6   Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số
G12.7    Vẽ nhiều hàm số - Basic plot. To plot two or more functions, enter {f1(x), f2(x),...}
G12.8    Tìm điểm uốn của hàm số cho trước
G12.9    Tìm nghiệm của các phương trình  y = 0 , y ' = 0 ,  y " = 0
G12.10    Tính tích phân bất định
G12.11    Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.12   Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.13   Tìm đường tiệm cận của hàm số
G12.14   Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.15  Tìm giao điểm của hàm số đa thức và trục hoành Ox - Vẽ đồ thị .
G12.16    Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi (C1) , (C2)
G12.17    Vẽ đồ thị hàm số ( có đường tiệm cận )
G12.18   Vẽ đồ thị 2D , 3D
G12.19   Tìm hoành độ giao điểm giữa 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.20    Vẽ đường cong tham số 3D
G12.21    Tính diện tich mặt tròn xoay
G12.22    Tích thể tích vật tròn xoay  (C) , trục  Ox , x =a , x= b
G12.23    Thể tích vật tròn xoay
G12.24    Tích thể tích vật tròn xoay (C1) , (C2) , trục OX , x = a , x = b
G12.25    Khảo sát hàm số đơn giản
G12.26    Tìm cực trị của hàm số
G12.27    Tìm nguyên hàm của hàm số
G12.28    Tính tích phân xác định


HÌNH HỌC 12


H12.1  Tính khoảng cách 2 điểm trong 2D , 3D
H12.2   Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm trong không gian
H12.3  Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian
H12.4   Tìm công thức thể tích , diện tích hình không gian
H12.5   Vẽ đồ thị 2D , mặt 3D
H12.6    Tích có hướng 2 vector



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

GIẢI TÍCH CAO CẤP

GI.1    Vẽ đồ thị , mặt 3D
GI.2   Vẽ đồ thị , mặt  3D
GI.3    Tích phân 2 lớp
GI.5    Tích phân kép
GI.6    Tích phân bội 3
GI.7    Tích phân bội 3
GI.8    Tích phân suy rộng
GI.9    Chuỗi và dãy số
GI.10    Các bài toán cơ bản trong vi  tích phân
GI.11     Vẽ hàm từng khúc ( piecewise ) - dùng để xét tính liên tục của hàm số
GI.12    Tính đạo hàm và tích phân một hàm số cho trước
GI.13     Vẽ đồ thị hàm số trong hệ toạ độ cực
GI.14     Tính đạo hàm riêng
GI.15    Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GI.16    Tính tổng chuỗi số  n = 1...$\infty$
GI.17     Vẽ  đồ thị  3 hàm số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Bài viết sau đây mô tả các khái niệm toán học và hướng dẫn tính toán chi tiết bằng công cụ trực tuyến , bạn đọc có thể tham khảo những nội dung chính yếu được đề cập đến trong giáo trình toán phổ thông  cùng với các ví dụ minh họa  .

Một số website hữu ích phục vụ cho việc giảng dạy và học tập môn toán :

http://quickmath.com/
http://analyzemath.com/
http://www.intmath.com/
http://www.mathportal.org
https://www.mathway.com/
https://www.symbolab.com/
http://www.graphsketch.com/
http://www.meta-calculator.com/online/?home
http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen
https://www.geekandnerd.org/edu-courses/

14.  KHẢO SÁT HÀM SỐ  - Sự biến thiên của hàm số .

14.8  Sự biến thiên của hàm số .

14.8.1  Tính tăng giảm của hàm số $y=f(x)$ .

a. Quy tắc chung .

*Tính đạo hàm y'(x) , giải phương trình $y'(x) = 0$ , tìm cực trị hàm số .
*Lập bảng biến thiên tăng giảm


x
-∞

                             +∞
y’(x)



y(x)




*Hàm tăng trên $(a,b) \Leftrightarrow y'(x) \geq 0 , \forall x \in (a,b)$
*Hàm giảm trên $(a,b) \Leftrightarrow y'(x) \leq 0 , \forall x \in (a,b)$
Âm giảm , dương tăng ,


b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Xét tính tăng giảm của hàm số $y=x^3-3x+2$

Lời giải

*Dùng widget  G12.I.1 TIM KHOANG TANG GIAM CUA HAM SO    https://goo.gl/kp4R8Z


Xem  https://goo.gl/oLA1yd
Kết luận : Hàm tăng trên $(-\infty,-1);(1,+\infty)$


Xem  https://goo.gl/LoyqQB
Kết luận : Hàm giảm trên $(-1,1)$

Dùng widget khảo sát hàm số và dựa trên đồ thị trực tiếp

Ví dụ 2. 
Xét tính tăng giảm của hàm số $y=x^3-3x+2$

Lời giải

*Dùng widget  G12.I.1 KHAO SAT HAM SO (C)    https://goo.gl/syK0uL



Kết luận :
Hàm tăng trên $(-\infty,-1);(1,+\infty)$
Hàm giảm trên $(-1,1)$


14.8.2  Bài toán tìm điều kiện để hàm số $y=f(x)$  luôn tăng / giảm trên tập xác định .
a. Quy tắc chung .

*Tính đạo hàm y'(x) , xét phương trình $y'(x) = 0$ .

*Hàm tăng trên $\mathbb{R}  \Leftrightarrow y'(x) \geq 0 , \forall x\in \mathbb{R}$
Đối với bất phương trình bậc 2 : $ax^2+bx+c \geq 0  \Leftrightarrow a \geq 0 ; \Delta \leq 0 $

*Hàm giảm trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow y'(x) \leq 0 , \forall x\in \mathbb{R}$
Đối với bất phương trình bậc 2 : $ax^2+bx+c \leq 0  \Leftrightarrow a \leq 0 ; \Delta \leq 0 $

Ghi nhớ :  $da=df ; \Delta \leq 0$
Âm giảm , dương tăng ,

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm m để hàm số $y=x^3-(m+1)x^2+(3m-3)x+2$   luôn tăng trên miền xác định D .

$y'(x)=3x^2-2(m+1)x+3m+3$
$y'(x)\geq 0;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow 3\geq 0;\Delta \leq 0$
Hay
$[-(m+1)]^2-3(3m-3)\leq 0;3\geq 0$

* Dùng widget  G12.I.1 TIM m-HS Tang&giam/D (bt18.1)    https://goo.gl/kRVpCc


Xem  https://goo.gl/1yJl9p

Ví dụ 2. 
Tìm m để hàm số $y=-x^3-(m+3)x^2+(m-3)x+1$   luôn giảm trên miền xác định D .
$y'(x)=-3x^2-2(m+3)x+m-3$
$y'(x)\leq 0;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow  -3\leq 0;\Delta \leq 0$
Hay
$[-(m+3)]^2+3(m-3)\leq 0;-3\leq 0$



Xem  https://goo.gl/tkV4Sg

Ví dụ 3. 
Tìm m để hàm số $y=\frac{mx+2}{4x+m-2}$   luôn tăng trên miền xác định D .
$y'(x)=\frac{m(m-2)-2.4}{(4x+m-2)^2}$
$y'(x) > 0;\forall x\in \mathbb{R}-{(2-m)/4} \Leftrightarrow  m(m-2)-2.4  > 0$
Hay
$m^2-2m-8>0$

*Dùng widget  G12.I.1 TIM m-HS Tang&giam/D (bt18.2)    https://goo.gl/oYjzdL

Xem  https://goo.gl/tsASxO

Ví dụ 4. 
Tìm m để hàm số $y=\frac{(m+1)x+4}{x+m-2}$   luôn giảm trên miền xác định D .
$y'(x)=\frac{(m+1)(m-2)-1.4}{(x+m-2)^2}$
$y'(x) < 0;\forall x\in \mathbb{R}-{(2-m)} \Leftrightarrow  (m+1)(m-2)-1.4 < 0$
Hay
$m^2-m-6<0$


Xem  https://goo.gl/NkAHZ9


14.8.3  Bài toán tìm điều kiện để hàm số $y=f(x)$  luôn tăng / giảm trên tập I cho trước .
a. Quy tắc chung .

*Tính đạo hàm $y'(x)$ .

*Hàm tăng trên $I  \Leftrightarrow y'(x) \geq 0 , \forall x\in I$
*Hàm giảm trên $I  \Leftrightarrow y'(x) \leq 0 , \forall x\in I$


Nếu biểu thức $y'=f '(x)$ chứa m (bậc nhất) thực hiên các bước sau :
B1. Chuyển m sang một vế , đưa về bất phương trình $g(x) \geq h(m)$ hoặc $g(x) \leq h(m)$
B2. Rút x làm thừa số chung , xét dấu biểu thức chứa x trong tích số với m (nếu có)
B3. Lập bảng biến thiên của $g(x)$ , đưa khoảng I vào bảng .
B4. Dựa vào bất phương trình cho $g(x) \geq h(m)$ hoặc $g(x) \leq h(m)$ .

Nếu biểu thức $y'=f '(x)$ chứa m (bậc hai) thực hiên các bước sau :
B1. Tính $\Delta = b^2-4ac$ của $y'(x)$ .
B2. Lập bảng (lồng bảng)

m
-∞
                                +∞
Hệ số a
$\Delta = b^2-4ac$
Biện luận
x


g’(x)


x


g’(x)


x


g’(x)



B3. Biện luận trên bảng (lồng bảng) cho m di động từ trái sang phải .
B4. Áp dụng định lý dấu tam thức bậc 2 .
$x_1<\alpha<x_2  \Leftrightarrow a.g(\alpha)<0$
$\alpha<x_1<x_2  \Leftrightarrow a.g(\alpha)>0;\Delta >0;\alpha<S/2$
$x_1<x_2<\alpha  \Leftrightarrow a.g(\alpha)>0;\Delta >0;S/2<\alpha$


Ghi nhớ :
Âm giảm , dương tăng ,
Lớn trên , nhỏ dưới

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm m để hàm số $y=x^3-3mx^2+6mx+1$   luôn tăng trên khoảng $[0,1/2]$ .

Tính $y'=f '(x)= 3x^2-6mx+6m$
Hàm tăng trên $[0,1/2]  \Leftrightarrow y'(x) \geq 0 , \forall x\in  [0,1/2]$
Hay $x^2-2mx+2m \geq 0 , \forall x\in  [0,1/2]$
Chuyển m sang một vế , đưa về bất phương trình $x^2 \geq  2mx-2m$
Ta có  $x^2 \geq  m(2x-2)$
Rút x làm thừa số chung , xét dấu biểu thức chứa x trong tích số với m

Biểu thức  $2x-2 <0 ; x \in [0,1/2]$  nên $x^2 /(2x -2)  \leq  m$
Đặt $g(x)=x^2 /(2x -2)$  và  $h(m)=m$
Lập bảng biến thiên của $g(x)=x^2 /(2x -2)$ , đưa khoảng $[0,1/2]$ vào bảng .
Đạo hàm $g'(x)=\frac{x^2-2x}{2(x-1)^2}$

Kết luận :  $m \geq 0$


Kiểm tra trị số $m=0$ thỏa yêu cầu bài toán
Kết luận :  $m \geq 0$

Xem  https://goo.gl/PY6xEJ

Ví dụ 2. 
Tìm m để hàm số $y=(x^2+x+m)/(x+1)$   luôn giảm trên khoảng $(0,1)$ .





Ví dụ 3. 
Tìm m để hàm số $y=(x+2m)/(x+1)$   luôn giảm trên khoảng $[1,3/2]$ .



Xem  https://goo.gl/KDh5sB




Trần hồng Cơ
Ngày 18/04/2016



------------------------------------------------------------------------------------------- 

 If you know about what you are talking about , you have something more valuable than gold and jewels - 

Có nhiều vàng và châu ngọc , nhưng miệng có tri thức là bửu vật quý giá vô song . 



Châm ngôn 20:15 

*******

Blog Toán Cơ trích đăng các thông tin khoa học tự nhiên của tác giả và nhiều nguồn tham khảo trên Internet .
Blog cũng là nơi chia sẻ các suy nghĩ , ý tưởng về nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau .


Chia xẻ

Bài viết được xem nhiều trong tuần

CÁC BÀI VIẾT MỚI VỀ CHỦ ĐỀ TOÁN HỌC

Danh sách Blog

Thông tin hàng ngày.

Giới thiệu bản thân

Ảnh của Tôi


Các chuyên đề ứng dụng .

1. Phương trình vi phân  
2. Toán đơn giản - College Algebra 
3. Toán thực hành - Practical Mathematics 
4. Vật lý tổng quan ( đang viết )
5. Phương trình tích phân 
( đang chuẩn bị ) 

Gặp Cơ tại Researchgate.net

Co Tran