Wikipedia

Kết quả tìm kiếm

Giải toán trực tuyến W | A




Vẽ đồ thị trong Oxyz plot3D(f(x,y),x=..,y=..)
Vẽ đồ thị trong Oxy plot(f(x),x=..,y=..)
Đạo hàm derivative(f(x))
Tích phân Integrate(f(x))


Giải toán trực tuyến W|A

Thứ Năm, 21 tháng 2, 2013

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN . Chương 3- PHẦN 2 .


   


GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .









Chương 3-

PHẦN 2 . 




Sơ lược về phân nhánh trong phương trình vi phân cấp 1 .  
Mô hình logistic - Hằng số thu hoạch và phân nhánh .
Nghiệm tuần hoàn - Hệ thời gian rời rạc  .
Ánh xạ Poincaré - Tính ổn định của quỹ đạo . 

Bài tập thực hành .  






Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  



Trần hồng Cơ .
27/01/2013 .


****************************************************************************

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.





1. Sơ lược về phân nhánh trong phương trình vi phân cấp 1 .  
1.1  Giới thiệu .
Khảo sát phương trình vi phân có chứa tham số , khi ta thay đổi tham số này động lực học của phương trình cũng sẽ biến đổi theo . Những hiện tượng có thể  xẩy ra như sau  
+Nghiệm cân bằng ( ta đã xét trong Chương 3 Phần 1 )  sẽ mất tính ổn định .
+Nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân có thể sẽ xuất hiện .
+Trạng thái cân bằng mới được tạo ra làm cho tính cân bằng ban đầu trở nên không ổn định .  
Giá trị của tham số tạo ra những sự thay đổi đó gọi là giá trị phân nhánh và tham số chính gây ra sự phân nhánh gọi là tham số phân nhánh .


1.2  Phân loại .
Có 2 lớp phân nhánh cơ bản 
1.2.1 Phân nhánh cục bộ ( Local bifurcation ) .
Xảy ra khi với một sự thay đổi tham số sẽ làm cho điểm cân bằng ( hay điểm bất động , điểm cố định  - fixed point ) thay đổi . 
a.Trong những hệ liên tục , điều này tương ứng với phần thực  ( Re ) của một trị đặc trưng của điểm cân bằng đi qua điểm 0 . 

Cho phương trình  vi phân liên tục autonomous chứa tham số m  
   
                          x '  =  f(m, x) .

phân nhánh cục bộ tại điểm (mo,xo) khi định thức Jacobi df(mo,xo) có một trị đặc trưng với phần thực bằng 0 .
-Nếu  một trị đặc trưng bằng 0 thì phân nhánh là trạng thái ổn định .

-Nếu  một trị đặc trưng khác 0 và thuần ảo thì phân nhánh là trạng thái Hopf . 


b. Trong những hệ rời rạc ( thường được mô tả bằng ánh xạ hơn là phương trình vi phân ) ,  điều này tương ứng với một điểm bất động (cố định) chứa nhân tử Floquet có module bằng 1 .

Cho phương trình  vi phân rời rạc autonomous chứa tham số m  
   
                          xn+1   =  f(m, xn) .

phân nhánh cục bộ tại điểm (mo, x o) khi định thức Jacobi  df(mo,xo) có một trị đặc trưng với module bằng 1 .

-Nếu  một trị đặc trưng bằng 1 thì phân nhánh hoặc là nút yên ngựa ( saddle-node ) , hoặc là chuyển tới hạn ( transcritical ) hoặc là dạng chĩa ( pitchfork ) .
-Nếu  một trị đặc trưng bằng -1 thì phân nhánh là chu kỳ kép ( period-doubling ) , các trường hợp khác là phân nhánh Poincaré-Andronov-Hopf . 



Trong cả hai hệ trên , trạng thái cân bằng là phi-hyperbolic tại điểm phân nhánh . 
Những thay đổi vị tướng ( topologic ) trong bức tranh pha ( phase portrait ) của hệ có thể được giới hạn trong lân cận nhỏ tùy ý của các điểm bất động (cố định) phân nhánh bằng cách dịch chuyển tham số gần sát đến điểm phân nhánh ( vì vậy ta gọi là phân nhánh cục bộ ).  
Một số phân nhánh cục bộ như 
+Phân nhánh điểm yên ngựa ( saddle-node)
+ Phân nhánh chuyển tới hạn ( transcritical ) 


+ Phân nhánh dạng chĩa ( pitchfork)



+ Phân nhánh chu kỳ kép ( period-doubling )



+Phân nhánh Hopf .


1.2.2  Phân nhánh toàn cục ( Global bifurcation ) .
Xảy ra khi các tập bất biến lớn như quỹ đạo tuần hoàn va chạm với điểm cân bằng . Điều này tạo ra sự thay đổi vị tướng của các quỹ đạo trong không gian pha không bị giới hạn trong một lân cận nhỏ .



Nói cách khác sự thay đổi vị tướng có thể mở rộng đến một khoảng cách lớn tùy ý không bị giới hạn  ( vì vậy ta gọi là phân nhánh toàn cục ) . 
Một số phân nhánh toàn cục như
+Phân nhánh Homoclinic ( đường tròn giới hạn va chạm với điểm yên ngựa ) 

+Phân nhánh Heteroclinic ( đường tròn giới hạn va chạm với một hay nhiều điểm yên ngựa )

http://www.egwald.ca/nonlineardynamics/mathappendix.php


+Phân nhánh vô hạn tuần hoàn ( điểm nút ổn định và điểm yên ngựa cùng xuất hiện đồng thời trênđường tròn giới hạn  )



+Phân nhánh Blue Sky Catastrophe  ( đường tròn giới hạn va chạm với một đường tròn phi-hyperbolic  ) 

2. Mô hình logistic - Hằng số thu hoạch và phân nhánh . 

2.1 Mô hình logistic . 

Để tiếp cận với khái niệm về phân nhánh một cách đơn giản nhất chúng ta sẽ khảo sát mô hình logistic , điều mà trước đây trong Chương 1- Phần 2.  2.6 ( Mô hình nguồn thủy sản ) đã đề cập đến . Ta có thể đưa ra các giả thiết sau đây cho mô hình :
+Nếu quy mô tổng thể bầy đàn là nhỏ thì tốc độ tăng trưởng gần như tỷ lệ thuận với quy mô tổng thể .
+Nếu  quy mô tổng thể bầy đàn  là lớn thì tốc độ tăng trưởng bắt đầu giảm dần về số âm .
a. Phương trình vi phân mô phỏng có dạng 
b.  Tìm các điểm cân bằng và phác họa đường pha cho phương trình vi phân này ( Xem Chương 3 - Phần 1.  2.3 ). 
*Trường hợp m > 0 .
+Tìm điểm cân bằng . Giải phương trình 
f(m,x) = <=>  x = 0   x = 1 .  
+Xác định tính chất điểm cân bằng . Tính đạo hàm  f ' (m,x= m( 1 - 2 )  
- Thế các điểm cân bằng vào 
Tại  x = 0  => f ' (m,0= m > 0   : điểm nguồn .
Tại  x =  =>  f ' (m,1= - m < 0   : điểm chìm .   
+Lập bảng xét dấu f(m,x) = mx( - x )



**Trường hợp m < 0 .
+Tìm điểm cân bằng . Giải phương trình 
f(m,x) = <=>  x = 0   x = 1 .  
+Xác định tính chất điểm cân bằng . Tính đạo hàm  f ' (m,x= m( 1 - 2 )  
- Thế các điểm cân bằng vào 
Tại  x = 0  => f ' (m,0= m < 0   : điểm chìm .
Tại  x =  =>  f ' (m,1= - m > 0  : điểm nguồn .  
+Lập bảng xét dấu f(m,x) = mx( - x )
c.  Từ phác họa trường hướng trên đây cho chúng ta hình dung về phân nhánh các đồ thị nghiệm tại điểm cân bằng như nguồn , chìm và nút .   

2.2  Hằng số thu hoạch và phân nhánh . 

a. Trong 2.1 ta đã khảo sát hàm logistic , tính chất các điểm cân bằng , đường pha và trường hướng của phương trình vi phân này để có một cái nhìn sơ lược về phân nhánh .  Tiếp sau đây ta sẽ thay đổi mô hình logistic bằng cách thêm vào hằng số h ( không mất tính tổng quát ta có thể giả sử h > 0 ) khi nghiên cứu về việc  thu hoạch đối với tổng thể bầy đàn x(t)  cho trước .  
x' =  (m,x,h= mx (1 - - h  .
Hằng số h biểu thị cho sự thu hoạch không đổi từ tổng thể tương ứng với tham số m .
+Tìm điểm cân bằng . Giải phương trình 
(m,x,h)  <=>  




b. Việc khảo sát các tính chất của điểm cân bằng và sự phân nhánh phương trình vi phân tùy thuộc vào m và h . Ví dụ ta chọn m =1 khi đó 
+Trường hợp 1 .   1  >  4h  hay  h  <  1/4  , có 2 điểm cân bằng : một điểm chìm -sink ở  x1  , một điểm nguồn -source  ở  x2 
+Trường hợp 2 .   1  <  4h  hay  h  >  1/4  , không có  điểm cân bằng . 

+Trường hợp 3 .   1  =  4h  hay  h  =  1/4  , có 1 điểm cân bằng : một điểm nút -node ở  x1 =  x2 .

Về mặt sinh thái học sự phân nhánh trong phương trình vi phân mô phỏng cho phép chúng ta có thể dự báo về sự khủng hoảng ( hoặc mất cân bằng ) của   tổng thể  . Ở trường hợp trên đây khi hằng số thu hoạch h < 1/4  hay h = 1/4 thì tổng thể bầy đàn còn được duy trì với điều kiện đầu  x(0) > x1 , khi h = 1/4  thì chỉ cần một sự thay đổi nhỏ về tỷ lệ thu hoạch sẽ dẫn đến ảnh hưởng lớn đến quy mô bầy đàn . Đặc biệt nếu  h > 1/4  đưa đến nguy cơ tuyệt chủng .

3. Nghiệm tuần hoàn - Hệ thời gian rời rạc   . 
3.1  Nghiệm tuần hoàn . 
 Trong thực tế việc đánh bắt không luôn tuân theo hằng số thu hoạch mà thường diễn tiến theo mùa . Ví dụ về mùa ấm nguồn trữ lượng dồi dào hơn và do đó khối lượng thu hoạch sẽ nhiều hơn mùa đông  , như vậy ta có thể giả thiết thêm là việc đánh bắt có tính chất tuần hoàn theo một chu kỳ nào đó . Mô hình này sẽ có dạng phương trình không autonomous (2)


với  m , h là các số dương .
 Tỷ lệ thu hoạch đạt lớn nhất là  - 2h tương ứng với t = n + 1/4  với n chỉ về số năm và đạt nhỏ nhất là 0 khi t = n + 3/4  ( sai biệt nửa năm ) Nhận xét rằng (2) không phải dạng tách biến nên việc tìm nghiệm giải tích rất khó thực hiện và phương pháp định tính được sử dụng khá tốt trong trường hợp này . 
Với các giá trị m và h và các điều kiện đầu x(0) cụ thể ta nhận được nghiệm tuần hoàn của (2) mô tả như hình sau .
Để có thể nhận biết được dáng vẻ đồ thị nghiệm tuần hoàn và tính ổn định ta dựa vào ý tưởng điểm bất động và ánh xạ Poincaré sẽ trình bày dưới đây .

3.2  Hệ thời gian rời rạc - Điểm bất động - Tính ổn định của điểm bất động  . 
3.2.1  Hệ thời gian rời rạc ( discrete time system ) .  
 Được xác định bởi phương trình sai phân  
                         xk+1   =  f(xk) .

hệ được gọi là cấp n khi là ánh xạ từ Rn  -> Rn .
+Quỹ đạo là một dãy các nghiệm lặp  x(k,xo) với k nguyên dương , với điều kiện đầu xo   . 
Ví dụ 1 .  Lãi ngân hàng định kỳ năm lãi suất 5% chịu phí $20 có phương trình 
                     xk+1   =  1.05xk  -  20 . 

 -Tìm biểu thức  xk  với điều kiện đầu xo  = 200 , 
xo  = 600  .
- Vẽ đồ thị trong 2 trường hợp trên và có nhận xét gì  ?   
Lời giải .
Dùng lệnh >rsolve  tìm biểu thức truy hồi .
Nhận xét :
với điều kiện đầu  xo  = 200 , lãi âm .
với điều kiện đầu  xo  = 600 , lãi dương .
với điều kiện đầu  xo  = 400 , xk  = 400 , không lời . Hình dạng và tính chất  của mỗi  quỹ đạo tùy thuộc vào các điều kiện đầu .
Biểu diễn Cobweb cho n200 tương ứng với  điều kiện đầu  xo  = 200 , đồ thị phân kỳ – 00  .
 


Biểu diễn Cobweb cho n600 tương ứng với  điều kiện đầu  xo  = 600 , đồ thị phân kỳ  + 00  .




Ví dụ 2 .  Hệ thời gian rời rạc được biểu diễn bởi  phương trình 
                     xk+1   =   -  xk^2 . 

 -Tìm biểu thức  xk  với điều kiện đầu xo  = 0.25 , 
xo  = 3  .
- Vẽ đồ thị Cobweb trong 2 trường hợp trên và có nhận xét gì  ?   
Lời giải .
Về mặt kỹ thuật không phải lúc nào lệnh >rsolve  cũng cho ta biểu thức truy hồi dạng hiển . 

Vì thế biểu diễn Cobweb sẽ cho ta nhận định về hình dạng và tính chất của mỗi  quỹ đạo tương ứng với các điều kiện đầu . 

Biểu diễn Cobweb cho n025 tương ứng với  điều kiện đầu  xo  = 0.25 , đồ thị hội tụ trong hình vuông [-2,2]x[-2,2] .





Biểu diễn Cobweb cho n3 tương ứng với  điều kiện đầu  xo  = 3 , đồ thị phân kỳ - 00 . 


Biểu diễn quỹ đạo n025 và n3 bằng Maple . Để ý rằng với n3 số lần lặp N = 6 thì đồ thị hàm đã trôi về  -00 


3.2.2   Điểm bất động ( fixed point ) - Tuyến tính hóa hệ thời gian rời rạc phi tuyến .  

+Điểm bất động của hệ thời gian rời rạc 

                            xk+1   =  f(xk) .
 là điểm  x*  thuộc Rn   sao cho    x = x*    thì  
x = x*    với mọi k . 


XEM TIẾP :
http://cohtran-toan-don-gian.blogspot.com/2013/02/gioi-thieu-ve-phuong-trinh-vi-phan.html




  Creative Commons LicenseThis work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

-------------------------------------------------------------------------------------------
Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.  
Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.

Albert Einstein .

Chủ Nhật, 17 tháng 2, 2013

XEM TV .




 Xem Tv Trên Blog

TOÁN - CƠ HỌC ỨNG DỤNG 



Xem trực tuyến

http://play.fpt.vn/livetv/















Xem các chương trình TV trên trang 

MULTIMEDIA






-------------------------------------------------------------------------------------------

Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.

Albert Einstein .



Thứ Năm, 14 tháng 2, 2013

Ngày Valentine của tôi .



*|.* (v)  Ngày  Valentine  của  tôi  . 


 


How Deep Is Your Love
 Bee Gees 


I know your eyes in the morning sun
I feel you touch me in the pouring rain
And the moment that you wander far from me
I wanna feel you in my arms again

And you come to me on a summer breeze
Keep me warm in your love and then softly leave
And it's me you need to show

Chorus:

How deep is your love
I really need to learn
cause we're living in a world of fools
Breaking us down
When they all should let us be
We belong to you and me

I believe in you
You know the door to my very soul
You're the light in my deepest darkest hour
You're my saviour when I fall
And you may not think
I care for you
When you know down inside
That I really do
And it's me you need to show






Be My Valentine . 

Posted by
Richard Clark . 


http://blog.wolframalpha.com/2013/02/14/wolframalpha-be-my-valentine/#comment-93194



Years ago when I was young,
there was something I wanted to know:
“Could math ever be super popular,
or has it begun to plateau?”

Although being “smart” and quite “witty,”
I never could figure math out.
Its numbers were letters, its letters were prime,
I wanted to stand up and shout.

But then I grew old, I became an adult,
I discovered you via my friend.
Your language was “natural” and interfaced well,
it was something I could comprehend.

You promised me math would be cool,
with your help I’d learn all of my wants,
from the many step-by-steps of integrals,
to financial things made just for quants.




You said “I’ll teach you about moles,
and then I’ll teach you about pi,
roughly seven to the power of seven
divided by four to the power of nine.”

How wet would you get in a storm,
how many girls are named Lorraine?
Of the countries that border Romania,
one of them is the Ukraine.

Batman and Gotham are so far away;
Capulet said much less than that lass.
If you like fun facts, we have more most days,
like caloric counts in a sea bass.

Has Wolfram|Alpha changed your life?
In fact it will never be done.
We’re adding new features at lightning-fast speed,
get ready, there’s lots more to come!




Nguồn : http://www.wolframalpha.com/input/?i=cupid+curve


(V)  *|*.    TalK  AbouT  LOVE .  



Love is not rude. It is never aimed at hurting anyone. It is not careless with words or actions that could cause any pain to the one who is loved.
How many times have we hurt the very ones we love with words we thought were insignificant? How many relationships have been destroyed by disrespect?
Love cares. Love protects. Love uplifts and builds up and does not aim to offend or put down.
Love is fragile. It grows when we take care of it. It dies when it is neglected.
We are not perfect, but let this not be an excuse for being careless with the ones we truly love. Small things matter. The smallest of words could cause the deepest pain or bring the greatest joy.
Love is patient, love is kind. It does not envy, it does not boast, it is not proud. It is not rude, it is not self-seeking, it is not easily angered, it keeps no record of wrongs. Love does not delight in evil but rejoices with the truth. It always protects, always trusts, always hopes, always perseveres. Love never fails. – 1 Corinthians 13:4-8


**********************************************************************************



























Tra te e il mare


Non ho più paura di te
Tutta la mia vita sei tu
Vivo di respiri che lasci qui
Che consumo mentre sei via
Non posso più dividermi
Tra te e il mare
Non posso più restare ferma ad aspettare

Io che avrei vissuto da te
Nella tua straniera città
Sola, con l'istinto di chi sa amare
Sola, ma pur sempre con te
Non posso più dividermi
Tra te e il mare
Non posso più sentirmi stanca di aspettare

No, amore no
Io non ci sto
O ritorni o resti lì
Non vivo più, non sogno più
Ho paura aiutami
Amore non ti credo più
Ogni volta che vai via
Mi giuri che è l'ultima
Preferisco dirti "Addio"

Cerco di notte in ogni stella un tuo riflesso
Ma tutto questo a me non basta, adesso cresco

No, amore no
Io non ci sto
O ritorni o resti lì
Non vivo più, non sogno più
Ho paura aiutami
Amore non ti credo più
Ogni volta che vai via
Mi giuri che è l'ultima
Preferisco dirti "Addio"

Non posso più dividermi
Tra te e il mare
Non posso più restare ferma ad aspettare
Non posso più dividermi
Tra te e il mare

ENGLISH VERSION 


Mum only for you me song goes up
mum you will be there for me you won't be alone

How much do I love you
these words of love
that my heart wispers to you
maybe they are not used anymore
Ah mum
but the most beautiful of my songs is you
You are the life and for life* I don't leave you anymore
_______ ________

I'm not afraid of you anymore
you are all my life
I live of the breaths you leave behind
and that I consume when you are away
I cannot anymore have fun between you and the sea
I cannot stand still anymore to wait
I that would have lived from you
in your strange city
alone with the instinct of who knows how to love
alone but always with you
I cannot have fun anymore betwwen you and the sea
I cannot feel tired anymore of waiting

no! love no, I don't agree
or yyou come back or you reamin there... I dont' live anymore
I don't dream anymore...I'm afraid...help me!!!
Love I don't believe you anymore
every time you go away
you swear it's the last time
I prefer to say to you good bye

I search at night in every star your reflection
But all this is not enough for me...now
I grow up/old

no! love no, I don't agree
or yyou come back or you reamin there... I dont' live anymore
I don't dream anymore...I'm afraid...help me!!!
Love I don't believe you anymore
every time you go away
you swear it's the last time
I prefer to say to you good bye

I cannot have fun anymore betwwen you and the sea
I cannot stand still anymore to wait
I cannot have fun anymore betwwen you and the sea



Source :  
http://lyricstranslate.com/en/Tra-te-e-il-mare-Tra-te-e-il-mare.html


love is not rude

 -------------------------------------------------------------------------------------------
 Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic. 
 Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas. 
 Albert Einstein .

*******

Blog Toán Cơ trích đăng các thông tin khoa học tự nhiên của tác giả và nhiều nguồn tham khảo trên Internet .
Blog cũng là nơi chia sẻ các suy nghĩ , ý tưởng về nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau .


Chia xẻ

Bài viết được xem nhiều trong tuần

CÁC BÀI VIẾT MỚI VỀ CHỦ ĐỀ TOÁN HỌC

Danh sách Blog

Thông tin hàng ngày.

Giới thiệu bản thân

Ảnh của Tôi


Các chuyên đề ứng dụng .

1. Phương trình vi phân  
2. Toán đơn giản - College Algebra 
3. Toán thực hành - Practical Mathematics 
4. Vật lý tổng quan ( đang viết )
5. Phương trình tích phân 
( đang chuẩn bị ) 

Gặp Cơ tại Researchgate.net

Co Tran