Wikipedia

Kết quả tìm kiếm

Giải toán trực tuyến W | A




Vẽ đồ thị trong Oxyz plot3D(f(x,y),x=..,y=..)
Vẽ đồ thị trong Oxy plot(f(x),x=..,y=..)
Đạo hàm derivative(f(x))
Tích phân Integrate(f(x))


Giải toán trực tuyến W|A

Thứ Sáu, 30 tháng 5, 2014

Bình Ngô Đại Cáo .


Nguyễn Trãi

Bình Ngô Đại Cáo

Bản dịch của Ngô Tất Tố



Thay trời hành hóa, hoàng thượng chiếu rằng,
Từng nghe: 
Việc nhân nghĩa cốt ở yên dân, 
Quân điếu phạt trước lo trừ bạo; 
Như nước Đại Việt ta từ trước, 
Vốn xưng nền văn hiến đã lâu, 
Nước non bờ cõi đã chia, 
Phong tục Bắc Nam cũng khác; 
Từ Triệu, Đinh, Lý, Trần; bao đời xây nền độc lập; 
Cùng Hán, Đường, Tống, Nguyên; mỗi bên hùng cứ một phương; 
Tuy mạnh yếu có lúc khác nhau, 
Song hào kiệt thời nào cũng có. 
Cho nên: 
Lưu Cung tham công nên thất bại; 
Triệu Tiết chí lớn phải vong thân; 
Cửa Hàm Tử bắt sống Toa Đô 
Sông Bạch Đằng giết tươi Ô Mã 
Việc xưa xem xét. 
Chứng cứ còn ghi. 
Vưà rồi: 
Nhân họ Hồ chính sự phiền hà 
Để trong nước lòng dân oán hận 
Quân cuồng Minh thưà cơ gây loạn 
Bọn gian tà còn bán nước cầu vinh 
Nướng dân đen trên ngọn lửa hung tàn 
Vùi con đỏ xuống dưới hầm tai vạ 
Dối trời lừa dân đủ muôn ngàn kế 
Gây thù kết oán trải mấy mươi năm 
Bại nhân nghĩa nát cả đất trờị 
Nặng thuế khóa sạch không đầm núi. 
Người bị ép xuống biển dòng lưng mò ngọc, 
Ngán thay cá mập thuồng luồng. 
Kẻ bị đem vào núi đãi cát tìm vàng, 
Khốn nỗi rừng sâu nước độc. 
Vét sản vật, bắt dò chim sả, chốn chốn lưới chăng. 
Nhiễu nhân dân, bắt bẫy hươu đen, nơi nơi cạm đặt. 
Tàn hại cả giống côn trùng cây cỏ, 
Nheo nhóc thay kẻ góa bụa khốn cùng. 
Thằng há miệng, đứa nhe răng, 
Máu mỡ bấy no nê chưa chán, 
Nay xây nhà, mai đắp đất, 
Chân tay nào phục dịch cho vừa ? 
Nặng nề những nổi phu phen 
Tan tác cả nghề canh cửi. 
Độc ác thay, trúc Nam Sơn không ghi hết tội, 
Dơ bẩn thay, nước Đông Hải không rửa sạch mùi! 
Lòng người đều căm giận, 
Trời đất chẳng dung tha; 
Ta đây: 
Núi Lam Sơn dấy nghĩa 
Chốn hoang dã nương mình 
Ngẫm thù lớn há đội trời chung 
Căm giặc nước thề không cùng sống 
Đau lòng nhức óc, chốc đà mười mấy năm trời 
Nếm mật nằm gai, há phải một hai sớm tối. 
Quên ăn vì giận, sách lược thao suy xét đã tinh, 
Ngẫm trước đến nay, lẽ hưng phế đắn đo càng kỹ 
Những trằn trọc trong cơn mộng mị, 
Chỉ băn khoăn một nỗi đồ hồi 
Vừa khi cờ nghĩa dấy lên, 
Chính lúc quân thù đang mạnh. 
Lại ngặt vì: 
Tuấn kiệt như sao buổi sớm, 
Nhân tài như lá mùa thu, 
Việc bôn tẩu thiếu kẻ đở đần, 
Nơi duy ác hiếm người bàn bạc, 
Tấm lòng cứu nước, 
Vẫn đăm đăm muốn tiến về Đông, 
Cỗ xe cầu hiền, 
Thường chăm chắm còn dành phía tả. 
Thế mà: 
Trông người, người càng vắng bóng, 
Miịt mù như nhìn chốn bể khơi. 
Tự ta, ta phải dốc lòng, 
Vội vã hơn cứu người chết đói. 
Phần vì giận quân thù ngang dọc, 
Phần vì lo vận nước khó khăn, 
Khi Linh Sơn lương hết mấy tuần, 
Lúc Khôi Huyện quân không một đội. 
Trời thử lòng trao cho mệnh lớn 
Ta gắng trí khắc phục gian nan. 
Nhân dân bốn cõi một nhà, 
Dựng cần trúc ngọn cờ phấp phới 
Tướng sĩ một lòng phụ tử, 
Hòa nước sông chén rượu ngọt ngào. 
Thế trận xuất kỳ, lấy yếu chống mạnh, 
Dùng quân mai phục, lấy ít địch nhiều. 
Trọn hay: 
Đem đại nghĩa để thắng hung tàn, 
Lấy chí nhân để thay cường bạọ 
Trận Bồ Đằng sấm vang chớp giật, 
Miền Trà Lân trúc chẻ tro bay. 
Sĩ khí đã hăng quuân thanh càng mạnh. 
Trần Trí, Sơn Thọ nghe hơi mà mất vía, 
Lý An, Phương Chính, nín thở cầu thoát thân. 
Thừa thắng đuổi dài, Tây Kinh quân ta chiếm lại, 
Tuyển binh tiến đánh, Đông Đô đất cũ thu về. 
Ninh Kiều máu chảy thành sông, tanh hôi vạn dặm 
Tụy Động thây chất đầy nội, nhơ để ngàn năm. 
Phúc tâm quân giặc: Trần Hiệp đã phải bêu đầu 
Mọt gian kẻ thù: Lý Lượng cũng đành bỏ mạng. 
Vương Thông gỡ thế nguy, 
Mà đám lửa cháy lại càng cháy 
Mã Anh cứu trận đánh 
Mà quân ta hăng lại càng hăng. 
Bó tay để đợi bại vong, 
Giặc đã trí cùng lực kiệt, 
Chẳng đánh mà người chịu khuất, 
Ta đây mưu phạt tâm công. 
Tưởng chúng biết lẽ ăn năn 
Nên đã thay lòng đổi dạ 
Ngờ đâu vẫn đương mưu tính 
Lại còn chuốc tội gây oan. 
Giữ ý kiến một người, 
Gieo vạ cho bao nhiêu kẻ khác, 
Tham công danh một lúc, 
Để cười cho tất cả thế gian. 
Bởi thế: 
Thằng nhãi con Tuyên Đức động binh không ngừng 
Đồ nhút nhát Thạnh, Thăng đem dầu chữa cháy 
Đinh mùi tháng chín, 
Liễu Thăng đem binh từ Khâu Ôn kéo lại 
Năm ấy tháng mười, 
Mộc Thạnh chia đường từ Vân Nam tiến sang. 
Ta trước đã điều binh thủ hiểm, 
Chặt mũi tiên phong 
Sau lại sai tướng chẹn đường 
Tuyệt nguồn lương thực 
Ngày mười tháng tám, trận Chi Lăng, Liễu Thăng thất thế 
Ngày hai mươi, trận Mã Yên, Liễu Thăng cụt đầu 
Ngày hăm lăm, bá tước Lương Minh đại bại tử vong 
Ngày hăm tám, thượng thư Lý Khánh cùng kế tự vẫn. 
Thuận đà ta đưa lưỡi dao tung phá 
Bí nước giặc quay mũi giáo đánh nhau 
Lại thêm quân bốn mặt vây thành 
Hẹn đến giữa tháng mười diệt giặc 
Sĩ tốt kén người hùng hổ 
Bề tôi chọn kẻ vuốt nanh 
Gươm mài đá, đá núi cũng mòn 
Voi uống nước, nước sông phải cạn. 
Dánh một trận, sạch không kình ngạc 
Đánh hai trận tan tác chim muông. 
Cơn gió to trút sạch lá khô, 
Tổ kiến hổng sụt toang đê vỡ. 
Đô đốc Thôi Tụ lê gối dâng tờ tạ tội, 
Thượng thư Hoàng Phúc trói tay để tự xin hàng. 
Lạng Giang, Lạng Sơn, thây chất đầy đường 
Xương Giang, Bình Than, máu trôi đỏ nước 
Ghê gớm thay! Sắc phong vân phải đổi, 
Thảm đạm thay! Ánh nhật nguyệt phải mờ. 
Bị ta chặn ở Lê Hoa, 
Quân Vân Nam nghi ngờ, khiếp vía mà vỡ mật 
Nghe Thăng thua ở Cần Trạm, 
Quân Mộc Thạnh xéo lên nhau, chạy để thoát thân. 
Suối Lãnh Câu, máu chảy thành sông, 
Nước sông nghẹn ngào tiếng khóc 
Thành Đan Xá, thây chất thành núi, 
Cỏ nội đầm đìa máu đen. 
Cứu binh hai đạo tan tành, quay gót chẳng kịp, 
Quân giặc các thành khốn đốn, cởi giáp ra hàng 
Tướng giặc bị cầm tù, 
Như hổ đói vẫy đuôi xin cứu mạng 
Thần vũ chẳng giết hại, 
Thể lòng trời ta mở đường hiếu sinh 
Mã Kỳ, Phương Chính, cấp cho năm trăm chiếc thuyền, 
Ra đến biển mà vẫn hồn bay phách lạc, 
Vương Thông, Mã Anh, phát cho vài nghìn cỗ ngựa, 
Về đến nước mà vẫn tim đập chân run. 
Họ đã tham sống sợ chết mà hòa hiếu thực lòng 
Ta lấy toàn quân là hơn, để nhân dân nghỉ sức. 
Chẳng những mưu kế kì diệu 
Cũng là chưa thấy xưa nay 
Xã tắc từ đây vững bền 
Giang sơn từ đây đổi mới 
Càn khôn bĩ rồi lại thái 
Nhật nguyệt hối rồi lại minh 
Ngàn năm vết nhục nhã sạch làu 
Muôn thuở nền thái bình vững chắc 
Âu cũng nhờ trời đất tổ tông 
Linh thiêng đã lặng thầm phù trợ; 
Than ôi! Một cỗ nhung y chiến thắng, 
Nên công oanh liệt ngàn năm 
Bốn phương biển cả thanh bình, 
Ban chiếu duy tân khắp chốn. 
Xa gần bá cáo, 
Ai nấy đều hay.

-------------------------------------------------------------------------------------------

 Khoa học là một điều tuyệt vời khi không phải dùng nó để kiếm sống.

 Albert Einstein .

Thứ Ba, 27 tháng 5, 2014

Nghe Hịch tướng sĩ trên biển Đông


TUẦN HÀNH CHỐNG Trung quốc XÂM LƯỢC LÃNH HẢI VIỆT NAM - Phần 4 .










 



Nghe Hịch tướng sĩ trên biển Đông 


Mắt hướng biển Đông, Hịch cầm tay 

Uy nghi người đứng Song Tử Tây 
Đầu đội trời xanh, chân đạp sóng 
Sóng Bạch Đằng Giang có về đây? 

Ba lần quét sạch giặc Nguyên Mông 

Hịch tướng sĩ văn dậy non sông 
Giờ ông ra biển cùng con cháu 
Một cõi trời nam dậy trống đồng 

Người nghe biển động phía Trường Sa 

Ngực trần chắn đạn lính đảo ta 
Những hồn lính trận chưa yên ngủ 
Mộ gió cồn cào với Gạc Ma 

Người nghe sóng dội phía Hoàng Sa 

Có kẻ hung hăng chiếm biển ta 
Đã cắm giàn khoan vào ngực biển 
Nhói lòng như chạm máu xương ta 

Sông núi ngàn năm vẫn còn đây 

Biển vẫn ngàn năm sóng dâng đầy 
Bao lớp giặc thù tan dưới sóng 
Từng trang sử biển bão giông này 

Người hỏi màu xanh lá phong ba 

Hồn cây thao thức với Trường Sa 
Con dân đất Việt còn thương nhớ 
Muôn trùng sóng mặn dội Hoàng Sa

 Nghe Hịch tướng sĩ ở Trường Sa 

Gối đầu trên sóng ngậm hờn ca 
Ca rằng: Muôn thuở non sông Việt 
Lớp lớp con dân giữ nước nhà 



NGUYỄN VIỆT CHIẾN 
5.2014 
18/05/2014 ( Theo báo Thanh Niên ) 

 ------------------------------------------------------------------------------------------- 

 Khoa học là một điều tuyệt vời khi không phải dùng nó để kiếm sống. 

 Albert Einstein .


Thứ Bảy, 24 tháng 5, 2014

KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM CÁC ĐƯỜNG CONG 2D - Phần 5 . Fe - Ka (22-32)

KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM CÁC ĐƯỜNG CONG 2D - 
Phần 5 . Fe - Ka (22-32)






Lời nói đầu .


 Như chúng ta đã biết loạt bài " DANH MỤC CÁC ĐƯỜNG CONG "  được trình bày trước đây gồm có 3 phần . Nội dung của những phần này là liệt kê các phương trình , tên gọi  cùng các giai thoại và chú thích lịch sử của một số đường cong thường xuất hiện trong toán học , vật lý , thiên văn và nhiều ngành kỹ thuật khác .

Bạn đọc có thể theo dõi chi tiết trên các trang sau :

Phần 3 . http://cohtran.blogspot.com/2012/09/danh-muc-cac-duong-cong-3.

Phiên bản mới nhất đăng trên
http://tusach.thuvienkhoahoc.com/wiki/Danh_mục_và_lịch_sử_các_đường_cong


Tiếp theo sau đây là chuyên mục " KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM CÁC ĐƯỜNG CONG 2D " ,
Mục đích của chuỗi bài viết này là khảo sát đồ thị các đường cong bằng các công cụ trực tuyến (online)  hoặc trình ứng dụng ( phần mềm offline ) .
Việc thực hành này là hết sức cần thiết và cũng mang lại nhiều kết quả lợi ích . Một mặt nó giúp chúng ta hiểu rõ hơn về các tính chất đặc trưng của các đường cong , mặt khác cũng là dịp làm quen với một số trình ứng dụng có quy mô lớn và tốc độ xử lý rất mạnh   . Từ đó chúng ta có thêm kiến thức về đồ họa phục vụ cho việc nghiên cứu hoặc giải quyết những bài toán cụ thể trong phạm vi chuyên môn của mình .

Xin trân trọng giới thiệu cùng bạn đọc .


Trần hồng Cơ 
Ngày 18 /05/ 2014 .



-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Xin chào các bạn , trong phần 4 trước đây chúng ta đã khảo sát và thực hành đồ họa các đường cong từ Co đến Eq ( 11 - 21 ) bằng GP và GX . Cũng trong mục II của bài viết đó chúng ta đã nắm được một số lệnh và tùy chọn cho trình ứng dụng Maple V . Trong phần 5 này chúng ta sẽ tìm hiểu các khái niệm xây dựng đường cong , sử dụng GP , GX hoặc wxM vẽ đồ thị và bổ sung chi tiết các lệnh đồ họa của Maple V .
Đối với độc giả có ý thích nghiên cứu sâu thêm nền tảng toán học phần lưu trữ ở cuối mỗi tiểu mục chứa những tài liệu , hình ảnh minh họa và những tập tin multimedia về các đường cong .





I . Vẽ đồ thị các đường cong từ  Fe - Ka  [22 - 32]  bằng trình ứng dụng .

1.1  Fermat’s Spiral (Đường xoắn ốc Fermat)  [22]

A . Khái niệm .
Đường xoắn ốc Fermat còn có tên gọi là đường xoắn ốc parabolic , nó là dạng đặc biệt của đường cong xoắn ốc Archimedes có phương trình tổng quát là
$ r = \theta^m$
Các trường hợp đặc biệt ( xem hình )
m = -1  ta có đường xoắn ốc hyperbolic [xanh]
m = -1/2  ta có đường xoắn ốc lituus [đỏ]
m = 1/2  ta có đường xoắn ốc Fermat  [xanh cây]
m = 1  ta có đường xoắn ốc Archimedes  [tím]


Đối với đường xoắn ốc Fermat  với giá trị θ > 0 , hàm có hai giá trị tương ứng của r, có cùng trị tuyệt đối và đối dấu .  Đường xoắn ốc sẽ đối xứng qua đường phân giác thứ hai y = – x
Khi chọn cực là tâm nghịch đảo , đường nghịch đảo của Spiral Fermat,  cũng là một đường xoắn ốc có phương trình  $r^2=\frac{a^2}{ \theta }$

Xem chi tiết :  https://www.geogebratube.org/material/iframe/id/21036



Từ phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
$r^2 = θ.a^2$  với $ \theta > 0$  ta có  $r =  a. θ^{1/2}$   ( đồ thị màu đỏ )  và $r = - a. θ^{1/2}$ ( màu xanh ) như sau

+Chiều dài cung  $S(\theta)=a \sqrt{\theta}_2F_1(-1/2,1/4,5/4,-4 \theta^2)$
với $_2F_1(a,b;c;x)$  là hàm siêu hình học .

Các bạn xem chi tiết tại
HÀM ĐẶC BIỆT - Phần 2 .
http://tinyurl.com/k6gmpho

+Độ cong  $C(\theta)= 2/a . \sqrt{\theta}.(3+4\theta^2)/(1+4.\theta^2)^{3/2}$
+Chu vi
+Diện tích

Các đường liên hợp
Xem  http://youtu.be/7YsdObdK9YE

 B. Phương trình .

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
$r^2 = θ.a^2$
r^2 = θ*a^2

Phương trình tham số đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$x = a. \sqrt{t}cost ; y = a. \sqrt{t}sint$
x = a*sqrt(t)*cos(t) ; y = a*sqrt(t)sin(t)

Phương trình dạng ẩn của đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$y/x=tan\left ( \frac{x^2+y^2}{a^2} \right )$

Dùng GX nhập liệu    r= a*sqrt(t)
Thực hành :
 r= 1/2*sqrt(t)
 r= 1*sqrt(t)
 r= 2*sqrt(t)
 r= 3*sqrt(t)


Lưu trữ :


1.2  Folium (Đường hình lá)  [23] 



A . Khái niệm .
Phương trình tổng quát của đường hình lá
$(x^2 + y^2)(x^2 + y^2 + bx) = 4a.xy^2$
Ba dạng đặc biệt là đường lá đơn, lá đôi và  lá ba, tương ứng với  b = 4a, b = 0, b = a
( xem phần 4 -I- 1.5  )


Đường hình lá có bậc là  4 , diện tích được tính bởi công thức
$ S = \pi /4 (2a^2 - 2ab +b^2)$
 Đường hình lá chính là đường pedal của đường cong deltoid ( xem hình dưới )  , với O là tâm của pedal và deltoid có tâm A(a,b) và đỉnh là B(a - 3r,b) trong đó r là bán kính đường tròn nội tiếp deltoid . Phương trình deltoid có dạng tham số
$x = a - r(cos2t+2cost) ; y = b + r(sin2t - 2sint)$



+ Đường lá đơn b = 4a , khi đó phương trình trong hệ tọa độ cực là
$r = -4a.cos^3θ$
Độ cong
 $C(\theta) = -a/2 .cos^3θ(1+ 8sin^2θ)^{3/2}/(1+2sin^2θ)$
Diện tích
$ S =5  \pi .a^2 /2 $
Chiều dài cung
$L(\theta) =8a\int_{0}^{\pi}cos^2\theta \sqrt{1+8sin^2\theta }d\theta $
Công thức gần đúng  $L  \approx  5.161 a $


+ Đường lá đôi b = 0 , phương trình trong hệ tọa độ cực là
$ r = 4acosθ.sin^2θ$
Diện tích
$ S = \pi .a^2 /2 $
Chiều dài cung
Trong đó


Các bạn xem chi tiết tại
HÀM ĐẶC BIỆT - Phần 2 .
http://tinyurl.com/k6gmpho


Công thức gần đúng  $L  \approx  7.155 a $
Độ cong
$C(\theta)=\frac{[3+3cos2\theta +cos4\theta]csc\theta}{a\sqrt{2}[3+3cos2\theta +2cos4\theta]^{3/2}}$


+ Đường lá ba  b = a , phương trình trong hệ tọa độ cực là
$ r = -acos3θ$
Diện tích
$ S = \pi .a^2 /4 $
Chiều dài cung
$ L = 2a.E(2 \sqrt{2}i)$
Công thức gần đúng  $L  \approx  6.682 a $
Độ cong
$C(\theta )=\frac{14-4cos6\theta}{a(5-4cos6\theta)^{3/2}}$


Xem chi tiết : https://www.geogebratube.org/material/iframe/id/108437




Xem chi tiết : https://www.geogebratube.org/material/iframe/id/107757




Xem chi tiết :   https://www.geogebratube.org/material/iframe/id/10873
 

Các đường liên hợp
Xem  http://youtu.be/KWvfvkj9DPI

 B. Phương trình .

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$(x^2 + y^2)(x^2 + y^2 + bx) = 4a.xy^2$
(x^2 + y^2)*(x^2 + y^2 + b*x) = 4*a*x*y^2


Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes:
$x = cos^2t(4asin^2t - b) ; y = sintcost(4asin^2t - b)$



Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
$r = − b.cosθ + 4acosθ.sin^2θ$
r = − b*cos(θ) + 4*a*cos(θ).sin(θ)^2


Dùng GP nhập liệu  r = − b*cos(t) + 4*a*cos(t).sin(t)^2
Thực hành :
r = -4*cos(t) + 4*cos(t)*sin(t)^2  ( a = 1 , b = 4a = 4 )  [ folium  đơn : xanh ]
r =  4*cos(t)*sin(t)^2  ( a = 1 , b = 0 )  [ folium  đôi : đỏ ]
r = -cos(t) + 4*cos(t)*sin(t)^2  ( a = b = 1 )  [ folium  ba : xanh cây ]

Lưu trữ :


1.3 Folium of Descartes (Đường hình lá Descartes)  [24]

A . Khái niệm .

+Đường cong này do Descartes đề xuất để thách thức kỹ thuật tìm cực trị của Fermat .
Phương trình đường cong dạng tham số :
$x = 3at/(1+t^3) ; y = 3at^2/(1+t^3) $
+Folium có một đường tiệm cận x + y + a = 0.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm $t = p$  là  $p(p^3 − 2)x + (1 − 2p^3)y + 3ap^2 = 0$
Đường cong đi qua gốc O lần thứ nhất tại t = 0 và tiến về gốc O lần thứ hai khi t tiến ra vô cực .

+Độ cong $C(t )=\frac{2(1+t^3)^4}{3(t^8+4t^6-4t^5-4t^3+4t^2+1)^{3/2}}$
+Diện tích vòng lặp là
$S=\frac{1}{2}\int r^2d\theta$  hay   $S = 3/2a^2$  ( xem hình )
+Chiều dài cung của vòng lặp  $L \approx 4.917 a$


Xem chi tiết :  https://www.geogebratube.org/material/iframe/id/29539





Xem chi tiết :  https://www.geogebratube.org/material/iframe/id/113142

 


Các đường liên hợp :
Xem  http://youtu.be/XxnhQBeI2a8 

B. Phương trình .

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:

$x^3 + y^3 = 3a.xy$
x^3 + y^3 = 3*a*x*y

Phương trình tham số đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$x = at/(1+t^3) ; y = 3at^2/(1+t^3)$
x = a*t/(1+t^3) ; y = 3*a*t^2/(1+t^3)

Phương trình tham số đường cong trong hệ tọa độ cực  
$r^2=(1+t^2)\left ( \frac{3at}{1+t^3} \right )^2$
$\theta=arctan(t)$

Dùng GP nhập liệu   x^3 + y^3 = 3*a*x*y
phương trình tiếp tuyến  x + y + a = 0     [ với a = 1 , 2 , ... ]


Lưu trữ :


1.4  Freeth’s Nephroid (Đường cong Nephroid Freeths)  [25]


A . Khái niệm .
Đường cong Freeth nephroid có thể xem là trường hợp đặc biệt của một Strophoid có phương trình trong hệ tọa độ cực tổng quát là
 
Tương ứng với đường cong khởi xuất $\Gamma_0$ là đường tròn tâm A ,  điểm O cố định  và điểm P ( khác O ) trên đường tròn . Đường thẳng (d)  di động qua A  , quỹ tích những điểm M sao cho PO = PM chính là Freeth nephroid .

Freeth nephroid cũng là đường cong pedal của một cardioid có phương trình
 
hoặc bằng phương pháp tham số hóa Freeth nephroid cũng là đường cong thuộc họ tritrochoid .


Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
$r  = a[1+2sin(θ/2)]$

+Diện tích giới hạn bởi đường biên ngoài là
$S=(3 \pi +8) a^2$
+Chiều dài cung là
$L= 8/3 \sqrt{3}a . [3E(k)-3K(k)+4 \Pi(-1/3,k)]$
với  $ k = \sqrt{2/3}$ , $E(k)$ và $K(k)$ là tích phân elliptic đầy đủ loại 1 và 2 . $ \Pi(-1/3,k)$ là tích phân elliptic đầy đủ loại 3 .
( xem HÀM ĐẶC BIỆT - Phần 2 .
http://tinyurl.com/k6gmpho  )
+Công thức gần đúng  $L  \approx  21.203 a $
+Độ cong
$C(\theta )=\sqrt{2}\frac{[9-3cos \theta + 9sin(\theta/2)]}{[7-3cos\theta +8sin(\theta/2)]^{3/2}}$
Các đường liên hợp :
Xem   http://youtu.be/BghxtYpYaJ4

 B. Phương trình .

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
$r  = a[1+2sin(θ/2)]$
r  = a*(1+2*sin(θ/2))

Nhập liệu bằng Maple V   r  = a*(1+2*sin(t/2))
plot(1*(1+2*sin(t/2)),t=-4*Pi..4*Pi,coords=polar);

Thực hành với  a = 1,2,3 
plot([1*(1+2*sin(t/2)),2*(1+2*sin(t/2)),3*(1+2*sin(t/2))],t=-4*Pi..4*Pi,coords=polar);


Lưu trữ :


1.5  Frequency Curve (Đường cong tần số)  [26]

A . Khái niệm .
Đường cong tần số minh họa một trong những hàm phân phối phổ biến nhất , đặc biệt trong lý thuyết sai số , còn được gọi là đường cong chuẩn tắc , sai số chuẩn tắc , đường cong tần số .
Nhà toán học de Moivre phát hiện ra đường cong này năm 1733 tuy nhiên nó cũng đã được Laplace và Gauss tìm thấy khi nghiên cứu nhiều lĩnh vực khác nhau về lý thuyết xác suất và phép tính sai số .

Trong xác suất , các phân phối tương ứng với đường cong tần số còn có tên là
-Phân phối de Moivre
-Phân phối Gauss
-Phân phối Gauss-Laplace .

Hàm mật độ xác suất của phân phối chuẩn với trung bình  $\mu$ và độ lệch chuẩn $\sigma$  ( là một ví dụ về hàm Gauss ) , có biểu diễn như sau
$f(x;\mu,\sigma)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi }}exp[-(x-\mu)^2/{2\sigma^2}]$

Khi  $\mu =0$  và $\sigma = 1$ , phân phối được gọi là phân phối chuẩn và hàm mật độ xác suất rút gọn thành $f(x;0,1)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi }}exp[-x^2/{2}]$

Nguồn : http://vi.wikipedia.org/wiki/Phân_phối_chuẩn
Hàm phân phối tích lũy (cdf) chính là xác suất để một biến ngẫu nhiên X có giá trị nhỏ hơn hay bằng x , được biểu diễn bởi :
$F(x;\mu,\sigma)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2 \pi }}\int_{-\infty}^{x}exp[-(t-\mu)^2/{2\sigma^2}]dt$

Khai triển Taylor của hàm mật độ Gauss tại  $x = 0$ có dạng
$f(x;0,1) \approx \sqrt{2}.[1-x^2/2+x^4/8-x^6/48+...-...]$

+Chiều dài cung
$ L(x)  \approx  -1.1486+1.3183.x+0.0008541(x-1)^2-0.1863(x-1)^3+0.0459(x-1)^4 $
với $x \in (0,1) $
+Độ cong  $C(x) = \sqrt{2}.e^{-x^2/2}. |x^2-1|/[1+2.x^2.e^{-x^2}]^{3/2}$
+Chu vi
+Diện tích giới hạn bởi đường cong và 2 cận $a= -m ,b= m $  là
$S =2 \sqrt{\pi}.erf(m \sqrt{2}/2)$
Khi m tiến ra vô cực ta có

Các đường liên hợp :
Xem   http://youtu.be/A4gS_y4AQdw

 B. Phương trình .

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$y  = \sqrt{2}exp(-x^2/2)$
y  = sqrt(2)*exp(-x^2/2)

Nhập liệu bằng Maple V
plot(sqrt(2)*exp(-x^2/2),x=-infinity..infinity);

Nhập liệu bằng GP 
y  = sqrt(2)*exp(-x^2/2)



1.6  Hyperbola (Đường cong Hyperbole)  [27]

A . Khái niệm .

Cho hai điểm cố định F1 , F2  trong mặt phẳng Oxy , quỹ tích các điểm M trong mặp phẳng Oxy thỏa mãn 
$MF1-MF2=2a$ là đường hyperbola 
 Cho đường thẳng (D) và điểm F cố định trong mặt phẳng , quỹ tích các điểm M chạy trong mặt phẳng sao cho $\frac{MF}{MH}=e$  là một hyperbola  , trong đó  $MH= d[M,(D)]$  là khoảng cách từ M đến (D) .
Hyperbola cũng là một đường cong trong họ conic , là giao tuyến của một hình nón đôi và mặt phẳng song song với trục chính đi qua đỉnh . 

Phương trình tổng quát của hyperbola có tâm tại điểm $I(x_{0},y_{0})$  là
$(x-x_{0})^2/a^2 - (y-y_{0})^2/b^2 = 1$  với  $b^2 = c^2 - a^2$
Nếu   $I(x_{0},y_{0})$  trùng gốc tọa độ O , phương trình hyperbola thành $x^2/a^2 - y^2/b^2=1$
Đường pháp bao ngoài của hyperbola với phương trình chính tắc trên là đường cong Lame :
$(ax)^{2 / 3} − (by)^{2 / 3} = (a + b)^{2 / 3}$

Tham số hóa đường hyperbola có dạng $x = a.sect ; y = b.tant$ , khi đó
+Chiều dài cung  $L(t)=-ib.E(it,c/b)$  với $E(\phi,k)$ là tích phân elliptic loại 2 .
+Độ cong  $C(t)=-ab/(a^2sinh^2t+b^2cosh^2t)^{3/2}$
+Chu vi
+Diện tích

Xem chi tiết :  https://www.geogebratube.org/material/iframe/id/46702



Xem chi tiết :   https://www.geogebratube.org/material/iframe/id/70902




Các đường liên hợp :
Xem  http://youtu.be/r6RyGBdrJ4U

 B. Phương trình .

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$x^2/a^2 - y^2/b^2=1$
x^2/a^2 - y^2/b^2=1


Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes:
$x = a.sect ; y = b.tant$
x = a*sec(t) ; y = b*tan(t)

Nhập liệu bằng GX với a = 5 , b = 3

plotimplicit(x^2/25-y^2/9=1,[x=-5..5,y=-5..5],xstep=0.25,ystep=0.25,display=magenta+filled)
hoặc
plotparam([5*sec(t),3*tan(t)]
,t=-3.14..3.14,tstep=0.1,display=magenta+filled)

1.7  Hyperbolic Spiral (Đường xoắn ốc Hyperbolic)  [28]

A . Khái niệm .
Đường xoắn ốc hyperbolic mô tả quan hệ tỷ lệ nghịch giữa bán kính cong r và góc quay θ .
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực $r  = a/ θ$

Bằng cách tham số hóa ta có được phương trình tham số đường cong trong hệ tọa độ Descartes


 Khử tham số t giữa x và y trong phương trình tham số trên sẽ được phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes ( dạng ẩn )


Nếu điểm cực là tâm của phép nghịch đảo, thì đường xoắn ốc hyperbolic r = a / θ đảo ngược thành đường xoắn ốc Archimedes r = aθ.


+Chiều dài cung
$L(\theta) = a/ \theta. [- \sqrt{\theta^2+a^2}+ \theta.ln(\theta+ \sqrt{\theta^2+a^2})]+a. \sqrt{2} - a.ln(a+a.  \sqrt{2})$
+Độ cong  $C(\theta)=\theta^4/[a.(1+\theta^2)^{3/2}]$
+Chu vi
+Diện tích


Xem chi tiết  https://www.geogebratube.org/material/iframe/id/53500 




Xem chi tiết   https://www.geogebratube.org/material/iframe/id/47337 




Các đường liên hợp
Xem   http://youtu.be/Gx9Bbq-7B-U

 B. Phương trình .

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
$r  = a/ θ$
r  = a/ θ

Nhập liệu bằng GX với  a = 1

plotpolar(1/t,t=0..10*3.14,tstep=0.1,display=red+filled)
hoặc
plotparam([cos(t)/t,sin(t)/t]
,t=0..10*3.14,tstep=0.1,display=blue+filled)

1.8  Hypocycloid (Đường cong Hypocycloid)  [29] 




A . Khái niệm .
Họ gồm 4 đường cong epicycloid, epitrochoid, hypocycloid và hypotrochoid và đều được vẽ từ một điểm P trên một đường tròn bán kính b lăn không trượt trên một đường tròn bán kính cố định a. Đối với các hypocycloid , có đồ thị như trên tương ứng với tỷ số  a/b , đường tròn bán kính b cuộn vào bên trong vòng tròn bán kính a. P là điểm trên chu vi của vòng tròn bán kính b .


Trong hệ tọa độ Descartes phương trình hypocycloid có dạng :
$x = (a-b)cost  +  b.cos(a/b-1)t$
$y = (a-b)sint  -  b.sin(a/b-1)t$

+Chiều dài cung  $L(t)= \frac{8ab-8b^2}{a}.sin^2[at/(4b)]$
+Độ cong  $C(t)= \frac{2b-a}{4ab-4b^2}.csc[at/(2b)]$
+Chu vi
+Diện tích

Khi  $a/b = n $ với $n \in N$  ta được hypocycloid có n đỉnh



Khi  $a/b = k $ với $k \in Q$  ta được hypocycloid tự đóng , có a đỉnh nhọn hướng ngoại .



Khi  $a/b = h $ với $h \in R  \ Q$  ta được hypocycloid không tự đóng .



Trình Java dưới đây minh họa Epicycloid và Hypocycloid. Dùng mouse di chuyển các thanh màu vang, tím, xanh và xanh cây để xem đồ thị các đường cong tương ứng.
Nguồn: http://www.carloslabs.com/projects/200805B/index.html

Một cơ cấu truyền động ứng dụng hypocycloid .



Xem chi tiết   https://www.geogebratube.org/material/iframe/id/20412

Các đường liên hợp
Xem    http://youtu.be/Cs7m-XsucZo

 B. Phương trình .

Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes:
$x = (a-b)cost  +  b.cos(a/b-1)t$
$y = (a-b)sint  -  b.sin(a/b-1)t$

x = (a-b)*cos(t)  +  b*cos((a/b-1)*t)
y = (a-b)*sin(t)  -  b*sin((a/b-1)*t)

Nhập liệu bằng  Maple V

Thực hành với
a:=5;b:=3;
> plot([(a-b)*cos(t)  +  b*cos((a/b-1)*t),(a-b)*sin(t)  -  b*sin((a/b-1)*t),t=-10*Pi..10*Pi]);

a:=1;b:=7;
> plot([(a-b)*cos(t)  +  b*cos((a/b-1)*t),(a-b)*sin(t)  -  b*sin((a/b-1)*t),t=-10*Pi..10*Pi]);

a:=9;b:=3;
> plot([(a-b)*cos(t)  +  b*cos((a/b-1)*t),(a-b)*sin(t)  -  b*sin((a/b-1)*t),t=-10*Pi..10*Pi]);

a:=sqrt(2);b:=sqrt(3);
> plot([(a-b)*cos(t)  +  b*cos((a/b-1)*t),(a-b)*sin(t)  -  b*sin((a/b-1)*t),t=-50*Pi..50*Pi]);


1.9  Hypotrochoid (Đường cong Hypotrochoid)  [30]


A . Khái niệm .
Xét một điểm P trên một đường tròn bán kính b lăn không trượt bên trong một đường tròn bán kính a cố định . Đối với hypotrochoid , đường tròn bán kính b cuộn vào bên trong đường tròn bán kính a. P là điểm có khoảng cách c tính từ tâm của vòng tròn bán kính b .
Phương trình tham số của đường cong
$x = (a-b)cost  +  c.cos(a/b-1)t$
$y = (a-b)sin(t)  -  c.sin(a/b-1)t$

Khi điểm P nằm trong đường tròn bán kính  b ta có đồ thị hypotrochoid như sau , các đỉnh nhọn nằm trên đường tròn bán kính a .



Khi điểm P nằm ngoài đường tròn bán kính  b  ta có đồ thị hypotrochoid như sau , các vòng loop nằm trên đường tròn bán kính a .
Một vài đồ thị hypotrochoid đặc biệt

Khi  $c=0$ ta có đường tròn .
Khi  $ c = b$ ta có đường cong hypocycloid .
Khi  $a = 2b$ ta có ellipse .
Khi  $a =2nc/(n+1) , b =(n-1)c/(n+1)$ ta có đường bông hồng ( rose ) .
Ví dụ   hồng 3 cánh ,  hồng 4 cánh  ,  hồng 8 cánh .

Khi  $a/2 = b = c$  ta có đường thẳng  có chiều dài là 2a .
Khi  $a/2 = b \neq c $  ta có ellipse nhỏ. hoặc  ellipse lớn 
Khi  $a/3 = b = c$  ta có deltoid nhỏ hoặc deltoid lớn .
Khi  $a/4 = b = c$  ta có astroid nhỏ  hoặc astroid lớn .

+Chiều dài cung
$L(t)=2|a-b||b-c|.E( \frac{at}{2b}, \frac{2i \sqrt{bc}}{|b-c|})$
+Độ cong
$C(t)= \frac{b^3+(b-a)c^2+(a-2b)bc.cos(at/b)}{|a-b|[b^2+c^2-2bc.cos(at/b)]^{3/2}}$
+Chu vi
+Diện tích


Xem chi tiết  :   https://www.geogebratube.org/material/iframe/id/87150 




Xem chi tiết   https://www.geogebratube.org/material/iframe/id/87150




Các đường liên hợp
Xem   http://youtu.be/Izgee68YHxs

B. Phương trình .

Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes:
$x = (a-b)cost  +  c.cos(a/b-1)t$
$y = (a-b)sin(t)  -  c.sin(a/b-1)t$


x = (a-b)*cos(t)  +  c*cos((a/b-1)*t)
y = (a-b)*sin(t)  -  c*sin((a/b-1)*t)

Nhập liệu bằng Maple V
a:=sqrt(3);b:=sqrt(2);c:=1/13  ;
> plot([(a-b)*cos(t)  +  c*cos((a/b-1)*t),(a-b)*sin(t)  -  c*sin((a/b-1)*t),t=-50*Pi..50*Pi]);

a:=1;b:=7/13;c:=5/13  ;
> plot([(a-b)*cos(t)  +  c*cos((a/b-1)*t),(a-b)*sin(t)  -  c*sin((a/b-1)*t),t=-50*Pi..50*Pi]);

a:=sqrt(2);b:=sqrt(3);c:=sqrt(5)/13  ;
> plot([(a-b)*cos(t)  +  c*cos((a/b-1)*t),(a-b)*sin(t)  -  c*sin((a/b-1)*t),t=-50*Pi..50*Pi]);

a:=sqrt(3);b:=7/5;c:=5/13  ;
> plot([(a-b)*cos(t)  +  c*cos((a/b-1)*t),(a-b)*sin(t)  -  c*sin((a/b-1)*t),t=-50*Pi..50*Pi]);




1.10  Involute of a Circle (Đường pháp bao trong của đường tròn)  [31]

A . Khái niệm .
Một định nghĩa hình học : đường pháp bao trong của một đường tròn là quỹ tích tạo ra bởi một điểm trên một đường thẳng cuộn xung quanh đường tròn đó . Từ điểm M nằm trên đường tròn (C) và điểm P thuộc đầu kia của dây ; khi M chạy trên đường tròn (C) sao cho dây luôn được  luôn kéo căng về phía P đồng thời là tiếp tuyến tại M . Quỹ tích điểm P là đường pháp bao trong của đường tròn (C) .

Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes có dạng :
$x = a(cost+tsint)$
$y = a(sint - tcost)$


Ứng dụng : 
Leonhard Euler đề xuất sử dụng đường pháp bao trong của đường tròn cho hình dạng răng cưa của bánh răng toothwheel, một trong những ứng dụng phổ biến hiện nay, được gọi là bánh răng trong.Mô hình chuyển động bánh răng như sau . Lực cuốn (hình mũi tên ) luôn tiếp xúc với 2 đường tròn bên .
Sơ đồ bánh răng trong

+Chiều dài cung   $L(t)= \frac{1}{2}at^2$
+Độ cong   $C(t)= \frac {1}{at}$
+Chu vi
+Diện tích

Xem chi tiết
https://www.geogebratube.org/material/iframe/id/87736




Xem chi tiết
https://www.geogebratube.org/material/iframe/id/47407 





Các đường liên hợp
Xem   http://youtu.be/jXMEY5h84uw

 B. Phương trình .

Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes:
$x = a(cost+tsint)$
$y = a(sint - tcost)$


x = a*(cos(t)+t*sin(t))
y = a*(sin(t)-t*cos(t))

Nhập liệu bằng wxM

plot2d([['parametric, 2*(cos(t)+t*sin(t)), 2*(sin(t)-t*cos(t)), [t, 0, 15], [nticks, 300]]], [x,-25,35], [y
,-80,80])$

Nhập liệu bằng Maple V  ( hình động )
ani:=animate( [2*(cos(t/u)+t/u*sin(t/u)),2*(sin(t/u)-t/u*cos(t/u)),u=1..12],t=0..6*Pi, view=[-50..40,-50..40],color=red,frames=80,style=point,numpoints=600,symbol=circle):
> invo:=plot([2*(cos(t)+t*sin(t)),2*(sin(t)-t*cos(t)),t=0..6*Pi],color=green,thickness=1,style=line):
> display(ani,invo);


1.11  Kampyle Eudoxus (Đường cong Kampyle Eudoxus)  [32]

A . Khái niệm .
Đây là đường cong được Eudoxus xứ Cnidus nghiên cứu liên quan đến bài toán cổ điển về nhân đôi khối lập phương. Bài toán  Hy Lạp cổ nổi tiếng có nội dung như sau :

Những cư dân thành phố Delos -thuộc Hy Lạp - thời xưa lập một bàn thờ khối vuông với mục đích tôn vinh thần Apollo. Để thành phố thoát khỏi bệnh dịch hạch đang lan tràn , một nhà tiên tri đã yêu cầu việc xây dựng một bàn thờ mới lớn gấp hai lần thể tích . Hãy tìm số đo của cạnh khối vuông mới này .

Lời giải đại số :
 Gọi cạnh hình lập phương cũ là  $d_{1}$ , thể tích cũ là  $V_{1} = d_{1}^3$ . Thể tích  $V_{2}$ của hình lập phương mới gấp hai lần  $V_{1}$  nên  $V_{2} = 2V_{1} = 2c^3$ .  Ta có thể viết lại như sau $V_{2} = ( c. 2^{1/3}) ^3 = d_{2}^3 $
Như vậy cạnh hình lâp phương mới là $d_{2} = c.2^{1/3}$

Quỹ tích :
Xét đường tròn (C) tâm O(0,0)  và điểm P trên (C) . Dựng tiếp tuyến với (C) tại P , tiếp tuyến này cắt trục Ox tại Q . Từ Q dựng tia vuông góc với Ox cắt tia OP tại M . Khi P chạy trên (C) , quỹ tích của M là đường Kampyle Eudoxus  ( xem hình ) . Khi đó phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes có dạng :
$a^2x^4 = b^4(x^2 + y^2)$


Liên quan bài toán nhân đôi lập phương :
Xét đường Kampyle Eudoxus , dựng đường tròn tâm $C(a/ \sqrt{2} , 0)$ đi qua tâm O có phương trình tọa độ cực là $r = a \sqrt{2} cos \theta$  .Đường tròn này cắt đường Kampyle Eudoxus ở điểm Q , ta có
$OQ = a .2^{1/3}$  . Độ dài này tương tự như cạnh của khối lập phương gấp đôi thể tích (xem hình ) .

Phương trình đường Kampyle Eudoxus trong hệ tọa độ cực : $r  =  \frac{  b^2}{a.cos^θ}$
Được rút gọn thành  $r = m.sec^2 \theta $  và dạng tham số trong hệ tọa độ Descartes là
$x= a.sect$
$y=a.tant.sect$   với  $t \in [- \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$

+Chiều dài cung   $L(t)= \frac{1}{4}[arcsin(2tant)+2tant. \sqrt{1+4tan^2t}]$
+Độ cong  $C(t)= \frac{1-3cos2t}{2(1+4tan^2t)^{3/2}}$
+Chu vi
+Diện tích

Các đường liên hợp
Xem   http://youtu.be/E7tGQ4a0ImE

 B. Phương trình .

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$a^2x^4 = b^4(x^2 + y^2)$
a^2*x^4 = b^4*(x^2 + y^2)

Phương trình tham số đường cong trong hệ tọa độ Descartes :
$x= a.sect$
$y=a.tant.sect$

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
$r  =  b^2/(a*cos^2θ)$
r  =  b^2/(a*cos(θ)^2)

Nhập liệu bằng  GP
Thực hành với   a = 1/2  ,  a = 1 , a = 2
x= 0.5*sec(t) ;y= 0.5*tan(t)*sec(t)   [ đỏ ]
x= sec(t) ;y= tan(t)*sec(t)                 [ xanh ]
x= 2*sec(t) ;y= 2*tan(t)*sec(t)         [ xanh cây ]




II . Các lệnh đồ họa trong trình ứng dụng Maple .
Dưới đây là nội dung tiếp theo mục II - phần 4 trình bày các thủ tục và các tùy chọn đồ họa 2D của trình ứng dụng Maple V .

2.1  Đồ thị 2D .
2.1.3  Hàm ẩn  F(x,y) = C  .
a. Cấu trúc lệnh .  
> implicitplot (expr, x = a .. b, y = c .. d, <options>)
> implicitplot (f, a .. b, c .. d, <options>)

Các thông số:
   f - phương trình cần vẽ
   expr - biểu thức phương trình theo x và y
   a, b, c, d - hằng số thực

options - các tùy chọn như sau :
+axes ( trục ) : { FRAME, BOXED, NORMAL, NONE }
+axesfont = l (tên trục)
+labels = [x, y] Tùy chọn này xác định nhãn cho các trục. Các giá trị của x và y ở dạng chuỗi.
Tên trục :   labels  =  [ `  ` , `  ` ]
Tựa đề  :   title = `    `
+color = m ( màu sắc :  aquamarine , black,  blue,  coral , cyan  , brown  , gold , green , gray , grey  khaki , magenta , maroon , navy , orange , pink , plum , red  , sienna ,  tan , turquoise , violet , wheat  , white , yellow ) .
+coords=<name> ( chọn hệ trục tọa độ  gồm có  bipolar, cardiod , cassinian , elliptic, hyperbolic, invcassinian, invelliptic, logarithmic, logcosh , maxwell, parabolic, polar, rose,  tangent .
+discont = s
+font = ( chọn font chữ gồm có  TIMES, COURIER, HELVETICA, and SYMBOL.
Với định dạng TIMES các quy cách là ROMAN, BOLD, ITALIC , BOLDITALIC.
Với định dạng HELVETICA và COURIERcác quy cách là BOLD, OBLIQUE, BOLDOBLIQUE.


b. Các ví dụ .
with(plots):

> implicitplot(x^2 + y^2 = 1,x=-1..1,y=-1..1);  # Vẽ đường tròn gốc O bán kính 1 .
> implicitplot({x^2 - y^2 = 1,y = exp(x)},x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi,color=green); # Vẽ đồ thị hyperbola và hàm mũ trong cùng hệ trục tọa độ .
- Lệnh implicit có thể thực hiện vẽ nhiều đồ thị trên cùng hệ trục cho các hàm bất kỳ kể cả tuần hoàn .
Ví dụ :
>implicitplot({x-6*sin(12*x)*sin(12*y)=0,y^3+3*cos(12*x)*cos(12*y)=0},x=-1..1,y=-1..1,grid=[100,100],color=orange);
>implicitplot({x+sin(10*x)*cos(14*y)=0,y-cos(12*x)*cos(16*y)=1},x=-1..1,y=-1..1,grid=[40,40],color=aquamarine);
- Lệnh implicit có thể thực hiện vẽ nhiều đồ thị trên cùng hệ trục cho các hàm tọa độ cực .
Ví dụ :
>implicitplot(r*theta^2=2-cos(theta),r=0..0.1,theta=0..8*Pi,coords=polar,grid=[150,150]);
>implicitplot({r*theta^2=2-cos(theta),r^2=sec(theta)},r=0..0.1,theta=0..8*Pi,coords=polar,grid=[150,150],color=blue);
2.1.4  Tọa độ điểm  .
a. Cấu trúc lệnh .  
>pointplot([ [ , ] , [ , ] , ... , [ , ] ] );
Ví dụ : vẽ các điểm có tọa độ là [-1,1] , [0,2] , [2,3] , [2.5,3.2] , [4,3.5]  , [ 4.5, 5.5]
>pointplot([ [-1,1] , [0,2] , [2,3] , [2.5,3.2] , [4,3.5]  , [ 4.5, 5.5]],symbol=box,color=red):
Vẽ đoạn nối các điểm rời rạc chọn :  style =line
>pointplot([ [-1,1] , [0,2] , [2,3] , [2.5,3.2] , [4,3.5]  , [ 4.5,5.5]],symbol=box,color=green,style=line):

b. Vẽ điểm rời rạc và đoạn nối trên cùng hệ trục .
- Đặt hàm lệnh vẽ điểm rời rạc .
- Đặt hàm lệnh vẽ đoạn nối với style = line .
- Dùng lệnh display ( , ) để hiển thị các hàm lệnh này .

Ví dụ :
Vẽ cà hai đồ thị điểm rời rạc và đoạn nối trong cùng hệ trục
d1:=pointplot([ [-1,1] , [0,2] , [2,3] , [2.5,3.2] , [4,3.5]  , [ 4.5, 5.5]],symbol=box,color=red):
> d2:=pointplot([ [-1,1] , [0,2] , [2,3] , [2.5,3.2] , [4,3.5]  , [ 4.5,5.5]],symbol=box,color=green,style=line):
> display(d1,d2);

2.1.5  Ghi ký tự  .
a. Cấu trúc lệnh .  
>textplot( L, options);
Trong đó các tham số :
   L   - dạng list [ , ] hay dạng tập hợp {, }
+ Các options gồm có axes , color , labels , coords , font
+ Tùy chọn align = { BELOW, RIGHT, ABOVE, LEFT } để xác định vị trí của ký tự .

b. Các ví dụ .
with(plots):
> textplot([1,2,`A(1,2)`],align={ABOVE,RIGHT},color=red);
> textplot({[1,2,`A(1,2)`],[3,4,`B(3,4)`]},color=red,axes=normal,view=[-5..5,-5..5]);
> textplot([[-2,3,`C(-2,3)`],[2,1,`D(2,1)`]],color=red,axes=normal,view=[-5..5,-5..5]);
> p := plot(sin(x),x=-Pi..Pi): delta := 0.05:
> t1 := textplot([Pi/2,1+delta,`Local Maxima (Pi/2, 1)`],align=ABOVE):
> t2 := textplot([-Pi/2,-1,`Local Minima (-Pi/2, -1)`],align=BELOW):
> display({p,t1,t2});

2.1.6  Vẽ vector - ghi tọa độ .
a. Cấu trúc lệnh .  

Thiết lập vector bằng
tên vector := arrow([x1,y1],[x2,y2], m , n  , k , options):
Trong đó các tham số :
[x1,y1]   tọa độ điểm gốc ( điểm đầu )
[x2,y2]   tọa độ điểm ngọn ( điểm cuối )
m , n , k : độ dày của vector
+Các options : gồm có  axes , color

b. Các ví dụ .
Vẽ vector AB  có điểm gốc A(-2,1)  , vector tịnh tiến  V = (3,4)
> with(plottools):
> L1 := arrow([-2,1], [3,4], .2, .4, .2, color=green):
> Aa:=textplot([-2,1,`A`]):
> Bb:=textplot([1,5,`B`]):  # Điểm B có tọa độ như sau  B = A + V =  [-2,1] + [3,4] = [1,5]
> plots[display]([L1,Aa,Bb],view=[-5..5,-5..5] ,axes=normal,title=`vector AB`);

Vẽ vector CD có điểm gốc C(-2,1)  , vector tịnh tiến  V = (4,3) 
> L2 := arrow([-2,1],[4,3], 0.2, 0.4, 0.2, color=red):
> Cc:=textplot([-2,1,`C`]):
> Dd:=textplot([2,4,`D`]):  # Điểm D có tọa độ như sau  D = C + V =  [-2,1] + [4,3] = [2,4] 
> plots[display]([L2,Cc,Dd],view=[-5..5,-5..5] ,axes=normal,title=`vector CD`);


Để vẽ hai vector này trong cùng hệ trục ta xác định các hàm vẽ các vector này , sau đó dùng lệnh display .
> with(plottools):

> L1 := arrow([-2,1], [3,4], .2, .4, .2, color=green):
> Aa:=textplot([-2,1,`A`]):
> Bb:=textplot([1,5,`B`]): # Điểm B có tọa độ như sau  B = A + V =  [-2,1] + [3,4] = [1,5]
> VL1:=plots[display]([L1,Aa,Bb],view=[-5..5,-5..5] ,axes=normal,title=`vector AB`):


> L2 := arrow([-2,1],[4,3], 0.2, 0.4, 0.2, color=red):
> Cc:=textplot([-2,1,`C`]):
> Dd:=textplot([2,4,`D`]): # Điểm D có tọa độ như sau  D = C + V =  [-2,1] + [4,3] = [2,4]
> VL2:=plots[display]([L2,Cc,Dd],view=[-5..5,-5..5] ,axes=normal,title=`vector CD`):
> display(VL1,VL2);



2.1.7  Vẽ hình động .
a. Cấu trúc lệnh .  
>animate(F, x, t , options)
  Trong đó các tham số
   F - các hàm cần vẽ .
   x = x1..x2 , khoảng hoành độ cần vẽ

   t = t1..t2  , khoảng thời gian t  cần vẽ .
+ Các options gồm có :  axes , frames , numpoints , coords , color ,

b. Các ví dụ .
with(plots):
> animate( sin(x*t),x=-10..10,t=1..2,frames=50);



>animate([sin(x*t),x,x=-4..4],t=1..4,coords=polar,numpoints=100,frames=100);



III . Lời kết .

 Đến đây chúng ta đã tìm hiểu khá đầy đủ về cách xây dựng và những tính chất cơ bản của các đường cong từ Fe đến Ka . Trong phần đồ thị chủ yếu là thực hành bằng các trình ứng dụng GP ,GX và MapleV . Để tính toán chiều dài cung , độ cong , chu vi , diện tích các bạn có thể dùng Maple V với một vài lệnh nhập liệu đơn giản .  Về nội dung bài viết cho phần sau chúng ta sẽ tiếp tục khảo sát các đường cong từ Ka đến Pa , vẽ đồ thị bằng các công cụ trực tuyến , tính toán L(t) , C(t) của các hàm tương ứng nhờ vào trình Maple V .

 Cám ơn các bạn đã theo dõi  , hẹn gặp lại .


Trần hồng Cơ 
Ngày  06 /06/ 2014 .

 ------------------------------------------------------------------------------------------- 

 Khoa học là một điều tuyệt vời khi không phải dùng nó để kiếm sống. 

Albert Einstein .


*******

Blog Toán Cơ trích đăng các thông tin khoa học tự nhiên của tác giả và nhiều nguồn tham khảo trên Internet .
Blog cũng là nơi chia sẻ các suy nghĩ , ý tưởng về nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau .


Chia xẻ

Bài viết được xem nhiều trong tuần

CÁC BÀI VIẾT MỚI VỀ CHỦ ĐỀ TOÁN HỌC

Danh sách Blog

Thông tin hàng ngày.

Giới thiệu bản thân

Ảnh của Tôi


Các chuyên đề ứng dụng .

1. Phương trình vi phân  
2. Toán đơn giản - College Algebra 
3. Toán thực hành - Practical Mathematics 
4. Vật lý tổng quan ( đang viết )
5. Phương trình tích phân 
( đang chuẩn bị ) 

Gặp Cơ tại Researchgate.net

Co Tran