Wikipedia

Kết quả tìm kiếm

Giải toán trực tuyến W | A




Vẽ đồ thị trong Oxyz plot3D(f(x,y),x=..,y=..)
Vẽ đồ thị trong Oxy plot(f(x),x=..,y=..)
Đạo hàm derivative(f(x))
Tích phân Integrate(f(x))


Giải toán trực tuyến W|A

Thứ Sáu, 22 tháng 1, 2016

GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN . Phần 12g . XÁC SUẤT THỐNG KÊ - Độ đo phân tán tương đối .

 
GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN .

Phần 12g . XÁC SUẤT THỐNG KÊ -  Độ đo phân tán tương đối .   


DANH MỤC CÔNG CỤ GIẢI TOÁN TRỰC TUYẾN  MATHEMATICA  WOLFRAM | ALPHA .

Giới thiệu .

Bạn đọc truy cập vào đường dẫn  http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen  để sử dụng các widgets giải toán trực tuyến W|A Mathematica theo chỉ mục trong danh sách dưới đây .

Những widgets này đã được tác giả sắp xếp theo từng môn học và cấp lớp theo ký hiệu như sau :

D : Đại số . Ví dụ  D8.1 widget dùng cho Đại số lớp 8 , mục 1 - Khai triển , rút gọn biểu thức đại số .
H : Hình học . Ví dụ  H12.3  widget dùng cho Hình học lớp 12 , mục 3 - Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian .
G : Giải tích . Ví dụ : G11.7  widget dùng cho Giải tích lớp 11 , mục 7 - Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
GI : Giải tích cao cấp I . Ví dụ GI.15  widget dùng cho Giải tích cao cấp I , mục 15 - Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GII : Giải tích cao cấp II .


++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++


 ĐẠI SỐ 8

D8.1  Khai triển , rút gọn biểu thức đại số
D8.2  Rút gọn phân thức
D8.3  Phân tích thừa số
D8.4  Nhân 2 đa thức
D8.5  Khai triển tích số ( có thể dùng để khai triển Newton )
D8.6  Phân tích thừa số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 10

D10.1 Giải phương trình nguyên Diophante
D10.2 Giải phương trình tuyệt đối
D10.3 Giải phương trình chứa tham số
D10.4  Giải phương trình đại số
D10.5  Giải phương trình từng bước
D10.6  Giải bất phương trình minh hoạ bằng đồ thị

D10.8  Tính giá trị biểu thức hàm số
D10.9  Giải bất phương trình đại số và minh hoạ bằng đồ thị
D10.10  Giải bất phương trình đại số - tìm miền nghiệm
D10.11  Giải phương trình đại số
D10.12  Giải phương trình vô tỷ
D10.13  Giải phương trình minh hoạ từng bước
D10.14  Giải phương trình dạng hàm ẩn
D10.15  Giải hệ thống phương trình tuyến tính , phi tuyến
D10.16  Giải hệ phương trình
D10.17  Vẽ miền nghiệm của bất phương trình đại số
D10.19  Tối ưu hoá hàm 2 biến với các ràng buộc
D10.20  Tìm giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành Ox , trục tung Oy

HÌNH HỌC 10

H10.1  Tính diện tích tam giác trong hệ toạ độ Oxy
H10.3  Khảo sát conic ( đường tròn , Ellipse , Parabola , Hyperbola )
H10.2  Tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng trong Oxy



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 11

D11.1 Thuật chia Euclide dùng cho số và đa thức  ( HORNER )
D11.2  Tính tổng nghịch đảo của n số tự nhiên




D11.6  Khai triển nhị thức Newton


GIẢI TÍCH 11


G11.1  Tính gíá trị một chuỗi số  theo n
G11.2  Đa thức truy hồi
G11.3  Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số
G11.4  Tính giới hạn của chuỗi số khi  $n \rightarrow  \infty$
G11.5  Tìm hàm số ngược của hàm số cho trước
G11.6  Tìm đạo hàm của hàm số hợp - giải thích
G11.7   Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
G11.8   Tìm giới hạn của hàm số
G11.9   Tìm giới hạn của hàm số
G11.10  Tính đạo hàm hàm số có dạng U/V
G11.11  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước
G11.12  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước

G11+12.1   Tính đạo hàm ,tích phân , giới hạn , vẽ đồ thị


LƯỢNG GIÁC 11

L11.1   Giải phương trình lượng giác
L11.2   Giải phương trình lượng giác trên một đoạn
L11.3   Tìm chu kỳ của hàm số tuần hoàn
L11.4   Khai triển công thức lượng giác



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 12

D12.1   Cấu trúc của số phức
D12.1   Giải phương trình mũ
D12.3   Giải  phương trình chứa tham số
D12.4   Giải  phương trình  bất kỳ  ( Bậc 2 , 3 , ... , mũ  , log , căn thức )
D12.5   Giải phương trình mũ



GIẢI TÍCH 12


G12.1  Vẽ đồ thị biểu diễn phương trình
G12.2    Khảo sát hàm số hữu tỷ
G12.3   Vẽ đồ thị trong toạ độ cực (Polar)
G12.4    Tìm cực trị của hàm số
G12.5    Vẽ đồ thị hàm số 2D
G12.6   Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số
G12.7    Vẽ nhiều hàm số - Basic plot. To plot two or more functions, enter {f1(x), f2(x),...}
G12.8    Tìm điểm uốn của hàm số cho trước
G12.9    Tìm nghiệm của các phương trình  y = 0 , y ' = 0 ,  y " = 0
G12.10    Tính tích phân bất định
G12.11    Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.12   Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.13   Tìm đường tiệm cận của hàm số
G12.14   Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.15  Tìm giao điểm của hàm số đa thức và trục hoành Ox - Vẽ đồ thị .
G12.16    Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi (C1) , (C2)
G12.17    Vẽ đồ thị hàm số ( có đường tiệm cận )
G12.18   Vẽ đồ thị 2D , 3D
G12.19   Tìm hoành độ giao điểm giữa 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.20    Vẽ đường cong tham số 3D
G12.21    Tính diện tich mặt tròn xoay
G12.22    Tích thể tích vật tròn xoay  (C) , trục  Ox , x =a , x= b
G12.23    Thể tích vật tròn xoay
G12.24    Tích thể tích vật tròn xoay (C1) , (C2) , trục OX , x = a , x = b
G12.25    Khảo sát hàm số đơn giản
G12.26    Tìm cực trị của hàm số
G12.27    Tìm nguyên hàm của hàm số
G12.28    Tính tích phân xác định


HÌNH HỌC 12


H12.1  Tính khoảng cách 2 điểm trong 2D , 3D
H12.2   Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm trong không gian
H12.3  Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian
H12.4   Tìm công thức thể tích , diện tích hình không gian
H12.5   Vẽ đồ thị 2D , mặt 3D
H12.6    Tích có hướng 2 vector



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

GIẢI TÍCH CAO CẤP

GI.1    Vẽ đồ thị , mặt 3D
GI.2   Vẽ đồ thị , mặt  3D
GI.3    Tích phân 2 lớp
GI.5    Tích phân kép
GI.6    Tích phân bội 3
GI.7    Tích phân bội 3
GI.8    Tích phân suy rộng
GI.9    Chuỗi và dãy số
GI.10    Các bài toán cơ bản trong vi  tích phân
GI.11     Vẽ hàm từng khúc ( piecewise ) - dùng để xét tính liên tục của hàm số
GI.12    Tính đạo hàm và tích phân một hàm số cho trước
GI.13     Vẽ đồ thị hàm số trong hệ toạ độ cực
GI.14     Tính đạo hàm riêng
GI.15    Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GI.16    Tính tổng chuỗi số  n = 1...$\infty$
GI.17     Vẽ  đồ thị  3 hàm số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Bài viết sau đây mô tả các khái niệm toán học và hướng dẫn tính toán chi tiết bằng công cụ trực tuyến , bạn đọc có thể tham khảo những nội dung chính yếu được đề cập đến trong giáo trình toán phổ thông  cùng với các ví dụ minh họa  .

Một số website hữu ích phục vụ cho việc giảng dạy và học tập môn toán :

http://quickmath.com/
http://analyzemath.com/
http://www.intmath.com/
http://www.mathportal.org
https://www.mathway.com/
https://www.symbolab.com/
http://www.graphsketch.com/
http://www.meta-calculator.com/online/?home
http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen



12.  XÁC SUẤT - THỐNG KÊ  - Độ đo phân tán tương đối .

12.7  Các khái niệm về độ đo tương đối  .

12.7.1  Hệ số khoảng giá trị - Coefficient of Range .

a. Khoảng giá trị .

Như đã biết khoảng giá trị dựa trên hai quan sát cực lớn nhất và nhỏ nhất . Nó không có ý nghĩa lớn đối với việc quan sát các giá trị trung tâm dữ liệu và là độ đo phân tán rất yếu không thể đưa ra kết luận về sự phân tán tổng thể của các quan sát đối với trung tâm của tập hợp các quan sát này.
Hãy khảo sát ba nhóm dữ liệu thuộc 3 tổ có khoảng giá trị tương tự nhau :

Tổ I : 20, 40, 40, 40, 40, 40, 60
Tổ II: 20, 20, 20, 40, 60, 60, 60
Tổ III: 20, 30, 40, 40, 40, 50, 60

Khoảng giá trị của 3 tổ đều là 60 - 20 = 40. Tuy nhiên ở tổ I có sự tập trung các giá trị ở trung tâm. Trong tổ II các giá trị rất gần với hai cực và ở tổ III giá trị dữ liệu gần như được phân bố đều trong khoảng từ 20 đến 60.   Khoảng giá trị không giải thích được những khác biệt trong ba nhóm dữ liệu trên . Tính khiếm khuyết về khoảng giá trị này cũng không thể được loại bỏ ngay cả khi chúng ta tính toán hệ số khoảng giá trị vốn là một độ đo tương đối về phân tán. Nếu tính toán khoảng giá trị của một mẫu, chúng ta sẽ không thể rút ra được bất kỳ kết luận gì về khoảng giá trị của tổng thể.

b. Hệ số khoảng giá trị .

Đây là một độ đo tương đối về sự phân tán dựa trên giá trị của khoảng - cũng được gọi là hệ số khoảng phân tán.

CR = (xMax-xmin)/(xMax + xmin)

Khoảng (xMax-xmin)  được chuẩn hóa bằng tổng (xMax+xmin)

Ví dụ 1.  Xét hai tập hợp A,B với các quan sát sau đây . Tập hợp A chứa điểm số môn Khoa học ( điểm trên 25) của năm học sinh và tập hợp B chứa điểm số môn Văn học  ( điểm trên 100 ) cũng của những học sinh này

A-Khoa học : 10, 15, 18, 20, 20 ( trên 25 điểm )
B-Văn học : 30, 35, 40, 45, 50 ( trên 100 điểm )
Các giá trị khoảng và hệ số khoảng được tính như sau:



Tập hợp A và B có khoảng giá trị tương ứng là 10 và 20. Rõ ràng có vẻ như tập hợp B có độ phân tán lớn hơn. Nhưng điều này thực ra lại không đúng . Khoảng giá trị 20 của tập hợp B là đối với các quan sát lớn và khoảng giá trị 10 của tập hợp A là dành cho các quan sát nhỏ. Như vậy 20 và 10 không thể so sánh với nhau trực tiếp . Cơ sở của chúng không giống nhau. Các điểm số môn Khoa học tính trên 25 và điểm số môn Văn học là trên 100. Do đó, thật không có ý nghĩa khi so sánh 10 với  20. Khi  chuyển đổi hai giá trị này thành hệ số khoảng , chúng ta thấy rằng hệ số khoảng của tập hợp A là lớn hơn hơn so với B. Như vậy có sự phân tán (hoặc sự biến thiên) lớn hơn đối với các dữ liệu trong tập hợp A. Điểm số của các học sinh viên môn Văn học là ổn định hơn điểm số của họ trong môn Khoa học.

Ví dụ 2.  So sánh hai bảng lương nhân viên ở phân xưởng I và II , ta có bảng số liệu sau (đơn vị  USD /tuần)
PXI :   1400, 1450, 1520, 1380, 1485, 1495, 1575, 1440
PXII :  1200, 1550, 1450, 1300, 1520, 1425, 1650, 1150
Tính CR tiền lương của mỗi phân xưởng .



*Truy cập  https://www.easycalculation.com/statistics/range-of-coefficient.php
Nhập dữ liệu vào calci sau  , click Calculate



CR của PXI là 0.066
CR của PXII là 0.179



Ví dụ 3.  Điều tra mẫu về trọng lượng sinh viên của lớp  , ta có bảng số liệu sau (đơn vị  kg )
59.5−62.5 :  5 người
62.5−65.5 : 18 người
65.5−68.5 : 42 người
68.5−71.5 : 27 người
71.5−74.5 : 8 người

Tính CR  trọng lượng sinh viên .



CR = (xMax-xmin)/(xMax + xmin) = (74.5-59.5)/ (74.5+59.5) =0,1119


12.7.2  Hệ số độ lệch tứ phân vị - Coefficient of Quartile Deviation .

a. Độ lệch tứ phân vị .

Dựa trên tứ phân vị thứ nhất Q1 và tứ phân vị thứ ba Q3. Sai biệt Q3-Q1còn được gọi là khoảng liên tứ phân vị . Đại lượng (Q3-Q1)/2 được gọi là nửa khoảng tứ phân vị hoặc độ lệch tứ phân vị QD .

QD = IQR/2

Độ lệch tứ phân vị là một độ đo sự phân tán tuyệt đối tốt hơn một chút so với khoảng giá trị. Nhưng độ đo này lại bỏ qua các quan sát trên các tia mà chỉ lưu ý đến các quan sát hộp . Nếu chúng ta lấy mẫu khác nhau từ một tổng thể và tính toán độ lệch tứ phân vị của chúng , thì các giá trị này là tương đối khác biệt. Điều này được gọi là dao động lấy mẫu. Độ lệch tứ phân vị không phải là một độ đo phổ biến về sự phân tán và việc tính toán từ các dữ liệu mẫu không giúp chúng ta rút ra bất kỳ kết luận nào về độ lệch tứ phân vị tổng thể.


b. Hệ số độ lệch tứ phân vị .

Một độ đo phân tán tương đối dựa trên độ lệch tứ phân vị được gọi là hệ số độ lệch tứ phân vị. Nó được định nghĩa là CQD

Hệ số độ lệch tứ phân vị CQD= (Q3-Q1)/(Q3 + Q1)

Hệ số này độc lập với bất kỳ đơn vị đo lường nào , và có thể được sử dụng để so sánh sự phân tán trong hai hoặc nhiều tập hợp dữ liệu.

Ví dụ 4.    Khảo sát sản lượng lúa mì trên 20 mẫu Anh được đưa ra như sau :
1120, 1240, 1320, 1040, 1080, 1200, 1440, 1360, 1680, 1730,
1785, 1342, 1960, 1880, 1755, 1720, 1600, 1470, 1750, 1885   (đơn vị Kg).
Tìm độ lệch tứ phân vị và hệ số độ lệch tứ phân vị.

*Truy cập   http://www.alcula.com/calculators/statistics/quartiles/
Nhập dữ liệu
1120, 1240, 1320, 1040, 1080, 1200, 1440, 1360, 1680, 1730,
1785, 1342, 1960, 1880, 1755, 1720, 1600, 1470, 1750, 1885
Click Submit Data


Độ lệch tứ phân vị QD = (Q3-Q1)/2 = (1753.75-1260)/2 = 246.875
Hệ số độ lệch tứ phân vị CQD= (Q3-Q1)/(Q3 + Q1) = (1753.75-1260)/ (1753.75+1260) = 0.1638


Ví dụ 5.   Trọng lượng hạt bắp thu được trên mẫu gồm 60 luống được cho như sau (đơn vị tính kg)

9.50,9.65,9.80,9.90,10.05,10.15,10.20,10.25,10.26,10.30,
10.28,10.27,10.30,10.55,10.65,10.70,10.74,10.72,10.71,10.75,
10.76,10.80,10.78,11.20,11.22,10.90,11.08,11.22,10.96,10.85,
11.20,10.85,10.96,11.20,10.88,10.80,11.25,11.46,11.30,11.28,
11.67,11.40,11.55,11.65,11.70,11.74,11.72,11.71,11.25,11.49,
11.75,11.86,11.90,12.20,12.17,12.24,12.25,12.65,12.70,13.10

Tìm độ lệch tứ phân vị và hệ số độ lệch tứ phân vị.

*Truy cập   http://www.socscistatistics.com/descriptive/histograms/Default.aspx
Nhập dữ liệu và sửa chữa
Number of Classes : 8
Lowest Class Value : 9.25
Click Edit Histogram




*Truy cập   http://www.socscistatistics.com/descriptive/bar/Default.aspx
Nhập dữ liệu như hình vẽ , Click Create Bar Chart





Lập bảng phân phối tần số tích lũy


Tính tứ phân vị theo công thức sau

$Q_1=V\left ( \frac{1.n}{4} \right )^{th}=x_{min_1}+\frac{h}{f}\left ( \frac{1.n}{4}-f_{C1} \right )$

$Q_2=V\left ( \frac{2.n}{4} \right )^{th}=x_{min_2}+\frac{h}{f}\left ( \frac{2.n}{4}-f_{C2} \right )$

$Q_3=V\left ( \frac{3.n}{4} \right )^{th}=x_{min_3}+\frac{h}{f}\left ( \frac{3.n}{4}-f_{C3} \right )$

Với  n = 60
Tính $Q_1=V\left ( \frac{1.60}{4} \right )^{th}=x_{min_1}+\frac{h}{f}\left ( \frac{1.60}{4}-f_{C1} \right )$
Tra dữ liệu thứ hạng 15 trên bảng phân phối tần số tích lũy , giá trị này thuộc khoảng [10.25,10.75]
$x_{min_1}=10.25 ; h = 10.75-10.25=0.50 ; f = 12 ; f_{C1}=7$
$Q_1=V\left ( 15 \right )^{th}=10.25+\frac{0.5}{12}\left ( 15-7 \right )$=10.5833


Tính $Q_2=V\left ( \frac{2.60}{4} \right )^{th}=x_{min_2}+\frac{h}{f}\left ( \frac{2.60}{4}-f_{C2} \right )$
Tra dữ liệu thứ hạng 30 trên bảng phân phối tần số tích lũy , giá trị này thuộc khoảng [10.75,11.25]
$x_{min_2}=10.75 ; h = 11.25-10.75=0.50 ; f = 17 ; f_{C2}=19$
$Q_2=V\left ( 30 \right )^{th}=10.75+\frac{0.5}{17}\left ( 30-19 \right )$=11.0735



Tính $Q_3=V\left ( \frac{3.60}{4} \right )^{th}=x_{min_3}+\frac{h}{f}\left ( \frac{3.60}{4}-f_{C3} \right )$
Tra dữ liệu thứ hạng 45 trên bảng phân phối tần số tích lũy , giá trị này thuộc khoảng [11.25,11.75]
$x_{min_3}=11.25 ; h = 11.75-11.25=0.50 ; f = 14 ; f_{C3}=36$
$Q_3=V\left ( 45 \right )^{th}=11.25+\frac{0.5}{14}\left ( 45-36 \right )$=11.5714

Độ lệch tứ phân vị QD = (Q3-Q1)/2 = (11.5714-10.5833)/2 =0.49405
Hệ số độ lệch tứ phân vị CQD= (Q3-Q1)/(Q3 + Q1) = (11.5714-10.5833)/ (11.5714+10.5833) = 0.04460

Bạn cũng có thể tính các tứ phân vị Q1,Q2,Q3 với dữ liệu dạng rời rạc như sau

*Truy cập   http://www.alcula.com/calculators/statistics/quartiles/
Nhập dữ liệu
9.50,9.65,9.80,9.90,10.05,10.15,10.20,10.25,10.26,10.30,
10.28,10.27,10.30,10.55,10.65,10.70,10.74,10.72,10.71,10.75,
10.76,10.80,10.78,11.20,11.22,10.90,11.08,11.22,10.96,10.85,
11.20,10.85,10.96,11.20,10.88,10.80,11.25,11.46,11.30,11.28,
11.67,11.40,11.55,11.65,11.70,11.74,11.72,11.71,11.25,11.49,
11.75,11.86,11.90,12.20,12.17,12.24,12.25,12.65,12.70,13.10

Click Submit Data


*Truy cập   http://www.alcula.com/calculators/statistics/interquartile-range/



Độ lệch tứ phân vị QD = (Q3-Q1)/2 = 1.0025/2 =0.5013 ~ 0.49405
Hệ số độ lệch tứ phân vị CQD= (Q3-Q1)/(Q3 + Q1) = 1.0025/ (11.665+10.6625) = 0.0449 ~ 0.04460



12.7.3  Hệ số độ lệch trung bình - Coefficient of Mean Deviation .

a. Độ lệch trung bình .
Độ lệch trung bình MD được xác định là giá trị trung bình của các độ lệch tuyệt đối của các quan sát từ một trung bình nào đó phù hợp - có thể là trung bình cộng $\bar{x}$, trung vị Median  hoặc thường số Mode . Sai biệt | x-trung bình |được gọi là độ lệch tuyệt đối  . Giá trị trung bình của những độ lệch tuyệt đối được gọi là độ lệch trung bình hoặc độ lệch tuyệt đối trung bình .

Do đó đối với dữ liệu mẫu trong đó trung bình phù hợp là $\bar{x}$, độ lệch trung bình là

$MD=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}|x-\bar{x}|$

Đối với dữ liệu mẫu có phân phối tần số và  trung bình phù hợp là $\bar{x}$, độ lệch trung bình là

$MD=\sum_{k=1}^{N}f_k|x-\bar{x}|/\sum_{k-1}^{N}f_k$

Đối với dữ liệu mẫu có phân phối tần số và  trung bình phù hợp là Median (trung vị) , độ lệch trung bình là

$MD=\sum_{k=1}^{N}f_k|x-Median|/\sum_{k-1}^{N}f_k$

Đối với dữ liệu mẫu có phân phối tần số và  trung bình phù hợp là Mod (thường số) , độ lệch trung bình là

$MD=\sum_{k=1}^{N}f_k|x-Mode|/\sum_{k-1}^{N}f_k$

Đối với dữ liệu tổng thể có phân phối tần số và  trung bình phù hợp là $\mu$ , độ lệch trung bình là

$MD=\sum_{k=1}^{N}f_k|x-\mu|/\sum_{k-1}^{N}f_k$

Độ lệch trung bình là độ đo về sự phân tán tuyệt đối tốt hơn so với độ lệch khoảng và độ lệch tứ phân vị.

Một nhược điểm trong độ lệch trung bình là việc sử dụng độ lệch tuyệt đối | x-trung bình | , điều này dường như có vẻ không hợp lý. Lý do là tổng $\sum (x-\bar{x})$  luôn bằng không. Thậm chí nếu chúng ta sử dụng trung vị Median hoặc thường số Mode thay cho $\bar{x}$ , thì các tổng $\sum (x- Median)$ hoặc $\sum (x-Mode)$  cũng sẽ là  0 hoặc xấp xỉ 0 . Do đó, định nghĩa của độ lệch trung bình chỉ có thể áp dụng trên các độ lệch tuyệt đối.

Độ lệch trung bình dựa trên tất cả các quan sát, một tính chất mà các độ lệch khoảng và độ lệch tứ phân vị không có và công thức độ lệch trung bình là phương pháp đo lường sự thay đổi của dữ liệu tốt hơn. Bất kỳ trung bình phù hợp nào trong số các giá trị trung bình, trung vị hoặc thường số đều có thể được sử dụng trong tính toán nhưng giá trị của độ lệch trung bình là nhỏ nhất nếu tính theo trung vị. Một số nhược điểm khác của các độ lệch trung bình là nó không thể được sử dụng trong suy luận thống kê.

b. Hệ số độ lệch trung bình .

Một độ đo phân tán tương đối dựa trên độ lệch trung bình được gọi là hệ số của độ lệch trung bình hoặc hệ số phân tán  CMD . Nó được định nghĩa là tỷ số giữa độ lệch trung bình và trung bình phù hợp  ( đã được sử dụng trong việc tính toán độ lệch trung bình ) .Như vậy

CMD=Hệ số MD (trung bình Mean) =  Độ lệch trung bình theo trung bình / trung bình

CMD=Hệ số MD (trung vị Median) = Độ lệch trung bình theo Median / Median

CMD=Hệ số M.D (thường số Mode) = Độ lệch trung bình theo  Mode / Mode


 Ví dụ 6.   Khảo sát số điểm ghi trong môn bóng rổ của nhóm 9 học sinh được cho như sau
(đơn vị tính : Điểm )

15,7,10,7,4,9,12,7,9

Tìm độ lệch trung bình và hệ số độ lệch trung bình.


*Truy cập   https://www.easycalculation.com/statistics/mean-median-mode.php
Nhập  15,7,10,7,4,9,12,7,9  click Calculate


Trung bình :  $\bar{x}=8.9$
Trung vị :  Median = 9
Thường số :  Mode = 7

Lập bảng tính


Độ lệch trung bình (theo trung bình) là

$MD=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}|x-\bar{x}|=21.11/9=2.3456$

Độ lệch trung bình (theo trung vị) là

$MD=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}|x-Median|=21/9=2.3333$

Độ lệch trung bình (theo thường số) là

$MD=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}|x-Mode|=23/9=2.5556$


CMD=Hệ số MD (trung bình Mean) =  Độ lệch trung bình theo trung bình / trung bình = 2.3456/8.9=0,2636

CMD=Hệ số MD (trung vị Median) = Độ lệch trung bình theo Median / Median = 2.3333/9 = 0,2593

CMD=Hệ số M.D (thường số Mode) = Độ lệch trung bình theo  Mode / Mode = 2.5556/7 = 0,3651

 Ví dụ 7.   Khảo sát số điểm ghi trong môn bóng rổ của 2 nhóm mỗi nhóm 9 học sinh được cho như sau
(đơn vị tính : Điểm )

Nhóm A :  15,7,10,7,4,9,12,7,9
Nhóm B :  11,9,7,8,8,9,10,9,9 

Tìm độ lệch trung bình và hệ số độ lệch trung bình (theo trung bình) của 2 nhóm - So sánh kết quả 2 nhóm .

B1. 
Tính toán số liệu cho nhóm A :  Đã khảo sát ở ví dụ 6. , ta có
Trung bình :  $\bar{x}=8.9$
Trung vị :  Median = 9
Thường số :  Mode = 7

Tính toán số liệu cho nhóm B :
*Truy cập   https://www.easycalculation.com/statistics/mean-median-mode.php
Nhập  11,9,7,8,8,9,10,9,9  click Calculate

 

Trung bình :  $\bar{x}=8.9$
Trung vị :  Median = 9
Thường số :  Mode =9

*Truy cập   https://www.easycalculation.com/statistics/mean-absolute-deviation.php
Nhập  11,9,7,8,8,9,10,9,9  vào cửa sổ dưới đây
click Calculate



Ta có
Trung bình  : $\bar{x}=8.9$
MD = 0.81478
(Xem hình sau)



B2.
Tính hệ số độ lệch trung bình (theo trung bình) của 2 nhóm  - So sánh kết quả 2 nhóm .

Độ lệch trung bình (theo trung bình) của nhóm A  là

$MD=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}|x-\bar{x}|=21.11/9=2.3456$
CMD=Hệ số MD (trung bình Mean) =  Độ lệch trung bình theo trung bình / trung bình = 2.3456/8.9=0,2636

Độ lệch trung bình (theo trung bình) của nhóm B  là

$MD=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}|x-\bar{x}|=7.3330/9=0.81478$
CMD=Hệ số MD (trung bình Mean) =  Độ lệch trung bình theo trung bình / trung bình = 0.81478/8.9=0.0915

Vì CMD của nhóm B nhỏ hơn CMD của nhóm A nên điểm số của B ổn định hơn .


12.7.4  Hệ số biến thiên - Coefficient of Variation (CV) .

Trong lý thuyết xác suất và thống kê, hệ số biến thiên (Coefficient of Variation - CV), còn được gọi là độ lệch chuẩn tương đối  (relative standard deviation-RSD), là một độ đo tiêu chuẩn về sự phân tán của một phân bố xác suất hoặc phân phối tần số. Nó thường được thể hiện như là một tỷ lệ bách phân , và được định nghĩa là tỷ số giữa độ lệch chuẩn  $\sigma$ với giá trị trung bình  $\mu$  (hoặc  $|\mu |$). Các CV ( hoặc RSD)  được sử dụng rộng rãi trong hóa phân tích để diễn tả sự chính xác và sự lặp lại của một khảo nghiệm nào đó .  Hệ số biến thiên cũng được sử dụng phổ biến trong các lĩnh vực như cơ khí hoặc vật lý khi thực hiện các nghiên cứu về đảm bảo chất lượng và độ đo ANOVA .

$CV = \frac{\sigma}{\mu}$

Hệ số biến thiên được tính toán chỉ cho dữ liệu đo trên thang tỷ lệ, vì đây là những phép đo mà chỉ có thể lấy các giá trị không âm , và nó cho thấy mức độ biến đổi trong mối quan hệ với trung bình của tổng thể. Hệ số biến thiên có thể không có bất kỳ ý nghĩa nào cho dữ liệu trên một quy mô khoảng .

Ví dụ 8.  Dữ liệu về chiều cao và trọng lượng của 5 sinh viên được cho như sau . Hãy so sánh độ phân tán của 2 loại dữ liệu .
N=5
Chiều cao  172 , 168 , 164 ,170 ,176  ( đơn vị cm)
Trọng lượng  62 , 57 ,58 ,64 ,64     (đơn vị kg)



Vì đơn vị 2 loại dữ liệu khác nhau để so sánh độ phân tán ta cần phải tính CV của 2 loại
CV của chiều cao 
$\mu=(164+168+170+172+176)/5=170$
$\sigma={(164−170)^2+(168−170)^2+(170−170)^2+(172−170)^2+(176−170)^2}/5=4.47$
CV1 =  (4.47/170)x100% = 2.63%

CV của trọng lượng
$\mu=(57+58+62+64+64)/5=61$
$\sigma={(57−61)^2+(58−61)^2+(62−61)^2+(64−61)^2+(64−61)^2}/5=3.31
CV2 = (3.31/61)x100% = 5.4%

Bằng cách so sánh  CV1 và CV2 , chúng ta biết được độ phân tán của trọng lượng lớn hơn so với chiều cao .


*Truy cập   https://www.easycalculation.com/statistics/coefficient-of-variance.php

Nhập  172 , 168 , 164 ,170 ,176  vào Calci dưới đây , click Calculate




CV còn được dùng để so sánh 2 tập dữ liệu có đơn vị khác nhau hoặc 2 tập dữ liệu có cùng đơn vị nhưng khác nhau về kich thước . 

Ví dụ 9.  Giá trung bình và độ lệch chuẩn của cổ phiếu A và B trong năm qua là $\mu_A=50$ , $\sigma_A=5$  ;  $\mu_B=100$  ,  $\sigma_B=5$  . Hãy so sánh độ phân tán của 2 loại cổ phiếu trên .


Image result for stock price

CV_A = $\frac{\sigma_A}{\mu_A}=5/50=0.10$
CV_B = $\frac{\sigma_B}{\mu_B}=5/100=0.05$

Nhận xét :
2 cổ phiếu A,B có cùng độ lệch chuẩn nhưng khác nhau về gí trung bình
CV_B nhỏ hơn CV_A nên có thể nói cổ phiếu B tương đối ít biến động hơn cổ phiếu A .








Trần hồng Cơ
Ngày 20/01/2016




------------------------------------------------------------------------------------------- -

Những điều biết được chỉ là hạt cát , những điều chưa biết là cả một đại dương .

Isaac Newton

Thứ Tư, 20 tháng 1, 2016

KINH THÁNH – Một tác phẩm vĩ đại về lịch sử thế giới - Phần 2 .

KINH  THÁNH  –  Một tác phẩm vĩ đại về lịch sử thế giới . 







NGHE KINH THÁNH MP3 TRỌN BỘ
http://hoithanhsucsongmoi.blogspot.com/2013/07/nghe-kinh-thanh-mp3-tron-bo.html







 Bấm vào đây để đọc.
Bạn chờ giây lát đang tải dữ liệu .....Từ www.tinlanhhyvong.com

Bạn chờ giây lát, đang tải dữ liệu Từ www.stream.faithcomesbyhearing.com






















- Louis Pasteur : “Càng nghiên cứu khoa học, tôi càng tin vào Đức Chúa Trời.. Thật là mĩa mai cho lòng dạ con người, nếu chết là hết, hoặc chết là trở về với hư vô ... Một chút khoa học sẽ gạt bỏ Chúa, giàu khoa học sẽ quay về với Chúa” .

- Albert Einstein: “Sự gian ác là do vắng bóng Thiên Chúa trong linh hồn ... khoa học không tôn giáo là mù lòa, tôn giáo thiếu khoa học là què quặt....Tôi chưa hề gặp điều gì trong Khoa học của tôi mà lại đi ngược với Tôn giáo.”

- James Simpson : “Phát minh quan trọng nhất của đời tôi là tìm được Chúa Cứu Thế Giêsu .”

- Andre Marie Ampere “Con người chỉ vĩ đại khi quỳ xuống cầu nguyện với Thiên Chúa .”

- Blaise Pascal :"Giả như Thượng Đế không có, ta chẳng mất gì cả, nếu đã tin vào Ngài. Nhưng nếu có Ngài, ta sẽ mất tất cả, nếu ta không tin"

- Victor Hugo nói: “Nước Anh có hai cuốn sách: Kinh Thánh và Shakespeare. Nước Anh sinh ra Shakespeare; còn Kinh Thánh làm nên nước Anh”.

- Isaac Newton : "Cái huy hoàng của thái dương hệ, các hành tinh, sao chổi, chỉ có được là do sự điều hành của Một Đấng Thông Minh, Toàn Năng ...Tôi thấy Thượng Đế qua viễn vọng kính ....Thánh Kinh có nhiều biểu hiện chăc chắn về tính có thực hơn bât cứ một câu chuyện nào chống lại sách đó ...Trong đời mình tôi nhận biết được hai sự thật: thứ nhất - tôi là kẻ đại tội nhân, và thứ hai - Jêsus Christ vĩ đại vô lượng là Đấng Cứu Chuộc tôi ...Lực hút Trái đất chỉ giải thích sự chuyển động của các hành tinh nhưng không thể làm rõ ai, khi nào và bằng cách nào đã đưa các hành tinh vào vị trí chuyển động như vậy. Chính Chúa trời là người điều khiển và sắp đặt vạn vật. Người là bất diệt, là vĩnh cửu…”.

- Becquerel: "Nhờ nghiên cứu khoa học, đã dẫn tôi đến Thượng Đế và tôi có đưc tin ."

- Bourgeois: "Không có gì cản trở tinh thần khoa học hòa hợp với tín ngưỡng đã được suy nghĩ sáng suốt. Trái lại, khoa học càng được đào sâu, thì tôn giáo lại càng được tăng thêm sức mạnh và bàn tay uy quyền của Thiên Chúa, Đấng Tạo hóa, lại càng được sáng to hơn ."

- Duclaux: "Nếu sự sống đầu tiên xuât hiện trên mặt đât do tình cờ, nơi mà (vũ trụ này) mọi sự đều có luật, thì sự xuât hiện kia, nó kỳ dị như hòn đá, tự bò lên sườn núi ."

- Alessadro Volta : "Niềm tin như điện, bạn không thể thấy nó, nhưng có thể thấy ánh sáng ."

- Moreux : "Tôi liên lạc với cac vị giám đôc thuộc hầu hêt mọi đài thiên văn trên thế giới, tât cả đều tin có Thiên Chúa ."

- Charles Nicolle :“May mắn thay trong tôn giáo có những bí nhiệm. Nếu không tôi sẽ hoài nghi nó, vì cho rằng tôn giáo là do trí loài người tạo ra. Bí nhiệm làm tôi vững tâm; đó là dấu ấn của Thiên Chúa .”

- Thomas Alva Edison : "Edison hết sức khâm phục và ca ngợi tât cả kỷ sư, trong đó gồm cả Thiên Chúa ."

- Chevreul : “Tôi không thấy Thiên Chúa vì Ngài thiêng liêng, nhưng tôi thấy công trình tạo dựng của Ngài”

- Diderot : “Chỉ cần con mắt và cái cánh của con bướm, cũng đủ diệt tan mọi lý lẽ của kẻ vô thần .”

- LaBruyère: “Tôi muốn thấy một người trong sạch và tiêt độ tuyên bố rằng không có Thượng đế, nhưng không thấy ai cả .”




Chủ Nhật, 17 tháng 1, 2016

PAUL MAURIAT - Sự nghiệp âm nhạc và di sản văn hóa Pháp .



PAUL MAURIAT  - Sự nghiệp âm nhạc và di sản văn hóa Pháp . 



 Nguồn   https://vi.wikipedia.org/wiki/Paul_Mauriat
Paul Mauriat (4 tháng 3, 1925 – 3 tháng 11, 2006) là một nhạc trưởng người Pháp.

Tiểu sử

Ông sinh tại Marseille, lớn lên ở thủ đô Paris, lúc bốn tuổi ông bắt đầu chơi nhạc và lúc mười tuổi đã ghi danh vào Nhạc viện Paris nhưng với thời gian vào năm mười bảy tuổi ông bắt đầu yêu thích nhạc jazz và nhạc phổ thông. Trong thời gian Chiến tranh thế giới lần thứ 2, ông thành lập ban nhạc khiêu vũ và bắt đầu chỉ huy dàn nhạc của riêng ông lưu diễn khắp châu Âu. Trong thập kỷ 1950, ông trở thành giám đốc âm nhạc và đi lưu diễn với ít nhất hai ca sĩ nổi tiếng người Pháp là Charles Aznavour và Maurice Chevalier.

Người ta biết đến ông nhiều nhất sau khi bản phối khí L'Amour est bleu ("Love Is Blue") (do André Popp soạn) của ông năm 1968 đứng đầu bảng xếp hạng của Hoa Kỳ. Paul Mauriat cùng dàn nhạc của ông rất được yêu thích ở Nhật Bản và Hàn Quốc.

Paul Mauriat mất tại Perpignan, thọ 81 tuổi.



Sự nghiệp và giải thưởng

Ông được trao giải Grand Prix (giải thưởng lớn) từ ngành công nghiệp ghi âm Pháp. Năm 1997, ông giành giải Commandeur des Arts et des Lettres của Bộ Văn hóa Pháp. Ông đã bán được hơn 40 triệu album trên toàn thế giới và tổ chức 28 tour du lịch tại Nhật Bản 1969-1998.

Trong khoảng đầu đến giữa thập niên 1980, Paul Mauriat đã xuất hiện trong một số quảng cáo cà phê và rượu vang truyền hình Nhật Bản, trong đó đặc trưng âm nhạc từ dàn nhạc của mình.

Các đĩa nhạc của Paul Mauriat

    Paris by Night (1961)
    Plays Standards (1963)
    Paul Mauriat Joue pour les Enfants (1963)
    Album No 1 (1965)
    Russie De Toujours (1965)
    Album No 2 (1965)
    Album No 3 (1966)
    Prestige de Paris (1966)
    Album No 4 (1966)
    Bang, Bang (1966)
    Album No 5 (1967)
    Noëls (1967)
    Album No 6 (1967)
    Love Is Blue (1968)
    Latin Nights (1968)
    Mauriat Slows (1968)
    Rain and Tears (1968)
    Cent Mille Chansons (1968)
    Rythm and Blues (1968)
    Je T'aime...Moi Non Plus (1969)
    Un Jour, Un Enfant (1969)
    Vole, Vole, Farandole (1969)
    Paul Mauriat Joue Chopin (1970)
    C'est La Vie... Lily (1970)
    Gone is Love (1970)
    Comme J'ai Toujours Envie D'aimer (1970)
    Paloma Embriagada (1970)
    Un Banc, Un Arbre, Une Rue (1971)
    Mamy Blue (1971)
    Penelope (1971)
    El Condor Pasa (1971)
    Tombe La Neige (1971)
    Apres Toi (1972)
    L'Avventura (1972)
    Last Summer Day (1972)
    Paul Mauriat Joue Les Beatles (1972)

   

    Le Lac Majeur (1972)
    Forever and Ever (1973)
    Nous Irons à Vérone (1973)
    Last Tango In Paris (1973)
    Good bye, My Love, Good bye (1973)
    White Christmas (1973)
    Retalhos de Cetim (1974)
    Je Pense à Toi (1974)
    Le Premier Pas (1974)
    I Won't Last a Day Without You (1974)
    Have You Never Been Mellow? (1974)
    L'Été Indien (1975)
    Entre Dos Aguas (1975)
    The Best of Paul Mauriat - 10 Years with Philips (1975)
    From Souvenirs to Souvenirs (1975)
    Lili Marlene (1975)
    Love Sounds Journey (1976)
    Michelle (1976)
    Love Is Still Blue (1976)
    Il Était une Fois... Nous Deux (1976)
    Chanson D'amour (1977)
    C'est La Vie (1977)
    Hymne à l'Amour (1977)
    Brasil Exclusivamente (1977)
    L'Oiseau et l'Enfant (1977)
    Overseas Call (1978)
    Dans les Yeux d'Émilie (1978)
    Brasil Exclusivamente Vol.2 (1978)
    Too Much Heaven (1979)
    Nous (1979)
    Copacabana (1979)
    Aerosong (1980)
    Chromatic (1980)
    Brasil Exclusivamente Vol.3 (1980)
    Reality (1981)
    Roma dalla Finestra (1981)
    Pour Le Plaisir (1981)
    Je n'Pourrais Jamais t'Oublier (1981)

   

    Tout Pour Le Musique (1982)
    Magic (1982)
    I Love Breeze (1982)
    Descendant Of The Dragon (1982)
    Wild Spring (1983)
    Summer Has Flown (1983)
    Olive Tree (1984)
    Piano Ballade (1984)
    The Seven Seas (1984)
    Chromatic (1984)
    Transparence (1985)
    The Best of Paul Mauriat 2 - 20 Years with Philips (1985)
    Classics In The Air (1985)
    Windy (1986)
    Classics In The Air 2 (1986)
    Song For Taipei (1986)
    Classics In The Air 3 (1987)
    Nagekidori (1987)
    Best Of France (1988)
    The Paul Mauriat Story (1988)
    Serenade (1989)
    Iberia (1989)
    Remember (1990)
    You Don't Know Me (1990)
    Gold Concert (1990)
    Retrospective (1991)
    Nostal Jazz (1991)
    Emotions (1993)
    The Color Of The Lovers (1994)
    Now And Then (1994)
    Soundtracks (1995)
    Quartet For Kobe (1995)
    Escapades (1996)
    Cri D'amour (1996)
    30th Anniversary Concert (1996)
    Romantic (1997)
    Sayonara Concert (1998)
    I Will Follow Him (2000)
    All The Best (2003, In China)


http://paul-mauriat.com/biography.html























 -------------------------------------------------------------------------------------------
 Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic. 
 Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.

 Albert Einstein .

Thứ Năm, 14 tháng 1, 2016

GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN . Phần 12f . XÁC SUẤT THỐNG KÊ - Độ đo phân tán .


 
GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN .

Phần 12f . XÁC SUẤT THỐNG KÊ -  Độ đo phân tán .   


DANH MỤC CÔNG CỤ GIẢI TOÁN TRỰC TUYẾN  MATHEMATICA  WOLFRAM | ALPHA .

Giới thiệu .

Bạn đọc truy cập vào đường dẫn  http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen  để sử dụng các widgets giải toán trực tuyến W|A Mathematica theo chỉ mục trong danh sách dưới đây .

Những widgets này đã được tác giả sắp xếp theo từng môn học và cấp lớp theo ký hiệu như sau :

D : Đại số . Ví dụ  D8.1 widget dùng cho Đại số lớp 8 , mục 1 - Khai triển , rút gọn biểu thức đại số .
H : Hình học . Ví dụ  H12.3  widget dùng cho Hình học lớp 12 , mục 3 - Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian .
G : Giải tích . Ví dụ : G11.7  widget dùng cho Giải tích lớp 11 , mục 7 - Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
GI : Giải tích cao cấp I . Ví dụ GI.15  widget dùng cho Giải tích cao cấp I , mục 15 - Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GII : Giải tích cao cấp II .


++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++


 ĐẠI SỐ 8

D8.1  Khai triển , rút gọn biểu thức đại số
D8.2  Rút gọn phân thức
D8.3  Phân tích thừa số
D8.4  Nhân 2 đa thức
D8.5  Khai triển tích số ( có thể dùng để khai triển Newton )
D8.6  Phân tích thừa số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 10

D10.1 Giải phương trình nguyên Diophante
D10.2 Giải phương trình tuyệt đối
D10.3 Giải phương trình chứa tham số
D10.4  Giải phương trình đại số
D10.5  Giải phương trình từng bước
D10.6  Giải bất phương trình minh hoạ bằng đồ thị

D10.8  Tính giá trị biểu thức hàm số
D10.9  Giải bất phương trình đại số và minh hoạ bằng đồ thị
D10.10  Giải bất phương trình đại số - tìm miền nghiệm
D10.11  Giải phương trình đại số
D10.12  Giải phương trình vô tỷ
D10.13  Giải phương trình minh hoạ từng bước
D10.14  Giải phương trình dạng hàm ẩn
D10.15  Giải hệ thống phương trình tuyến tính , phi tuyến
D10.16  Giải hệ phương trình
D10.17  Vẽ miền nghiệm của bất phương trình đại số
D10.19  Tối ưu hoá hàm 2 biến với các ràng buộc
D10.20  Tìm giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành Ox , trục tung Oy

HÌNH HỌC 10

H10.1  Tính diện tích tam giác trong hệ toạ độ Oxy
H10.3  Khảo sát conic ( đường tròn , Ellipse , Parabola , Hyperbola )
H10.2  Tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng trong Oxy



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 11

D11.1 Thuật chia Euclide dùng cho số và đa thức  ( HORNER )
D11.2  Tính tổng nghịch đảo của n số tự nhiên




D11.6  Khai triển nhị thức Newton


GIẢI TÍCH 11


G11.1  Tính gíá trị một chuỗi số  theo n
G11.2  Đa thức truy hồi
G11.3  Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số
G11.4  Tính giới hạn của chuỗi số khi  $n \rightarrow  \infty$
G11.5  Tìm hàm số ngược của hàm số cho trước
G11.6  Tìm đạo hàm của hàm số hợp - giải thích
G11.7   Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
G11.8   Tìm giới hạn của hàm số
G11.9   Tìm giới hạn của hàm số
G11.10  Tính đạo hàm hàm số có dạng U/V
G11.11  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước
G11.12  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước

G11+12.1   Tính đạo hàm ,tích phân , giới hạn , vẽ đồ thị


LƯỢNG GIÁC 11

L11.1   Giải phương trình lượng giác
L11.2   Giải phương trình lượng giác trên một đoạn
L11.3   Tìm chu kỳ của hàm số tuần hoàn
L11.4   Khai triển công thức lượng giác



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 12

D12.1   Cấu trúc của số phức
D12.1   Giải phương trình mũ
D12.3   Giải  phương trình chứa tham số
D12.4   Giải  phương trình  bất kỳ  ( Bậc 2 , 3 , ... , mũ  , log , căn thức )
D12.5   Giải phương trình mũ



GIẢI TÍCH 12


G12.1  Vẽ đồ thị biểu diễn phương trình
G12.2    Khảo sát hàm số hữu tỷ
G12.3   Vẽ đồ thị trong toạ độ cực (Polar)
G12.4    Tìm cực trị của hàm số
G12.5    Vẽ đồ thị hàm số 2D
G12.6   Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số
G12.7    Vẽ nhiều hàm số - Basic plot. To plot two or more functions, enter {f1(x), f2(x),...}
G12.8    Tìm điểm uốn của hàm số cho trước
G12.9    Tìm nghiệm của các phương trình  y = 0 , y ' = 0 ,  y " = 0
G12.10    Tính tích phân bất định
G12.11    Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.12   Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.13   Tìm đường tiệm cận của hàm số
G12.14   Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.15  Tìm giao điểm của hàm số đa thức và trục hoành Ox - Vẽ đồ thị .
G12.16    Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi (C1) , (C2)
G12.17    Vẽ đồ thị hàm số ( có đường tiệm cận )
G12.18   Vẽ đồ thị 2D , 3D
G12.19   Tìm hoành độ giao điểm giữa 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.20    Vẽ đường cong tham số 3D
G12.21    Tính diện tich mặt tròn xoay
G12.22    Tích thể tích vật tròn xoay  (C) , trục  Ox , x =a , x= b
G12.23    Thể tích vật tròn xoay
G12.24    Tích thể tích vật tròn xoay (C1) , (C2) , trục OX , x = a , x = b
G12.25    Khảo sát hàm số đơn giản
G12.26    Tìm cực trị của hàm số
G12.27    Tìm nguyên hàm của hàm số
G12.28    Tính tích phân xác định


HÌNH HỌC 12


H12.1  Tính khoảng cách 2 điểm trong 2D , 3D
H12.2   Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm trong không gian
H12.3  Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian
H12.4   Tìm công thức thể tích , diện tích hình không gian
H12.5   Vẽ đồ thị 2D , mặt 3D
H12.6    Tích có hướng 2 vector



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

GIẢI TÍCH CAO CẤP

GI.1    Vẽ đồ thị , mặt 3D
GI.2   Vẽ đồ thị , mặt  3D
GI.3    Tích phân 2 lớp
GI.5    Tích phân kép
GI.6    Tích phân bội 3
GI.7    Tích phân bội 3
GI.8    Tích phân suy rộng
GI.9    Chuỗi và dãy số
GI.10    Các bài toán cơ bản trong vi  tích phân
GI.11     Vẽ hàm từng khúc ( piecewise ) - dùng để xét tính liên tục của hàm số
GI.12    Tính đạo hàm và tích phân một hàm số cho trước
GI.13     Vẽ đồ thị hàm số trong hệ toạ độ cực
GI.14     Tính đạo hàm riêng
GI.15    Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GI.16    Tính tổng chuỗi số  n = 1...$\infty$
GI.17     Vẽ  đồ thị  3 hàm số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Bài viết sau đây mô tả các khái niệm toán học và hướng dẫn tính toán chi tiết bằng công cụ trực tuyến , bạn đọc có thể tham khảo những nội dung chính yếu được đề cập đến trong giáo trình toán phổ thông  cùng với các ví dụ minh họa  .

Một số website hữu ích phục vụ cho việc giảng dạy và học tập môn toán :

http://quickmath.com/
http://analyzemath.com/
http://www.intmath.com/
http://www.mathportal.org
https://www.mathway.com/
https://www.symbolab.com/
http://www.graphsketch.com/
http://www.meta-calculator.com/online/?home
http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen



12.  XÁC SUẤT - THỐNG KÊ  - Độ đo phân tán .

12.6  Các khái niệm  .

12.6.1  Khoảng giá trị - Range .

a. Khoảng giá trị trong giải tích .

-Trong giải tích , phạm vi - hay khoảng giá trị -chỉ về tập giá trị của hàm số cho trước .
Cho hàm số  $y=f(x)=\sqrt{x-3}$
Tập xác định là  $D = [3,+\infty)$
Tập giá trị là  $T = [0,+\infty)$
Khoảng giá trị là   $ [0,+\infty)$


Nếu bạn chọn biến số x trên đoạn $[4,12]$  khi đó khoảng giá trị của hàm số sẽ là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó $[minf(x) , Maxf(x)] = [1,3]$



b. Khoảng giá trị trong thống kê .

-Trong số học, khoảng giá trị của một tập hợp các dữ liệu là sự sai biệt giữa giá trị lớn nhất (Max) và nhỏ nhất (min) có trong tập hợp.
Tuy nhiên, trong thống kê mô tả, khái niệm về khoảng giá trị có một ý nghĩa phức tạp hơn. khoảng giá trị đó là kích thước của khoảng nhỏ nhất chứa tất cả các dữ liệu và cung cấp một dấu hiệu của sự phân tán thống kê. Nó được đo với cùng đơn vị như các dữ liệu. Vì nó chỉ phụ thuộc vào hai trong số các quan sát, nên rất có ích trong việc đại diện cho độ phân tán của các tập dữ liệu nhỏ.

Ví dụ 1.  Điều tra về số tuổi của thiếu niên tham gia môn bơi lội tại một câu lạc bộ ta có số liệu sau
 4,6,5,11,9,10,8,11,12,6 . Tìm khoảng giá trị của tập dữ liệu .


Sắp thứ tự các số liệu   4,5,6,6,8,9,10,11,11,12
Max = 12 , min = 4
khoảng giá trị = 12 - 4 = 8
Lưu ý : khoảng giá trị có thể tạo ra sự sai lầm khi trong tập dữ liệu có giá trị cực cao hoặc cực thấp .

Xét tập dữ liệu A = {10, 11, 8, 9, 7, 12, 4578}  có phạm vi là  4578 - 7 = 4571 giá trị này rất lớn có vẻ chỉ ra rằng c1o nhiều dữ liệu phân bố từ 7 đến 4578  nhưng thực tế đa số các số liệu lại tập trung quanh số 10 .
Để xác định độ phân tán  chúng ta có thể sử dụng khoảng tứ phân vị hoặc độ lệch chuẩn .

12.6.2  Tứ phân vị - Quartile .
a. Tứ phân vị .
Tứ phân vị là những giá trị phân chia một danh sách các số liệu thành các phần tư . Cách xác định tứ phân vị rất đơn giản tuân theo các bước sau
    - Đầu tiên sắp danh sách các số liệu theo thứ tự
    - Sau đó cắt danh sách thành bốn phần bằng nhau
     Các tứ phân vị là các vị trí cắt .

Các tứ phân vị đầu tiên, hoặc bách phân vị thứ 25 ký hiệu xL (cũng viết là Q1), là số mà 25% các giá trị trong tập dữ liệu đều nhỏ hơn xL.

Các tứ phân vị thứ hai hoặc bách phân vị thứ 50, xm (cũng viết là Q2) cũng được gọi là trung vị . Nó đại diện cho các giá trị mà 50% các quan sát là thấp hơn và 50% là cao hơn.

Các tứ phân vị thứ ba hoặc bách phân vị thứ 75 , xH (Q3) là giá trị mà 75%  các quan sát là ít hơn xH

Ví dụ 2.  Thời gian giải loạt bài tập của bạn Hải theo thứ tự từ bài 1 đến 7 được cho bởi số liệu sau (đơn vị : phút)
 5 , 4 , 7 , 9 , 8 , 3 , 5 . Hãy tìm các tứ phân vị .


-Sắp danh sách các số liệu theo thứ tự
3,4,5,5,7,8,9
-Cắt danh sách thành bốn phần bằng nhau
*** Tính các tứ phân vị
Gọi n là số các quan sát x1,x2,...,xn là các giá trị được sắp thứ tự từ nhỏ đến lớn

+Công thức tính xL .
Nếu $\frac{1}{4}(n+1)$  là nguyên , tứ phân vị thứ nhất là xL = $x_{\frac{1}{4}(n+1)}$

Nếu $\frac{1}{4}(n+1)$   không nguyên , tứ phân vị thứ nhất là xL =
$x_{integer(\frac{1}{4}(n+1))}+(x_{integer(\frac{1}{4}(n+1))+1}-x_{integer(\frac{1}{4}(n+1))}) (decimal(\frac{1}{4}(n+1)))$


+Công thức tính xm .
Nếu $\frac{2}{4}(n+1)$  là nguyên , tứ phân vị thứ hai là xm = $x_{\frac{2}{4}(n+1)}$

Nếu $\frac{2}{4}(n+1)$   không nguyên , tứ phân vị thứ hai là xm =
$x_{integer(\frac{2}{4}(n+1))}+(x_{integer(\frac{2}{4}(n+1))+1}-x_{integer(\frac{2}{4}(n+1))}) (decimal(\frac{2}{4}(n+1)))$

+Công thức tính xH .
Nếu  $\frac{3}{4}(n+1)$   là nguyên , tứ phân vị thứ ba là xH = $x_{\frac{3}{4}(n+1)}$

Nếu $\frac{3}{4}(n+1)$   không nguyên , tứ phân vị thứ ba là xH =
$x_{integer(\frac{3}{4}(n+1))}+(x_{integer(\frac{3}{4}(n+1))+1}-x_{integer(\frac{3}{4}(n+1))}) (decimal(\frac{3}{4}(n+1)))$

Trong ví dụ 2 với n = 7 nên
$\frac{1}{4}(7+1)$  là nguyên , xL = $x_{\frac{1}{4}(7+1)}$ = x2 = 4
$\frac{2}{4}(7+1)$  là nguyên , xm = $x_{\frac{2}{4}(7+1)}$ = x4 = 5
$\frac{3}{4}(7+1)$   là nguyên , xH = $x_{\frac{3}{4}(7+1)}$ = x6 = 8


Ví dụ 3.  Thời gian vòi nước chảy đầy 8 bình chứa theo thứ tự được cho bởi số liệu sau (đơn vị : phút)
6,  5 , 5 , 7 , 9 , 8 , 4 , 8 . Hãy tìm các tứ phân vị .

-Sắp danh sách các số liệu theo thứ tự
4,4,5,6,7,8,9,9
-Cắt danh sách thành bốn phần bằng nhau


Với n = 8
Vì $\frac{1}{4}(8+1)$   không nguyên , tứ phân vị thứ nhất là xL =
$x_{integer(\frac{1}{4}(8+1))}+(x_{integer(\frac{1}{4}(8+1))+1}-x_{integer(\frac{1}{4}(8+1))}) \frac{1}{4}$ = x2 + (x3-x2).0.25 = 4+(5-4).0.25 = 4.25
 ( 0.25 = phần thập phân của (8+1)/4 )

Vì $\frac{2}{4}(8+1)$   không nguyên , tứ phân vị thứ hai là xm =
$x_{integer(\frac{2}{4}(8+1))}+(x_{integer(\frac{2}{4}(8+1))+1}-x_{integer(\frac{2}{4}(8+1))}) \frac{2}{4}$ = x4 + (x5-x4).0.5 = 6+(7-6).0.5 = 6.5  (trung vị không trùng với giá trị dữ liệu)
 ( 0.5 = phần thập phân của 2.(8+1)/4 )

Vì $\frac{3}{4}(8+1)$   không nguyên , tứ phân vị thứ ba là xH =
$x_{integer(\frac{3}{4}(8+1))}+(x_{integer(\frac{3}{4}(8+1))+1}-x_{integer(\frac{3}{4}(8+1))}) \frac{3}{4}$= x6 +(x7-x6). 0.75 = 8+(9-8).0.75 = 8.75
 ( 0.75 = phần thập phân của 3.(8+1)/4 )

Ví dụ 4.  Khào sát số lượt truy cập vào trang web của trường trung học Lakeshire trong 9 tuần thu được số liệu (đơn vị : lượt)
250 , 365 , 300 , 241 , 958  , 521 , 840 , 1027 , 421.  Hãy tìm các tứ phân vị .



-Sắp danh sách các số liệu theo thứ tự
241,250,300,365,421,521,840,958,1027
-Cắt danh sách thành bốn phần bằng nhau

Với n = 9
Vì $\frac{1}{4}(9+1)$   không nguyên , tứ phân vị thứ nhất là xL =
$x_{integer(\frac{1}{4}(9+1))}+(x_{integer(\frac{1}{4}(9+1))+1}-x_{integer(\frac{1}{4}(9+1))}) \frac{1}{4}$ = x2 + (x3-x2).0.5 = 250+(300-250).0.5 =275
 ( 0.5 = phần thập phân của (9+1)/4 )

Vì $\frac{2}{4}(9+1)$   nguyên , tứ phân vị thứ hai là xm =$x_{\frac{2}{4}(9+1)}$ = x5 = 421 (trung vị trùng với giá trị dữ liệu)

Vì $\frac{3}{4}(9+1)$   không nguyên , tứ phân vị thứ ba là xH =
$x_{integer(\frac{3}{4}(9+1))}+(x_{integer(\frac{3}{4}(9+1))+1}-x_{integer(\frac{3}{4}(9+1))}) \frac{3}{4}$= x7 +(x8-x7). 0.5 = 840+(958-840).0.5 = 899
 ( 0.5 = phần thập phân của 3.(9+1)/4 )


Ví dụ 5.  Lương tháng bình quân của 10 nhân viên công ty FeedMax trong một năm có số liệu như sau
(đơn vị : USD/tháng )
800,918,865,704,1016,747,773,852,1138,753  .  Hãy tìm các tứ phân vị .

Bạn đọc có thể dùng công cụ trực tuyến hoặc bằng phương pháp nội suy để tính toán các tứ phân vị .

*Truy cập   http://www.alcula.com/calculators/statistics/quartiles/
Nhập các số liệu  800,918,865,704,1016,747,773,852,1138,753
Click Submit Data


b.Khoảng liên tứ phân vị .
-Trong thống kê mô tả, khoảng tứ phân vị (Interquartile Range - IQR), là một độ đo về sự phân tán thống kê, được tính bằng chênh lệch giữa các tứ phân vị thứ 3 và thứ 1, ký hiệu

 IQR = Q3 - Q1.

Nói cách khác,  IQR là sai biệt giữa tứ phân vị 3 và tứ phân vị thứ 1, các tứ phân vị có thể được nhìn thấy rõ ràng trên đồ thị hộp dữ liệu.

-Không giống như khoảng giá trị toàn bộ , khoảng liên tứ phân vị có một điểm phân tích thống kê 50%, và do đó thường được ưa chuộng hơn khoảng giá trị toàn bộ . Các IQR được sử dụng để xây dựng các đồ thị hộp, là một dạng biểu diễn đồ họa đơn giản của phân phối xác suất.


Ví dụ 6.  Lương tháng bình quân của 10 nhân viên công ty FeedMax trong một năm có số liệu như sau
(đơn vị : USD/tháng )
800,918,865,704,1016,747,773,852,1138,753  .  Hãy tìm các tứ phân vị và khoảng liên tứ phân vị .

Như đã tính được ở ví dụ 4 , xL = Q1 = 751.5 , xH = Q3 = 942.5
Khoảng liên phân vị  IQR = Q3 - Q1 = 942.5 - 751.5 = 191

*Truy cập   http://www.alcula.com/calculators/statistics/interquartile-range/ 
Nhập các số liệu  800,918,865,704,1016,747,773,852,1138,753
Click Submit Data


c. Biểu đồ hộp và dây .

+Biểu đồ hộp là sơ đồ cung cấp hình ảnh đại diện cho sự phân bố của dữ liệu, nêu bật nơi hầu hết các giá trị xuất hiện và những giá trị khác biệt được gọi là giá trị ngoại lai.
+Biểu đồ hộp cũng được gọi là đồ thị hộp và dây hay sơ đồ hộp và dây có thể được vẽ theo chiều đứng hoặc ngang .
+Các yếu tố của biểu đồ hộp đứng (ngang) như sau
-Cạnh đáy (cạnh bên trái) của hộp đại diện cho tứ phân vị đầu tiên, và cạnh trên (cạnh bên phải)  là tứ phân vị thứ ba.
-Bề rộng theo phương dọc (ngang) của hộp trung tâm đại diện cho độ lệch liên tứ phân IQR .
-Đường ngang (dọc) bên trong hộp là trung vị.
-Dây là các đoạn thẳng đứng (ngang) nhô ra khỏi hộp mở rộng đến các giá trị tối thiểu (min) và tối đa (max) của tập dữ liệu, (miễn là các giá trị này không phải là giá trị ngoại lai ). Các đầu dây được đánh dấu bởi hai đường ngang (dọc) ngắn hơn .
-Giá trị cao hơn so với Q3 + 1.5IQR hoặc thấp hơn Q1-1.5IQR được coi là giá trị ngoại lai và được vẽ phía trên (bên phải) các đầu dây trên (bên phải) hoặc phía dưới (bên trái) đầu dây dưới (bên trái) .

Ví dụ 7.  Khào sát số lượt truy cập vào trang web của trường trung học Lakeshire trong 9 tuần thu được số liệu (đơn vị : lượt) 250 , 365 , 300 , 241 , 958  , 521 , 840 , 1027 , 421.
Như đã tính được ở ví dụ 3 , xL = Q1 = 275 , xm = Q2 = 421 , xH = Q3 =899
Khoảng liên phân vị  IQR = Q3 - Q1 = 899 - 275 =624

-Vẽ biểu đồ hộp đứng .
*Truy cập   http://www.alcula.com/calculators/statistics/box-plot/
Nhập các số liệu  250 , 365 , 300 , 241 , 958  , 521 , 840 , 1027 , 421.
Click Submit Data


-Vẽ biểu đồ hộp ngang .
*Truy cập   http://www.imathas.com/stattools/boxplot.html
Nhập các số liệu
Median: 421
Minimum: 241
Maximum: 1027
Q1 = First quartile: 275
Q3 = Third quartile: 899Click Draw Here


12.6.3  Bách phân vị - Quartile .
a. Bách phân vị .
-Bách phân vị (percentile hoặc centile) là một độ đo được sử dụng trong thống kê cho thấy các giá trị mà dưới nó có một tỷ lệ bách phân nhất định của các quan sát ( trong một nhóm các quan sát ) có thể rơi vào đó. 
-Bách phân vị và thứ hạng bách phân vị thường được sử dụng trong các báo cáo của các điểm số từ các bài kiểm tra định chuẩn tham chiếu.
-Bách phân vị thứ 25 còn được gọi là tứ phân vị thứ 1 (Q1), bách phân vị thứ 50 là trung vị hoặc tứ phân vị thứ hai (Q2), và 75 phần trăm là tứ phân vị thứ ba (Q3). Nói chung, bách phân vị và tứ phân vị là loại hình cụ thể của phân vị.

Ví dụ 8. 
-Nếu điểm số của bạn Becky là bách phân vị thứ 78, nghĩa là điểm số đó cao hơn so với 78% các điểm số khác.

-Chiều cao của Jack là 1.72m ở bách phân vị thứ 20 nghĩa là dưới 1.72m có 20 phần trăm của các quan sát có thể được tìm thấy.

b. Các phương pháp tính bách phân vị .
*Tìm thứ hạng bách phân vị biết các dữ liệu cho trước 
Thứ hạng bách phân vị được tính bởi công  thức
   P[r] = (L+0.5S)/N * 100
Trong đó,
L = Số các phần tử xếp dưới thứ hạng .
S = Số các phần tử có cùng thứ hạng .
N = Tồng số các phần tử trong tập dữ liệu .

Ví dụ 9. 
a. Trong đợt kiểm tra cuối kỳ môn Khoa học , điểm số của bạn Becky và Mike là bằng nhau và cùng đứng ở thứ hạng 5 trên 10 . Hãy tìm thứ hạng bách phân vị của 2 bạn này .

Có thể sắp xếp thứ hạng như sau   1,2,3,4,  5,5,  6,7,8,9,10
L = Số các phần tử xếp dưới thứ hạng = 4.
S = Số các phần tử có cùng thứ hạng = 2.
N = Tồng số các phần tử trong tập dữ liệu = 11
 Thứ hạng bách phân vị là
   P[r] = (L+0.5S)/N * 100 = (4+0.5x2)/11 = 45.45



b. Trong kỳ thi môn thể dục ở môn chạy việt dã Jack đứng ở thứ hạng 3 trên 9 .
Hãy tìm thứ hạng bách phân vị của Jack.

Có thể sắp xếp thứ hạng như sau   1,2,  3  ,4,5,6,7,8,9
L = Số các phần tử xếp dưới thứ hạng = 2.
S = Số các phần tử có cùng thứ hạng = 1.
N = Tồng số các phần tử trong tập dữ liệu =9
 Thứ hạng bách phân vị là
   P[r] = (L+0.5S)/N * 100 = (2+0.5x1)/9 =27.77

*Truy cập   http://calculator.tutorvista.com/percentile-calculator.html
-Enter the scores (separated by comma ',') :  Nhập  1,2,3,4,  5,5,  6,7,8,9,10
-Enter the score : Nhập 5
Click  Calculate Percentile 


*Truy cập   https://www.easycalculation.com/statistics/percentile-rank.php

-Enter the Scores separated by comma, : Nhập   1,2,3,4,5,6,7,8,9
-Enter the Score :  Nhập  3
-Click Calculate


Bạn có thể nhập số liệu trực tiếp vào calci dưới đây





*Tìm giá trị dữ liệu biết bách phân vị cho trước
Từ công thức
[r] = P/100 x (N + 1)
Có N (Tồng số các phần tử trong tập dữ liệu) và P (bách phân vị cho trước) bạn tìm được [r] ,
xác định I[r] : phần nguyên của [r] và D[r] : phần thập phân của [r]
Gọi giá trị tương ứng với I[r] , I[r]+1 là x(I[r]) và x(I[r]+1) , giá trị dữ liệu cần tìm (nội suy) là x
x = x(I[r]) + D[r].{x(I[r]+1) - x(I[r])}

Ví dụ 10. 
a. Trong đợt kiểm tra trắc nghiệm môn Máy tính của nhóm 8 bạn , điểm số được cho ở bảng sau . Hãy tìm điểm số đứng ở thứ hạng bách phân vị 25 ; bách phân vị 40 .

P = 25
Từ  [r] = P/100 x (N + 1) = 25/100 x (8+1) = 9/4 = 2.25
Vậy I[r] = 2 và D[r] = 0.25
Tìm giá trị dữ liệu ở dòng thứ hạng ta có I[r] = 2 và I[r]+1 = 3
x(2) = 5 , x(3) = 7
Khi đó  x = x(I[r]) + D[r].{x(I[r]+1) - x(I[r])} = 5 + 0.25x(7 - 5) = 5.5
Giá trị điểm số đứng ở thứ hạng bách phân vị 25 là x = 5.5

P = 40
Từ  [r] = P/100 x (N + 1) = 40/100 x (8+1) = 36/10 = 3.6
Vậy I[r] = 3 và D[r] = 0.6
Tìm giá trị dữ liệu ở dòng thứ hạng ta có I[r] = 3 và I[r]+1 = 4
x(3) = 7 , x(4) =8
Khi đó  x = x(I[r]) + D[r].{x(I[r]+1) - x(I[r])} = 7 + 0.6x(8 - 7) = 7.6
Giá trị điểm số đứng ở thứ hạng bách phân vị 40 là x = 7.6

 b. Điều tra về chiều cao của thanh niên tham gia câu lạc bộ khiêu vũ ta có số liệu sau
 169,170,171,172,175,177,179,180,180,184,185,185,188,190,190  (đơn vị : cm)
Hãy tìm chiều cao đứng ở thứ hạng bách phân vị 72 .


P = 72
Từ  [r] = P/100 x (N + 1) = 72/100 x (15+1) = 11.52
Vậy I[r] = 11 và D[r] = 0.52
Tìm giá trị dữ liệu ở dòng thứ hạng ta có I[r] = 11 và I[r]+1 =12
x(11) = 185 , x(12) =185
Khi đó  x = x(I[r]) + D[r].{x(I[r]+1) - x(I[r])} = 185 + 0.52x(185 - 185) = 185
Giá trị chiều cao đứng ở thứ hạng bách phân vị 72 là x = 185

*Ước lượng thứ hạng bách phân vị dựa trên tỷ lệ
-Khi tỷ lệ phần trăm các trường hợp có vị trí bằng hoặc thấp hơn một điểm số ( giá trị dữ liệu) nào đó.
Ta chỉ tính một nửa số trường hợp tại điểm số.

Ví dụ 11.   Thống kê điểm thi giữa kỳ môn Toán của lớp Becky  có 8%  học sinh xếp hạng A, 30% học sinh xếp hạng B, 50%   học sinh xếp hạng C và 12% học sinh xếp hạng D . Becky được xếp hạng B và Mike được xếp hạng C . Hãy ước lượng bách phân vị của Becky và Mike .

Nếu Becky được xếp hạng B thì thứ hạng bách phân vị là một nửa của 30% đạt B cộng với 50% đạt C và 12% đạt D, khi đó tổng số bách phân vị là 15% + 50% + 12% = 77% . Nói cách khác Becky được xếp hạng "bằng hoặc tốt hơn so với 77% sĩ số của lớp" .

Tương tự Mike được xếp hạng C nên thứ hạng bách phân vị  là một nửa của 50% đạt C cộng với  12% đạt D, khi đó tổng số bách phân vị là 25% + 12% = 37% . Vậy Mike được xếp hạng "bằng hoặc tốt hơn so với 37% sĩ số của lớp" .


*Ước lượng thứ hạng bách phân vị và giá trị dữ liệu dựa vào biểu đồ 
-Khi thống kê dữ liệu được mô tả bởi biểu đồ đoạn thẳng , bạn có thể tính toán thứ hạng bách phân vị hoặc giá trị dữ liệu . 
-Vẽ biểu đồ đoạn thẳng ( có thể nối các điểm dữ liệu bằng các đoạn cong trơn)
-Dùng phép chiếu tọa độ để ước lượng dữ liệu theo yêu cầu và tính bách phân vị .
Áp dụng công thức  P[r] = (L+0.5S)/N * 100  với S = 0  ta có
P[r] = L/N * 100

Ví dụ 12. 
Điều tra về số lượng thỏ trên đảo Pachutta theo thời gian ta có bảng số liệu sau
1950 : 0  ,  1960 : 600  ,  1970 : 1600  ,  1980 : 4780  , 
1990 : 6005  ,  2000 : 6850  ,  2010 : 7400
Hãy ước lượng bách phân vị của tổng đàn thỏ trước năm 1996 ( sai biệt 5% )



-Vẽ biểu đồ đoạn
*Truy cập   https://www.easycalculation.com/graphs/line-graph.php
Nhập dữ liệu như hình sau


Nhập dữ liệu vào calci dưới đây



Để ước lượng bách phân vị của tổng đàn thỏ trước năm 1996 , áp dụng phép chiếu tọa độ ta có khoảng giá trị cần tinh là [ 6005 , 6850 ] với miền xác định là [ 1990 , 2000]
Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm (1990;6005)  và  (2000;6850)

*Dùng  widget  H10.II.1 DUONG THANG DIEM-DIEM     http://goo.gl/KHbvGD
Lưu ý : khi nhập liệu cho widget bạn có thể rút gọn như sau  (1.990;6.005)  và  (2.000;6.850)


Với x = 1.996 ( năm 1996 )  ta tính được  y = 6.512  hay 6512
Khi đó bách phân vị của tổng đàn thỏ trước năm 1996 là
P[r] = L/N * 100 =  6512 / ( 7400 - 0 ) *100 = 88,00
Sai biệt +5% ta có P[r] = 88 + 5 = 93
Sai biệt - 5% ta có P[r] = 88 - 5 = 83 



12.6.4  Độ lệch trung bình - Mean Deviation .
a. Độ lệch trung bình - dữ liệu rời rạc .
-Độ lệch trung bình (hay độ lệch tuyệt đối trung bình) là trung bình của các độ lệch tuyệt đối của các giá trị của một tập hợp dữ liệu với giá trị trung bình của nó .
-Nói đơn giản là trung bình các khoảng cách từ mọi dữ liệu đến giá trị trung bình của tập dữ liệu đó .
-Với một mẫu có kích thước N , độ lệch trung bình được xác định bởi

$MD=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}|x_k-\mu|$

Trong đó $\mu$  là giá trị trung bình của tập dữ liệu .

Có 3 bước để tìm độ lệch trung bình MD
    1. Tìm trung bình của tập dữ liệu $\mu$ .
    2. Tìm độ lệch (khoảng cách) từ mọi dữ liệu đến giá trị  $\mu$ .
    3. Tìm trung bình các độ lệch này .


Ví dụ 13.  Điểm thực hành môn máy tính của 8 bạn trong nhóm của Billy là  6, 3, 7, 11, 6, 15, 8, 16 . Tìm trung bình và độ lệch trung bình .


Bước 1. Tìm trung bình của tập dữ liệu $\mu$ .
$\mu$ = (3 + 6 + 6 + 7 + 8 + 11 + 15 + 16)/8 = 72/8 = 9
Bước 2. Tìm độ lệch (khoảng cách) từ mọi dữ liệu đến giá trị  $\mu$ .
|3 - 9| = 6 ; |6 - 9| = 3 ; |6 - 9| = 3 ; |7 - 9| = 2 ; |8 - 9| = 1 ; |11 - 9| = 2 ; |15 - 9| =6 ; |16 - 9| =7
Bước 3.  Tìm trung bình các độ lệch này .
MD = (6 + 3 + 3 +2 + 1 + 2 + 6 + 7)/8 = 30/8 = 3.75
 

Độ lệch trung bình (Mean Deviation) cho chúng ta biết khoảng cách từ các giá trị của tập dữ liệu so với giá trị trung bình $\mu$ .

Ví dụ 14.  Khảo sát chiều cao giữa Billy và các bạn có các số liệu như sau   151, 160, 155, 168, 176
(đơn vị cm). Tìm trung bình và độ lệch trung bình .

*Truy cập  https://www.easycalculation.com/statistics/mean-absolute-deviation.php
Nhập các số liệu 151, 160, 155, 168, 176 vào calci dưới đây , Click Calculate



Ta có MD = 8  và  $\mu$ =162 , điều này nghĩa là so với chiều cao trung bình $\mu$ =162 độ lệch trung bình về chiều cao của các bạn trong nhóm là MD = 8 (cm) 

Nhận xét :
Nếu bạn sắp thứ tự chiều cao của nhóm 151 , 155 , 160 , 168 , 176  và lưu ý đến chiều cao trung bình $\mu$ =162  khi đó
tổng độ lệch so với $\mu$ bên trái là  |151-162| + |155-162| + |160-162|  =11+7+2 =20
và tổng độ lệch so với $\mu$ bên phải là  |168-162| + |176-162| = 6+14 = 20
Vậy tổng độ lệch so với $\mu$ bên trái = tổng độ lệch so với $\mu$ bên phải

b. Độ lệch trung bình - dữ liệu rời rạc nhóm .
-Độ lệch trung bình của tập các dữ liệu rời rạc nhóm được tính theo bảng dưới đây

1. Phân nhóm dữ liệu ,
2. Nhập tần số nhóm và tính tổng tần số .
3. Lấy tần số nhân với dữ liệu và tính tổng .
4. Tính giá trị trung bình $\mu$ .
5. Tính độ lệch .
6. Lấy tần số nhân với độ lệch và tính tổng .
7. Tính độ lệch trung bình MD .

Ví dụ 15 .  Điều tra về thời gian thực hành máy tính của 20 học sinh trường Lakeshire có số liệu về thời gian theo bảng sau
(đơn vị : giờ / tuần)
2 giờ :  3 người
4 giờ :  9 người
6 giờ :  5 người
8 giờ :  2 người
10 giờ :1 người
Tìm độ lệch trung bình thời gian thực hành máy tính của 20 học sinh này ?



1. Phân nhóm dữ liệu ,
2. Nhập tần số nhóm và tính tổng tần số .
2 giờ :  3 người => f1=3 , x1=2
4 giờ :  9 người => f2=9 , x2=4
6 giờ :  5 người => f3=5 , x3=6
8 giờ :  2 người => f4=2 , x4=8
10 giờ :1 người => f5=1 , x5=10
Tổng tần số = 20
 3. Lấy tần số nhân với dữ liệu và tính tổng .
f1x1=6
f2x2=36
f3x3=30
f4x4=16
f5x5=10
Tổng=98
4. Tính giá trị trung bình $\mu$ .
Giá trị trung bình  $\mu$ = 98/20=4.9
5. Tính độ lệch .
|2-4.9|=2.9
|4-4.9|=0.9
|6-4.9|=1.1
|8-4.9|=3.1
|10-4.9|=5.1 
6. Lấy tần số nhân với độ lệch và tính tổng .
3x2.9=8.7
9x0.9=8.1
5x1.1=5.5
2x3.1=6.2
1x5.1=5.1
 Tổng= 33.6
7. Tính độ lệch trung bình MD .
MD=33.6 / 20=1.68



c. Độ lệch trung bình - dữ liệu nhóm .
-Độ lệch trung bình của tập các dữ liệu (liên tục) nhóm được tính theo bảng dưới đây

1. Phân nhóm dữ liệu ,
2. Nhập tần số nhóm và tính tổng tần số .
3. Tìm điểm giữa nhóm .
4. Lấy tần số nhân với điểm giữa và tính tổng .
5. Tính giá trị trung bình $\mu$ .
6. Tính độ lệch .
7. Lấy tần số nhân với độ lệch và tính tổng .
8. Tính độ lệch trung bình MD .



Ví dụ 16 .  Điều tra về luyện tập thể dục của 14 sinh viên có số liệu về thời gian theo bảng sau
(đơn vị : giờ / tuần)
2.30 , 11.00 ,  4.00 , 4.20 , 7.00 , 5.30 ,  6.00 ,  8.30 ,  6.15 ,  6.25 ,  7.30  , 9.45  , 3.15 , 6.30
Tìm độ lệch trung bình thời gian luyện tập thể dục của nhóm sinh viên này ?



1. Phân nhóm dữ liệu ,
2. Lập bảng phân phối tần số , 3. Tìm điểm giữa nhóm .
2->3.59  :  2 lần => f1=2  , c1=3
4->5.59  :  3 lần => f2=3  , c2=5
6->7.59  :  6 lần => f3=6   , c3=7
8->9.59  :  2 lần => f4=2   , c4=9
10->11.59  :  1 lần => f5=1    , c5=11
Tổng tần số = 14
4. Lấy tần số nhân với điểm giữa và tính tổng .
f1c1=2x3=6
f2c2=3x5=15
f3c3=6x7=42
f4c4=2x9=18
f2c2=1x11=11
Tổng = 92
5. Tính giá trị trung bình $\mu$ .
Giá trị trung bình  $\mu$ = 92/14=6.57
6. Tính độ lệch .
|3-6.57|=3.57
|5-6.57|=1.57
|7-6.57|=0.43 
|9-6.57|=2.43
|11-6.57|=4.43
7. Lấy tần số nhân với độ lệch và tính tổng .
2x3.57=7.14
3x1.57=4.71
6x0.43=2.58
2x2.43=4.86
1x4.43=4.43
Tổng = 23,72
8. Tính độ lệch trung bình MD .
MD=23.72 / 14 = 1.69


Bạn có thể dùng công cụ meta-calculator trực tuyến để tìm các giá trị trung bình , trung vị và thường số , tuy nhiên độ lệch trung bình MD có giá trị sai .

*Truy cập    http://www.meta-calculator.com/online/?panel-401-basic-stats-input

Dùng phần mềm ESBSTATS kiểm tra kết quả


Giá trị trung bình  $\mu$ = 92/14=6.57
Độ lệch trung bình MD=23.72 / 14 = 1.69

12.6.5  Độ lệch chuẩn - Standard Deviation .
a. Độ lệch chuẩn - dữ liệu rời rạc . 
-Trong thống kê, độ lệch chuẩn (SD, ký hiệu σ hoặc s) là một độ đo được sử dụng để định lượng sự biến đổi hoặc sự phân tán của một tập hợp các giá trị dữ liệu.
-Độ lệch chuẩn gần bằng 0 chỉ ra rằng các điểm dữ liệu có xu hướng rất gần với giá trị trung bình (còn gọi là giá trị kỳ vọng) của tập hợp này, trong khi độ lệch chuẩn cao cho thấy rằng các điểm dữ liệu được trải ra trên một phạm vi lớn gồm chứa các giá trị.
Độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên, thống kê toàn thể , tập hợp dữ liệu, hoặc phân bố xác suất là căn bậc hai của phương sai của nó.
-Biểu thức đại số độ lệch chuẩn (SD) đơn giản hơn , dù thực tế ít mạnh hơn , so với độ lệch tuyệt đối trung bình (MD) .
-Công thức tính độ lệch chuẩn - dữ liệu rời rạc.
1.Tìm giá trị trung bình  $\mu$ (của tổng thể ) hay $\bar{x}$ (của mẫu) .
2.Tính bình phương độ lệch $(x_i-\mu)^2$ (của tổng thể ) hay $(x_i-\bar{x})^2$ (của tổng thể )  .
3.Tính trung bình các bình phương độ lệch (phương sai) .
4.Rút căn bậc 2 của trung bình các bình phương độ lệch .



Ví dụ 17 .  Điều tra về năng suất của 20 cây dừa trên một liếp có trái năm đầu tiên số liệu như sau
(đơn vị : trái / cây)
9, 2, 5, 4, 12, 7, 8, 11, 9, 3, 7, 4, 12, 5, 4, 10, 9, 6, 9, 4
Tìm độ lệch chuẩn của sản lượng dừa được thu hoạch ?


1.Tìm giá trị trung bình  $\mu$ (của tổng thể )
( 9+2+5+4+12+7+8+11+9+3+7+4+12+5+4+10+9+6+9+4)/ 20 = 140/20 = 7
2.Tính bình phương độ lệch $(x_i-\mu)^2$ (của tổng thể )
$(9-7)^2=4 ; (2-7)^2=25 ; (5-7)^2=4 ; (4-7)^2=9 ; (12-7)^2=25 $;
$(7-7)^2=0 ; (8-7)^2=1 ; (11-7)^2=16 ; (9-7)^2=4 ; (3-7)^2=16$ ;
$(7-7)^2=0 ;  (4-7)^2=9 ; (12-7)^2=25 ; (5-7)^2=4 ; (4-7)^2=9$ ;
$(10-7)^2=9 ;  (9-7)^2=4 ; (6-7)^2=1 ; (9-7)^2=4 ; (4-7)^2=9$ ;
3.Tính trung bình các bình phương độ lệch .
(4+25+4+9+25+0+1+16+4+16+0+9+25+4+9+9+4+1+4+9)/20 = 178/20=8.9 (phương sai)
4.Rút căn bậc 2 của trung bình các bình phương độ lệch .
$\sigma=\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}=\sqrt{8.9}=2.9833$



*Truy cập   https://www.easycalculation.com/statistics/standard-deviation.php
Nhập số liệu 9, 2, 5, 4, 12, 7, 8, 11, 9, 3, 7, 4, 12, 5, 4, 10, 9, 6, 9, 4 vào calci dưới đây
Click Calculate
Thu được độ lệch tổng thể là $\sigma=2.98329$




Ví dụ 18 .  Điều tra về năng suất của 20 cây dừa trên một liếp có trái năm đầu tiên số liệu như sau
(đơn vị : trái / cây)
9, 2, 5, 4, 12, 7, 8, 11, 9, 3, 7, 4, 12, 5, 4, 10, 9, 6, 9, 4
Tìm độ lệch chuẩn của sản lượng dừa được thu hoạch lấy từ mẫu {9, 2, 5, 4, 12, 7} ?



*Truy cập   https://www.easycalculation.com/statistics/standard-deviation.php
Nhập số liệu 9, 2, 5, 4, 12, 7
Thu được độ lệch chuẩn mẫu là  $s=3.61939$


b. Độ lệch chuẩn - dữ liệu rời rạc nhóm . 
-Độ lệch chuẩn của tập các dữ liệu rời rạc nhóm được tính theo bảng dưới đây


1. Phân nhóm dữ liệu ,
2. Nhập tần số nhóm và tính tổng tần số .
3. Lấy tần số nhân với dữ liệu và tính tổng .
4. Tính giá trị trung bình $\mu$ .
5. Tính độ lệch và bình phương độ lệch .
6. Lấy tần số nhân với bình phương độ lệch và tính tổng .
7. Tính trung bình các bình phương độ lệch (phương sai) .
8. Rút căn bậc 2 của trung bình các bình phương độ lệch .
Thay  $\sigma= \sqrt{\sum f_k|x_k-\mu|^2/\sum f_k}$
hay    $s= \sqrt{\sum f_k|x_k-\mu|^2/(\sum f_k-1)}$

Ví dụ 19 .  Điều tra về thời gian thực hành máy tính của 20 học sinh trường Lakeshire có số liệu về thời gian theo bảng sau
(đơn vị : giờ / tuần)
2 giờ :  3 người
4 giờ :  9 người
6 giờ :  5 người
8 giờ :  2 người
10 giờ :1 người
Tìm độ lệch chuẩn thời gian thực hành máy tính của 20 học sinh này ?



1. Phân nhóm dữ liệu ,
2. Nhập tần số nhóm và tính tổng tần số .
2 giờ :  3 người => f1=3 , x1=2
4 giờ :  9 người => f2=9 , x2=4
6 giờ :  5 người => f3=5 , x3=6
8 giờ :  2 người => f4=2 , x4=8
10 giờ :1 người => f5=1 , x5=10
Tổng tần số = 20
 3. Lấy tần số nhân với dữ liệu và tính tổng .
f1x1=6
f2x2=36
f3x3=30
f4x4=16
f5x5=10
Tổng=98
4. Tính giá trị trung bình $\mu$ .
Giá trị trung bình  $\mu$ = 98/20=4.9
5. Tính độ lệch và bình phương độ lệch .
|2-4.9|^2=2.9^2=8.41
|4-4.9|^2=0.9^2=0.81
|6-4.9|^2=1.1^2=1.21
|8-4.9|^2=3.1^2=9.61
|10-4.9|^2=5.1^2=26.01
6. Lấy tần số nhân với bình phương độ lệch và tính tổng .
3x8.41=25.23
9x0.81=7.29
5x1.21=6.05
2x9.61=19.22
1x26.01=26.01
25.23+7.29+6.05+19.22+26.01=83.80
7. Tính trung bình các bình phương độ lệch (phương sai) .
83.80/20=4.19  (tổng thể)
83.80/19=4.4105   (mẫu)
8. Rút căn bậc 2 của trung bình các bình phương độ lệch .
$\sigma=2.0469$   (tổng thể)
$s=2.1001$   (mẫu)

*Truy cập    http://www.meta-calculator.com/online/?panel-401-basic-stats-input
Nhập dữ liệu vào Grouped Data như hình sau


Click Calculate Statistics


Thu được
$s=2.1001$   (mẫu)

*Truy cập  http://www.mathsisfun.com/data/standard-deviation-calculator.html
Nhập dữ liệu  2,2,2,4,4,4,4,4,4,4,4,4,6,6,6,6,6,8,8,10


Thu được
$s=2.1001$   (mẫu)
$\sigma=2.0469$   (tổng thể)

c. Độ lệch chuẩn - dữ liệu nhóm . 
-Độ lệch chuẩn của tập các dữ liệu (liên tục) nhóm được tính theo bảng dưới đây

1. Phân nhóm dữ liệu ,
2. Nhập tần số nhóm và tính tổng tần số .
3. Tìm điểm giữa nhóm .
4. Lấy tần số nhân với điểm giữa và tính tổng .
5. Tính giá trị trung bình $\mu$ .
6. Tính độ lệch và bình phương độ lệch .
7. Lấy tần số nhân với bình phương độ lệch và tính tổng .
8. Tính trung bình các bình phương độ lệch (phương sai) .
9. Rút căn bậc 2 của trung bình các bình phương độ lệch .
Thay  $\sigma= \sqrt{\sum f_k|x_k-\mu|^2/\sum f_k}$
hay    $s= \sqrt{\sum f_k|x_k-\mu|^2/(\sum f_k-1)}$


Ví dụ 20 .  Khảo sát chiều dài trái dưa leo qua lấy mẫu 4 đợt thu hoạch ta có số liệu sau
(đơn vị : cm / trái)

Tìm độ lệch chuẩn của mẫu khảo sát ?

11.15,14.05,16.00,17.25,19.15,20.20,21.30,22.15,22.25,24.10,
25.30,24.15,28.40,27.25,26.30,25.55,26.45,26.50,27.55,25.40,
28.60,29.05,30.15,28.35,26.15,28.20,30.10,27.50,31.25,33.15,
32.20,35.45,34.10,33.45,36.35,38.60,37.25,40.00,41.10,44.00


1. Phân nhóm dữ liệu ,
2. Nhập tần số nhóm và tính tổng tần số . 3. Tìm điểm giữa nhóm .
11.00-17.80  : 4 lần =>    f1=4    ,   c1=14.40
17.80-24.60  : 7 lần =>    f2=7    ,   c2=21.20
24.60-31.40  : 18 lần=>  f3=18   ,   c3=28.00
31.40-38.20   : 7 lần=>    f4=7    ,   c4=34.80
38.20-45.00   : 4 lần=>    f5=4    ,   c5=41.60
Tổng tần số = 40
4. Lấy tần số nhân với điểm giữa và tính tổng .
f1c1=4x14.40=57.60
f2c2=7x21.20=148.40
f3c3=18x28.00=504.00
f4c4=7x34.80=243.60
f5c5=4x41.60=166.40
Tổng= 1120.00
5. Tính giá trị trung bình $\mu$ .
Giá trị trung bình  $\mu$ =1120.00/40=28
6. Tính độ lệch và bình phương độ lệch .
|14.40-28|^2=184.96 
|21.20-28|^2=46.24
|28.00-28|^2=0
|34.80-28|^2=46.24
|41.60-28|^2=184.96
7. Lấy tần số nhân với bình phương độ lệch và tính tổng .
4x184.96=739.84
7x46.24=323.68
18x0=0
7x46.24=323.68
4x184.96=739.84
Tổng=2127.04
8. Tính trung bình các bình phương độ lệch (phương sai) .
2127.04/39=54.5395
9. Rút căn bậc 2 của trung bình các bình phương độ lệch .
$s=7.3851$

*Truy cập  http://www.meta-calculator.com/online/?panel-402-basic-stats-output
Nhập dữ liệu vào Frequency Distribution như hình sau


Click Calculate Statistics


Thu được
$s=7.3851$ 

Dùng phần mềm ESBSTATS kiểm tra kết quả




 Thu được
$s=7.3851$ 
$\sigma =7.2922$





Trần hồng Cơ
Ngày 08/01/2016




------------------------------------------------------------------------------------------- -

Bậc thềm tiến vào thánh đường của trí tuệ là biết sự ngu dốt của chính mình. 

The doorstep to the temple of wisdom is a knowledge of our own ignorance. 

Benjamin Franklin

*******

Blog Toán Cơ trích đăng các thông tin khoa học tự nhiên của tác giả và nhiều nguồn tham khảo trên Internet .
Blog cũng là nơi chia sẻ các suy nghĩ , ý tưởng về nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau .


Chia xẻ

Bài viết được xem nhiều trong tuần

CÁC BÀI VIẾT MỚI VỀ CHỦ ĐỀ TOÁN HỌC

Danh sách Blog

Thông tin hàng ngày.

Giới thiệu bản thân

Ảnh của Tôi


Các chuyên đề ứng dụng .

1. Phương trình vi phân  
2. Toán đơn giản - College Algebra 
3. Toán thực hành - Practical Mathematics 
4. Vật lý tổng quan ( đang viết )
5. Phương trình tích phân 
( đang chuẩn bị ) 

Gặp Cơ tại Researchgate.net

Co Tran