Wikipedia

Kết quả tìm kiếm

Giải toán trực tuyến W | A




Vẽ đồ thị trong Oxyz plot3D(f(x,y),x=..,y=..)
Vẽ đồ thị trong Oxy plot(f(x),x=..,y=..)
Đạo hàm derivative(f(x))
Tích phân Integrate(f(x))


Giải toán trực tuyến W|A

Thứ Bảy, 25 tháng 4, 2015

GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN . Phần 5 . HÌNH HỌC - Điểm , vector , đường thẳng 2D




GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN .


Phần 5 . HÌNH HỌC - Điểm , vector , đường thẳng 2D 


DANH MỤC CÔNG CỤ GIẢI TOÁN TRỰC TUYẾN  MATHEMATICA  WOLFRAM | ALPHA .

Giới thiệu .

Bạn đọc truy cập vào đường dẫn  http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen  để sử dụng các widgets giải toán trực tuyến W|A Mathematica theo chỉ mục trong danh sách dưới đây .

Những widgets này đã được tác giả sắp xếp theo từng môn học và cấp lớp theo ký hiệu như sau :

D : Đại số . Ví dụ  D8.1 widget dùng cho Đại số lớp 8 , mục 1 - Khai triển , rút gọn biểu thức đại số .
H : Hình học . Ví dụ  H12.3  widget dùng cho Hình học lớp 12 , mục 3 - Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian .
G : Giải tích . Ví dụ : G11.7  widget dùng cho Giải tích lớp 11 , mục 7 - Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
GI : Giải tích cao cấp I . Ví dụ GI.15  widget dùng cho Giải tích cao cấp I , mục 15 - Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GII : Giải tích cao cấp II .


++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++


 ĐẠI SỐ 8

D8.1  Khai triển , rút gọn biểu thức đại số
D8.2  Rút gọn phân thức
D8.3  Phân tích thừa số
D8.4  Nhân 2 đa thức
D8.5  Khai triển tích số ( có thể dùng để khai triển Newton )
D8.6  Phân tích thừa số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 10

D10.1 Giải phương trình nguyên Diophante
D10.2 Giải phương trình tuyệt đối
D10.3 Giải phương trình chứa tham số
D10.4  Giải phương trình đại số
D10.5  Giải phương trình từng bước
D10.6  Giải bất phương trình minh hoạ bằng đồ thị

D10.8  Tính giá trị biểu thức hàm số
D10.9  Giải bất phương trình đại số và minh hoạ bằng đồ thị
D10.10  Giải bất phương trình đại số - tìm miền nghiệm
D10.11  Giải phương trình đại số
D10.12  Giải phương trình vô tỷ
D10.13  Giải phương trình minh hoạ từng bước
D10.14  Giải phương trình dạng hàm ẩn
D10.15  Giải hệ thống phương trình tuyến tính , phi tuyến
D10.16  Giải hệ phương trình
D10.17  Vẽ miền nghiệm của bất phương trình đại số
D10.19  Tối ưu hoá hàm 2 biến với các ràng buộc
D10.20  Tìm giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành Ox , trục tung Oy

HÌNH HỌC 10

H10.1  Tính diện tích tam giác trong hệ toạ độ Oxy
H10.3  Khảo sát conic ( đường tròn , Ellipse , Parabola , Hyperbola )
H10.2  Tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng trong Oxy



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 11

D11.1 Thuật chia Euclide dùng cho số và đa thức  ( HORNER )
D11.2  Tính tổng nghịch đảo của n số tự nhiên




D11.6  Khai triển nhị thức Newton


GIẢI TÍCH 11


G11.1  Tính gíá trị một chuỗi số  theo n
G11.2  Đa thức truy hồi
G11.3  Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số
G11.4  Tính giới hạn của chuỗi số khi  $n \rightarrow  \infty$
G11.5  Tìm hàm số ngược của hàm số cho trước
G11.6  Tìm đạo hàm của hàm số hợp - giải thích
G11.7   Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
G11.8   Tìm giới hạn của hàm số
G11.9   Tìm giới hạn của hàm số
G11.10  Tính đạo hàm hàm số có dạng U/V
G11.11  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước
G11.12  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước

G11+12.1   Tính đạo hàm ,tích phân , giới hạn , vẽ đồ thị


LƯỢNG GIÁC 11

L11.1   Giải phương trình lượng giác
L11.2   Giải phương trình lượng giác trên một đoạn
L11.3   Tìm chu kỳ của hàm số tuần hoàn
L11.4   Khai triển công thức lượng giác



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 12

D12.1   Cấu trúc của số phức
D12.1   Giải phương trình mũ
D12.3   Giải  phương trình chứa tham số
D12.4   Giải  phương trình  bất kỳ  ( Bậc 2 , 3 , ... , mũ  , log , căn thức )
D12.5   Giải phương trình mũ



GIẢI TÍCH 12


G12.1  Vẽ đồ thị biểu diễn phương trình
G12.2    Khảo sát hàm số hữu tỷ
G12.3   Vẽ đồ thị trong toạ độ cực (Polar)
G12.4    Tìm cực trị của hàm số
G12.5    Vẽ đồ thị hàm số 2D
G12.6   Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số
G12.7    Vẽ nhiều hàm số - Basic plot. To plot two or more functions, enter {f1(x), f2(x),...}
G12.8    Tìm điểm uốn của hàm số cho trước
G12.9    Tìm nghiệm của các phương trình  y = 0 , y ' = 0 ,  y " = 0
G12.10    Tính tích phân bất định
G12.11    Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.12   Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.13   Tìm đường tiệm cận của hàm số
G12.14   Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.15  Tìm giao điểm của hàm số đa thức và trục hoành Ox - Vẽ đồ thị .
G12.16    Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi (C1) , (C2)
G12.17    Vẽ đồ thị hàm số ( có đường tiệm cận )
G12.18   Vẽ đồ thị 2D , 3D
G12.19   Tìm hoành độ giao điểm giữa 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.20    Vẽ đường cong tham số 3D
G12.21    Tính diện tich mặt tròn xoay
G12.22    Tích thể tích vật tròn xoay  (C) , trục  Ox , x =a , x= b
G12.23    Thể tích vật tròn xoay
G12.24    Tích thể tích vật tròn xoay (C1) , (C2) , trục OX , x = a , x = b
G12.25    Khảo sát hàm số đơn giản
G12.26    Tìm cực trị của hàm số
G12.27    Tìm nguyên hàm của hàm số
G12.28    Tính tích phân xác định


HÌNH HỌC 12


H12.1  Tính khoảng cách 2 điểm trong 2D , 3D
H12.2   Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm trong không gian
H12.3  Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian
H12.4   Tìm công thức thể tích , diện tích hình không gian
H12.5   Vẽ đồ thị 2D , mặt 3D
H12.6    Tích có hướng 2 vector



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

GIẢI TÍCH CAO CẤP

GI.1    Vẽ đồ thị , mặt 3D
GI.2   Vẽ đồ thị , mặt  3D
GI.3    Tích phân 2 lớp
GI.5    Tích phân kép
GI.6    Tích phân bội 3
GI.7    Tích phân bội 3
GI.8    Tích phân suy rộng
GI.9    Chuỗi và dãy số
GI.10    Các bài toán cơ bản trong vi  tích phân
GI.11     Vẽ hàm từng khúc ( piecewise ) - dùng để xét tính liên tục của hàm số
GI.12    Tính đạo hàm và tích phân một hàm số cho trước
GI.13     Vẽ đồ thị hàm số trong hệ toạ độ cực
GI.14     Tính đạo hàm riêng
GI.15    Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GI.16    Tính tổng chuỗi số  n = 1...$\infty$
GI.17     Vẽ  đồ thị  3 hàm số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Bài viết sau đây mô tả các khái niệm toán học và hướng dẫn tính toán chi tiết bằng công cụ trực tuyến , bạn đọc có thể tham khảo những nội dung chính yếu được đề cập đến trong giáo trình toán phổ thông  cùng với các ví dụ minh họa  .

Một số website hữu ích phục vụ cho việc giảng dạy và học tập môn toán :

http://quickmath.com/
http://analyzemath.com/
http://www.intmath.com/
http://www.mathportal.org
https://www.mathway.com/
https://www.symbolab.com/
http://www.graphsketch.com/
http://www.meta-calculator.com/online/?home
http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen



5.  HÌNH HỌC - Điểm , vector , đường thẳng 2D .

5.1  Điểm , vector 2D  .

Mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,

1. Điểm  $A(x_A,y_A)$ ;   $B(x_B,y_B)$
2. Trung điểm M của AB   $\left\{\begin{matrix}
x_M=\frac{x_A+x_B}{2}\\ y_M=\frac{y_A+y_B}{2}\end{matrix}\right.$
Trọng tâm G của tam giác ABC  $x_G= \frac{x_A+x_B+x_C}{3}; y_G= \frac{y_A+y_B+y_C}{3}$
3. Vector tạo từ 2 điểm   $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A)$
4. Module   $||\overrightarrow{AB}||=||(x_B-x_A,y_B-y_A)||=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
5. Cộng , trừ 2 vector  $ \overrightarrow{a}\pm\overrightarrow{b}=(a_1,a_2)\pm(b_1,b_2)=(a_1\pm b_1,a_2\pm b_2)$
6. Nhân vector với vô hướng   $k\overrightarrow{a}=(ka_1,ka_2)$
7. Hai vector cùng phương   $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}\Leftrightarrow a_1/b_1=a_2/b_2$
8. Tích vô hướng   $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=(a_1,a_2).(b_1,b_2)=a_1b_1+a_2b_2$
9. Góc giữa 2 vector   $cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{||\overrightarrow{a}||.||\overrightarrow{b}||}=\frac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}.\sqrt{b_1^2+b_2^2}}$
10. Hình chiếu của  $\overrightarrow{b}$ trên   $\overrightarrow{a}$
$hc_\overrightarrow{b}/\overrightarrow{a} =\overrightarrow{a}. \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{||\overrightarrow{a}||^2}$


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


5.1.1  Vẽ điểm , đoạn thẳng , đa giác .

a. Vẽ điểm  
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Lệnh  plot{(x,y)}  với (x,y)  là tọa độ điểm cần vẽ , click Submit
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .  plot{(1,4)}  hoặc  (1,4)


b. Vẽ đoạn thẳng   
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Vẽ đoạn thẳng : Lệnh  plot{(x1,y1),(x2,y2)}  với (x1,y1) và (x2,y2)   là tọa độ hai điểm cần vẽ , click Submit
Ví dụ .  plot{(1,4),(2,3)}


c. Vẽ đa giác    
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
-Vẽ đa giác : Lệnh  plot{(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn),(x1,y1)}  với (xn,yn)  là tọa độ các điểm cần vẽ , click Submit
Ví dụ .  Vẽ tam giác ABC với A(1,4) , B(2,3) , C(-2,-2)
plot{(1,4),(2,3),(-2,-2),(1,4)}


d. Tính toán các số liệu của tam giác    
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
-Tính toán các số liệu của tam giác
Lệnh  triangle (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) , click submit và ô = góc dưới bên phải , xem kết quả
Hoặc truy cập vào http://www.wolframalpha.com  nhập triangle (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)



Ví dụ .  Tính toán các số liệu của tam giác  ABC với A(-5,0) , B(3,-3) , C(0,2)
triangle (-5,0),(3,-3),(0,2)


e. Tính toán các số liệu của tứ giác    
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
-Tính toán các số liệu của tứ giác
Lệnh  quadrilateral (-5,0),(3,-3),(0,2),(-4,2), click submit và ô = góc dưới bên phải , xem kết quả
Hoặc truy cập vào http://www.wolframalpha.com  nhập quadrilateral  (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4)

Ví dụ .  Tính toán các số liệu của tứ giác  ABCD với A(-5,0) , B(3,-3) , C(0,2) , D(-4,2)
quadrilateral (-5,0),(3,-3),(0,2),(-4,2)


5.1.2    Phép toán vector .

a. Trung điểm của đoạn thẳng 
2. Công cụ  Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .  midpoint {(3,4) ,(1,-2)}
Xem  http://goo.gl/xE7sXX


b. Vector tạo từ 2 điểm  
1. Nguồn  https://www.symbolab.com/solver/vector-add-subtract-calculator

Ví dụ .  Tìm   $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A)$   biết  $A(-2,8)$  và $B(1,4) $
Xem  https://goo.gl/befMGJ

2. Công cụ  Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .  Tìm   $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A)$   biết  $A(-2,8)$  và $B(1,4) $
Nhập  (1,4) - (-2,8)   , Click Submit
Xem  http://goo.gl/Zhwg00

Vi dụ .   như trên
Nhập   vector (1,4) , vector (+2 ,-8) , vector (3,-4)
Ta có   vector (1,4) + vector (+2 ,-8) = vector (3,-4)
hay       vector (1,4) - vector (-2 ,8) = vector (3,-4)
Xem    http://goo.gl/K63eHh

Nhập   vector (1,4) + vector (+2 ,-8)
Xem    http://goo.gl/5CtV9f




c. Module của vector
1. Nguồn  https://www.symbolab.com/solver/vector-magnitude-calculator

Ví dụ .  Tính  module  $||(3,-7)||$


2. Công cụ  Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .   Tính module   ||(3,-7)||



d. Cộng trừ 2 vector 
1. Nguồn  https://www.symbolab.com/solver/vector-add-subtract-calculator
Ví dụ .   Tính tổng  (3,-4)+5(1,2)


2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ . Tính tổng  (3,-4)+5(1,2)

Nhập    vector (3,-4) + vector  (5*1 ,5*2)
Xem   http://goo.gl/riejBJ



e. Tích vô hướng giữa 2 vector 
1. Nguồn  https://www.symbolab.com/solver/vector-scalar-multiplaction-calculator

Ví dụ . Tính tích vô hướng  (1,-4) . (3,-2)


2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .  Tính tích vô hướng  (1,-4) . (3,-2)





f. Góc giữa 2 vector 
1. Nguồn  https://www.symbolab.com/solver/vector-angle-calculator

Ví dụ . Tính góc giữa  (3,7), (2,-5)


2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .   angle between (3,7) and (2,-5)


g. Vector cùng phương  ( phụ thuộc tuyến tính - linearly dependent ) 
Không cùng phương ( khác phương , độc lập tuyến tính - linearly independent )
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .  Xét xem 2 vector sau có cùng phương ?
$\overrightarrow{a} = (1,-3) $  và  $\overrightarrow{b} = (-2,6)$
are (1,-3) and (-2,6)  linearly dependent ?
Xem   http://goo.gl/TS4EpC
Hoặc  vector {(1,-3),(-2,6)}
Xem  http://goo.gl/hSKFKb

Kết luận :  Đây là 2 vector cùng phương ( phụ thuộc tuyến tính )


Ví dụ .  Xét xem 2 vector sau có cùng phương ?
$\overrightarrow{a} = (1,4) $  và  $\overrightarrow{b} = (-2,6)$
 are (1,4) and (-2,6)  linearly  dependent ?
Xem   http://goo.gl/19injM

Hoặc vector {(1,4),(-2,6)}
Xem  http://goo.gl/nPKzLI

Kết luận : Đây là 2 vector không cùng phương ( khác phương , độc lập tuyến tính )



Nhập     vector (1,4) , (-2,6)    Kết luận : Đây là 2 vector không cùng phương ( khác phương , độc lập tuyến tính )
Xem   http://goo.gl/pVxC6E



h. Kiểm tra 3 điểm thẳng hàng  
Ba điểm thẳng hàng <=> 2 vector cùng phương ( phụ thuộc tuyến tính)
Ba điểm không thẳng hàng <=> 2 vector không cùng phương (khác phương , độc lập tuyến tính)

2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .  Xét xem  3 điểm (1,3) , (2,-5) , (-1,1)  có thẳng hàng không ?
Nhập    (1,3) , (2,-5) , (-1,1)
Xem  http://goo.gl/wP2FTR

Kết luận : Đây là 3 điểm không thẳng hàng ( 2 vector khác phương , độc lập tuyến tính )


i.  Hình chiếu của vector trên vector 
1. Nguồn  https://www.symbolab.com/solver/vector-projection-calculator/

Ví dụ .  Tìm hình chiếu của  $\overrightarrow{b} = (3,-8)$  trên  $\overrightarrow{a} = (1,2)$
Công thức :  Hình chiếu của  $\overrightarrow{b}$ trên   $\overrightarrow{a}$
$hc_\overrightarrow{b}/\overrightarrow{a} =\overrightarrow{a}. \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{||\overrightarrow{a}||^2}$



2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ . Tìm hình chiếu của  $\overrightarrow{b} = (3,-8)$  trên  $\overrightarrow{a} = (1,2)$
Nhập  projection((3,-8),(1,2))   , Click Submit


Nhập vector (3,-8) , vector (1,2) ,  vector (-13/5,-26/5)
Xem    http://goo.gl/ye7LSa



5.2  Đường thẳng 2D  .

Mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,

1. Phương trình tổng quát của đường thẳng (d)   $Ax+By+C=0$  
Vector chỉ phương  $\overrightarrow{a} = (B,-A)$
Pháp vector   $\overrightarrow{n} = (A,B)$
Góc giữa 2 đường thẳng   $cos[(d_1),(d_2)]=\frac{A_1.B_1+A_2.B_2}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}.\sqrt{A_2^2+B_2^2}}$
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  $d[M,(d)]= |Ax_M+By_M+C|/ \sqrt{A^2+B^2}$
Phương trình phân giác của 2 đường thẳng   $ |A_1x_M+B_1y_M+C_1|/ \sqrt{A_1^2+B_1^2}=  |A_2x_M+B_2y_M+C_2|/ \sqrt{A_2^2+B_2^2}$



2. Phương trình chính tắc của đường thẳng  $\frac{x-x_0}{a_1}=\frac{y-y_0}{a_2}$
Vector chỉ phương  $\overrightarrow{a} = (a_1,a_2)$
Điểm  $M_0(x_0,y_0) $  thuộc đường thẳng .


3. Phương trình tham số của đường thẳng  $x=x_0+t.a_1;y=y_0+t.a_2$
Vector chỉ phương  $\overrightarrow{a} = (a_1,a_2)$
Điểm  $M_0(x_0,y_0) $  thuộc đường thẳng .


4. Phương trình điểm - điểm của đường thẳng   $\frac{x-x_N}{x_M-x_N}=\frac{y-y_N}{y_M-y_N}$
Điểm  $M(x_M,y_M) $  và  $(x_N,y_N) $  thuộc đường thẳng .


5. Phương trình hệ số góc - điểm của đường thẳng  $y-y_0=k.(x-x_0)$
Với  k là hệ số góc (độ dốc) của đường thẳng .
Điểm  $M_0(x_0,y_0) $  thuộc đường thẳng .


6. Phương trình đại số của đường thẳng  $y = b.x +a$
Với  b là hệ số góc (độ dốc) của đường thẳng .
 a là tung độ gốc (giao điểm của đường thẳng và trục tung Oy) của đường thẳng  .


7. Phương trình đoạn chắn của đường thẳng  $\frac{x}{m}+\frac{y}{n}=1$
Với m là hoành độ gốc (giao điểm của đường thẳng và trục hoành Ox) của đường thẳng  .
 n là tung độ gốc (giao điểm của đường thẳng và trục tung Oy) của đường thẳng  .


8. Vị trí tương đối của điểm M và đường thẳng (d)  $Ax+By+C=0$
$d[M,(d)]= |Ax_M+By_M+C|/ \sqrt{A^2+B^2}$
$d[M,(d)]>0  \Leftrightarrow  M \notin (d)$
$d[M,(d)]=0  \Leftrightarrow  M \in (d)$


9. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng (d1)  $A_1x+B_1y+C_1=0$  và  (d2)  $A_2x+B_2y+C_2=0$
$A_1/A_2=B_1/B_2=C_1/C_2  \Leftrightarrow  (d1)  \equiv  (d2)$
$A_1/A_2=B_1/B_2  \neq  C_1/C_2  \Leftrightarrow  (d1)  //  (d2)$
$A_1/A_2 \neq  B_1/B_2    \Leftrightarrow  (d1)  \cap  (d2)$




5.2.1  Viết phương trình đường thẳng  .

a. Phương trình hệ số góc - điểm   
1. Nguồn  https://www.symbolab.com/solver/line-equation-calculator
Nhập Line  m =? , at   ( x0 , y0 )  , click Go

Ví dụ .  Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc = 4 và đi qua điểm $M(-1,-6)$
Line  m=4 , at   (-1,-6)
Xem  https://goo.gl/MbnGCR



2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .  Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc = 4 và đi qua điểm $M(-1,-6)$
line , slope = 4 , through  (-1,-6)
Xem  http://goo.gl/YxKezL


*Dùng  widget  H10.II.1 DUONG THANG HE SO GOC-DIEM




b. Phương trình điểm - điểm   
1. Nguồn  https://www.symbolab.com/solver/line-equation-calculator
Nhập Line    ( x1 , y1 )  , ( x2 , y2 )   click Go

Ví dụ .  Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $M(-2,4)$  và $N(1,2)$
 Line  (-2,4) , (1,2)
Xem  https://goo.gl/I4s0ZJ


2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .  Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $M(-2,4)$  và $N(1,2)$
line through (-2,4) ,  (1,2)
Xem  http://goo.gl/t69YVw

*Dùng  widget  H10.II.1 DUONG THANG DIEM-DIEM




c. Phương trình đường thẳng song song    
1. Nguồn  https://www.symbolab.com/solver/line-equation-calculator
Nhập Parallel  Ax + By + C=0  ,  at  (x1,y1)   click Go

Ví dụ .  Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $M(2,-5)$  và  song song với  $x +2y - 4 =0$
Parallel x+2y - 4 =0 , at  (2,-5)
Xem  https://goo.gl/fGcLxv


2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .  Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $M(2,-5)$  và  song song với  $x +2y - 4 =0$
line ,    parallel  to  x+2y-4=0   through  (2,-5)
Xem  http://goo.gl/Vo4x6C

*Dùng  widget  H10.II.1 DTHANG SSONG (D) QUA M




d. Phương trình đường thẳng vuông góc     
1. Nguồn  https://www.symbolab.com/solver/line-equation-calculator
Nhập Perpendicular   Ax + By + C=0  ,  at   (x1,y1)   click Go

Ví dụ .  Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $M(-8,10)$  và  vuông góc với  $2x +3y - 6 =0$
Perpendicular  2x+3y-6=0  ,  at   (-8,10)
Xem   https://goo.gl/J6CBPr



2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $M(-8,10)$  và  vuông góc với  $2x +3y - 6 =0$
 line normal    2x+3y-6=0   through  (-8,10)
Xem   http://goo.gl/TwI7Xi
Hoặc   line perpendicular   2x+3y-6=0   through  (-8,10)
Xem   http://goo.gl/tnBct8


*Dùng  widget  H10.II.1 DTHANG VUONG GOC (D) QUA M




e. Giao điểm của 2 đường thẳng - Vị trí tương đối của 2 đường thẳng
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ 1.  Tìm giao điểm của 2 đường thẳng đi qua điểm $x-y+2=0 $  và  $2x+3y+1=0$
x-y+2=0 , 2x+3y+1=0
Xem   http://goo.gl/znjo6l

*Dùng  widget  H10.II.1 KHAO SAT DUONG THANG
Nhập  x-y+2=0 , 2x+3y+1=0



Ví dụ 2.  Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng đi qua điểm $x-y+2=0 $  và  $2x-2y+1=0$
x-y+2=0 , 2x-2y+1=0
Xem  http://goo.gl/UgISHH


f. Góc giữa 2 đường thẳng
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .  Tính góc giữa 2 đường thẳng $-2x + 5y +2=0 $  và  $3x+7y+1=0$
Pháp vector của 2 đường thẳng là  $ \overrightarrow{n_1}=(-2,5)$  và  $ \overrightarrow{n_2}=(3,7)$
Nhập  angle between  (-2,5), (3,7)
Xem   http://goo.gl/bVQFGJ

Kiểm tra :
Nhập   -2x + 5y +2=0   ,  3x+7y+1=0
Xem   http://goo.gl/L8aZrU
*Dùng widget  H10.II.1 TINH GOC GIUA 2 DUONG THANG


g.  Khoảng cách 
* Từ 1 điểm đến đường thẳng
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ . Tính khoảng cách từ điểm $M(1,-3)$ đến đường thẳng $4x + 3y - 5 =0 $
Nhập  Distance from (1,-3)  to  4x + 3y - 5 =0
Xem   http://goo.gl/Z48pR0


*Dùng widget  H10.II.1 KHOANG CACH TU DIEM DEN DUONG THANG

* Giữa 2 đường thẳng song song
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com
Ví dụ . Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song  (d1)  $3x+4y+1=0$  và  (d2)  $3x+4y+6=0$
- Chọn điểm M1 trên (d1) , tính d[M1,(d2)]
Nhập distance between 3x+4y+1=0  and  3x+4y+6=0
Xem   http://goo.gl/kjtsT4

*Dùng widget  H10.II.1 KHOANG CACH 2 DUONG THANG SONG SONG


h.  Viết phương trình phân giác của 2 đường thẳng
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .  Viết phương trình phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng  $3x-4y+5=0$  và  $5x + 12y -7 =0$
Nhập   3x-4y+5=0 , 5x + 12y -7 =0 , ( 3x-4y+5)/sqrt(3^2+4^2)  = ( 5x+12y-7)/sqrt(5^2+12^2)  ,   ( 3x-4y+5)/sqrt(3^2+4^2)  =- ( 5x+12y-7)/sqrt(5^2+12^2)
Xem   http://goo.gl/TFtzf0


Kết luận  :  phương trình 2 đường phân giác là  $7x-56y+50=0$    và    $32x+4y+15=0$
*Dùng  widget  H10.II.1 DUONG PHAN GIAC CUA 2 DTHANG




i.  Viết phương trình đường thẳng song song và cách một đoạn là a .
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .  Viết phương trình đường thẳng song song và cách đường thẳng (d)  $6x-8y+5=0$ một đoạn là 2 .

Bước 1 .  Chọn điểm  $M \in (d)$   $Ax+By+C=0$  với  $x=0,y=-C/B$  (tung độ gốc)  hoặc  $x=-C/A ,y=0$  (hoành độ gốc)
Tính khoảng cách từ điểm $M(0,-C/B)$ đến (d1)  $Ax+By+m=0$
Giải phương trình  $d[M,(d1)=|A.0+B.(-C/B)+m|/ \sqrt{A^2+B^2}=|-C+m|/ \sqrt{A^2+B^2}=a$  tìm được giá trị của m .

Cụ thể với  (d)  $6x-8y+5=0$
Nhập  6x-8y+5=0   ta tìm được $x=0,y=5/8$  vậy $M(0,5/8)$
Nhập  solve(|6*0-8*(5/8)+m|/sqrt(6^2+8^2)=2)   ta có  m = -15 , m = 25
Xem   http://goo.gl/tMtKEL
Xem   http://goo.gl/POSV70

Bước 2 . Thế m vào phương trình (d1)  $Ax+By+m=0$
Với  m = -15  (d11)    $6x-8y-15=0$
Với  m = 25   (d12)     $6x-8y+25=0$

Bước 3 .  Kiểm tra
Tính  $d[M,(d11)$   và   $d[M,(d12)$
Nhập  6x-8y+5=0 ,6x-8y-15=0,6x-8y+25=0
Xem   http://goo.gl/ZE5Rfg
Xem   http://goo.gl/0bvqTQ
Xem   http://goo.gl/FfZMPq


*Dùng  widget    H10.II.1 DTHANG SSONG,KH.CACH =  a




k.  Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua một điểm .
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ . Viết phương trình đường thẳng đối xứng với (d)  $2x+y-5=0$  qua điểm  $M(1,-2)$

Bước 1 .  Kiểm tra điểm $M(x_M,y_M)$ xem có thuộc đường thẳng (d) không bằng cách tính khoảng cách
$k=d[M,(d)]=|Ax_M+By_M+C|/  \sqrt{A^2+B^2}|$  ($\neq 0$)
Tính khoảng cách từ điểm $M(x_M,y_M)$ đến (d1)  $Ax+By+m=0$
Giải phương trình  $d[M,(d1)=|A.x_M+B.y_M+m|/ \sqrt{A^2+B^2}=k$  tìm được giá trị của m .

Cụ thể với (d)  $2x+y-5=0$  và  $M(1,-2)$
Nhập  distance from (1,-2) to  2x+y-5=0   ta có  $k = \sqrt{5}$
Gọi (d1)  $2x+y+m=0$
Nhập  solve(|2*1+(-2)+m|/sqrt(2^2+1^2)=sqrt(5))  ta tìm được $m = \pm 5$
Xem   http://goo.gl/nR4XgS
Xem   http://goo.gl/qeaAQY


Bước 2 .  Loại giá trị m trùng với  $C=-5$  trong phương trình (d) $2x+y-5=0$  ban đầu , vậy $m=5$
Thế m vào phương trình (d1)  $2x+y+m=0$
Với  m = 5  (d1)    $2x+y+5=0$


Bước 3 .  Kiểm tra
Tính  $d[M,(d1)$   distance from (1,-2) to  2x+y+5=0
Nhập  2x+y-5=0 ,2x+y+5=0


*Dùng  widget   H10.II.1 DTHANG DXUNG DTHANG QUA M




l.  Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua một đường thẳng song song .
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ . Viết phương trình đường thẳng đối xứng với (d1)  $5x-12y+4=0$  qua đường thẳng
(d) $5x-12y+8=0$

Bước 1 .   Chọn điểm  $M \in (d)$  $Ax+By+C=0$   với  $x=0,y=-C/B$  (tung độ gốc)  hoặc  $x=-C/A ,y=0$  (hoành độ gốc)
Tính khoảng cách k từ điểm $M(0,-C/B)$ đến (d1)   $Ax+By+C_1=0$
$k=d[M,(d1)=|A.x_M+B.y_M+C_1|/ \sqrt{A^2+B^2}$
Gọi (d2)  $Ax+By+m=0$
Giải phương trình  $d[M,(d2)=|A.x_M+B.y_M+m|/ \sqrt{A^2+B^2}=k$  tìm được giá trị của m .

Cụ thể với  (d)  $5x-12y+8=0$
Nhập  5x-12y+8=0  ta tìm được $x=0,y=2/3$   vậy $M(0,2/3)$
Nhập  distance from (0,2/3) to  5x-12y+4 = 0  ta có  $k=4/13$
Nhập  solve  |5*0-12*2/3+m|/sqrt{5^2+12^2}=4/13  thu được  m = 4 , m =  12
Xem   http://goo.gl/5OHO3O
Xem   http://goo.gl/5LKSyg
Xem   http://goo.gl/1hmvJm


Bước 2 .  Loại giá trị m trùng với $C_1=4$  trong phương trình (d) $5x-12y+4=0$  ban đầu , vậy $m=12$
Thế m vào phương trình (d2)  $5x-12y+m=0$
Với  m = 12  (d2)    $5x-12y+12=0$


Bước 3 .  Kiểm tra
Tính  $d[M,(d2)$  distance from (0,2/3) to 5x-12y+12=0
Nhập  5x-12y+4=0 , 5x-12y+8=0 , 5x-12y+12=0
Xem   http://goo.gl/fNCZUn






m.  Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua một đường thẳng bất kỳ .
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .  Viết phương trình đường thẳng đối xứng với (d1)  $5x-12y+2=0$  qua đường thẳng
(d) $8x-6y+1=0$

Bước 1 .   Tìm giao điểm M của (d1)   $A_1x+B_1y+C_1=0$  và (d)    $Ax+By+C=0$
Chọn điểm  $N \in (d)$  lưu ý  $N \neq M$  , $Ax+By+C=0$   với  $x=0,y=-C/B$  (tung độ gốc)  hoặc  $x=-C/A ,y=0$  (hoành độ gốc)
Viết phương trình đường thẳng  $(\Delta)$  _|_  (d)  qua  N
Tìm giao điểm K của  $(\Delta)$   và  (d1)
Tìm điểm H đối xứng với điểm K  qua  N  bằng công thức  $2N-K=H$

Cụ thể với  (d1)  $5x-12y+2=0$  và   (d) $8x-6y+1=0$
Nhập  5x-12y+2=0  ,  8x-6y+1=0   ta tìm được $x=0,y=1/6$   vậy $M(0,1/6)$
Chọn  $N \in (d)$  với $y=0,x=-1/8$   vậy  $N(-1/8,0)$
Nhập  line normal 8x-6y+1=0 through (-1/8,0)  ta có  $(\Delta)$  $y = -(3*x)/4-3/32$
Nhập y = -(3*x)/4-3/32 , 5x-12y+2=0   ta tìm được  $x = -25/112, y = 33/448$
Vậy  $K(-25/112,33/448)$
Nhập  2(-1/8,0) - (-25/112,33/448)  ta có  $-3/112, -33/448$  
Vậy  $H(-3/112,-33/448)$



Bước 2 .  Viết phương trình đường thẳng MH , đây chính là đường thẳng (d2)
 Viết phương trình đường thẳng (d2) đi qua $M(0,1/6)$  và $H(-3/112,-33/448)$
  (phương trình điểm-điểm)
Nhập  line through (0,1/6) , (-3/112,-33/448)
Ta có  (d2)  $-323 x+36 y-6 = 0$


Bước 3 .  Kiểm tra 
Tính  $d[K,(d)]$  và  $d[H,(d)$  
distance from (-25/112,33/448) to 8x-6y+1=0
distance from (-3/112,-33/448) to 8x-6y+1=0
Nhập   5x-12y+2=0 , 8x-6y+1=0 , -323x + 36y - 6 =0 , y = -(3*x)/4-3/32
Xem   http://goo.gl/bDzuYq
Xem   http://goo.gl/pjqPyn
Xem   http://goo.gl/90EskC


*Dùng   widget  H10.II.1 DTHANG DX DTHANG QUA DTHANG BAT KY




n.  Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và cách đều 2 điểm khác .
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .  Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm K(-2,3)  cách đều 2 điểm A(1,4) và B(-1,2)

Bước 1 .   Xét xem 3 điểm K , A , B có thẳng hàng không  .
*Nếu có , xét xem K có phải là trung điểm của AB không  .
+Nếu K là trung điểm của AB , viết phương trình đường thẳng đi qua K có hệ số góc m (trung trực của AB qua K là trường hợp đặc biệt) , đây chính là đường thẳng cần tìm .
++Nếu K không phải là trung điểm của AB , bài toán vô nghiệm .
*Nếu không , tìm tọa độ trung điểm M của AB .

Cụ thể với  K(-2,3)  , A(1,4) và B(-1,2)
Nhập   (-2,3)  , (1,4) ,  (-1,2)   đây là 3 điểm không thẳng hàng
Nhập  midpoint{ (1,4) ,  (-1,2) }  ta có trung điểm M của AB là M(0,3)
Xem   http://goo.gl/31JsYx
Xem   http://goo.gl/NHhWfh

Bước 2 .
Viết phương trình đường thẳng KM (trung tuyến KM trong tam giác KAB)
Viết phương trình đường thẳng qua K và song song AB .
Nhập  line through (-2,3) , (0,3)  ta được  (KM)  $y-3=0$
Tính độ dốc của AB nhập  slope of  (1,4) , (-1,2)  ta có độ dốc = 1
Nhập  line , slope = 1 through (-2,3)
Xem   http://goo.gl/4K5Frw
Xem   http://goo.gl/WUbVdt
Xem   http://goo.gl/vo4vlo

Bước 3 .  Kiểm tra
Nhập   implicitplot [-x+y-5 = 0 , y - 3=0 , y=0 , x=0 , y = x+3, -1<=x<=1]
Xem   http://goo.gl/kjqVy4

*Dùng  widget  H10.II.1 3 DTHG QUA 1 DIEM CACH DEU 2 DIEM





o.  Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và tạo một góc  $ \alpha^{\circ}$ với đường thẳng khác .
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .  Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(1,3)  tạo một góc $45^{\circ}$  với  đường thẳng (d1)  $3x+4y+5=0$

Bước 1 .   Xác định pháp vector của (d1) $A1x+B1y+C1=0$ , ta có  $ \overrightarrow{n_{d1}}=(A1,B1)$
Phương trình đường thẳng cần tìm (d)  $A(x-x_M)+B(y-y_M)=0$ ,  có pháp vector là 
$ \overrightarrow{n_{d}}=(A,B)$
Tính góc giữa 2 pháp vector , giải phương trình
$cos(\overrightarrow{n_{d}},\overrightarrow{n_{d1}})=\frac{\overrightarrow{n{d}}.\overrightarrow{n_{d1}}}{||\overrightarrow{n_{d}}||.||\overrightarrow{n_{d1}}||}=
\frac{AA_1+BB_1}{\sqrt{A^2+B^2}.\sqrt{A_1^2+B_1^2}}=cos\alpha^{\circ}$
Tìm được quan hệ giữa A , B .
Chọn A và B tương ứng .

Cụ thể với điểm M(1,3)  , góc $\alpha =45^{\circ}$  , đường thẳng (d1)  $3x+4y+5=0$
Pháp vector của (d1) $3x+4y+5=0$ , ta có  $ \overrightarrow{n_{d1}}=(3,4)$
Phương trình đường thẳng cần tìm (d)  $A(x-1)+B(y-3)=0$ ,  có pháp vector là 
$ \overrightarrow{n_{d}}=(A,B)$
Tính góc giữa 2 pháp vector , giải phương trình
$cos(\overrightarrow{n_{d}},\overrightarrow{n_{d1}})=\frac{\overrightarrow{n{d}}.\overrightarrow{n_{d1}}}{||\overrightarrow{n_{d}}||.||\overrightarrow{n_{d1}}||}=
\frac{A.3+B.4}{\sqrt{A^2+B^2}.\sqrt{3^2+4^2}}=cos 45^{\circ}$

Nhập solve (3A+4B)/ (sqrt(A^2+B^2)*sqrt(3^2+4^2)) = cos(45)
Ta có $B = -7A$  ,  $B = A/7$

Chọn A và B tương ứng như sau :  $A = 1, B =-7$  ,  $A = 7 , B = 1$
Xem   http://goo.gl/1fcgxZ


Bước 2 .  Viết phương trình đường thẳng (d)  $A(x-x_M)+B(y-y_M)=0$  với A , B vừa tìm được ở trên .
-Với   $A = 1, B =-7$   ta có phương trình  (d)  $1(x-1)-7(y-3)=0$
Nhập  1(x-1)-7(y-3)=0
Xem   http://goo.gl/uWMpTv     (d)  $x - 7 y + 20 = 0$
-Với   $A = 7 , B = 1$   ta có phương trình  (d)  $7(x-1)+1(y-3)=0$
Nhập  7(x-1)+1(y-3)=0
Xem   http://goo.gl/3qzGOk   (d)  $7x + y -10 = 0$



Bước 3 .  Kiểm tra
Nhập    3x+4y+5=0   ,  1(x-1)-7(y-3)=0  ,   7(x-1)+1(y-3)=0
Xem   http://goo.gl/FBfRgI


*Dùng  widget  H10.II.1 CHUM DTHANG HOP VOI (d) GOC ALPHA
Nhập  A1=3 , B1=4 , alpha =45


Chọn A và B tương ứng như sau :  $A = 1, B =-7$  ,  $A = 7 , B = 1$

*Dùng  widget  H10.II.1 DTHG QUA M,CO PHAP VECTOR n=(A,B)






5.2.1  Một số bài toán về phương trình đường thẳng trong tam giác  .

a.  Viết phương trình đường thẳng 3 cạnh tam giác   
1. Nguồn  https://www.symbolab.com/solver/line-equation-calculator
Nhập Line  (x1,y1) , (x2,y2)   , click Go

Ví dụ .  Viết phương trình đường thẳng 3 cạnh tam giác ABC  với  A(1,-3)  ,  B(2,4)  ,  C(-1,2)
Line  (1,-3)  ,  (2,4)   (cạnh AB)     $ y=7x-10$
Line  (1,-3)  ,  (-1,2)  (cạnh AC)     $y =-\frac{5}{2}x- \frac{1}{2}$
Line  (2,4)  ,  (-1,2)   (cạnh BC)      $y=\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$

Xem   https://goo.gl/iIVW38
Xem   https://goo.gl/7hJVfy
Xem   https://goo.gl/8aQGrl

2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ . Viết phương trình đường thẳng 3 cạnh tam giác ABC  với  A(1,-3)  ,  B(2,4)  ,  C(-1,2)
Nhập  Line  (1,-3)  ,  (2,4)   (cạnh AB)     $-7x+y+10=0$
Nhập  Line  (1,-3)  ,  (-1,2)  (cạnh AC)    $5x+2y+1=0$
Nhập  Line  (2,4)  ,  (-1,2)   (cạnh BC)     $-2x+3y-8=0$
Nhập  segment [A(1,-3) , B(2,4)] ,  segment  [A(1,-3) , C(-1,2)] ,    segment  [B(2,4) , C(-1,2)]
Xem   http://goo.gl/sr0Rpu
Xem   http://goo.gl/5wwJrZ
Xem   http://goo.gl/hwaqUy
Xem   http://goo.gl/NKxDsJ







b.  Viết phương trình trung tuyến của tam giác   
1. Nguồn  https://www.symbolab.com/solver/line-equation-calculator
Nhập  Midpoint (x,y) (x,y)  , click Go - tìm trung điểm của cạnh tương ứng
Nhập Line  (x1,y1) , (x2,y2)   , click Go - viết phương trình trung tuyến

Ví dụ .  Viết phương trình trung tuyến AM của tam giác ABC  với  A(1,-3)  ,  B(2,4)  ,  C(-1,2)
Nhập  Midpoint(2,4) (-1,2)  trung điểm M(1/2,3)
Nhập  Line  (1,-3) (1/2,3)   trung tuyến AM  $y=-12x+9$


2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .  Viết phương trình trung tuyến AM của tam giác ABC  với  A(1,-3)  ,  B(2,4)  ,  C(-1,2)
Nhập   midpoint {(2,4),(-1,2)}  trung điểm M(1/2,3)
Nhập   line  (1,-3) , (1/2,3)   trung tuyến AM  $12x+y-9=0$

Kiểm tra  
Nhập   segment [(2,4),(-1,2)] , segment [(1,-3),(1/2,3)]    
Xem   http://goo.gl/u6tTEW


Nhập    -7x+y+10=0 , 5x+2y+1=0 , -2x+3y-8=0 , 12x+y-9=0
Xem    http://goo.gl/EN9lbi


*Dùng  widget




c.  Viết phương trình trung trực của cạnh tam giác   
1. Nguồn  https://www.symbolab.com/solver/line-equation-calculator
Nhập  Midpoint (x,y) (x,y)  , click Go - tìm trung điểm (x1,y1) của cạnh tương ứng
Nhập  Line  (x1,y1) , (x2,y2)   , click Go - viết phương trình cạnh tương ứng
Nhập  Perpendicular  Ax+By+C =0  at (x1,y1) - viết phương trình trung trực

Ví dụ .  Viết phương trình trung trực cạnh BC của tam giác ABC  với  A(1,-3)  ,  B(2,4)  ,  C(-1,2)
Nhập  Midpoint (2,4) (-1,2)  trung điểm M(1/2,3)
Nhập  Line  (2,4) , (-1,2)  phương trình BC :  $y=2/3x+ 8/3$
Nhập  Perpendicular  y=2/3x+8/3  at  (1/2,3)  trung trực cạnh BC :   $y=-3/2x+15/4$
Xem   https://goo.gl/wRSByK



2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .  Viết phương trình trung trực cạnh BC của tam giác ABC  với  A(1,-3)  ,  B(2,4)  ,  C(-1,2)
Nhập  midpoint {(2,4), (-1,2)}  trung điểm M(1/2,3)
Nhập   (2,4) - (-1,2)   ta có   $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{n_{Tr.Truc}}=(A,B)=(3,2)$
Phương trình trung trực cạnh BC là  $A(x-x_M)+B(y-y_M)=0$
Nhập  3(x-1/2)+2(y-3) = 0   trung trực cạnh BC  :   $6x+4y-15=0$
Kiểm tra
Nhập   line of line segment [(2,4),(-1,2)] , line 6 x+4 y-15 = 0

Xem   http://goo.gl/IVMlSO
Xem   http://goo.gl/vPKnZs
Xem   http://goo.gl/EfvicW

Nhập   -7x+y+10=0 , 5x+2y+1=0 , -2x+3y-8=0 , 6x+4y-15=0
Xem   http://goo.gl/yBtde3





d.  Viết phương trình đường cao của tam giác   
1. Nguồn  https://www.symbolab.com/solver/line-equation-calculator
Nhập  Line  (x1,y1) , (x2,y2)   , click Go - viết phương trình cạnh đáy tương ứng
Nhập  Perpendicular  Ax+By+C =0  at (x1,y1)  , click Go - viết phương trình đường cao qua đỉnh tương ứng

Ví dụ .  Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC  với  A(1,-3)  ,  B(2,4)  ,  C(-1,2)
Nhập  Line  (2,4) ,(-1,2)   phương trình BC :  y=2/3x+ 8/3
Nhập  Perpendicular  y=2/3x+8/3 at  (1,-3)  phương trình đường cao AH :  $y= -3/2x - 3/2$
Xem   https://goo.gl/ZPTvVI
Xem   https://goo.gl/kDkf5A

2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .    Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC  với  A(1,-3)  ,  B(2,4)  ,  C(-1,2)
Nhập   (2,4) - (-1,2)   ta có   $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{n_{Tr.Truc}}=(A,B)=(3,2)$
Phương trình đường cao AH  _|_ cạnh BC là  $A(x-x_A)+B(y-y_A)=0$
Nhập   3(x-1) + 2(y+3) = 0   phương trình đường cao AH :   $3x + 2y + 3 = 0$
Tìm chân đường cao H kẻ từ đỉnh A  , nhập    y=2/3x+ 8/3  ,  3x+2y+3=0   ta có H(-25/13 ,18/13 )

Xem   http://goo.gl/be6WFb
Kiểm tra
Xem   http://goo.gl/A1b1rs
Xem   http://goo.gl/M9p9fS


Hoặc
Nhập    -7x+y+10=0 , 5x+2y+1=0 , -2x+3y-8=0 , 3x + 2y + 3=0
Xem   http://goo.gl/tLaSoI





e.  Viết phương trình đường phân giác của tam giác   
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .  Viết phương trình đường phân giác AD của tam giác ABC  với  A(1,-3)  ,  B(2,4)  ,  C(-1,2)
Gọi  D(x,y) là chân đường phân giác trong của góc A ,  ta có quan hệ $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$
viết ở dạng vector như sau  $AC.\overrightarrow{DB}=-AB.\overrightarrow{DC}\Leftrightarrow AC.\overrightarrow{DB}+AB.\overrightarrow{DC}=0$
Hay  $AC.\overrightarrow{BD}+AB.\overrightarrow{CD}=0$
Một cách hình thức có thể viết  $AC.(D-B)+AB.(D-C)=0<=>D.(AB+AC)=AB.C+AC.B$
Khi đó điểm D chân phân giác trong góc A  được tìm bởi công thức

$<D>=\frac{AB.<C>+AC.<B>}{AB+AC}$   trong đó ký hiệu  $< ... >$  chỉ tọa độ của điểm trong dấu < , >

Bằng cách hoán vị tròn A, B , C
Tọa độ điểm E chân phân giác trong góc B   :   BE
$<E>=\frac{BA.<C>+BC.<A>}{BA+BC}$

Tọa độ điểm F chân phân giác trong góc C   :   CF
$<F>=\frac{CA.<B>+CB.<A>}{CA+CB}$




Bước 1.  Khảo sát tam giác ABC
Cụ thể với  tam giác ABC  với  A(1,-3)  ,  B(2,4)  ,  C(-1,2) , chân phân giác trong D của góc A sẽ là
Nhập  triangle  A(1,-3)  ,  B(2,4)  ,  C(-1,2)   ta có  $AB = \sqrt{50}; AC= \sqrt{29} ; BC= \sqrt{13}$
Tìm chân phân giác trong D của góc A
Nhập    ( sqrt(50)(-1,2) + sqrt(29)(2,4) ) / (  sqrt(50)+sqrt(29) )
Tọa độ điểm D là
${(2 \sqrt{29}-5 \sqrt{2})/(5 \sqrt{2}+\sqrt{29}), (10 \sqrt{2}+4 \sqrt{29})/(5 \sqrt{2}+\sqrt{29})}$


Bước 2.  Viết phương trình đường thẳng AD
Nhập  line  {(2 sqrt(29)-5 sqrt(2))/(5 sqrt(2)+sqrt(29)), (10 sqrt(2)+4 sqrt(29))/(5 sqrt(2)+sqrt(29))} , (1,-3)
Phương trình phân giác trong AD của góc A :
$(25 \sqrt{2}+7 \sqrt{29}) x+(10 \sqrt{2}-\sqrt{29}) y-10 \sqrt{29}+5 \sqrt{2} = 0$


Bước 3.  Kiểm tra
Nhập   -7x+y+10=0 , 5x+2y+1=0 , -2x+3y-8=0 , (25 sqrt(2)+7 sqrt(29)) x+(10 sqrt(2)-sqrt(29)) y-10 sqrt(29)+5 sqrt(2) = 0

Xem   http://goo.gl/hXLXZm
Xem   http://goo.gl/NahstF
Xem   http://goo.gl/8vrPbT
Xem   http://goo.gl/LFoCjF




f.  Tìm tâm đường tròn nội tiếp của tam giác   
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .  Tìm tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC  với  A(1,-3)  ,  B(2,4)  ,  C(-1,2)
Gọi 3 phân giác trong của tam giác là AD , BE , CF .
$AB = \sqrt{50}; AC= \sqrt{29} ; BC= \sqrt{13}$

Bước 1 .  Viết phương trình phân giác AD
Như trên , phương trình phân giác trong AD của góc A :
$(25 \sqrt{2}+7 \sqrt{29}) x+(10 \sqrt{2}-\sqrt{29}) y-10 \sqrt{29}+5 \sqrt{2} = 0$


Bước 2 .  Viết phương trình phân giác BE
Tọa độ điểm E chân phân giác trong góc B   :   BE
$<E>=\frac{BA.<C>+BC.<A>}{BA+BC}$
Tìm chân phân giác trong E của góc B
Nhập    ( sqrt(50)(-1,2) + sqrt(13)(1,-3) ) / (  sqrt(50)+sqrt(13) )
Tọa độ điểm E  là
${(\sqrt{13}-5 \sqrt{2})/(5 \sqrt{2}+\sqrt{13}), (10 \sqrt{2}-3 \sqrt{13})/(5 \sqrt{2}+\sqrt{13})}$
Nhập line  {(sqrt(13)-5 sqrt(2))/(5 sqrt(2)+sqrt(13)), (10 sqrt(2)-3 sqrt(13))/(5 sqrt(2)+sqrt(13))} , (2,4)
Phương trình phân giác trong BE của góc B :
$(-10 \sqrt{2}-7 \sqrt{13}) x+(15 \sqrt{2}+\sqrt{13}) y+10 \sqrt{13}-40 \sqrt{2} = 0$


Bước 3.
Cho AD cắt BE  ta có tâm J của đường tròn nội tiếp tam giác ABC .
Nhập (25 sqrt(2)+7 sqrt(29)) x+(10 sqrt(2)-sqrt(29)) y-10 sqrt(29)+5 sqrt(2) = 0 , (-10 sqrt(2)-7 sqrt(13)) x+(15 sqrt(2)+sqrt(13)) y+10 sqrt(13)-40 sqrt(2) = 0

Tâm J của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là
$x = (-10+\sqrt{26}+2 \sqrt{58})/(10+\sqrt{26}+\sqrt{58}) $,
$y = (3 (28 \sqrt{2}-20 \sqrt{13}+20 \sqrt{29}+\sqrt{754}))/((10 \sqrt{2}-\sqrt{29}) (10+\sqrt{26}+\sqrt{58}))$

Dạng gần đúng    $ J (0.45479,1.5482)$

Xem   http://goo.gl/s0USP8
Xem   http://goo.gl/CGrFhY
Xem   http://goo.gl/REL6Mc


Bước 4.  Kiểm tra
Nhập   -7x+y+10=0 , 5x+2y+1=0 , -2x+3y-8=0 , (25 sqrt(2)+7 sqrt(29)) x+(10 sqrt(2)-sqrt(29)) y-10 sqrt(29)+5 sqrt(2) = 0 , (-10 sqrt(2)-7 sqrt(13)) x+(15 sqrt(2)+sqrt(13)) y+10 sqrt(13)-40 sqrt(2) = 0

Bán kính đường tròn nội tiếp là  $ r=S_{\Delta ABC}/p $  với  $p= \frac{AB+BC+CA}{2}$  (nửa chu vi)
Ta có  $r = 19/( 5 \sqrt{2}+\sqrt{13}+\sqrt{29})$
 r = 19/( 5 sqrt(2)+sqrt(13)+sqrt(29))
Nhập   circle center (0.45479,1.5482)  radius = 19/( 5 sqrt(2)+sqrt(13)+sqrt(29))  , triangle  A(1,-3)  ,  B(2,4)  ,  C(-1,2)
Xem    http://goo.gl/Cru7Yx




g.  Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác   
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .  Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC  với  A(1,-3)  ,  B(2,4)  ,  C(-1,2)
Gọi  I(a,b)   là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
AI = BI = CI
Xác định $ \overrightarrow{AI}=<I>-<A>$ = (a,b) - (1,-3) = (a-1,b+3)
Xác định $ \overrightarrow{BI}=<I>-<B>$ = (a,b) - (2,4) = (a-2,b-4)
Xác định $ \overrightarrow{CI}=<I>-<C>$ = (a,b) - (-1,2) = (a+1,b-2)

-Cho  $||\overrightarrow{AI}|| = ||\overrightarrow{BI}||$
Nhập  simplify (|| (a-1,b+3) || = || (a-2,b-4) ||)   ta có  $a+7b=5$
-Cho  $||\overrightarrow{AI}|| = ||\overrightarrow{CI}||$
Nhập  simplify(  || (a-1,b+3) || = || (a+1,b-2) ||) ta có  $4a=10b+5$
Nhập  a+7 b = 5 , 4 a = 10 b+5
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là :  $I(85/38,15/38)$

Có thể giải vắn tắt :
Nhập   solve {|| (a-1,b+3) || = || (a-2,b-4) || , || (a-1,b+3) || = || (a+1,b-2) ||}
Ta tìm được tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là :  $I(85/38,15/38)$

Xem   http://goo.gl/6fxSFH
Xem   http://goo.gl/tpXYWt
Xem   http://goo.gl/Q39Mt1
Xem   http://goo.gl/JnW9m3

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là :  R = $5 \sqrt{754} / 38$
Xem   http://goo.gl/3QRkQN


Kiểm tra
Nhập  circle center  (85/38,15/38)  radius = 5 sqrt(754)/38  , triangle  A(1,-3)  ,  B(2,4)  ,  C(-1,2)
Xem   http://goo.gl/tDNOpX





--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



Trần hồng Cơ
25/04/2015

------------------------------------------------------------------------------------------- 

 Mục đích cuộc sống càng cao thì đời người càng giá trị.

 Geothe


*******

Blog Toán Cơ trích đăng các thông tin khoa học tự nhiên của tác giả và nhiều nguồn tham khảo trên Internet .
Blog cũng là nơi chia sẻ các suy nghĩ , ý tưởng về nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau .


Chia xẻ

Bài viết được xem nhiều trong tuần

CÁC BÀI VIẾT MỚI VỀ CHỦ ĐỀ TOÁN HỌC

Danh sách Blog

Thông tin hàng ngày.

Giới thiệu bản thân

Ảnh của Tôi


Các chuyên đề ứng dụng .

1. Phương trình vi phân  
2. Toán đơn giản - College Algebra 
3. Toán thực hành - Practical Mathematics 
4. Vật lý tổng quan ( đang viết )
5. Phương trình tích phân 
( đang chuẩn bị ) 

Gặp Cơ tại Researchgate.net

Co Tran