Wikipedia

Kết quả tìm kiếm

Giải toán trực tuyến W | A




Vẽ đồ thị trong Oxyz plot3D(f(x,y),x=..,y=..)
Vẽ đồ thị trong Oxy plot(f(x),x=..,y=..)
Đạo hàm derivative(f(x))
Tích phân Integrate(f(x))


Giải toán trực tuyến W|A

Hiển thị các bài đăng có nhãn mathematics. Hiển thị tất cả bài đăng
Hiển thị các bài đăng có nhãn mathematics. Hiển thị tất cả bài đăng

Thứ Ba, 5 tháng 7, 2016

GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN . Phần 15 . HÀM SỐ MŨ - PHƯƠNG TRÌNH MŨ .


GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN .

Phần 15 . HÀM SỐ MŨ  - PHƯƠNG TRÌNH MŨ.   

DANH MỤC CÔNG CỤ GIẢI TOÁN TRỰC TUYẾN  MATHEMATICA  WOLFRAM | ALPHA .

Giới thiệu .

Bạn đọc truy cập vào đường dẫn  http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen  để sử dụng các widgets giải toán trực tuyến W|A Mathematica theo chỉ mục trong danh sách dưới đây .

Những widgets này đã được tác giả sắp xếp theo từng môn học và cấp lớp theo ký hiệu như sau :

D : Đại số . Ví dụ  D8.1 widget dùng cho Đại số lớp 8 , mục 1 - Khai triển , rút gọn biểu thức đại số .
H : Hình học . Ví dụ  H12.3  widget dùng cho Hình học lớp 12 , mục 3 - Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian .
G : Giải tích . Ví dụ : G11.7  widget dùng cho Giải tích lớp 11 , mục 7 - Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
GI : Giải tích cao cấp I . Ví dụ GI.15  widget dùng cho Giải tích cao cấp I , mục 15 - Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GII : Giải tích cao cấp II .


++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++


 ĐẠI SỐ 8

D8.1  Khai triển , rút gọn biểu thức đại số
D8.2  Rút gọn phân thức
D8.3  Phân tích thừa số
D8.4  Nhân 2 đa thức
D8.5  Khai triển tích số ( có thể dùng để khai triển Newton )
D8.6  Phân tích thừa số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 10

D10.1 Giải phương trình nguyên Diophante
D10.2 Giải phương trình tuyệt đối
D10.3 Giải phương trình chứa tham số
D10.4  Giải phương trình đại số
D10.5  Giải phương trình từng bước
D10.6  Giải bất phương trình minh hoạ bằng đồ thị

D10.8  Tính giá trị biểu thức hàm số
D10.9  Giải bất phương trình đại số và minh hoạ bằng đồ thị
D10.10  Giải bất phương trình đại số - tìm miền nghiệm
D10.11  Giải phương trình đại số
D10.12  Giải phương trình vô tỷ
D10.13  Giải phương trình minh hoạ từng bước
D10.14  Giải phương trình dạng hàm ẩn
D10.15  Giải hệ thống phương trình tuyến tính , phi tuyến
D10.16  Giải hệ phương trình
D10.17  Vẽ miền nghiệm của bất phương trình đại số
D10.19  Tối ưu hoá hàm 2 biến với các ràng buộc
D10.20  Tìm giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành Ox , trục tung Oy

HÌNH HỌC 10

H10.1  Tính diện tích tam giác trong hệ toạ độ Oxy
H10.3  Khảo sát conic ( đường tròn , Ellipse , Parabola , Hyperbola )
H10.2  Tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng trong Oxy



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 11

D11.1 Thuật chia Euclide dùng cho số và đa thức  ( HORNER )
D11.2  Tính tổng nghịch đảo của n số tự nhiên




D11.6  Khai triển nhị thức Newton


GIẢI TÍCH 11


G11.1  Tính gíá trị một chuỗi số  theo n
G11.2  Đa thức truy hồi
G11.3  Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số
G11.4  Tính giới hạn của chuỗi số khi  $n \rightarrow  \infty$
G11.5  Tìm hàm số ngược của hàm số cho trước
G11.6  Tìm đạo hàm của hàm số hợp - giải thích
G11.7   Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
G11.8   Tìm giới hạn của hàm số
G11.9   Tìm giới hạn của hàm số
G11.10  Tính đạo hàm hàm số có dạng U/V
G11.11  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước
G11.12  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước

G11+12.1   Tính đạo hàm ,tích phân , giới hạn , vẽ đồ thị


LƯỢNG GIÁC 11

L11.1   Giải phương trình lượng giác
L11.2   Giải phương trình lượng giác trên một đoạn
L11.3   Tìm chu kỳ của hàm số tuần hoàn
L11.4   Khai triển công thức lượng giác



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 12

D12.1   Cấu trúc của số phức
D12.1   Giải phương trình mũ
D12.3   Giải  phương trình chứa tham số
D12.4   Giải  phương trình  bất kỳ  ( Bậc 2 , 3 , ... , mũ  , log , căn thức )
D12.5   Giải phương trình mũ



GIẢI TÍCH 12


G12.1  Vẽ đồ thị biểu diễn phương trình
G12.2    Khảo sát hàm số hữu tỷ
G12.3   Vẽ đồ thị trong toạ độ cực (Polar)
G12.4    Tìm cực trị của hàm số
G12.5    Vẽ đồ thị hàm số 2D
G12.6   Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số
G12.7    Vẽ nhiều hàm số - Basic plot. To plot two or more functions, enter {f1(x), f2(x),...}
G12.8    Tìm điểm uốn của hàm số cho trước
G12.9    Tìm nghiệm của các phương trình  y = 0 , y ' = 0 ,  y " = 0
G12.10    Tính tích phân bất định
G12.11    Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.12   Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.13   Tìm đường tiệm cận của hàm số
G12.14   Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.15  Tìm giao điểm của hàm số đa thức và trục hoành Ox - Vẽ đồ thị .
G12.16    Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi (C1) , (C2)
G12.17    Vẽ đồ thị hàm số ( có đường tiệm cận )
G12.18   Vẽ đồ thị 2D , 3D
G12.19   Tìm hoành độ giao điểm giữa 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.20    Vẽ đường cong tham số 3D
G12.21    Tính diện tich mặt tròn xoay
G12.22    Tích thể tích vật tròn xoay  (C) , trục  Ox , x =a , x= b
G12.23    Thể tích vật tròn xoay
G12.24    Tích thể tích vật tròn xoay (C1) , (C2) , trục OX , x = a , x = b
G12.25    Khảo sát hàm số đơn giản
G12.26    Tìm cực trị của hàm số
G12.27    Tìm nguyên hàm của hàm số
G12.28    Tính tích phân xác định


HÌNH HỌC 12


H12.1  Tính khoảng cách 2 điểm trong 2D , 3D
H12.2   Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm trong không gian
H12.3  Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian
H12.4   Tìm công thức thể tích , diện tích hình không gian
H12.5   Vẽ đồ thị 2D , mặt 3D
H12.6    Tích có hướng 2 vector



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

GIẢI TÍCH CAO CẤP

GI.1    Vẽ đồ thị , mặt 3D
GI.2   Vẽ đồ thị , mặt  3D
GI.3    Tích phân 2 lớp
GI.5    Tích phân kép
GI.6    Tích phân bội 3
GI.7    Tích phân bội 3
GI.8    Tích phân suy rộng
GI.9    Chuỗi và dãy số
GI.10    Các bài toán cơ bản trong vi  tích phân
GI.11     Vẽ hàm từng khúc ( piecewise ) - dùng để xét tính liên tục của hàm số
GI.12    Tính đạo hàm và tích phân một hàm số cho trước
GI.13     Vẽ đồ thị hàm số trong hệ toạ độ cực
GI.14     Tính đạo hàm riêng
GI.15    Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GI.16    Tính tổng chuỗi số  n = 1...$\infty$
GI.17     Vẽ  đồ thị  3 hàm số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Bài viết sau đây mô tả các khái niệm toán học và hướng dẫn tính toán chi tiết bằng công cụ trực tuyến , bạn đọc có thể tham khảo những nội dung chính yếu được đề cập đến trong giáo trình toán phổ thông  cùng với các ví dụ minh họa  .

Một số website hữu ích phục vụ cho việc giảng dạy và học tập môn toán :

http://quickmath.com/
http://analyzemath.com/
http://www.intmath.com/
http://www.mathportal.org
https://www.mathway.com/
https://www.symbolab.com/
http://www.graphsketch.com/
http://www.meta-calculator.com/online/?home
http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen
https://www.geekandnerd.org/edu-courses/

15.  HÀM SỐ MŨ - PHƯƠNG TRÌNH MŨ - Hàm số mũ .

15.1  Hàm số mũ .

15.1.1  Dạng hàm số $y=a^x$  .
a. Khái niệm  .

Click View Flashcard xem trang hiện hành - Click Flip xem trang kế tiếp .






















b. Các ví dụ .

Xem các ví dụ minh họa trong Flashcard sau .





Ví dụ 1. 
Tính toán giá trị .



Lời giải



Công cụ trực tuyến   https://www.symbolab.com/

$A=\frac{6593}{9}$    Xem  https://goo.gl/K4XtKe
$B=-\frac{25}{1024}$   Xem  https://goo.gl/yrYoMB
$C=\frac{65}{4}$    Xem  https://goo.gl/FfZsWX
$D=\frac{97}{8}$    Xem  https://goo.gl/VNGGug
$E=2^{\frac{1}{4}}$    Xem  https://goo.gl/T1WyK2
$F=3\cdot \:64^{\sqrt{3}}$    Xem  https://goo.gl/D8uJXk

Ví dụ 2. 
Rút gọn biểu thức .



Lời giải



Công cụ trực tuyến    https://www.symbolab.com/

$A=\frac{1}{a^{\frac{1}{6}}}=a^{-1/6}$    Xem  https://goo.gl/bvF2Hp
$B=\frac{1}{b^{\frac{5}{6}}}$    Xem  https://goo.gl/54wN8A
$C= a+b$    Xem  https://goo.gl/ivhjeE
$b = (a^{\sqrt{5}})^{1/ \sqrt{7}}$   cả Symbolab  và  W|A đều không cho ra kết quả cụ thể .
  Xem  https://goo.gl/5Msuwm  ,  https://goo.gl/b9Dqju


Ví dụ 3. 
So sánh trị số .

Lời giải




Công cụ trực tuyến    https://www.symbolab.com/

$a. \sqrt[3]{28}-\sqrt{17}<0$    Xem  https://goo.gl/RUU2ty
$b. \sqrt[4]{13}-\sqrt[5]{23}>0$    Xem  https://goo.gl/5hJtDk
$c. 2^{-\sqrt{12}}-\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{5}{2}} <0$    Xem  https://goo.gl/fZtuAH
$d. \left(\frac{\pi }{2}\right)^{\sqrt{2}}-\left(\frac{\pi \:}{5}\right)^{\sqrt{3}}>0$    Xem  https://goo.gl/sgoLGA
$e. \sqrt[5]{\sqrt[4]{\sqrt{2}}}-\sqrt[3]{\sqrt[4]{\sqrt[3]{9}}} <0$  Xem  https://goo.gl/G3XNco
$f. \sqrt{3^{-\frac{5}{6}}}-\sqrt[3]{3^{-1}\cdot \sqrt[4]{\frac{1}{3}}}=0$ Xem  https://goo.gl/zAdRQt


Ví dụ 4. 
Chứng minh đẳng thức-bất đẳng thức  .


Lời giải .



Ví dụ 5. 
Tìm m thỏa mãn đẳng thức-bất đẳng thức  .


Lời giải .





Công cụ trực tuyến

a*

Xem  https://goo.gl/AXRN2v

b* Chọn a là hằng số , ví dụ a = 2

Xem  https://goo.gl/zVvVZ6

c* Chọn a là hằng số , ví dụ a = 2

Xem  https://goo.gl/syY9pn

d* Chọn a là hằng số , ví dụ a = 2

Xem  https://goo.gl/mCQmt2






Ví dụ 6. 
Tìm tập xác định của hàm số mũ  .


Lời giải .




Ví dụ 7. 
Tìm tập xác định của hàm số mũ  .



Lời giải .

Ví dụ 8. 
Vẽ đồ thị hàm số  $y=2^x+x-6$ . Tìm giao điểm của đồ thị và trục hoành .



Nhận xét  $x = 2$

Ví dụ 9. 
Vẽ đồ thị hàm số  $(C1): y=7^{6-x}$ và $(C2): y=x+2 $ . Tìm nghiệm của phương trình $7^{6-x}=x+2$ .



Nhận xét  $x = 5$

Ví dụ 10. 
Tính đạo hàm của các hàm số sau



Lời giải





































































Trần hồng Cơ
Ngày 28/06/2016




 ------------------------------------------------------------------------------------------- 

 Love not the world, neither the things that are in the world. If any man love the world, the love of the Father is not in him. For all that is in the world, the lust of the flesh, and the lust of the eyes, and the pride of life, is not of the Father, but is of the world. 

1 John 2:15-16 KJV 

 Chớ yêu thế gian cùng những gì trong thế gian. Nếu ai yêu thế gian thì sự kính yêu Thượng Đế không ở trong người ấy. 

 I Giăng 2:15

Thứ Bảy, 2 tháng 7, 2016

Sử dụng dữ liệu trong nghiên cứu biến đổi khí hậu

 Sử dụng dữ liệu trong nghiên cứu biến đổi khí hậu.

1. Trái đất và quá trình biến đổi khí hậu .

Nhóm nghiên cứu được NSF hỗ trợ phát triển các phương pháp hướng dữ liệu để tinh chỉnh dự đoán khí hậu, phân tích sự thay đổi khí hậu trong các cuộc thám hiểm

expeditions
Một hệ thống giám sát nước toàn cầu phát hiện uốn khúc của sông Ucayali ở Nam Mỹ.


Năm 2016 trái đất được ghi nhận là nóng nhất, theo NASA kỷ lục về nhiệt độ mới đã được thiết lập trong sáu tháng đầu tiên . Biến đổi khí hậu, kết hợp với ảnh hưởng của El Nino, là lý do chính đằng sau sự thiết lập nhiệt độ kỷ lục này .
Mặc dù xu hướng và rủi ro do khí hậu ấm lên nói chung là đã được biết đến, nhưng các nhà nghiên cứu vẫn chưa chắc chắn lắm về những tác động xã hội và môi trường mà nó sẽ gây ra.
Do sự không chắc chắn này, nên những câu hỏi quan trọng liên quan đến an ninh lương thực, nguồn nước, đa dạng sinh học, và các vấn đề kinh tế-xã hội khác vẫn chưa được giải quyết.
 Sự khắc nghiệt do thay đổi thời tiết sẽ như thế nào? Những biến đổi khí hậu sẽ ảnh hưởng đến hệ sinh thái đa dạng trên địa cầu ra sao ? Việc trả lời những câu hỏi này cùng nhiều vấn đề quan trọng khác đòi hỏi cách tiếp cận mới có thể giúp các chính phủ và cá nhân đáp ứng tốt hơn với điều kiện thay đổi khí hậu.
Năm 2010, Quỹ Khoa học Quốc gia (NSF) đã trao tặng một khoản kinh phí 10 triệu USD về Chương trình Thám hiểm máy tính tài trợ cho một nhóm nghiên cứu thuộc trường đại học Minnesota sử dụng phương pháp tiếp cận hướng dữ liệu để giải quyết những thách thức quan trọng trong khoa học biến đổi khí hậu.
Phương pháp tiếp cận hướng dữ liệu đã được chứng minh rất hữu ích trong một số lĩnh vực khoa học, từ khoa học vật liệu đến nghiên cứu gen sinh vật.
Dự án này, được gọi là " Tìm hiểu biến đổi khí hậu: Một phương pháp tiếp cận hướng dữ liệu " , đã phát triển các phương pháp sử dụng dữ liệu khí hậu và hệ sinh thái từ nhiều nguồn khác nhau để tinh chỉnh các dự báo và xác định những thay đổi về khí hậu . Những nguồn này có thể bao gồm tất cả mọi thứ từ vệ tinh - và các cảm biến trên mặt đất, để mô phỏng mô hình khí hậu và các thông tin quan sát cho các quá trình khí quyển, đại dương và đất liền.

"Những phương pháp tiếp cận sáng tạo này giúp cho việc cung cấp sự hiểu biết mới về bản chất phức tạp của hệ thống Trái đất và cơ chế đóng góp vào sự tác động xấu của biến đổi khí hậu", Vipin Kumar, giáo sư về khoa học máy tính tại Đại học Minnesota và trưởng nhóm nghiên cứu chính cho biết .
Kết quả hình ảnh cho Vipin Kumar,
http://www-users.cs.umn.edu/~kumar/

"Những hậu quả này có thể bao gồm tăng tần suất các vụ cháy rừng, thay đổi chế độ mưa, và xu hướng cho các sự kiện cực đoan - sóng nhiệt, hạn hán và lũ lụt, ví dụ như có thể dẫn đến những thảm họa môi trường"
Nhóm nghiên cứu đã áp dụng phương pháp tiếp cận hướng dữ liệu của mình cho một loạt các câu hỏi cụ thể mà do sự không chắc chắn khoa học, cho đến nay vẫn đang giới hạn khả năng hiểu biết các điều kiện thay đổi và thiết kế các chính sách chủ động để giải quyết chúng.

2. Mô hình của các biến cố mưa cực đoan. 

Năm 2012, nhóm nghiên cứu đã xuất bản một bài báo trên tạp chí Biến đổi khí hậu tự nhiên (Nature Climate Change) mô tả các kết quả của một nghiên cứu hướng dữ liệu về lượng mưa ở Ấn Độ. Bài báo đã chỉ ra có một sự gia tăng ổn định và quan trọng trong sự thay đổi địa lý của các trận mưa cực đoan tại Ấn Độ trong vòng nửa thế kỷ qua, giải quyết một cuộc tranh cãi từ lâu đã gây ra sự bế tắc về hoạch định chính sách.
"Hiểu biết hiện tại của chúng tôi về mô hình địa lý của những trận mưa lớn và sự thay đổi của chúng theo thời gian dẫn đến việc quản lý các tài nguyên nước và nguy cơ lũ lụt cũng như các cuộc đàm phán chính sách liên quan đến đô thị hóa hoặc kiểm soát lượng khí thải", các nhà nghiên cứu đã viết trong bài báo năm 2012.   " Như vậy, tại các khu vực dễ bị tổn thương của thế giới, nơi lũ lụt có thể gây thiệt hại nhiều sinh mạng và ảnh hưởng đến nền kinh tế, hoặc tại các quốc gia đang phát triển trong đó có thể góp phần đáng kể vào việc kiểm soát khí quyển các khí nhà kính, các tiến bộ khoa học vĩ mô là hết sức cần thiết."
Vasant Honavar, cựu Giám đốc chương trình NSF's Division of Information and Intelligent Systems cho biết, bài báo này đã chứng minh dược tiềm năng của phương pháp tiếp cận hướng dữ liệu của nhóm nghiên cứu.
"Bài báo của Tạp chí Nature Climate Change đã cung cấp một gợi ý về cách thức mà phương pháp khai thác dữ liệu tinh vi này có thể giúp lấp đầy những khoảng trống trong sự hiểu biết của chúng ta về sự biến đổi khí hậu, và cuối cùng đưa ra những hiểu biết tích cực để giảm thiểu những tác động tiêu cực của biến đổi khí hậu đối với con người và môi trường", ông nói.
Kết quả hình ảnh cho Vasant Honavar
http://pennstate.academia.edu/VasantHonavar

3.Giám sát động học mặt nước.
Đối với một công trình khác sử dụng những phương pháp này, các nhà nghiên cứu đã xây dựng một hệ thống giám sát động lực học các cơ thể bề mặt nước toàn cầu sử dụng dữ liệu từ vệ tinh quan trắc Trái đất của NASA. Hệ thống này có thể xác định một loạt các thay đổi thủy văn, từ dòng chảy của những con sông đến việc giảm thiểu và tăng trưởng các cơ thể nước do hạn hán, các sông băng tan chảy, và việc xây dựng đập. (Công chúng có thể hình dung những thay đổi xảy ra trong cơ thể nước trên toàn thế giới bằng cách sử dụng một trình xem web.như sau http://arizona-umh.cs.umn.edu/WaterDynamicsMappingReBuiltBeta/)

Một ví dụ về sức mạnh đáng kể của các công cụ giám sát này là các nhà nghiên cứu đã xác định những gì thuộc về các đập nhiều hơn gấp 10 lần so với thông tin từ một nhóm các nhà khoa học đã ghi nhận trong suốt thời gian 15 năm được ghi trong niên giám cơ sở dữ liệu toàn cầu về đập và hồ chứa nước .
"Điều này cho thấy quy mô của khoảng trống kiến ​​thức trong công cụ giám sát nước hiện có và sự hứa hẹn trong việc sử dụng dữ liệu viễn thám để giám sát toàn cầu về động lực học mặt nước ", Kumar nói.



http://atlas.gwsp.org/

4. Dự đoán những thay đổi về trào lưu ven biển.
Một nghiên cứu thứ ba về khí hậu theo hướng dữ liệu được mô tả trong bài báo đăng trên tạp chí Nature năm 2015, nhóm nghiên cứu đã so sánh mô hình  22 trạng thái khí hậu từ các nhóm nghiên cứu khác trên khắp thế giới. Nhóm nghiên cứu đang tìm kiếm sự đồng thuận giữa các mô hình dự báo sự tác động của biến đổi khí hậu đối với trào lưu ven biển trong đại dương - là quá trình theo đó, các vùng nước lạnh chìm sâu, giàu dinh dưỡng trào lên bề mặt.
Các mô hình chúng ta phân tích một cách nhất quán dự đoán thêm nhiều hiện tượng trào lưu dọc theo bờ biển, một hiện tượng mà cuối cùng sẽ ảnh hưởng đến sự phân bố địa lý của đa dạng sinh học biển, , tác động thủy sản và các khía cạnh khác về thể trạng đại dương.

Các nghiên cứu khác của nhóm như:
-Ứng dụng kỹ thuật cơ khí nhằm theo dõi các vụ cháy rừng và các đồn điền dầu cọ ở vùng nhiệt đới.
-Phân tích cấu trúc của hệ thống khí hậu để xác định các kết nối từ xa, như trong sự chuyển động El Nino miền nam .
-Tạo ra một khuôn khổ có thể kết hợp dữ liệu từ nhiều mô hình khí hậu toàn cầu để đưa ra dự đoán khu vực tốt hơn về lượng mưa.

Tháng 6 năm 2016 ACM Hội nghị SIGIR về nghiên cứu và phát triển trong lĩnh vực Thu hồi thông tin , giáo sư Kumar đưa ra một bài phát biểu về cách xử dụng máy và khai thác dữ liệu cao cấp mà nhóm của ông đã thực hiện trong việc tìm hiểu tác động biến đổi khí hậu có thể có liên quan đến lĩnh vực hoàn toàn khác nhau của sự thu hồi thông tin.

"Đây là một dự án đầy tham vọng táo bạo với một tầm nhìn hấp dẫn và toàn diện", Sylvia Spengler, giám đốc chương trình tại Phòng Thông tin và hệ thống thông minh của NSF cho biết. "Với khả năng biến đổi, nó đã cung cấp một cơ hội duy nhất để thăng tiến sự hiểu biết về khí hậu và các sự kiện cực đoan thông qua một loạt các phương pháp tính toán mới."

- Aaron Dubrow, Quỹ Khoa học Quốc gia (703) 292-4489 adubrow@nsf.gov

Điều sát viên
Vipin Kumar
Alok Choudhary
Auroop Ganguly
Jonathan Foley
Shashi Shekhar
Nagiza Samatova
Arindam Banerjee
Fredrick Semazzi
Abdollah Homaifar

Tổ chức liên quan / Viện nghiên cứu
Northeastern University
Northwestern University
North Carolina State University
University of Minnesota-Twin Cities
North Carolina Agricultural & Technical State University

Chương trình liên quan
Hành trình về Computing

Các giải thưởng liên quan
#1028746 Collaborative Research: Understanding Climate Change: A Data Driven Approach
#1029166 Collaborative Research: Understanding Climate Change: A Data Driven Approach
#1029711 Collaborative Research: Understanding Climate Change: A Data Driven Approach
#1029731 Collaborative Research: Understanding Climate Change: A Data Driven Approach


Trần hồng Cơ
Tham khảo và lược dịch
Saigon , 21/05/2016


Nguồn
http://www.nsf.gov/discoveries/

-------------------------------------------------------------------------------------------

If you know about what you are talking about , you have something more valuable than gold and jewels -

 Có nhiều vàng và châu ngọc , nhưng miệng có tri thức là bửu vật quý giá vô song .

Châm ngôn 20:15


Thứ Sáu, 10 tháng 6, 2016

GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN . Phần 14h . KHẢO SÁT HÀM SỐ - Điểm đặc biệt của hàm số.


GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN .

Phần 14h . KHẢO SÁT HÀM SỐ  - Điểm đặc biệt của hàm số .   

DANH MỤC CÔNG CỤ GIẢI TOÁN TRỰC TUYẾN  MATHEMATICA  WOLFRAM | ALPHA .

Giới thiệu .

Bạn đọc truy cập vào đường dẫn  http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen  để sử dụng các widgets giải toán trực tuyến W|A Mathematica theo chỉ mục trong danh sách dưới đây .

Những widgets này đã được tác giả sắp xếp theo từng môn học và cấp lớp theo ký hiệu như sau :

D : Đại số . Ví dụ  D8.1 widget dùng cho Đại số lớp 8 , mục 1 - Khai triển , rút gọn biểu thức đại số .
H : Hình học . Ví dụ  H12.3  widget dùng cho Hình học lớp 12 , mục 3 - Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian .
G : Giải tích . Ví dụ : G11.7  widget dùng cho Giải tích lớp 11 , mục 7 - Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
GI : Giải tích cao cấp I . Ví dụ GI.15  widget dùng cho Giải tích cao cấp I , mục 15 - Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GII : Giải tích cao cấp II .


++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++


 ĐẠI SỐ 8

D8.1  Khai triển , rút gọn biểu thức đại số
D8.2  Rút gọn phân thức
D8.3  Phân tích thừa số
D8.4  Nhân 2 đa thức
D8.5  Khai triển tích số ( có thể dùng để khai triển Newton )
D8.6  Phân tích thừa số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 10

D10.1 Giải phương trình nguyên Diophante
D10.2 Giải phương trình tuyệt đối
D10.3 Giải phương trình chứa tham số
D10.4  Giải phương trình đại số
D10.5  Giải phương trình từng bước
D10.6  Giải bất phương trình minh hoạ bằng đồ thị

D10.8  Tính giá trị biểu thức hàm số
D10.9  Giải bất phương trình đại số và minh hoạ bằng đồ thị
D10.10  Giải bất phương trình đại số - tìm miền nghiệm
D10.11  Giải phương trình đại số
D10.12  Giải phương trình vô tỷ
D10.13  Giải phương trình minh hoạ từng bước
D10.14  Giải phương trình dạng hàm ẩn
D10.15  Giải hệ thống phương trình tuyến tính , phi tuyến
D10.16  Giải hệ phương trình
D10.17  Vẽ miền nghiệm của bất phương trình đại số
D10.19  Tối ưu hoá hàm 2 biến với các ràng buộc
D10.20  Tìm giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành Ox , trục tung Oy

HÌNH HỌC 10

H10.1  Tính diện tích tam giác trong hệ toạ độ Oxy
H10.3  Khảo sát conic ( đường tròn , Ellipse , Parabola , Hyperbola )
H10.2  Tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng trong Oxy



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 11

D11.1 Thuật chia Euclide dùng cho số và đa thức  ( HORNER )
D11.2  Tính tổng nghịch đảo của n số tự nhiên




D11.6  Khai triển nhị thức Newton


GIẢI TÍCH 11


G11.1  Tính gíá trị một chuỗi số  theo n
G11.2  Đa thức truy hồi
G11.3  Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số
G11.4  Tính giới hạn của chuỗi số khi  $n \rightarrow  \infty$
G11.5  Tìm hàm số ngược của hàm số cho trước
G11.6  Tìm đạo hàm của hàm số hợp - giải thích
G11.7   Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
G11.8   Tìm giới hạn của hàm số
G11.9   Tìm giới hạn của hàm số
G11.10  Tính đạo hàm hàm số có dạng U/V
G11.11  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước
G11.12  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước

G11+12.1   Tính đạo hàm ,tích phân , giới hạn , vẽ đồ thị


LƯỢNG GIÁC 11

L11.1   Giải phương trình lượng giác
L11.2   Giải phương trình lượng giác trên một đoạn
L11.3   Tìm chu kỳ của hàm số tuần hoàn
L11.4   Khai triển công thức lượng giác



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 12

D12.1   Cấu trúc của số phức
D12.1   Giải phương trình mũ
D12.3   Giải  phương trình chứa tham số
D12.4   Giải  phương trình  bất kỳ  ( Bậc 2 , 3 , ... , mũ  , log , căn thức )
D12.5   Giải phương trình mũ



GIẢI TÍCH 12


G12.1  Vẽ đồ thị biểu diễn phương trình
G12.2    Khảo sát hàm số hữu tỷ
G12.3   Vẽ đồ thị trong toạ độ cực (Polar)
G12.4    Tìm cực trị của hàm số
G12.5    Vẽ đồ thị hàm số 2D
G12.6   Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số
G12.7    Vẽ nhiều hàm số - Basic plot. To plot two or more functions, enter {f1(x), f2(x),...}
G12.8    Tìm điểm uốn của hàm số cho trước
G12.9    Tìm nghiệm của các phương trình  y = 0 , y ' = 0 ,  y " = 0
G12.10    Tính tích phân bất định
G12.11    Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.12   Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.13   Tìm đường tiệm cận của hàm số
G12.14   Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.15  Tìm giao điểm của hàm số đa thức và trục hoành Ox - Vẽ đồ thị .
G12.16    Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi (C1) , (C2)
G12.17    Vẽ đồ thị hàm số ( có đường tiệm cận )
G12.18   Vẽ đồ thị 2D , 3D
G12.19   Tìm hoành độ giao điểm giữa 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.20    Vẽ đường cong tham số 3D
G12.21    Tính diện tich mặt tròn xoay
G12.22    Tích thể tích vật tròn xoay  (C) , trục  Ox , x =a , x= b
G12.23    Thể tích vật tròn xoay
G12.24    Tích thể tích vật tròn xoay (C1) , (C2) , trục OX , x = a , x = b
G12.25    Khảo sát hàm số đơn giản
G12.26    Tìm cực trị của hàm số
G12.27    Tìm nguyên hàm của hàm số
G12.28    Tính tích phân xác định


HÌNH HỌC 12


H12.1  Tính khoảng cách 2 điểm trong 2D , 3D
H12.2   Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm trong không gian
H12.3  Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian
H12.4   Tìm công thức thể tích , diện tích hình không gian
H12.5   Vẽ đồ thị 2D , mặt 3D
H12.6    Tích có hướng 2 vector



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

GIẢI TÍCH CAO CẤP

GI.1    Vẽ đồ thị , mặt 3D
GI.2   Vẽ đồ thị , mặt  3D
GI.3    Tích phân 2 lớp
GI.5    Tích phân kép
GI.6    Tích phân bội 3
GI.7    Tích phân bội 3
GI.8    Tích phân suy rộng
GI.9    Chuỗi và dãy số
GI.10    Các bài toán cơ bản trong vi  tích phân
GI.11     Vẽ hàm từng khúc ( piecewise ) - dùng để xét tính liên tục của hàm số
GI.12    Tính đạo hàm và tích phân một hàm số cho trước
GI.13     Vẽ đồ thị hàm số trong hệ toạ độ cực
GI.14     Tính đạo hàm riêng
GI.15    Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GI.16    Tính tổng chuỗi số  n = 1...$\infty$
GI.17     Vẽ  đồ thị  3 hàm số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Bài viết sau đây mô tả các khái niệm toán học và hướng dẫn tính toán chi tiết bằng công cụ trực tuyến , bạn đọc có thể tham khảo những nội dung chính yếu được đề cập đến trong giáo trình toán phổ thông  cùng với các ví dụ minh họa  .

Một số website hữu ích phục vụ cho việc giảng dạy và học tập môn toán :

http://quickmath.com/
http://analyzemath.com/
http://www.intmath.com/
http://www.mathportal.org
https://www.mathway.com/
https://www.symbolab.com/
http://www.graphsketch.com/
http://www.meta-calculator.com/online/?home
http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen
https://www.geekandnerd.org/edu-courses/

14.  KHẢO SÁT HÀM SỐ  - Điểm đặc biệt .

14.11  Điểm đặc biệt của hàm số .

14.11.1 Tìm điểm uốn của hàm số $y=f(x)$  .
a. Quy tắc chung .

*Hàm số có điểm uốn tại $x=x_{0} \Leftrightarrow $
+ Đạo hàm cấp 2 :  $y''(x_{0})=0 $
+ Đạo hàm cấp 2 $y''(x)$ đổi dấu khi đi qua $x_{0}$

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm điểm uốn của hàm số $y=(x^2+x+5)/(x^2+x+1)$

Lời giải

*Dùng widget  G12.I.1 TIM DIEM UON CUA HAM SO    https://goo.gl/FxdxU9


Điểm uốn : $M_1(-1,5);M_2(0,5)$


Ví dụ 2. 
Tìm điểm uốn của hàm số $y=(x^2-1)^2-5$

Lời giải


Điểm uốn : $M_1(-1/ \sqrt{3},-41/9);M_2(1/ \sqrt{3},-41/9)$


14.11.2 Tìm tập hợp điểm uốn của hàm số $y=f(x)$  .
a. Quy tắc chung .

*Hàm số có điểm uốn tại $x=x_{0} \Leftrightarrow $
+ Đạo hàm cấp 2 :  $y''(x_{0})=0 $
+ Đạo hàm cấp 2 $y'(x)$ đổi dấu khi đi qua $x_{0}$

Giải phương trình y''=0, tìm nghiệm m(x)
Khử m giữa y,x bằng cách thay m(x) vào y=f(x)

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm tập hợp điểm uốn của hàm số $y=x^3-3*(m-1)*x^2+2mx-1$

Lời giải .

*Dùng  widget  G12.I.1 TIM TAP HOP DIEM UON (bt9.1)    https://goo.gl/1MqUct


Xem  https://goo.gl/1zF5hf
*Dùng  widget  G12.I.1 TIM TAP HOP DIEM UON (bt9.2)    https://goo.gl/Ac34Cw


Tập hợp điểm uốn của hàm số là hàm bậc 3 : $y=-2x^3+2x^2+2x-1$
Xem  https://goo.gl/mfkmGf

14.11.3 Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số $y=f(x)$  .
a. Quy tắc chung .

*Hàm số có điểm cố định tại $M(x_0,y_0)  \Leftrightarrow  y_0=f(x_0,m) $ thỏa với mọi m

Xét  (Cm) : y = f(x,m) ;
Rút m làm thừa số chung .
Chuyển về dạng mA+B=0
Giải hệ A=0 ,B=0  tìm được điểm cố định

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số $y=x^3-mx^2+(m+1)x-1$

Lời giải .

Xét  (Cm) :$ y = x^3-mx^2+(m+1)x-1$ .
Rút m làm thừa số chung .
Chuyển về dạng mA+B=0 :  $m(x^2-x) + y +1 -x^3-x =0$
Giải hệ A=0 ,B=0 : $x^2-x =0 ;  y +1 -x^3-x =0$
Thu được  $x=0,y=-1$ ;  $x=1,y=1$
Vậy hàm số có 2 điểm cố định $M_1(0,-1);M_2(1,1)$

*Dùng  widget  G12.I.1 DIEM CO DINH CUA (Cm) (bt8.1)    https://goo.gl/t78vJU


*Dùng  widget  G12.I.1 DIEM CO DINH CUA (Cm) (bt8.2)    https://goo.gl/jGrK59


Vậy hàm số có 2 điểm cố định $M_1(0,-1);M_2(1,1)$
Tuy nhiên một số trường hợp điểm cố định của đồ thị hàm số chỉ tồn tại khi thỏa mãn các điều kiện của tham số . Hãy xét ví dụ sau đây :

Ví dụ 2. 
Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số $y=(x^2-mx+m-1)/(x+2m)$

Lời giải .
Tìm điều kiện tồn tại hàm số hữu tỷ ( phần dư Horner  hoặc trong khai triển Laurent phải khác 0 )

*Dùng  widget  G12.I.1 TIM PHAN DU CUA HAM SO HUU TY     https://goo.gl/hjWp3G


Giải điều kiện  $6m^2+m-1 \neq 0  \Leftrightarrow  m \neq -1/2 ;m \neq 1/3$
Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số $y=(x^2-mx+m-1)/(x+2m)$
*Dùng  widget  G12.I.1 DIEM CO DINH CUA (Cm) (bt8.1)    https://goo.gl/t78vJU


Xem  https://goo.gl/yB6TLE
*Dùng  widget  G12.I.1 DIEM CO DINH CUA (Cm) (bt8.2)    https://goo.gl/jGrK59



Vậy hàm số có 2 điểm cố định $M_1(1,0);M_2(-2/3,5/6)$
Điều kiện là $m \neq -1/2 ;m \neq 1/3$.
Xem  https://goo.gl/By5qb3


14.11.4 Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y=f(x)$  .
a. Quy tắc chung .

*Đối với hàm số bậc 3  $(C) : y = f(x) = ax^3+bx^2+cx+d,a \neq 0$
TÂM ĐỐI XỨNG = ĐIỂM UỐN
Tìm điểm uốn của hàm số
Áp dụng  widget  G12.I.1 TAM DOI XUNG CUA DO THI (bt10.1)     https://goo.gl/Zv1wg7
Áp dụng  widget  G12.I.1 BIEN DOI DO THI Y+y0=f(X+x0) (bt11.1)     https://goo.gl/Vwg1F2
Đây là phép tịnh tiến với  $x0,y0$ là tọa độ điểm uốn
Áp dụng  widget  G12.I.1 BIEN DOI DO THI Y+y0=f(X+x0) (bt11.2)     https://goo.gl/1oHeCu
Ta chứng minh hàm số mới  Y = F(X)  là hàm số lẻ ( đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O )

*Đối với hàm số hữu tỷ  $(C) : y = f(x) = (ax^2+bx^2+c)/(dx+f)$
TÂM ĐỐI XỨNG = GIAO ĐIỂM TIỆM CẬN ĐỨNG , TIỆM CẬN XIÊN
*Đối với hàm số nhất biến  $(C) : y = f(x) = (ax+b)/(cx+d)$
TÂM ĐỐI XỨNG = GIAO ĐIỂM TIỆM CẬN ĐỨNG , TIỆM CẬN NGANG

Tìm giao điểm của các tiệm cận tương ứng
Áp dụng  widget  G12.I.1 TAM DOI XUNG CUA DO THI (bt10.2)     https://goo.gl/h1cePT
Áp dụng  widget  G12.I.1 BIEN DOI DO THI Y+y0=f(X+x0) (bt11.1)     https://goo.gl/Vwg1F2
Đây là phép tịnh tiến với  $x0,y0$ là tọa độ điểm uốn
Áp dụng  widget  G12.I.1 BIEN DOI DO THI Y+y0=f(X+x0) (bt11.2)     https://goo.gl/1oHeCu
Ta chứng minh hàm số mới  Y = F(X)  là hàm số lẻ ( đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O )


b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+2$

Lời giải .
*Dùng  widget  G12.I.1 TAM DOI XUNG CUA DO THI (bt10.1)     https://goo.gl/Zv1wg7


Tâm đối xứng $I(1,0)$
Phép tịnh tiến tâm $I(1,0)$
*Dùng  widget  G12.I.1 BIEN DOI DO THI Y+y0=f(X+x0) (bt11.1)    https://goo.gl/Vwg1F2


Xem  https://goo.gl/WFeJiV
Chứng minh hàm số mới $y=x^3-3x$  là lẻ .
*Dùng widget  G12.I.1 BIEN DOI DO THI Y+y0=f(X+x0) (bt11.2)     https://goo.gl/1oHeCu



Hàm số sau khi biến đổi  $(C1') : y=x^3 -3 x$  là hàm lẻ , Đồ thị màu tím (violet) đối xứng qua gốc tọa độ O . Xem  https://goo.gl/yQm9TQ

Ví dụ 2. 
Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y=(x^2+x+1)/(x-1)$

Lời giải .
*Dùng  widget  G12.I.1 TAM DOI XUNG CUA DO THI (bt10.2)    https://goo.gl/h1cePT


Tâm đối xứng là $I(1,3)$
Phép tịnh tiến tâm $I(1,3)$
*Dùng  widget  G12.I.1 BIEN DOI DO THI Y+y0=f(X+x0) (bt11.1)    https://goo.gl/Vwg1F2


Xem  https://goo.gl/rKtxaC
Chứng minh hàm số mới  $y=x+3/x$ là lẻ .
*Dùng widget  G12.I.1 BIEN DOI DO THI Y+y0=f(X+x0) (bt11.2)     https://goo.gl/1oHeCu


Hàm số sau khi biến đổi  $(C1') : y=x+3/x$  là hàm lẻ , Đồ thị màu tím (violet) đối xứng qua gốc tọa độ O . Xem  https://goo.gl/iVjjTf


Ví dụ 3. 
Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y=(2x+1)/(x-1)$

Lời giải .
*Dùng  widget  G12.I.1 TAM DOI XUNG CUA DO THI (bt10.2)    https://goo.gl/h1cePT


Tâm đối xứng là $I(1,2)$
Phép tịnh tiến tâm $I(1,2)$
*Dùng  widget  G12.I.1 BIEN DOI DO THI Y+y0=f(X+x0) (bt11.1)    https://goo.gl/Vwg1F2


Xem  https://goo.gl/gk12PM
Chứng minh hàm số mới  $y=3/x$ là lẻ .
*Dùng widget  G12.I.1 BIEN DOI DO THI Y+y0=f(X+x0) (bt11.2)     https://goo.gl/1oHeCu


Hàm số sau khi biến đổi  $(C1') : y=3/x$  là hàm lẻ , Đồ thị màu tím (violet) đối xứng qua gốc tọa độ O . Xem  https://goo.gl/mCWv8c


14.11.5 Tìm điểm M trên đồ thị hàm số  $y=f(x)$  (C) cách đều Ox,Oy .
a. Quy tắc chung .

*Tìm tập xác định của hàm số $y=f(x) : (C) $
Giải hệ phương trình  ${y(C),y=x (PG1)} , {y(C),y=-x (PG2)}$

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm các điểm M trên đồ thị hàm số $y=x^3-5x^2+5x : (C)$ cách đều 2 trục tọa độ .

Lời giải .
*Dùng  widget  G12.I.1 TIM M : (C) CACH DEU Ox,Oy (bt22)     https://goo.gl/Q5LtvP
 Giải hệ ${y(C),y=x (PG1)}$


Giải hệ  ${y(C),y=-x (PG2)}$


Các điểm $M(0,0);M(1,1);M(4,4);M(2,-2);M(3,-3)$ thỏa mãn điều kiện của bài toán .


14.11.6 Tìm điểm M trên đồ thị hàm số  $y=f(x)$  (C) cách đều 2 đường tiệm cận .
a. Quy tắc chung .

*Tìm tập xác định của hàm số $y=P(x)/Q(x) : (C) $ [1]
Tìm phương trình đường tiệm cận đứng $P(x)=0 \Leftrightarrow x = x_0$ hay $x-x_0=0$
Tìm phương trình đường tiệm cận nagng $lim_{x-> \infty} P(x)/Q(x) = y_0 \Leftrightarrow y = y_0$ hay $y-y_0=0$
 Khoảng cách  $d[M,(TCD)]=d[M,(TCN)]$ [2]
Giải hệ [1],[2]

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm các điểm M trên đồ thị hàm số $y=(2x-1)/(x-1) : (C)$ cách đều 2 đương 2 tiêm cận .

Lời giải .
*Dùng  widget  G12.I.1 TIM M : (C) CACH DEU 2 T/CAN (bt23)     https://goo.gl/pnQPyk


Các điểm $M(0,1);M(2,3)$ thỏa mãn điều kiện của bài toán .
Xem  https://goo.gl/NfVmGA


14.11.7 Tìm điểm M trên đồ thị hàm số  $y=f(x)$  (C) khoảng cách từ M đến Oy gấp k lần khoảng cách từ M đến Ox .
a. Quy tắc chung .

*Tìm tập xác định của hàm số $y=f(x) : (C) $
 $d[M,Oy]=kd[M,Ox]$
Giải hệ phương trình  ${y(C),x=ky (th1)} , {y(C),x=-ky (th2)}$

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm các điểm M trên đồ thị hàm số $y=x^3-5x^2+5x : (C)$  thỏa  $d[M,Oy]=1/5. d[M,Ox]$ .

Lời giải .
*Dùng  widget  G12.I.1 TIM M : (C) d[M,Oy]=kd[M,Ox] (bt24)     https://goo.gl/FQUGtp
 Giải hệ ${y(C),x=ky (th1)};k>0$



Giải hệ ${y(C),x=-ky (th2)};k<0$


Các điểm $M(0,0);M(5,25)$ thỏa mãn điều kiện của bài toán .
Xem  https://goo.gl/xuwqFp

Ví dụ 2. 
Tìm các điểm M trên đồ thị hàm số $y=(x-1)/(x-2) : (C)$  thỏa  $d[M,Oy]=2 . d[M,Ox]$ .

Lời giải .
*Dùng  widget  G12.I.1 TIM M : (C) d[M,Oy]=kd[M,Ox] (bt24)     https://goo.gl/FQUGtp
 Giải hệ ${y(C),x=ky (th1)};k>0$


Giải hệ ${y(C),x=-ky (th2)};k<0$


Các điểm thỏa mãn điều kiện của bài toán .

$x = -\sqrt{2} ≈ -1.41421 ; y = (1 + \sqrt{2})/(2 + \sqrt{2}) ≈ 0.707107$
$x = \sqrt{2} ≈ 1.41421 ; y = (\sqrt{2} - 1)/(\sqrt{2} - 2) ≈ -0.707107$
$x = 2 - \sqrt{2} ≈ 0.585786 ; y =( -1 + \sqrt{2})/ \sqrt{2} ≈ 0.292893$
$x = 2 + \sqrt{2} ≈ 3.41421 ; y = (1 + \sqrt{2})/ \sqrt{2} ≈ 1.70711$


14.11.8 Tìm điểm M trên đồ thị hàm số  $y=f(x)$  (C) khoảng cách từ M đến TCĐ gấp k lần khoảng cách từ M đến TCN .
a. Quy tắc chung .

*Tìm tập xác định của hàm số $y=f(x) : (C) $
Tìm phương trình các đường tiệm cận đứng và ngang .
 $d[M,TCD]=kd[M,TCN]$
Giải hệ phương trình  ${y(C),d[M,TCD]=kd[M,TCN]}$

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm các điểm M trên đồ thị hàm số $y=(2x-1)/(x-1) : (C)$  thỏa  $d[M,TCD]=1/4. d[M,TCN]$ .

Lời giải .
*Dùng  widget  G12.I.1 TIM M : (C) d[M,TCD]=kd[M,TCN] (bt25)     https://goo.gl/6VF6PS


Các điểm thỏa mãn điều kiện của bài toán .
$M(1/2;0) ; M(3/2;4)$
Xem  https://goo.gl/ybJmRH

Ví dụ 2. 
Tìm các điểm M trên đồ thị hàm số $y=(3 x + 2)/(x + 1) : (C)$  thỏa  $d[M,TCD]=4. d[M,TCN]$ .

Lời giải .
*Dùng  widget  G12.I.1 TIM M : (C) d[M,TCD]=kd[M,TCN] (bt25)     https://goo.gl/6VF6PS

Các điểm thỏa mãn điều kiện của bài toán .
$M(-3;7/2) ; M(1;5/2)$
Xem  https://goo.gl/utcKGh


14.11.9 Tìm điểm M trên đồ thị hàm số  $y=f(x)$ có tọa độ là số nguyên .
a. Quy tắc chung .

*Tìm tập xác định của hàm số $y=f(x) : (C) $
Dùng thuật chia Horner tìm biểu thức của hàm sô .
Lưu ý :
TỬ / MẪU = THƯƠNG + DƯ / MẪU ; dk : DƯ chia hết cho MẪU


b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm các điểm M trên đồ thị hàm số $y=(x-5)/(x+1) : (C)$  có tọa độ là số nguyên .

Lời giải .
*Dùng  widget  G12.I.1 TIM M : (C) CO TOA DO NGUYEN (bt26)     https://goo.gl/QVqE2L


Các điểm thỏa mãn điều kiện của bài toán .
$M(0;-5) ; M(1;-2);M(2;-1);M(5;0);M(-7;2);M(-4;3);M(-3;4);M(-2;7)$



14.11.10 Tìm điểm M trên đồ thị hàm số  $y=P(x)/Q(x)$  sao cho { d[M,TCĐ]+d[M,TCB] }min .

a. Quy tắc chung .
Cho hàm số  $y=P(x) / Q(x)  : (C) $  có TCĐ $x-x0=0$ , TCN  $y-y0=0$
*Tìm tập xác định của hàm số $y=P(x) / Q(x)  : (C) $
Dùng thuật chia Horner tìm biểu thức của hàm sô .
Lưu ý : Thay biểu thức hàm số  TỬ / MẪU = THƯƠNG + DƯ / MẪU ;
Tính tổng khoảng cách {d[M,TCD]+d[M,TCN]}
Áp dụng BDT Cauchy

b. Các ví dụ .

Ví dụ 1. 
Tìm điểm M trên đồ thị hàm số $y=(x+2)/(x+1) : (C)$   sao cho {d[M,TCD]+d[M,TCN]} đạt min .

Lời giải .

*Dùng  widget  G12.I.1 M/{d[M,TCD]+d[M,TCN]}min (bt27)     https://goo.gl/PmdqEJ

Các điểm thỏa mãn điều kiện của bài toán .
$M(0;2) ;M(-2;0)$


14.11.11 Tìm 2 điểm M,N trên đồ thị hàm số  $y=P(x)/Q(x)$  sao cho MNmin .
a. Quy tắc chung .

Cho $(C): y = P(x) / Q(x)$ , tìm M,N trên 2 nhánh (C) : MN min
*Tìm tập xác định của hàm số $y=P(x) / Q(x)  : (C) $
Dùng thuật chia Horner tìm biểu thức của hàm sô .
Lưu ý :
TỬ / MẪU = THƯƠNG + DƯ / MẪU ; dk : DƯ chia hết cho MẪU
M trên nhánh TRÁI (C), N trên nhánh PHẢI (C)
$xM=xTCD- \alpha , xN= xTCD+ \beta ; \alpha , \beta > 0$
Tìm MN , áp dụng bất đẳng thức Cauchy 2 lần , tìm được MNmin và $\alpha$
Từ trị số của $\alpha$ ta có tọa độ diểm M,N .

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm 2 điểm M,N trên đồ thị hàm số $y=(x+2)/(x+1) : (C)$  (HSNB) sao cho MNmin.

Lời giải .


*Tìm M trên nhánh TRÁI (C)


*Tìm N trên nhánh PHẢI (C)


*Dùng  widget  G12.I.1 M,N:2 NHANH(C)/{MN}min(bt28.2)    https://goo.gl/q8BLmb
Nhập tung độ yM và yN vừa tìm được vào


Xem  https://goo.gl/R74zeZ
Vậy $\alpha=\beta=1 ;M(-2,0);N(0;2)$


Ví dụ 2. 
Tìm 2 điểm M,N  trên đồ thị hàm số $y=(x^2+x+1)/(x+1) : (C)$  (HSHT) sao cho MNmin. .

Lời giải .


*Tìm M trên nhánh TRÁI (C)


*Tìm N trên nhánh PHẢI (C)


*Dùng  widget  G12.I.1 M,N:2 NHANH(C)/{MN}min(bt28.4)    https://goo.gl/sSXwcq
Nhập tung độ yM và yN vừa tìm được vào , thay $\alpha = \beta$


Xem  https://goo.gl/PEL6XM
Vậy $\alpha=\beta = 1/2^{1/4}  ;M(-1/2^{1/4} - 1,-1 - 1/2^{1/4} - 2^{1/4});N(1/2^{1/4} - 1; -1 + 1/2^{1/4} + 2^{1/4})$

Hay   $\alpha=\beta = 1/2^{1/4} =1/\sqrt[4]{2}$
$M( -1 - 1/\sqrt[4]{2}  ; -1 - 1/\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{2} )$
$N( -1 + 1/\sqrt[4]{2} ; -1 + 1/\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{2})$



14.11.12 Tìm điểm M trên trục hoành ( tung ) từ đó kẻ được một số tiếp tuyến với đồ thị hàm số  $y=f(x)$  .
a. Quy tắc chung .

Điềm $M\in Oy\Leftrightarrow M(0,m)$ ; $M\in Ox\Leftrightarrow M(m,0)$
*Tìm tập xác định của hàm số $y= f(x) : (C) $
Phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm M
$+M(0,m) \in Oy : y-m=k(x-0) \Leftrightarrow y = kx + m (T)$
$++M(m,0) \in Ox : y-0=k(x-m) \Leftrightarrow y = kx - km (T)$

*Dùng diều kiện tiếp xúc
$\left\{\begin{matrix}
y(C)=y(T) [1] \\ y'(C)=y'(T)[2]
\end{matrix}\right.$

*Thế [2] vào [1] , đưa về phương trình bậc 2 (hoặc 3) theo x , m [3] .

LƯU Ý :
Nếu [3] là phương trình bậc 2 :
Điều kiện $a \neq 0 ; \Delta = b^2-4ac$

0 tiếp tuyến : $a \neq 0;\Delta = b^2-4ac<0$ hoặc $a = 0 ; b = 0 ; c \neq 0$
1 tiếp tuyến : $a \neq 0;\Delta = b^2-4ac=0$ hoặc $a = 0 ; b \neq 0$
2 tiếp tuyến : $a \neq 0;\Delta = b^2-4ac>0$

Nếu [3] là phương trình bậc 3 :
 Đưa [3] về dạng $g(x)=h(m)$ .
Áp dung khảo sát hàm số $g(x)$ cho $h(m)$ di động , tìm trị số m .


b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm  điểm M trên Oy có thể vẽ được 2 tiếp tuyến với  đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+2 : (C)$

Lời giải

Phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm M
$+M(0,m) \in Oy : y-m=k(x-0) \Leftrightarrow y = kx + m (T)$
Dùng diều kiện tiếp xúc
$\left\{\begin{matrix}
y(C)=y(T) [1] \\ y'(C)=y'(T)[2]
\end{matrix}\right.$

Hay
$\left\{\begin{matrix}
x^3-3x^2+2= kx + m  [1] \\ 3x^2-6x=k[2]
\end{matrix}\right.$

Thế [2] vào [1] , đưa về phương trình bậc 2 (hoặc 3) theo x , m [3] .
Xem  https://goo.gl/eivGpb
Thu được  $m=-2 x^3 + 3 x^2 + 2$ [3]
Vẽ đồ thị hàm số $y=-2 x^3 + 3 x^2 + 2$ , cho m di động . Để [3] có 2 nghiệm thì $m=2;m=3$
Xem  https://goo.gl/H7ER8E



Điểm $M(0,2);M(0,3)$ thỏa mãn điều kiện bài toán .






Trần hồng Cơ
Ngày 08/06/2016




 ------------------------------------------------------------------------------------------- 

 Love not the world, neither the things that are in the world. If any man love the world, the love of the Father is not in him. For all that is in the world, the lust of the flesh, and the lust of the eyes, and the pride of life, is not of the Father, but is of the world. 

1 John 2:15-16 KJV 

 Chớ yêu thế gian cùng những gì trong thế gian. Nếu ai yêu thế gian thì sự kính yêu Thượng Đế không ở trong người ấy. 

 I Giăng 2:15

*******

Blog Toán Cơ trích đăng các thông tin khoa học tự nhiên của tác giả và nhiều nguồn tham khảo trên Internet .
Blog cũng là nơi chia sẻ các suy nghĩ , ý tưởng về nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau .


Chia xẻ

Bài viết được xem nhiều trong tuần

CÁC BÀI VIẾT MỚI VỀ CHỦ ĐỀ TOÁN HỌC

Danh sách Blog

Thông tin hàng ngày.

Giới thiệu bản thân

Ảnh của Tôi


Các chuyên đề ứng dụng .

1. Phương trình vi phân  
2. Toán đơn giản - College Algebra 
3. Toán thực hành - Practical Mathematics 
4. Vật lý tổng quan ( đang viết )
5. Phương trình tích phân 
( đang chuẩn bị ) 

Gặp Cơ tại Researchgate.net

Co Tran