Wikipedia

Kết quả tìm kiếm

Giải toán trực tuyến W | A




Vẽ đồ thị trong Oxyz plot3D(f(x,y),x=..,y=..)
Vẽ đồ thị trong Oxy plot(f(x),x=..,y=..)
Đạo hàm derivative(f(x))
Tích phân Integrate(f(x))


Giải toán trực tuyến W|A

Thứ Hai, 30 tháng 4, 2012

Danh mục các đường cong - phần 2 .


Danh mục và lịch sử các đường cong - phần 2 .


Dưới đây là  phương trình và tên gọi của một số đường cong thường xuất hiện trong vật lý , thiên văn và các ngành kỹ thuật khác . Cùng với công thức biểu diễn của các họ đường cong này là những chú thích lịch sử và  giai thoại rất thú vị .

* Nguồn : http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Curves/Curves.html

* Cơ sở dữ liệu lưu trữ : http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/

Biên tập và trích dịch :

Trần hồng Cơ
30/04/2012 .


 Bài viết này gồm 3 phần .




 22 . Đường xoắn ốc Fermat . 
Phương trình trong toạ độ cực :   


Pierre de Fermat
Born August 17, 1601
Beaumont-de-Lomagne, France
Died January 12, 1665 (aged 63)
Castres, France
Đường xoắn ốc này đã được Fermat tìm ra  năm 1636.

Đối với bất kỳ giá trị
θ dương , hàm hai giá trị tương ứng của r, một có giá trị dương và một mang những giá trị âm có cùng trị tuyệt đối . Do đó các đường xoắn ốc sẽ đối xứng qua đường phân giác thứ hai  y =-x  như có thể thấy từ những đường cong hiển thị ở trên.
Đường nghịch đảo của Spiral Fermat, khi chọn cực tâm nghịch đảo cũng một đường xoắn ốc có phương trình  r^2= a^2 / θ.

Xem chi tiết tại   http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Java/Fermats.html

 -----------------------------------------------------------------------------------------------------

 23 . Đường hình lá ( folium ) .

Phương trình trong hệ toạ độ Descartes


Phương trình trong tọa độ cực




Dạng tổng quát của folium được cho bởi công thức trên. Folium có nghĩa là hình .
ba dạng đặc biệt của folium folium đơn, folium đôi folium ba. tương ứng với các trường hợp
b = 4a, b = 0, b = a
Các biểu đồ được vẽ mang folium đơn giản.

Xem chi tiết tại   http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Java/Folium.html

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

24 . Đường hình lá Descartes .

Phương trình trong hệ tọa độ Descartes


Phưong trình trong hệ tọa độ cực


Đường hình lá này đầu tiên được Descartes đề cập đến vào năm 1638ông đã tìm thấy hình dạng chính xác của đường cong ở phần tư thứ nhất góc tọa độ , nhưng ông lại cho rằng hình dạng này được lặp đi lặp lại trong mỗi  phần tư góc toạ độ còn lại như cánh của bông hoa . Đồ thị đường cong này đối xứng qua phân giác thứ nhất  y = x  . Bài toán xác định các tiếp tuyến với đường cong đã được đề xuất bởi Roberval , là người cũng sai khi tin rằng đường cong dạng một bông hoa nhài. ( tên gọi  Fleur de jasmin sau đó đã được thay đổi ). Đường cong này đôi khi được gọi là đường de noeud ruban. Khi Fermat phát hiện ra phương pháp tìm tiếp tuyến  , Descartes đã thách thức Fermat viết phương trình tiếp tuyến với đường cong này tại một điểm tùy ý . Fermat giải quyết bài toán này rất dễ dàng , và đó là điều mà Descartes đã không thể giải được . Folium một đường tiệm cận   x + y + a = 0.
Các phương trình  tiếp tuyến tại điểm  t =
  là   p (p^3 - 2) x + (1 - 2p^3) y + 3ap^2 = 0.
Đường cong đi qua gốc O lần thứ nhất  tại  t = 0  tiến về gốc O lần thứ hai  khi  t  --> + oo .

Xen chi tiết  http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Java/Foliumd.html
Born 31 March 1596
La Haye en Touraine, Touraine (present-day Descartes, Indre-et-Loire), France
Died 11 February 1650 (aged 53)
Stockholm, Sweden


-----------------------------------------------------------------------------------------------------

25 . Đường cong Nephroid Freeths .

Phương trình trong tọa độ cực




Đây là đường cong strophoid của một đường tròn với cực O là tâm và điểm P cố định trên chu vi của đường tròn.Trong hình ở trên, O là gốc P là nút nơi đường cong đi qua ba lần.
Nếu đường thẳng qua P song song với trục y cắt nephroid tại A khi đó  ^AOP  = / 7. Điều này có thể được sử dụng để dựng một đa giác đều 7 cạnh .  T.J.  Freeth(1819-1904) là một nhà toán học Anh. Trong  bài báo được xuất bản bởi Hội Toán học London vào năm 1879 ông đã mô tả đặc điểm của những strophoids khác nhau, bao gồm cả strophoid  trisectrix.


-----------------------------------------------------------------------------------------------------

26 . Đường cong tần số  .

Phương trình trong hệ tọa độ Descartes



Đường cong này còn được gọi đường cong sai số chuẩn tắc , do nhà toán học de Moivre phát hiện ra năm 1733. cũng đã được  Laplace Gauss nghiên cứu về nhiều lĩnh vực .Tên gọi đường cong tần số cũng được áp dụng cho một loạt các đường cong khác.


-----------------------------------------------------------------------------------------------------

27 . Đường cong Hyperbole .

Phương trình trong hệ tọa độ Descartes



Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes


Một trường hợp đặc biệt của hyperbola lần đầu tiên được nghiên cứu bởi Menaechmus. Trường hợp đặc biệt này hyperbola có 2  tiệm cận vuông góc và phương trình của nó là xy = ab ( còn được gọi là một hyperbola hình chữ nhật )

Euclid Aristaeus viết về các hyperbola tổng quát nhưng chỉ tập trung nghiên cứu một nhánh của , trong khi các hyperbola có được tên gọi hiện nay là do Apollonius , người đầu tiên nghiên cứu hai nhánh của hyperbola.
Pappus cũng khảo sát tiêu điểm đường chuẩn của một hyperbola .  

Đường pháp bao ngoài của hyperbola với phương trình ở trên đường cong Lame


Hyperbola là đường cong 2 nhánh ,nó là giao tuyến của mặt phẳng và hình nón đôi 

*Nếu tâm của một hyperbola hình chữ nhật  tâm của phép nghịch đảo , hyperbola hình chữ nhật sẽ đảo ngược thành đường cong  lemniscate.  
*Nếu đỉnh của một hyperbola hình chữ nhật  tâm của phép nghịch  đảo, hyperbola hình chữ nhật đảo ngược thành đường cong strophoid bên phải.  
*Nếu tiêu điểm của hyperbola  tâm của phép nghịch đảo, hyperbola đảo ngược thành đường cong limacon.  
*Trường hợp cuối cùng nếu các tiệm cận của hyperbola hợp một góc π / 3 với trục cắt hyperbola thì phép nghịch đảo ngược sẽ tạo ra một đường cong Trisectrix Maclaurin .
Hyperbola đơn vị ( a = b = 1 ) và hyperbola liên hợp
Các đường conic Parabola , đường tròn , Ellipse và Hyperbola

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

28 . Đường xoắn ốc Hyperbolic .

Phương trình trong hệ tọa độ cực 



Đường xoắn ốc hyperbolic có nguồn gốc với Pierre Varignon vào năm 1704. được Johann Bernoulli nghiên cứu từ năm 1710 và 1713 Cotes năm 1722. Đường Roulette của cực đường xoắn ốc hyperbolic lăn không trượt trên một đường thẳng một tractrix.
Pierre Varignon (1654-1722) giáo sư toán học tại Collège Mazarin sau đó là tại Collège Hoàng gia . Con đường đưa
Pierre Varignon đến toán học là khi ông đọc tác phẩm Euclid , ông cũng đọc Géométrie Descartes ' , và sau đó ông quyết định cống hiến sự nghiệp mình cho khoa học và toán học. Ông một trong những học giả người Pháp đầu tiên nhận ra giá trị của bộ môn giải tích. Những đóng góp chính của ông là trong lĩnh vực cơ học .
Nếu điểm cực là  tâm của phép nghịch đảo , thì đường xoắn ốc hyperbolic r = a / θ đảo ngược thành đường xoắn ốc Archimedes  r = .

Pierre Varignon (Caen 1654 – December 23, 1722 Paris)

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

29 . Đường cong Hypocycloid .

Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes


bốn đường cong liên quan chặt chẽ với nhau . Đó là epicycloid , epitrochoid, hypocycloid hypotrochoid đều được vẽ từ một điểm P trên một đường tròn bán kính b lăn không trượt trên một đường tròn bán kính cố định a Đối với hypocycloid, là một ví dụ trong số đó được hiển thị ở trên đường tròn bán kính b cuộn vào bên trong vòng tròn bán kính a. P là điểm trên chu vi của vòng tròn bán kính b. Đối với ví dụ trên đây ta có  a = 5 b = 3.( a > b )


Những đường cong này đã được nghiên cứu bởi Dürer (1525), Desargues (1640), Huygens (1679), Leibniz, Newton (1686), de L'Hôpital (năm 1690), Jacob Bernoulli (1690), la Hire (1694), Johann Bernoulli (1695), Daniel Bernoulli (1725), Euler (1745, 1781).
Trường hợp đặc biệt 3b =khi đó ta
thu được tricuspoid  khi 4b = ta có đường astroid .
Đặt  k  =  a / b  khi đó đồ thị hypocycloid có dạng

Dưới đây là một trình Java minh họa Epicycloid và Hypocycloid . Di chuyển các thanh màu vang , tím , xanh và xanh cây để xem đồ thị các đường cong tương ứng . 
===========================================

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

30 . Đường cong Hypotrochoid .

Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes





Những đường cong này được nghiên cứu bởi La Hire , Desargues, Leibniz, Newton và nhiều người khác.
bốn đường cong liên quan chặt chẽ với nhau . Đó là epicycloid , epitrochoid, hypocycloid hypotrochoid đều được vẽ từ một điểm P trên một vòng tròn bán kính b cuộn quanh một vòng tròn bán kính a cố định .

Đối với hypotrochoid, là một ví dụ trong số đó được hiển thị ở trên, vòng tròn bán kính b cuộn vào bên trong vòng tròn bán kính a. P là điểm có khoảng cách c tính từ tâm của vòng tròn bán kính b. Trong ví dụ này  a = 5, b = 7 c = 2,2.

Một số đồ thị và clip mô tả chuyển động hypotrochoid

video

video

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

31 . Đường pháp bao trong của đường tròn .

Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes


Đường pháp bao trong của một đường tròn là quỹ tích tạo ra bởi một điểm trên một đường thẳng cuộn xung quanh một vòng tròn. Huygens đã nghiên cứu đường cong này khi ông cố gắng tìm những chiếc đồng hồ không có quả lắc có thể dùng được trên tàu biển. Ông đã vận dụng tính chất đường pháp bao trong của đường tròn cho đồng hồ quả lắc với nỗ lực cưỡng bức con lắc chuyển động theo quỹ đạo của một cycloid.
Phát minh ra một chiếc đồng hồ giữ thời gian chính xác trên biển một vấn đề lớn việc
tìm một giải pháp đã được đặt ra  trong nhiều năm . Vấn đề này có tầm quan trọng sống còn nếu biết được giờ GMT thì  sau đó, giờ địa phương và kinh độ có thể dễ dàng tính được từ mặt trời .

Đường pháp bao trong của đường tròn
Ứng dụng : Leonhard Euler đề xuất sử dụng đường pháp bao trong của đường tròn cho hình dạng răng cưa của bánh răng toothwheel, một trong những ứng dụng phổ biến hiện nay , được gọi là  bánh răng trong .

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

32 . Đường cong Kampyle Eudoxus .

Phương trình  trong hệ tọa độ Descartes


Phương trình trong tọa độ cực

Đây là đường cong được nghiên cứu bởi Eudoxus  liên quan đến bài toán cổ điển về nhân đôi khối lập phương.
Eudoxus một học trò của Plato. Công trình chính của ông trong lĩnh vực thiên văn học. Ông là người đầu tiên mô tả các chòm sao và đã phát minh ra thiên văn kế . Ông cũng giới thiệu các đề tài nghiên cứu về thiên văn-toán học vào Hy Lạp.
Eudoxus tìm thấy công thức để đo kim tự tháp hình nón hình trụ. Tác phẩm của ông chứa các cơ sờ về tính toán cùng với nhiều nghiên cứu rất chặt chẽ về phương pháp khử ( vét cạn ) .


( Chú thích : Không nên nhầm lẫn với Eudoxus  Cyzicus.

Eudoxus  Cnidus (410 hoặc 408 BC - 355 hoặc 347 TCN) một nhà thiên văn Hy Lạp, nhà toán học, học giả học trò của Plato


  Clip mô tả đồ thị đường cong Kampyle , thay đổi theo a , b                                           


-----------------------------------------------------------------------------------------------------

33 . Đường cong Kappa .

Phương trình  trong hệ tọa độ Descartes


Phương trình trong tọa độ cực



Các đường cong kappa cũng gọi đường cong Gutschoven. Lần đầu tiên được nghiên cứu bởi G. van Gutschoven khoảng 1662. Các đường cong này cũng được Newton nghiên cứu một số năm sau đó bởi Johann Bernoulli
Born 27 July 1667
Basel, Switzerland
Died 1 January 1748 (aged 80)
Basel, Switzerland
-----------------------------------------------------------------------------------------------------

34 . Đường cong Lamé .

Phương trình  trong hệ tọa độ Descartes


Năm 1818, Lame thảo luận về các đường cong này với phương trình ở trên. Ông khảo sát các đường cong tổng quát hơn với n là số nguyên. Nếu n hữu tỷ thì đường cong có tính đại số, nhưng n vô tỷ thì đường cong có tính siêu việt. 
*Các đường cong được vẽ trên là trường hợp n = 4. Đối với số mũ nguyên n đường cong tiệm cận với một hình chữ nhật khi n --> oo .
*Các trường hợp đặc biệt khi  n = 2/3 đường cong Astroid, khi  n = 3 ta có đường cong thường được gọi là đường phù thuỷ Agnesi.
Gabriel Léon Jean Baptiste Lamé (July 22, 1795 – May 1, 1870) was a French mathematician.
*Các trường hợp n = 5/2 dường cong có tên gọi là superellipse _ liên quan đến kiến trúc sư - nhà thơ Piet Hein người Đan Mạch  ( ông cũng là nhà phát minh của khối vuông Soma_đã được sử dụng cho nhiều mục đích, kể cả trong tính toán cầu , đường cao tốc và các ứng dụng kiến trúc khác.
The Witch of Agnesi with labeled points
An animation showing the construction of the Witch of Agnesi
-----------------------------------------------------------------------------------------------------

35 . Đường cong Lemniscate Bernoulli .

Phương trình  trong hệ tọa độ Descartes


Phương trình trong tọa độ cực

Năm 1694, Jacob Bernoulli cho đăng một bài viết trong Acta Eruditorumon nói một đường cong
  hình dạng giống như số 8  ( hình một nút, hoặc cái nơ của một ruy băng ) mà ông gọi là lemniscus  xuất phát từ tiếng Latin (một mặt dây ruy băng ').  

Born 27 December 1654
Basel, Switzerland
Died 16 August 1705 (aged 50)
Basel, Switzerland


Jacob Bernoulli đã không nhận thức rằng đường cong được mô tả này chỉ là một trường hợp đặc biệt của một đường Oval Cassinian đã được  Cassini mô tả vào năm 1680.
Các tính chất chung của lemniscate được phát hiện bởi của Giovanni Fagnano vào năm 1750. Các công trình khảo sát của Euler về độ dài của vòng cung của đường cong (1751) sau này đã dẫn đến việc nghiên cứu các hàm số elliptic .  
Phương trình lưỡng cực của lemniscate có dạng 
    rr '= a^2 / 2.








Lemniscate của Bernoulli giao  tuyến của tiếp diện với vòng bên trong của một hình xuyến   bán kính trong bằng với bán kính của đường tròn cắt ngang hình xuyến .



Mô hình 3D đường số 8 
Giulio Fagnano Toschi, sinh tại Sinigaglia ngày 6 Tháng Mười Hai, 1682, thuộc một gia đình quý tộc Marche nhà toán học nổi tiếng với các thành tựu về bộ môn hình học.

Ông đã hoàn thành nghiên cứu đầu tiên tại trường Cao đẳng Clementine thành phố Rome. Mặc dù tự học toán , nhưng ông đã đạt được tầm cỡ quốc tế , nổi tiếng nhờ những đóng góp đáng kể về nhiều chủ đề khác nhau. Ông là người đề xuất phương pháp mới  giải  các phương trình II, III IV phát hiện ra công thức để tính toán trọng tâm tam giác . Trong số các nghiên cứu của ông về lemniscate , Fagnano giới thiệu các phép biến đổi giải tích từ đó đã có những đóng góp vào việc phát triển các hàm elliptic . Năm 1750 ông
viết hai tuyển  tập kết quả các công trình nghiên cứu có tựa đề "Sản xuất toán học" ( Production Mathematics ) . Trong đó quan trọng nhất những nghiên cứu về tổ hợp, đặc biệt về xổ số.

Giulio Fagnano rất công trong việc hỗ trợ cho một số nhà toán học trẻ đương thời , trong đó có Joseph Lagrange. Ông 12 người con , John con ông , cũng là người đã theo bước chân của cha mình trong các lĩnh vực Toán học. Ông là thành viên của Hội Hoàng gia London Viện Hàn lâm Khoa học Berlin.
Fagnano mất tại thành phố quê hương của mình ngày 26 tháng 9 năm 1766 trước khi được bầu vào Académie des Sciences ở Paris .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------

36 . Đường hình ốc Limacon Pascal .

Phương trình  trong hệ tọa độ Descartes


Phương trình trong tọa độ cực

Limacon đường cong thuộc họ anallagmatic .Đường cong Limacon Pascal được Étienne Pascal (cha của Blaise Pascal) phát hiện đặt tên bởi một người Pháp Gilles-Personne Roberval năm 1650 Étienne Pascal sử dụng đường cong này như là một ví dụ về phương pháp vẽ tiếp tuyến dựa vào vi phân .


Étienne Pascal (Clermont, May 2, 1588 - Paris, September 24, 1651)
Cái tên 'limacon' có nghĩa theo tiếng Latin là từ 'ốc' . Étienne Pascal đã từng trao đổi thư từ với Mersenne , là người đã tổ chức tư dinh thành  một nơi gặp gỡ của các nhà hình học nổi tiếng bao gồm cả Roberval .
Thực ra Dürer mới chính là người  phát hiện các đường cong trên khi ông đưa ra một phương pháp dựng hình , mặc dù ông không gọi nó là một limacon, trong tác phẩm Underweysung der Messung công bố năm 1525.

 


*Khi b = 2a sau đó limacon biến đổi thành cardioid .
*Nếu b = a thì có dạng một trisectrix. Chú ý rằng trisectrix này không phải là Trisectrix của Maclaurin.
*Nếu b 2a thì diện tích của limacon bằng (2a^2 + k^2) π.  
*Nếu b = a (trường hợp được vẽ ở trên với a = b = 1) thì diện tích của vòng lặp bên trong                     là  a^2 (π - 3 3/2) diện tích miền giữa các vòng a^2 (π + 3 3).
Một số clips về limacon với  { a = 1 , b = 1 } ;
{ a = 1 , b = 2 } ;{ a = 1 , b = 3 } ;

video

                                    video
video
Limacon là trường hợp đặc biệt của Epitrochoid
video


-----------------------------------------------------------------------------------------------------

37 . Đường cong Lissajous .

Phương trình  trong hệ tọa độ Descartes

Jules Antoine Lissajous (March 4, 1822, Versailles – June 24, 1880 )
Đường cong Lissajous hoặc đồ thị Lissajous còn được gọi đường cong Bowditch . Nathaniel Bowditch là người khảo sát chúng vào năm 1815. các đường cong này đã được Jules-Antoine Lissajous nghiên cứu một cách độc lập và chi tiết hơn vào năm 1857.

Các đường cong Lissajous ứng dụng trong vật lý, thiên văn học và khoa học khácc.

Nathaniel Bowditch (1773-1838) người Mỹ. Ông đã học tiếng Latin để đọc tác phẩm Newton's Principia sau đó tự học các ngôn ngữ khác để nghiên cứu toán học . Tác phẩm New Practical Navigator  (1802) bản dịch  Mécanique Celeste Laplace của ông là một công trình nổi tiếng tầm cỡ quốc tế.

Born March 26, 1773
Salem, Massachusetts
Died March 16, 1838 (aged 64)
Boston, Massachusetts
-----------------------------------------------------------------------------------------------------

38 . Đường cong Lituus .

Phương trình trong tọa độ cực


Các đường cong lituus nguồn gốc với tác giả Cotes năm 1722 Maclaurin sử dụng thuật ngữ này trong cuốn sách của ông tựa đề Harmonia Mensurarumin 1722 . Lituus quỹ tích của điểm P di chuyển sao cho diện tich của một cung tròn là một hằng số .
Roger Cotes (10 July 1682 — 5 June 1716)
 Roger Cotes (1682-1716) qua đời ở tuổi 34 ông đã xuất bản hai cuốn hồi ký trong đời của mìnhÔng được bổ nhiệm giáo sư tại Cambridge tuổi 24 và các tác phẩm của ông được xuất bản sau khi ông mất . Cotes đã phát hiện ra một định lý quan trọng về căn bậc n của phần tử đơn vị , dự báo ​​các phương pháp bình phương tối thiểu phát hiện ra một phương pháp tích phân các hàm phân thức có mẫu sốnhị thức.
Roger Cotes cũng là người đã biên tập các ấn bản thứ hai tác phẩm Principia của Newton. Ông đã có những đóng góp tiến bộ trong lý thuyết về logarit, tích phân và phương pháp số, đặc biệt là nội suy.

Ông cũng phát minh ra công thức cầu phương được gọi là công thức Newton-Cotes và lần đầu tiên giới thiệu những chi tiết được biết đến sau này là công thức Euler. Ông cũng là Giáo sư Plumian đầu tiên  tại Đại học Cambridge từ năm 1707 cho đến khi mất 1716 .

video


-----------------------------------------------------------------------------------------------------

39 . Đường Parabola nửa-bậc-3 Neile .

Phương trình  trong hệ tọa độ Descartes


Đường cong này , đôi khi được gọi là parabol bán lập phương, được William Neile phát hiện vào năm 1657. Đó là đường cong đại số đầu tiên chiều dài của nó đã được các nhà toán học nghiên cứu và tìm được . Wallis công bố phương pháp này vào năm 1659 cho đường cong Neile . Van Heuraet ( người Lan ) cũng đã sử dụng các đường cong này cho các công trình tổng quát hơn.
  
William Neile sinh tại Bishopsthrope năm 1637. Ông là học trò của Wallis đã tỏ ra có rất nhiều tiềm năng . Đường cong đại số parabol Neile đường cong đại số đầu tiên các nhà toán học tính được chiều dài của nó , trước đó chỉ chiều dài cung của các đường cong siêu việt như cycloid đường xoắn ốc logarit là đã được tính toán . Thật không may , năm 1670 Neile qua đời lúc còn trẻ trước khi ông có thể còn đạt được nhiều thành tựu khác nữa.
Năm 1687 Leibniz đặt vấn đề đi tìm đường cong mô tả một chất điểm rơi xuống dưới tác dụng lực hấp dẫn sao cho nó có thể di chuyển những khoảng cách thẳng đứng bằng nhau trong một khoảng thời gian bằng nhau. Huygens cho thấy rằng parabol bán lập phương $ x^3 = a.y^2 $thoả mãn tính chất này. Bởi vì đây là một đường cong đẳng thời. Parabol bán lập phương đường pháp bao ngoài của một parabol .


video


video

Parabola nửa bậc 3 là đường cong tiếp xúc với các pháp tuyến của parabol

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

40 . Đường cong Nephroid .

Phương trình  tham số trong hệ tọa độ Descartes


Nephroid (có nghĩa là "hình quả thận ') là tên của đường cong epicycloid có 2 điểm lùi  , do Proctor phát hiện vào năm 1878. Nephroid là đường epicycloid được hình thành bởi một đường tròn bán kính lăn không trượt bên ngoài một đường tròn cố định có bán kính  2a.
Nephroid
chiều dài là 24a  diện tích là $12π.a^2 $ .
Năm 1678, Huygens chỉ ra rằng nephroid catacaustic của một đường tròn khi các nguồn ánh sáng ở vô cực. Ông đã chứng tỏ điều này trong tác phẩm Traité de la lumièrein 1690. Đây cũng là lời giải thích tại sao điều này đã không được phát hiện ra mãi cho đến khi lý thuyết sóng ánh sáng được ứng dụng. Airy đã đưa ra luận chứng thuyết về điều này năm 1838.
Richard Anthony Proctor (1837-1888). English astronomer and writer. Founded the scientific magazine 'Knowledge' 1881, drew maps of Mars, Venus and the Galaxy, wrote many books on astronomy including 'Saturn and His System' 1865 and 'Other Worlds than Ours' 1870. (Photo by Hulton Archive/Getty Images) Richard Anthony Proctor

R .A.  Proctor một nhà toán học người Anh. Ông  sinh  năm 1837 và qua đời vào năm 1888. Năm 1878, ông xuất bản cuốn " hình học các đường cycloid " tại London . Đường bao trong của nephroid  là đường  sextic - Cayley hoặc là một nephroid khác vì chúng những đường cong song song nhau .


video
Nephroid cũng được xem là một đường Roulette

video

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

41 . Đường parabola phân kỳ Newton  .

Phương trình  trong hệ tọa độ Descartes


Newton đã phân loại các đường cong bậc 3  trong cuốn " Curves by Sir Isaac Newton in Technicum Lexicon " , NXB John Harris xuất bản London năm 1710. Trong phân loại các đường cong bậc 3 , Newton đưa ra bốn lớp phương trình . Lớp thứ ba của phương trình là một trong những đường cong ở trên Newton chia thành năm loại . Trong đó ở trường hợp thứ ba , Newton phát biểu :

Trong trường hợp thứ ba phương trình yy = axxx + bxx + cx + d định nghĩa một Parabola nhánh phân ra từ một nhánh khác, và chạy ra vô hạn theo chiều ngược lại .
Trường hợp phân chia thành năm loại này Newton đưa ra đồ thị điển hình cho từng loại . Năm loại này phụ thuộc vào nghiệm của biểu thức bậc 3 vế phải của phương trình.
Newton
(age 46)
Born 25 December 1642
[NS: 4 January 1643][1]
Woolsthorpe-by-Colsterworth
Lincolnshire, England
Died 20 March 1727 (aged 84)
[NS: 31 March 1727][1]
Kensington, Middlesex, England


(i) Tất cả các nghiệm là thực và khác nhau : đồ thị một Parabola phân kỳ có dạng chuông Bell, với hình Oval tại đỉnh của nó . Đây là trường hợp cho ta đồ thị đường cong như trên.

(ii) Hai nghiệm thực bằng nhau: một Parabola sẽ được hình thành , hoặc là đường cong Nodated có liên quan đến hình Oval, hoặc là  đường Punctate , có được từ hình Oval vô cùng nhỏ.

(iii)
Ba nghiệm thực bằng nhau: đây là Parabola Neile , thường được gọi là parabola bán-lập phương.

(iv) Chỉ có một nghiệm thực : Nếu hai nghiệm kia là phức , sẽ có một Parabola chính quy dạng hình chuông .

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

42 . Đường parabola  .

Phương trình  trong hệ tọa độ Descartes



Parabol được nghiên cứu bởi Menaechmus , ông là học trò của Plato Eudoxus. Ông đã cố gắng tìm cạnh của một khối lập phương thể tích gấp đôi thể tích một khối lập phương cho trước . Từ đó, dẫn đến việc đi tìm lời giải của phương trình   x^3 = 2 bằng phương pháp hình học.

Trong thực tế ,
(nhưng Menaechmus đã không biết rằng) bài toán này không thể giải được bằng các phương pháp hình học sử dụng com-pa và thước kẻ  Menaechmus đã giải quyết nó bằng cách tìm các giao điểm của hai parabol  x^2 = y     y^2 = 2x .
Apollonius of Perga (c.262–c.190 BC)
Euclid đã viết về parabol Apollonius là người đặt tên cho đường cong này . Pappus cũng đã nghiên cứu về tiêu điểm đường chuẩn của một parabol .
Pascal khảo sát parabol hình chiếu của một đường tròn Galileo chứng tỏ rằng đạn đạo đường cong  parabol.

Gregory Newton đã nghiên cứu các tính chất của parabol khi các tia sáng song song đều hội tụ tại tiêu điểm .

Tia tới song song trục chính tia ló hội tụ tại tiêu điểm của parabola .

video

video
Parabola là quỹ tích những điểm chuyển động M sao cho khoảng cách từ điểm đó đến tiêu điểm F và  đường chuẩn (D) bằng nhau   :    MF  =  d [ M / (D) ] 

Xem chuyển động của các tiếp tuyến của parabola .
video



Biên tập và trích dịch :

Trần hồng Cơ
09/05/2012 .










------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Chúng ta phải biết và chúng ta sẽ biết .

Không có nhận xét nào :

Đăng nhận xét

Cám ơn lời bình luận của các bạn .
Tôi sẽ xem và trả lời ngay khi có thể .


I will review and respond to your comments as soon as possible.,
Thank you .

Trần hồng Cơ .
Co.H.Tran
MMPC-VN
cohtran@mail.com
https://plus.google.com/+HongCoTranMMPC-VN/about

*******

Blog Toán Cơ trích đăng các thông tin khoa học tự nhiên của tác giả và nhiều nguồn tham khảo trên Internet .
Blog cũng là nơi chia sẻ các suy nghĩ , ý tưởng về nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau .


Chia xẻ

Bài viết được xem nhiều trong tuần

CÁC BÀI VIẾT MỚI VỀ CHỦ ĐỀ TOÁN HỌC

Danh sách Blog

Thông tin hàng ngày.

Giới thiệu bản thân

Ảnh của Tôi


Các chuyên đề ứng dụng .

1. Phương trình vi phân  
2. Toán đơn giản - College Algebra 
3. Toán thực hành - Practical Mathematics 
4. Vật lý tổng quan ( đang viết )
5. Phương trình tích phân 
( đang chuẩn bị ) 

Gặp Cơ tại Researchgate.net

Co Tran