Dưới đây là phương trình và tên gọi của một số đường cong thường xuất hiện trong vật lý , thiên văn và các ngành kỹ thuật khác . Cùng với công thức biểu diễn của các họ đường cong này là những chú thích lịch sử và giai thoại rất thú vị .
* Nguồn : http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Curves/Curves.html
* Cơ sở dữ liệu lưu trữ : http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/
Biên tập và trích dịch :
Trần hồng Cơ
10/09/2012 .
Bài viết này gồm 3 phần .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
43 . Đường viền Sluze .
Phương trình trong hệ tọa độ Descartes
Đường cong với phương trình nêu trên, trong đó n, p, m và n là các số nguyên, đã được nghiên cứu bởi de Sluze khoảng từ 1657 và 1698.
Đường viền Sluze là tên đã được Blaise Pascal đặt cho những đường cong này .
Các đường cong cụ thể ở trên có
n = 4, k = 2, a = 4, p = 3, m = 2.
 |
René François Walter de Sluze1622 - 1685 |
René de Sluze được rửa tội ngày 07 tháng 7 năm 1622, khi mới được năm ngày tuổi. Tên của ông xuất hiện theo nhiều cách viết hình thức khác nhau , đây là tính phổ biến vào thời đại mà ông sống. Có lẽ tên tiếng Pháp phổ biến nhất của tên ông là 'Sluse', nhưng phiên bản Latin 'Slusius' lại là một danh xưng luôn được sử dụng trong văn bản và thư tín khoa học quốc tế của ông .
De Sluze nghiên cứu dân luật và giáo luật tại Đại học Louvain từ mùa thu năm 1638 đến mùa hè năm 1642 và nhận bằng tiến sĩ luật trong tháng 10 năm 1643 .
Ông bắt đầu sự nghiệp nghiên cứu các đối tượng bao gồm nhiều ngôn ngữ như tiếng Hy Lạp, tiếng Do Thái, tiếng Ả Rập và tiếng Syria , cũng như toán học và thiên văn học tại Đại học Sapienza .
De Sluze đã đọc được nhiều phát hiện toán học mới nhất thông qua việc nghiên cứu các tác phẩm của nhà toán học Ý Bonaventura Cavalieri và Evangelista Torricelli.
Ngày 14 tháng 3 năm 1658 , De Sluze viết thư cho Christiaan Huygens thông báo về việc tích phân các đường cissoid . Một vài tuần sau khi de Sluze đã xác định thể tích tròn xoay của cissoid, Huygens tìm ra cách cầu phương cho đường cong này .
Huygens đã công bố kết quả cho de Sluze ngày 5 tháng 4 năm 1658 và tiếp theo ngày 28 tháng 5 năm 1658, ông đã gửi kết quả chứng minh công thức .
Họ các đường cong y^n = k (a - x)^ p. x^m với các số mũ nguyên dương, được gọi là " đường viền Sluze ". Ông đã thảo luận những đường cong cũng như bài toán thể tích tròn xoay được tạo ra bằng cách quay cissoid quanh tiệm cận của nó trong tác phẩm Miscellanie .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
44 . Đường bậc 4 hình lê .
Đường cong này đã được nghiên cứu bởi G de Longchamps năm 1886.
G de Longchamps cũng nghiên cứu một số đường cong khác mang tên ông.
Gaston Albert Gohierre de Longchamps (1842-1906) là một nhà toán học Pháp , sinh ngày 01 tháng 3 1842, Alençon. Ông học tại École Normale Supérieure đầu năm 1863, và khởi nghiệp là giáo viên vào năm 1866. Ông nghỉ hưu từ Lycée Saint-Louis, là nơi giảng dạy cuối cùng của ông vào năm 1897, và qua đời tại Paris vào ngày 09 tháng bảy 1906 .
De Longchamps cũng là thành viên của nhiều tổ chức khoa học , xã hội quốc tế , năm ông 1892 nhận tước Hiệp sĩ và được trao Bắc đẩu bội tinh. Ông là biên tập viên của tạp chí Journal de mathématiques élémentaires và một tạp chí khác có liên quan là Journal de mathématiques spéciales, sau đó De Longchamps quản lý cả hai tạp chí trên giao từ người sáng lập J. Bourget sau khi ông này mất năm 1887 .
Đọc tiếp ...
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
45 . Đường cong Plateau .
Đường cong này được nghiên cứu bởi nhà vật lí kiêm toán học gia người Bỉ Joseph Plateau.
Nếu m = 2n đường cong Plateau trở thành một đường tròn, có tâm I (1, 0) và bán kính 2.
Các đường cong cụ thể ở trên có thông số m = 5, n = 3.
 |
| Joseph Antoine Ferdinand Plateau 1801 - 1883 |
Joseph Plateau đã nhận được nhiều danh hiệu cao quý . Ông được bầu là thành viên của Viện Hàn lâm Khoa học Hoàng gia Bỉ (Académie Royale des Sciences, des Lettres et des Beaux Arts) vào ngày 15 Tháng 4 năm 1834 và được bầu là thành viên chính thức vào ngày 15 Tháng 12 năm 1836. Ông đã được trao giải thưởng về toán và vật lý hai lần, lần đầu tiên vào năm 1854 cho công trình nghiên cứu trong giai đoạn 1849-1853, sau đó lần thứ hai vào năm 1869 trong giai đoạn 1864-1868. Ngày 13 Tháng 12 năm 1841, ông được phong tước Knight of Order of Leopold về những đóng góp hữu ích cho khoa học .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
46 . Đường cong đuổi - Bouguer .
Nếu điểm A di chuyển dọc theo một đường cong cho trước thì điểm P mô tả một đường cong đuổi nếu P luôn hướng về phía A và hai điểm A và P cùng di chuyển với vận tốc đều . Nhà khoa học Pháp Pierre Bouguer đã xem xét hệ chuyển động này trong trường hợp tổng quát năm 1732 .
Trường hợp đặc biệt , khi A di động trên một đường thẳng đã được nghiên cứu bởi Arthur Bernhart.
Pierre Bouguer là một nhà khoa học Pháp , người đầu tiên cố gắng đo tỷ trọng của Trái đất bằng cách sử dụng độ lệch của một dây dọi căn cứ theo sự hấp dẫn của một ngọn núi. Ông đã thực hiện đo đạc ở Peru năm 1740. Một ứng dụng thành công của phương pháp này là của nhà thiên văn học Maskelyne , đã quy định tỷ trọng trái đất từ 4,5 đến 5.
Cha của Pierre Bouguer , Jean Bouguer, là Giáo sư Hoàng gia thủy văn. Jean Bouguer dạy Pierre cậu con trai của mình cả toán học và thuỷ văn, và Pierre hóa ra lại là một học sinh xuất sắc. Piere đã có một sự hiểu biết rất sâu sắc về toán học , khoa học và là một thần đồng thực sự ở tuổi mười lăm .
Sau đó, một điều đáng chú ý đã xảy ra. Jean Boutroux chết khi Pierre mới mười lăm tuổi và do đó, vị trí Giáo sư Hoàng gia thủy văn bị bỏ trống. Pierre được bổ nhiệm vào chức vụ giáo sư của cha mình và ông trở thành nhân vật đáng chú ý, vừa thông minh vừa học cao hiểu rộng . Năm 1727, Pierre Bouguer đã giành được giải Grand Prix của Viện khoa học Hoàng gia (Académie Royale des Sciences) về công trình nghiên cứu cột buồm .Hai năm sau ông lại giành giải thưởng lớn, với một tiểu luận về quan sát độ cao của các ngôi sao trên biển . Sau đó, 1731, ông đã giành giải ba Grand Prix của Académie Royale des Sciences cho công trình nghiên cứu về độ từ thiên ( magnetic declination ) trên biển .
Académie Royale des Sciences tiếp tục vinh danh Piere Bouguer khi ông được bầu là phó viện sĩ toán học năm 1731 và sau đó, vào năm 1735, ông được bầu làm viện sĩ chính thức . Năm 1732, Bouguer nghiên cứu các đường cong đuổi và viết một bài báo về đề tài này . Tháng 4 năm 1735 Bouguer bắt đầu cuộc thám hiểm, do Académie Royale des Sciences tổ chức , đến Peru để đo chiều dài của kinh tuyến tại đường xích đạo.
Pierre Bouguer là một nhà khoa học Pháp , người đầu tiên cố gắng đo tỷ trọng của Trái đất bằng cách sử dụng độ lệch của một dây dọi căn cứ theo sự hấp dẫn của một ngọn núi. Ông đã thực hiện đo đạc ở Peru năm 1740. Cùng với La Condamine, ông thực hiện đo đạc ở Peru năm 1740 công bố kết quả của mình trong tác phẩm La Figure de la terre (1749) .
Một ứng dụng thành công của phương pháp này là của nhà thiên văn học Maskelyne sau đó vào năm 1774 , đã quy định tỷ trọng trái đất từ 4,5 đến 5 .
Bouguer đã viết một số bài về kỹ thuật thao diễn hải quân và khoa học hàng hải , về kỹ thuật thiết kế tàu, phát minh một công thức để tính toán bán kính metacentric (một biện pháp ổn định tàu).
.jpg) |
| Diagram of the metacentre by Pierre Bouguer |
Tuy nhiên, đóng góp xuất sắc nhất cho lĩnh vực khoa học mà ông coi là một sở thích trong nhiều năm là trắc quang và chính điều này đã vinh danh ông là "cha đẻ của ngành trắc quang học ( photometry )".
Bắt đầu từ năm 1721, ông đã thực hiện một số các phép đo đầu tiên của quang học thiên văn. Ông đã so sánh độ sáng của mặt trăng với độ sáng của một ngọn lửa nến tiêu chuẩn vào ngày 23 tháng 11, 1725.
Ông đã xuất bản cuốn " Essai d'optique sur la gradation de la lumière " năm 1729. Công trình này có chứa khám phá vĩ đại thứ hai của Bouguer liên quan đến ánh sáng, cụ thể là định luật Bouguer , thể hiện mối quan hệ giữa sự hấp thụ năng lượng bức xạ và môi trường hấp thụ .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
47 . Đường bốn đỉnh Hippias .
Đường cong Quadratrix được Hippias xứ Elis phát hiện năm 430 trước Công nguyên. Có lẽ ông đã sử dụng cho việc giải bài toán chia một góc làm 3 phần và bình phương vòng tròn. Đường cong này được sử dụng để phân chia một góc bất kỳ thành một số góc nhỏ bằng nhau.
Sau đó nó đã được Dinostratus nghiên cứu tiếp tục vào 350 trước Công nguyên .
 |
Born: about 460 BC in Elis, Peloponnese, Greece Died: about 400 BC |
Heath kể cho chúng ta một điều gì đó của nhân vật này khi ông đã viết trong " Chronology: 500BC to 1AD "
như sau :
" Hippias tuyên bố ... đã có lần đến các lễ hội Olympic với tất cả mọi thứ mà ông mặc trên mình, chiếc nhẫn và sandal , dầu thơm , quần áo, và dây nịt xứ Ba Tư loại đắt tiền; ông cũng đem theo những bài thơ, sử thi, bi kịch , và tất cả các bản văn xuôi. .. "
Về thành tích học tập của Hippias, Heath viết:
" Ông là một bậc thầy của khoa học tính toán, hình học, thiên văn học . Hippias cũng đã có một hệ thống trí nhớ tuyệt vời , để nếu ông đã từng nghe một chuỗi năm mươi tên thì có thể nhớ tất cả . "
Heath cũng đã viết rằng :
" Dường như là khoảng 420 trước Công nguyên , Hippias xứ Elis đã phát minh ra đường cong được gọi là quadratrix khi giải quyết bài toán chia 3 một góc bất kỳ . "
Pappus khi viết tác phẩm lớn của ông về hình học Synagoge năm 340 , là một bộ sưu tập các tác phẩm toán học trong tám cuốn sách , trong đó quyển IV chứa một mô tả về quadratrix của Hippias xứ Elis .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
48 . Đường cong Rhodonea .
Những đường cong này được đặt tên theo nhà toán học người Ý Guido Grandi giữa 1723 và 1728 , vì chúng trông giống như hoa hồng.
Khi k là một số nguyên thì sẽ có k hay 2k cánh hoa tùy thuộc vào k là lẻ hoặc chẵn . Nếu k là vô tỷ thì số lượng cánh hoa là vô hạn.
Quadrifolium ( đường cong 4 lá ) là những đường cong rhodonea với k = 2. Có phương trình cực r = a sin (2θ ) và dạng Descartes ( x^2 + y^2 )^ 3 = 4 a^2. x^2. y^2 .
Sinh năm 1671 , linh mục, nhà triết học, nhà toán học và kỹ sư Luigi Guido Grandi được sinh ra ở Cremona , nước Ý . Trong toán học, ông được biết đến với những nghiên cứu về các đường cong hoa hồng và chuỗi Grandi. Ông đã có một số đóng góp cho các công trình của Galileo Galilei và giới thiệu phép tính calculus đến Ý.
Luigi Guido Grandi là một thành viên của Camaldolites. Ông trở thành giáo sư triết học vào năm 1700 và là giáo sư toán học vào năm 1714 , cả hai vị trí này đều tại Đại học Pisa.
 |
| Luigi Guido Grandi 1671 - 1742 |
* Guido Grandi đầu tiên học tại trường đại học Dòng Tên ở Cremona. Ông trở thành một thành viên của Dòng tu Camaldolese vào năm 1687. Sau đó, năm 1693, ông chuyển đến tu viện của Dòng Camaldolese ở Rome.
Năm sau, Grandi đã trở thành một giáo viên triết học và thần học tại tu viện Camaldolese ở Florence. , Lúc trước ông ít quan tâm trong toán học nhưng đến thời gian này ông đã bắt đầu thay đổi hướng suy nghĩ . Tuy nhiên, ông tiếp tục giảng dạy triết học , được bổ nhiệm làm giáo sư tại Rome vào năm 1700, sau đó chuyển đến Pisa một lần nữa với vai trò giáo sư triết học. Sự kiện đến với toán học đầu tiên của Grandi là năm 1707 , khi ông trở thành nhà toán học của đại công tước xứ Tuscany, Cosimo III de 'Medici. Năm 1709, ông viếng thăm Anh quốc và thực sự gây ấn tượng cho các nhà khoa học Anh khi ông được bầu là Uỷ viên của Hội Hoàng gia . Năm 1714, Grandi được bổ nhiệm làm Giáo sư Toán học tại Đại học Pisa.
Grandi là tác giả của một số công trình về hình học, trong đó ông nghiên cứu sự tương tự của đường tròn và hyperbola đều. Ông cũng khảo sát các đường cong có độ cong đôi trên mặt cầu và cầu phương từng phần của một bề mặt hình cầu .
Vào năm 1701, Grandi thảo luận về đường tà hình nón - đường cong cắt đường sinh của một hình nón tròn xoay theo một góc không đổi. Ông cũng nghiên cứu các đường cong Phù thủy Agnesi năm 1703 . Trong thực tế , công trình quan trọng nhất của ông vào năm 1703 là giới thiệu phép tính của Leibniz ( Calculus ) vào Italy.
Năm 1728 Grandi xuất bản tác phẩm " Flores Geometrici " , một công trình mà trong đó ông đưa ra định nghĩa đường cong clelie. Ông đặt tên cho các đường cong theo tên nữ bá tước Clelia Borromeo và dành tặng cuốn sách của mình cho cô. Nếu kinh độ và dư vĩ độ của một điểm P trên một hình cầu được ký hiệu là θ và φ và nếu P di chuyển sao cho θ = φ m , với m là một hằng số, thì quỹ tích của P là một đường cong clelie . Grandi cũng được áp dụng thuật ngữ "clelies" cho các đường cong được xác định bởi các phương trình lượng giác liên quan đến hàm sin
a sin θ = b sin mφ
a sin θ = a - b sin mφ
Grandi cũng nghiên cứu hệ thống thuỷ lực và đã tham gia vào một số dự án , chẳng hạn như những hệ thống thủy lợi Chiana Valley và Pontine Marshes . Ông cũng công bố một số công trình về cơ học và thiên văn học. Những đề tài thực hành của ông về cơ học bao gồm các thí nghiệm về động cơ hơi nước.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
49 . Đường strophoid vuông .
Đường strophoid đầu tiên xuất hiện trong công trình của Isaac Barrow vào năm 1670.
 |
| Isaac Barrow 1630 - 1677 |
Tên gọi strophoid vuông này được đề xuất bởi Montucci vào năm 1846. Các strophoid tổng quát có phương trình
r = a sin ( x - 2θ ) / sin ( x - θ ) .
Các trường hợp đặc biệt của một strophoid vuông khi x= π / 2 và phương trình trong hệ cartesians và tọa độ cực , đã được đưa ra như trên.
 |
| Gilles Personne de Roberval 1602 - 1675 |
Gọi (C) là đường tròn có tâm tại điểm nơi strophoid vuông đi qua trục x , và bán kính là khoảng cách từ điểm đó đến gốc tọa độ . Khi đó strophoid là bất biến đối với phép đảo ngược trong đường tròn (C) . Do đó có thể xem strophoid là một đường cong anallagmatic.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
50 . Đường uốn khúc serpentine .
Đường cong uốn khúc serpentine đã được de L'Hôpital và Huygens nghiên cứu trước đó vào năm 1692.
Tuy nhiên nó được đặt tên và nghiên cứu chính thức bởi Newton vào năm 1701.
Đường cong này thuộc lớp phân loại các đường bậc 3 được viết trong cuốn Curves ( Các đường cong ) của Sir Isaac Newton trong Tuyển tập Lexicon Technicum ( Tự điển kỹ thuật ) , Nhà xuất bản John Harris in tại London năm 1710.
Newton chỉ ra rằng các đường cong f (x, y) = 0, trong đó f (x, y) là hàm bậc 3 , có thể được chia thành một trong bốn dạng chuẩn . Dạng đầu tiên trong số này là phương trình có dạng
Đây là trường hợp khó khăn nhất trong việc phân loại , serpentine chỉ là một trong những trường hợp nhỏ thuộc phân lớp đầu tiên.
| Guillaume de l'Hôpital | |
|---|---|
 | |
| Sinh | 1661 Paris, France |
| Mất | 2 February 1704 (≈ aged 43) Paris, France |
| Quốc tịch | French |
| Lĩnh vực | Mathematician |
| Viện nghiên cứu | French academy of sciences |
| Cố vấn khoa học | Johann Bernoulli |
| Chuyên ngành | Infinitesimal calculus Differential geometry of curves |
Guillaume François Antoine, Marquis de l'Hôpital Phát âm tiếng Pháp: [maʁki ðə lopital ( sinh 1661, Paris - mất , 02 tháng 2 năm 1704, Paris) là một nhà toán học Pháp. Tên của ông gắn liền với quy tắc l'Hôpital's để tính giới hạn liên quan đến các dạng vô định 0/0 và ∞ / ∞.
| Christiaan Huygens | |
|---|---|
Christiaan Huygens
| |
| Sinh | 14 tháng 4, 1629 Den Haag, Hà Lan |
| Mất | 8 tháng 7, 1695 (66 tuổi) Den Haag, Hà Lan |
| Nơi cư ngụ |  Hà Lan,  Pháp |
| Dân tộc | Hà Lan |
| Nghiên cứu | Vật lý và Toán học |
| Nơi công tác | Hội Hoàng gia Luân Đôn Viện Hàn lâm Khoa học Pháp |
| Học trường | Đại học Leiden Đại học Orange |
| Lĩnh vực nghiên cứu | Đồng hồ quả lắc Nguyên lý Huygens-Fresnel |
Christiaan Huygens (IPA: [ˈhœyɣəns]) (sinh 14 tháng 4 năm 1629 – mất 8 tháng 7 năm 1695) là một nhà toán học, thiên văn học và vật lý học người Hà Lan. Ông được coi là một trong những nhà khoa học tiên phong của Cách mạng Khoa học với những nghiên cứu mang tính đột phá trong các lĩnh vực Toán học, Vật lý và Thiên văn học. Huygens còn là một nhà phát minh lớn đặc biệt với các sáng chế về đồng hồ.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
51 . Đường xoắn ốc sin .
Đường xoắn ốc hình sin có thể chứa số p hữu tỷ bất kỳ trong công thức trên. Nhiều đường cong chuẩn xảy ra như đường xoắn ốc hình sin.
Nếu p = -1, ta có phương trình đường thẳng .
Nếu p = 1 ta có phương trình đường tròn.
Nếu p = 1/2 ta có phương trình cardioid.
Nếu p = -1 / 2 ta có phương trình parabola .
Nếu p = -2 ta có phương trình hyperbola.
Nếu p = 2, ta có phương trình lemniscate của Bernoulli.
Đường xoắn ốc hình sin lần đầu tiên được nghiên cứu bởi Maclaurin.
Các đường xoắn ốc sin : r^p = a^p cos ( pθ )
đảo ngược thành : r^p = a^p / cos ( pθ )
nếu tâm của phép nghịch đảo tại điểm cực.
| Colin Maclaurin | |
|---|---|
 Colin Maclaurin (1698–1746) | |
| Sinh | February, 1698 Kilmodan, Cowal, Argyll,Scotland |
| Mất | 14 June 1746 Edinburgh, Scotland |
| Nguyên quán | Scotland |
| Công dân | United Kingdom |
| Quốc tịch | Scottish |
| Lĩnh vực | Mathematician |
| Viện nghiên cứu | University of Aberdeen University of Edinburgh |
| University of Glasgow | |
| Cố vấn khoa học | Robert Simson |
| Sinh viên xuất sắc | Robert Adam |
| Đóng góp | Euler–Maclaurin formula Maclaurin's inequality Maclaurin series Integral test for convergence |
| Giải thưởng | Académie des Sciences, Grand Prize |
Colin Maclaurin (tháng 2 năm 1698 - ngày 14 tháng 6 1746) là một nhà toán học người Scotland đã có những đóng góp quan trọng vào hình học và đại số. Chuỗi Maclaurin, một trường hợp đặc biệt của chuỗi Taylor, đã được mang tên ông. Maclaurin sử dụng chuỗi Taylor để đặc trưng hóa cực đại, cực tiểu và các điểm uốn cho các hàm khả vi vô hạn trong tác phẩm " Treatise of Fluxions " của ông .
Maclaurin cũng đã có những đóng góp đáng kể về sức hấp dẫn của ellipsoids, một chủ đề đã từng thu hút sự chú ý của d'Alembert, A.-C. Clairaut, Euler, Laplace, Legendre, Poisson và Gauss. Maclaurin chỉ ra rằng hình spheroid dẹt là một trạng thái cân bằng khả dĩ trong lý thuyết hấp dẫn của Newton.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
52 . Đường xoắn Archimedes .
Đường xoắn ốc này được nghiên cứu bởi Archimedes trong khoảng 225 trước Công nguyên trong một tác phẩm " Về các đường xoắn ốc " . Nó cũng đã được nghiên cứu bởi Conon người bạn của ông .
Archimedes có thể đã tìm ra chiều dài của tiếp tuyến khác nhau của đường xoắn ốc. Nó có thể được sử dụng để chia góc làm 3 phần bằng nhau và bình phương đường tròn.
Đường cong có thể được sử dụng như là một cam biến đổi chuyển động góc đều thành chuyển động tuyến tính đều .
Lấy cực như là tâm của phép nghịch đảo , đường xoắn ốc Archimedes r = aθ biến đổi thành đường xoắn ốc hyperbolic r = a / θ .
 |
287 BC - 212 BC |
Archimedes là nhà toán học nổi tiếng nhất của thời cổ đại . Đóng góp của ông trong hình học đã cách mạng hóa đối tượng và phương pháp tư duy của ông dự đoán phép tính tích phân trước Newton và Leibniz đến 2.000 năm . Ông cũng là một con người hoàn toàn thực tế, người phát minh ra một loạt các máy bao gồm các ròng rọc và vít cũng như thiết bị bơm Archimidean.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
53 . Đường tiết diện xoắn .
Sau khi Menaechmus xây dựng tiết diện conic bằng cách cắt một hình nón bởi một mặt phẳng , 200 năm sau đó - khoảng 150 trước Công nguyên - , nhà toán học Hy Lạp Perseus tiếp tục nghiên cứu các đường cong thu được bằng cách cắt một hình xuyến bởi một mặt phẳng song song với đường thẳng đi qua các tâm của lỗ xuyến. Các đường này có tên là đường tiết diện xoắn - spiric sections .
Nguồn : http://mathworld.wolfram.com/SpiricSection.html
Trong công thức của đường cong được đưa ra trên đây , hình xuyến được hình thành từ một đường tròn bán kính là a có tâm quay theo một đường tròn bán kính r . Giá trị của c cho ta khoảng cách của mặt phẳng cắt tính từ tâm của hình xuyến.
Khi c = 0 đường cong gồm hai đường tròn có bán kính là a , có tâm tại I(r, 0) và J(-r, 0).
Nếu c = r + a , đường cong gồm một điểm, thường gọi là gốc, trong khi nếu c > r + a , thì không có một điểm nào nằm trên đường cong.
 |
| Menaechmus 380 BC - 320 BC- là gia sư cho Alexander Đại đế |
Menaechmus, (sinh 380 BC , tại Alopeconnesus, Tiểu Á tại Thổ Nhĩ Kỳ- mất 320 BC ,. Cyzicus ( hiện nay là Kapidaği Yarimadasi, Thổ Nhĩ Kỳ), nhà toán học Hy Lạp và người bạn của Plato là người đã phát hiện ra tiết diện hình nón và mặt phẳng .
Menaechmus được cho là đã từng làm gia sư của Alexander Đại đế, niềm tin này bắt nguồn từ giai thoại sau đây : Một lần, khi Alexander hỏi
Menaechmus cho một tóm tắt về phương pháp học tập và nghiên cứu về hình học, ông trả lời: "Tâu bệ hạ, để đi du lịch trên toàn quốc, có đường bộ dành cho hoàng gia và cũng có những con đường cho thứ dân , nhưng trong hình học chỉ có một con đường dành cho tất cả "(Beckmann 1989, trang 34.). Tuy nhiên, giai thoại này lần đầu tiên cũng được cho là của Stobaeus AD 500 ~, vì vậy việc Menaechmus có thực sự dạy Alexander là điều không chắc chắn.
Việc cho rằng Menaechmus phát hiện ra rằng hình elip, parabola , và hyperbola là các tiết diện của một hình nón và một mặt phẳng cho trước có nguồn gốc từ một đoạn thơ của Eratosthenes xứ Cyrene (c. 276-194 bc) trong đó đề cập việc cắt hình nón "theo bộ ba của Menaechmus." Eutocius xứ Ascalon ( ad 520) đã thuật lại hai trong số các lời giải của Menaechmus cho bài toán dựng một khối lập phương với thể tích gấp đôi một khối lập phương khác có cạnh bằng a . Lời giải của Menaechmus sử dụng tính chất của parabol và hyperbola để tạo ra những đoạn thẳng x và y thỏa mãn tỷ lệ thức sau : a: x = x: y = y: 2a
Có một văn bản của Plutarch thuật lại rằng Plato đã không chấp thuận phương pháp giải quyết bài toán gấp đôi khối lập phương của Menaechmus bằng việc sử dụng các thiết bị cơ học ; việc chứng minh cho bài toán này hiện nay đang được biết đến là phương pháp thuần đại số.
Menaechmus mất năm 320 BC . Nơi ông qua đời chính xác ở đâu cũng là điều không chắc chắn , mặc dù nhiều học giả hiện đại cho rằng ông cuối cùng đã mất tại Cyzicus.
 |
Perseus
Sinh : TK 2 TCN
|
Perseus (c. 150 trước Công nguyên) là nhà hình học Hy Lạp cổ đại, người phát minh ra khái niệm về tiết diện xoắn spiric sections , tương tự tiết diện conic đã được Apollonius xứ Perga nghiên cứu .
Các chi tiết về cuộc đời của Perseus rất ít được biết đến, chỉ được đề cập qua loa từ Proclus và Geminus và những công trình nghiên cứu của ông thì hầu như bị mai một .
Đường tiết diện xoắn Spiric sections là một trường hợp đặc biệt của một tiết diện toric, và là một trong các tiết diện toric đầu tiên được mô tả.
Spiric sections nổi tiếng nhất là hình bầu dục Cassini, đó là quỹ tích của các điểm có tích 2 khoảng cách từ điểm đó đến hai tiêu điểm là một hằng số .
Để so sánh , một hình elip có tổng 2 khoảng cách từ điểm đó đến hai tiêu điểm là một hằng số , hyperbola có hiệu 2 khoảng cách từ điểm đó đến hai tiêu điểm là một hằng số ; và đường tròn có một tỉ lệ không đổi giữa 2 khoảng cách tiêu điểm .
Bằng định nghĩa tâm sai , ta có
* Tâm sai của đường tròn là không e = 0 .
* Tâm sai của elip - lớn hơn không nhưng nhỏ hơn 1 ; 0 < e < 1
* Tâm sai của parabola là 1 ; e = 1
* Tâm sai của hyperbola lớn hơn 1 ; e > 1
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
54 . Đường cong Talbot .
Cha của Henry là William Talbot Davenport và mẹ của ông là Elisabeth Theresa Fox-Strangways. Davenport Talbot quản lý của Tu viện Lacock ở Wiltshire nơi đã thuộc sở hữu của gia đình Talbot từ những năm 1500 . Cha của ông , Davenport Talbot mất khi ông chỉ có năm tháng tuổi để lại người góa phụ trẻ Elisabeth trong một hoàn cảnh khó khăn về kinh tế . Tabot vào học trường nội trú Rottingdean khi ông được tám tuổi , chính tại đây Henry Talbot đã gặp nhà thiên văn học William Herschel .
Năm 1810, Henry đến trường trung học Harrow , nơi ông vẫn ở cho đến 1815 và sau đó chuẩn bị vào bậc đại học . Khi còn là một cậu bé, Henry Talbot đã thể hiện sự tò mò về thế giới tự nhiên , đặc biệt là trong toán học, ngôn ngữ, chính trị, thực vật học, quang học, và thiên văn học.
Talbot đã được đào tạo tại Trinity College, Cambridge, năm 1817 ; ở đó ông đã từng giành được giải thưởng về thi ca Hy Lạp, và tốt nghiệp danh dự về bộ môn toán học năm 1821 .
Sau đó Henry Talbot được bầu là Uỷ viên của Hội Thiên văn Hoàng gia mới được thành lập vào năm 1822. Trong lĩnh vực nghiên cứu toán học , ông rất cần mẫn nhưng sở thích chính là du lịch , đặc biệt rất ưa thích phong cảnh đất nước Ý .
Talbot có các bài báo về tích phân elliptic, dựa trên công trình nghiên cứu của Euler, Legendre, Jacobi và Abel. Trước khi gặp John Herschel tại Munich vào năm 1824 (con trai của nhà thiên văn học William Herschel ) ông đã công bố sáu bài báo toán học, và cả hai người đều có nhiều quan điểm khoa học tương đồng , ví dụ như cả hai đều là các nhà toán học và cùng là nghiên cứu sinh Hội Thiên văn Hoàng gia. Họ nhanh chóng trở thành bạn , chẳng bao lâu sau sở thích của Talbot chuyển hướng sang nghiên cứu ánh sáng . Vào thời điểm này David Brewster, nhà vật lý Scotland, cũng đã từng tiến hành các thí nghiệm quang học và ông đã cùng với Talbot công bố một số bài báo về lĩnh vực này . Talbot đã được bầu là Uỷ viên của Hội Hoàng gia vào năm 1831 vì công trình toán học của mình. Ngoài ra Talbot cũng công bố nhiều kết quả nghiên cứu khoa học về thiên văn và vật lý,
 |
William Henry Fox TalbotSinh : 11 tháng 2 , 1800 Melbury Sampford, Dorset, EnglandMất : 17 tháng 9 , 1877 tại Lacock Abbey (Chippenham), Wiltshire, England |
** Dạng tham số của đường cong Talbot .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
55 . Đường cong Tractrix .
Tractrix đôi khi được gọi là một đường cong tractory hoặc đường cong đo đẳng tiếp (equitangential ) . Huygens lần đầu tiên nghiên cứu và đặt tên cho đường cong này vào năm 1692 . Sau đó, Leibniz, Johann Bernoulli và những người khác đã tiếp tục khảo sát các tính chất đường cong.
Nghiên cứu về đường cong tractrix bắt đầu với các bài toán sau đây được Leibniz đặt ra .
Quỹ đạo của một vật được kéo dọc theo một mặt phẳng nằm ngang bởi một dây có độ dài cố định khi điểm cuối dây không nối với vật di chuyển dọc theo một đường thẳng trong mặt phẳng là gì?
Ông đã giải quyết điều này bằng cách sử dụng trục là một tiệm cận của tractrix.
Các đường pháp bao ngoài của một tractrix là một dây xích - catenary . Một trong số các thuộc tính của các tractrix là độ dài của một đường tiếp tuyến từ điểm tiếp xúc đến tiệm cận một là hằng số. Diện tích giới hạn bởi tractrix và tiệm cận của nó là hữu hạn.
Khi tractrix xoay quanh tiệm cận của nó ta thu được kết quả là một hình giả cầu -pseudosphere. Đây là một bề mặt có độ cong âm không đổi , và đã được Beltrami năm 1868 sử dụng trong việc hiện thực hóa cụ thể các khái niệm của ông về hình học phi Euclide.
| Gottfried Wilhelm Leibniz | |
|---|---|
Gottfried Wilhelm Leibniz
| |
| Sinh | 1 tháng 7 (21 tháng 6 ) năm1646 Leipzig,  Electorate of Saxony |
| Mất | 14 tháng 11 năm 1716 Hannover, Hannover |
| Dân tộc | Đức |
| Ngành | Nhà toán học và Triết gia tự nhiên |
| Học trường | Đại học Altdorf |
| Người hướng dẫn luận án tiến sĩ | Erhard Weigel |
| Các sinh viên nổi tiếng | Jacob Bernoulli |
| Công trình | Vi tích phân Giải tích Monad Theodicy Optimism |
| Ảnh hưởng bởi | Plato, Aristotle, Thomas Aquinas,Francisco Suárez, Réne Descartes,Baruch Spinoza, Ramon Llull |
| Ảnh hưởng tới | Nhiều nhà toán học, Christian Wolff,Immanuel Kant, Bertrand Russell,Martin Heidegger |
Chữ ký | |
Gottfried Wilhelm Leibniz (cũng là Leibnitz hay là von Leibniz (1 tháng 7 (21 tháng 6 ) năm 1646 – 14 tháng 11năm 1716) là một nhà bác học người Đức với các tác phẩm chủ yếu viết bằng tiếng Latin và tiếng Pháp.
Ông được giáo dục về luật và triết học, và phục vụ như là factotum cho hai gia đình quý tộc lớn người Đức, Leibniz đã đóng một vai trò quan trọng trong chính trị của châu Âu và các vấn đề ngoại giao trong thời đại của ông. Ông chiếm vị trí quan trọng ngang nhau trong cả lịch sử triết học và lịch sử toán học. Ông khám phá ra vi tích phân độc lập với Isaac Newton, và kí hiệu của ông được sử dụng rộng rãi từ đó. Ông cũng khám phá ra hệ thống số nhị phân, nền tảng của hầu hết các cấu trúc máy tính hiện đại. Trong triết học, ông được nhớ đến nhiều nhất với chủ nghĩa lạc quan, i.e., kết luận của ông là vũ trụ của chúng ta là, trong một nghĩa giới hạn, là một vũ trụ tốt nhất mà God có thể tạo ra. Ông, cùng với René Descartes và Baruch Spinoza, là một trong banhà lý luận (rationalist) nổi tiếng của thế kỉ 17, nhưng triết học của ông cũng nhìn ngược về truyền thống Scholastic và dự đoán trước logic hiện đại và triết học phân tích. Leibniz cũng có nhiều đóng góp lớn vào vật lý và kỹ thuật, và dự đoán những khái niệm sau này nổi lên trong sinh học, y học, địa chất, lý thuyết xác suất, tâm lý học, ngôn ngữ học và công nghệ thông tin. Ông cũng viết về chính trị, luật, đạo đức học, thần học, lịch sử và ngữ văn, đôi khi làm cả vài câu thơ. Đóng góp của ông trong nhiều lĩnh vực khác nhau xuất hiện rải rác trong các tạp chí và trong trên mười ngàn lá thư và những bản thảo chưa xuất bản. Nhiều bản thảo của ông được viết bằng tốc kí sử dụng sáng chế của riêng ông sử dụng số nhị phân để mã hóa các chuỗi kí tự. Cho đến nay, không có sưu tập đầy đủ về những tác phẩm và bản thảo của Leibniz, và do đó thống kê hết những thành tựu ông đạt được là không thể biết được.
Tóm tắt sự nghiệp của Leibniz:
1646-1666: những năm định hình
1666–74: Chủ yếu phục vụ cho Vương công-Tuyển hầu tước xứ Mainz, Johann Philipp von Schönborn, và quan Thượng thư của Phủ Chúa xứ Mainz là Nam tước von Boineburg.
1672–76. Sống ở Paris, có hai lần ghé tham quan trọng tới Luân Đôn.
1676–1716. Phục vụ cho Gia tộc Hannover.
1677–98. Đình thần, ban đầu cho John Frederick, Công tước xứ Brunswick-Lüneburg, sau đó là cho em trai của ông này, Công tước (sau đó là Tuyển hầu tước) Ernst August của Hannover.
1687–90. Du lịch rộng khắp Đức, Áo, và Ý, nghiên cứu cho một cuốn sách mà Tuyển hầu tước đã thuê ông viết về lịch sử của Gia tộc Brunswick.
1698–1716: Quan viên trong cung đình của Tuyển hầu tước Georg Ludwig của Hannover.
1712–14. Tại thành Viên. Được đề cử làm Cố vấn Triều đình năm 1713 bởi Charles VI, Hoàng đế Thánh chế La Mã, tại triều đình Hapsburg ở Viên.
1714–16: Georg Ludwig, khi trở thành George I của Anh, đã cấm Leibniz không cho theo ông tới Luân Đôn. Leibniz trải qua những ngày cuối đời không ai chú ý tới.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
56 . Đường cong Tricuspoid .
Tricuspoid hoặc deltoid lần đầu tiên được Euler nghiên cứu năm 1745 , liên hệ với bài toán quang học. Steiner cũng khảo sát đường cong này năm 1856 nên còn được gọi là Steiner hypocycloid.
Chiều dài của tiếp tuyến với các tricuspoid, được đo giữa hai điểm P, Q, là 2 giao điểm của tiếp tuyến và đường cong là không đổi và bằng 4a .
Chiều dài của đường cong là 16a và diện tích giới hạn là 2πa^2 .
Theo dạng tham số chỏm xảy ra tại t = 0, 2π / 3 và 4π / 3. Lưu ý sự giống nhau giữa các dạng tham số của tricuspoid và dạng tham số của cardioid.
Điểm tụ quang của tricuspoid, trong đó các tia song song và theo hướng bất kỳ , là một astroid.
| Leonhard Euler | |
|---|---|
Chân dung do Johann Georg Brucker vẽ
| |
| Sinh | 15 tháng 4, 1707 Basel, Thụy Sĩ |
| Mất | 18 tháng 9 [cũ 7 tháng 9]năm 1783 Sankt-Peterburg, Đế quốc Nga |
| Nơi cư trú | Vương quốc Phổ Đế quốc Nga Thụy Sĩ |
| Quốc tịch | Thụy Sĩ  |
| Ngành | Toán học, vật lý học |
| Học trường | Đại học Basel |
| Người hướng dẫn luận án tiến sĩ | Johann Bernoulli |
| Các sinh viên nổi tiếng | Johann Hennert Joseph Lagrange |
| Công trình | Số Euler, Đẳng thức Euler, Phương pháp Euler (sai phân) |
Chữ ký | |
Euler sinh và lớn lên tại Basel, và được xem là thần đồng toán học từ thưở nhỏ. Ông làm giáo sư toán tại Sankt-Peterburg, sau đó tại Berlin, rồi trở lại Sankt-Peterburg , là nhà toán học viết nhiều nhất: tất cả các tài liệu ông viết chứa đầy 75 tập , cũng là nhà toán học quan trọng nhất trong thế kỷ 18 và đã suy ra nhiều kết quả cho môn vi tích phân mới được thành lập. Euler bị mù hoàn toàn trong 17 năm cuối cuộc đời, nhưng khoảng thời gian đó là lúc ông cho ra hơn nửa số bài ông viết.
Tên của ông đã được đặt cho một miệng núi lửa trên Mặt Trăng và cho tiểu hành tinh 2002 Euler.
Các khám phá .
1. Euler cùng với Daniel Bernoulli hoàn thành định luật, ở đó phát biểu rằng lực xoắn trên một sợi dây thun mỏng tỉ lệ với độ đàn hồi của vật liệu và mô men quán tính của mặt cắt. Ông đồng thời cũng đưa ra phương trình Euler, một tập hợp các định luật chuyển động trong thủy động lực học, quan hệ trực tiếp với định luật chuyển động của Newton. Những phương trình này có dạng tương đương với các phương trình Navier-Stokes với độ nhớt bằng 0.
2. Euler còn có đóng góp to lớn cho thuyết phương trình vi phân. Cụ thể, ông được biết đến nhiều với việc sáng tạo ra một chuỗi các phương pháp tính xấp xỉ, được sử dụng nhiều trong tinh toán. Và phương pháp nổi tiếng nhất trong đó chính là phương pháp Euler.
3. Trong lý thuyết số ông đã sáng tạo ta hàm totient. Totient của một số nguyên dương n được định nghĩa là số các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n và nguyên tố cùng nhau với n. Ví dụ là 4 số 1, 3, 5, 7 đều là số nguyên tố nhỏ hơn 8.
4. Trong ngành giải tích, Euler đã tổng hợp hóa tích phân Leibniz với phương pháp tính Newton thành một dạng, gọi là vi phân. Năm 1735 ông hoàn thành cơ sở lý thuyết giải quyết bài toán Basel, vấn đề đã tồn tại trong một thời gian dài.
5. Một biểu thức nổi tiếng trong toán học, liên hệ giữa hàm mũ phức và hàm số lượng giác, hay còn gọi là đồng nhất thức Euler:
6. Năm 1735, ông tìm ra hằng số Euler-Mascheroni, được sử dụng rất nhiều trong các phương trình vi phân.
7. Ông là người cùng khám phá ra công thức Euler-Maclaurin, là một công cụ rất quan trọng trong việc tính toán các tích phân phức tạp, các tổng và chuỗi phức tạp .
8. Trong hình học và topo đại số có công thức Euler, liên hệ giữa các cạnh, đỉnh và mặt của một đa diện. Công thức tổng quát đó là: F - E + V = 2, ở đó F là số mặt, E là số cạnh và V là số đỉnh.
9. Năm 1736, Euler giải quyết bài toán nổi tiếng 7 chiếc cầu Königsberg, chính xác hơn, ông chứng minh bài toán không có đáp số. Kết quả được công bố trên bài báo nhan đềSolutio problematis ad geometriam situs pertinentis, và đó chính là ứng dụng sớm nhất của lý thuyết đồ thị hay của topology .
Tác phẩm .
Euler có khối lượng sách viết đồ sộ nhưng những cuốn sách nổi tiếng nhất của bao gồm:
*Elements of Algebra (Nhập môn Đại số học). Cuốn sách về đại số căn bản này bắt đầu bàn một lời bàn luận về bản chất các con số và một lời giới thiệu tổng quan về đại số, bao gồm các công thức dành cho cách giải phương trình đa thức.
*Introductio in analysin infinitorum (1748): Nhập môn về giải tích vô cùng bé.
*Hai cuốn sách có ảnh hưởng về vi tích phân: Institutiones calculi differentialis Phép tính vi phân (1755) và Institutiones calculi integralisPhép tính tích phân (1768–1770).
*Principia motus fluidorum (1761): Nguyên lý chuyển động của chất lưu; cuốn sách trình bày phương trình liên tục và phương trình Euler.
*Lettres à une Princesse d'Allemagne (Lá thư gửi một Quận chúa Đức) (1768–1772). Có trực tuyến (bằng tiếng Pháp). Bản dịch tiếng Anh, có ghi chú, và cuộc đời của Euler có trực tuyến tại Google Books: Tập 1, Tập 2
*Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti (1744). Tựa đề Latin dịch là Phương pháp tìm những đường cong có tính chất cực đại hoặc cực tiểu, hoặc lời giải cho bài toán đẳng cấu trong chừng mực chấp nhận rộng rãi nhất.
 |
Jakob Steiner
Sinh : 18 tháng 3 , 1796 - Utzenstorf, Switzerland ; Mất : 1 tháng 4 , 1863 - Bern, Switzerland |
Môi trường này đã có một tác động rất đáng kể về thái độ của Steiner trong việc giảng dạy toán học và triết lý của ông khi thực hiện nghiên cứu toán học .
Vào mùa thu năm 1818, Steiner rời Yverdom và đến Heidelberg . Ông đã tham dự các bài giảng tại các trường Đại học Heidelberg về giải tích tổ hợp, vi tích phân và đại số. Cũng vào thời gian này, ông đã bắt đầu quan tâm đến cơ học , đã viết ba bản thảo chưa được xuất bản về chủ đề này năm 1821, năm 1824 và 1825. Năm 1825, Steiner được bổ nhiệm làm trợ giảng tại Trường Kỹ thuật Berlin.
Vào năm 1832, Steiner xuất bản cuốn sách đầu tiên của ông " Systematische Entwicklung der Abhangigkeit geometrischer Gestalten voneinander " ( Hệ thống phát triển về sự phụ thuộc của các dạng hình học ) . Phần lớn tư liệu đã xuất hiện trong các bài báo của Steiner trong sáu năm trước đó. Lời nói đầu của cuốn sách này cung cấp cho một cái nhìn thú vị về cách tiếp cận của Steiner đối với toán học nói chung và tư liệu hình học của cuốn sách nói riêng .
Chẳng bao lâu sau Steiner đã được vinh danh vì những thành tích vượt trội của mình. Ông được trao bằng tiến sĩ danh dự của trường Đại học Königsberg vào ngày 20 tháng 4 năm 1833 theo đề nghị của Jacobi, sau đó được bầu vào Viện Hàn lâm Khoa học Phổ vào ngày 05 Tháng Sáu năm 1834.
Jakob Steiner được bổ nhiệm làm giáo sư về bộ môn hình học tại Đại học Berlin vào ngày 08 tháng 10 , 1834. Ông đến Rome vào năm 1844 và trong chuyến thăm này, ông đã dành thời gian nghiên cứu mặt bậc 4 thuộc lớp thứ ba - danh từ chuyên ngành hiện đại gọi là ' mặt Roman ' hoặc 'mặt Steiner'. Ông đã trải qua mùa đông 1854-55 tại Paris và trong thời gian đó ông được bầu vào Académie des Sciences ( Pháp ) .
Ông là một trong những người có đóng góp lớn nhất đối với bộ môn hình học xạ ảnh . Ông phát hiện ra 'mặt Steiner' ,- là bề mặt trong đó có một số vô hạn kép các tiết diện conic trên nó. Một kết quả nổi tiếng khác là "định lý Poncelet-Steiner" trong đó cho thấy rằng chỉ cần có một đường tròn và đường thẳng cho các cấu trúc hình học Euclide.
Mười năm cuối cùng của cuộc đời của Steiner đầy dẫy khó khăn bệnh tật. Căn bệnh về thận khiến ông phải mất nhiều thời gian điều trị ở Thụy Sĩ , ông chỉ đến Berlin vào các mùa đông để cung cấp các bài giảng của mình. Cuối cùng, vì bệnh quá nặng ông đã hoàn toàn nằm liệt giường và không thể thực hiện nhiệm vụ giảng dạy được nữa . Steiner không lập gia đình vì thế toàn bộ tài sản của ông đều dành cho khoa học và từ thiện . Một phần ba của tài sản này đã trao cho Viện Hàn lâm Berlin để thành lập giải thưởng Steiner. Phần còn lại được chia cho người thân của ông và các trường học ở quê hương Utzenstorf . Mong muốn cuối cùng của Jakob Steiner là trẻ em nghèo ở quê nhà có thể có được một cơ hội giáo dục tốt hơn so với bản thân ông đã có.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
57 . Đường hình xiên Newton .
Đường cong này đã được Newton và Descartes khảo sát. Đôi khi nó được gọi là 'Parabola Descartes' mặc dù nó không phải là một parabol. Đường hình xiên là tên gọi do Newton đề xuất trong công trình nghiên cứu các hàm bậc 3 Curves , tuyển tập Lexicon Technicum của Sir Isaac Newton , NXB John Harris xuất bản tại London năm 1710.
Newton là người đầu tiên đã thực hiện nghiên cứu hệ thống hóa các phương trình bậc ba và ông đã phân loại chúng thành 72 trường hợp khác nhau . Trong thực tế, ông đã bỏ qua sáu trường hợp trong hệ thống phân loại của mình. Đường hình xiên là dạng thứ 66 trong phân loại này và Newton cung cấp các đồ thị về cơ bản giống với đồ thị đưa ra ở trên.
Newton cũng nêu một số đặc tính của đường cong hình xiên . Ví dụ, ông nói rằng đường cong có bốn nhánh vô hạn mà trục y là một tiệm cận đứng .
Việc phân loại của các hàm bậc 3 của Newton đã bị Euler chỉ trích vì nó thiếu các nguyên tắc chung . Plücker sau đó đã đưa ra một phân loại chi tiết hơn với 219 loại.
 |
| Isaac Newton (1642 - 1727) |
Isaac Newton (1642 - 1727) - nhà vật lý, toán học nước Anh, người được thế giới tôn là "người sáng lập ra vật lý học cổ điển"
Năm 17 tuổi, ông vào học ở trường Đại học tổng hợp Cambridge. Thời gian còn là sinh viên, Newton đã tìm ra nhị thức trong toán học giải tích, được gọi là "nhị thức Newton ". Năm 19 tuổi , ông bắt đầu nghiên cứu rộng rãi về khoa học tự nhiên.
Năm 27 tuổi, Newton được cử làm giáo sư toán ở trường Đại học nơi ông học; năm 30 tuổi, ông được bầu làm hội viên Hội khoa học hoàng gia Anh (Viện hàn lâm) và 23 năm cuối đời, ông làm chủ tịch Hội khoa học hoàng gia Anh. Newton còn là hội viên danh dự của nhiều Hội khoa học và viện sĩ của nhiều Viện hàn lâm.
Thành tựu khoa học của ông trên nhiều lĩnh vực, phép tính vi tích phân ông sáng lập là một cột mốc trong lịch sử toán học; giải thích về các loại màu sắc của vật thể đã mở đường sáng lập khoa học quang phổ. Cống hiến lớn khiến tên tuổi Newton trở thành bất tử là " Ba định luật về chuyển động " đặt cơ sở lý luận cho lực học kinh điển, quan trọng nhất là "Nguyên lý vạn vật hấp dẫn". Đây là nguyên lý cơ sở cho những phát minh vật lý học, cơ học, thiên văn học trong nhiều thế kỷ.
Newton mất năm 84 tuổi. Ông được mai táng ở Đài kỷ niệm quốc gia Anh trong tu viện Westminster - nơi an nghỉ của các vua chúa và các bậc vĩ nhân của nước Anh .
 |
| Julius Plücker 1801 - 1868 |
Gia đình Julius Plücker có nguồn gốc từ các thương gia sống tại Aachen . Plücker học tại Gymnasium , Düsseldorf , sau khi tốt nghiệp, ông tiếp tục theo học tại một số trường đại học khác nhau. Ông lần đầu tiên tham dự Đại học Bonn, sau đó đến Heidelberg trước khi đi du học tại Berlin . J. Plücker đến Pháp vào năm 1823, nơi ông tham dự các khóa học về hình học tại Đại học Paris. Ông đã hoàn thành luận án tiến sĩ năm 1823 với Giáo sư cố vấn luận án là Christian Gerling tại Marburg. Ông đã gửi luận án Habil của mình đến Đại học Bonn vào năm 1824 và được bổ nhiệm làm trợ lý giáo sư , sau đó Julius Plücker được phong giáo sư tại Bonn vào năm 1828,
Tuy Plücker là một nhà hình học nhưng ông tin tưởng chắc chắn vào tầm quan trọng của các ứng dụng của toán học với khoa học vật lý. Năm 1847, ông đã chuyển sang vật lý tại đại học Bonn bắt đầu nghiên cứu về từ tính, điện tử và vật lý nguyên tử. Ông dự đoán trước cả Kirchhoff và Bunsen về các vạch phổ đặc trưng cho từng chất hóa học .
Tác phẩm lớn đầu tiên của ông là " Analytisch-geometrische Entwickelungen" đã được xuất bản thành hai tập , lần đầu tiên vào năm 1828 và ba năm sau in tiếp tập thứ hai .
Tác phẩm lớn tiếp theo của ông là " System der analytischen Géométrie, auf neue Betrachtungsweisen gegrundet, und insbesondere eine ausführliche Theorie der Kurven dritter Ordnung enthaltend " (1835) đề cập điểm và tọa độ đường thẳng áp dụng cho bài toán tiết diện conic . Phần chính của công trình này là thảo luận về đường cong bậc 3 trong mặt phẳng .
Vào năm 1868, Plücker xuất bản phần đầu tiên của " Neue Geometrie des Raumes, gegründet auf die Betrachtung der geraden Linie als Raumelement " nhưng ông mất trước khi phần thứ hai đã được hoàn tất. Klein là trợ lý của ông trước đó đã thảo luận những ý tưởng mà Plücker nhằm phát triển trong phần thứ hai này. Klein sau đó thực hiện kế hoạch như dự kiến của Plücker và phát hành tập thứ hai vào năm 1869.
Julius Plücker đã được tặng thưởng Huân chương Copley của Hội Hoàng gia vào năm 1866.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
58 . Đường hoa 3 cánh .
Folium có nghĩa là hình lá.
Có ba dạng đặc biệt của các folium, folium đơn , folium đôi và Trifolium. Những đường cong trên tương ứng với các trường hợp
b = 4a, b = 0, b = a
Đồ thị vẽ ở trên là Trifolium.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
59 . Đường phân ba góc Mac Laurin .
Đường cong này lần đầu tiên được Colin Maclaurin nghiên cứu vào năm 1742 . Giống như rất nhiều các đường cong khác nó đã được nghiên cứu để cung cấp lời giải cho một trong những bài toán Hy Lạp cổ đại, liên quan đến vấn đề của phân 3 ( trisecting ) một góc. Trisectrix là tên phát sinh kể từ khi nó có thể được sử dụng để chia một góc làm ba phần bằng nhau .
Các đường phân ba góc ( trisectrix ) Maclaurin là một đường cong anallagmatic.
Một dạng khác của phương trình là r = a .sec (θ / 3), trong đó gốc nằm trong vòng lặp và giao điểm trên trục x tiêu cực.
Các tiếp tuyến với đường cong tại gốc tạo thành những góc 60 ° với trục x.
Diện tích của vòng lặp là 3 √ 3a^2 và khoảng cách từ gốc đến điểm mà đường cong cắt trên trục x là 3a.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
60 . Đường bậc 3 Tschirnhaus
Đường cong này đã được Tschirnhaus, de L'Hôpital và Catalan nghiên cứu . Cũng như đường bậc 3 Tschirnhaus , đôi khi nó còn được gọi là đường bậc 3 de L'Hôpital's hoặc đường phân ba góc -trisectrix - Catalan.
Tên đường bậc 3 Tschirnhaus được RC Archibald chính thức đưa ra trong các văn bản vào năm 1900, trong lúc ông đã cố gắng sắp xếp và phân loại các đường cong.
 |
| Ehrenfried Walter von Tschirnhaus 1651 - 1708 |
Ehrenfried Walter von Tschirnhaus (hoặc Tschirnhausen) được sinh ra trong Kieslingswalde ở Đức, nhưng kể từ năm 1945, thị trấn đổi tên thành Slawnikowice thuộc miền tây Ba Lan. Ông là con trai út và đứa con thứ bảy của Christoph von Tschirnhaus và Elisabeth Eleonore Freiin Achyll von Stirling. Christoph là địa chủ xuất thân từ giới quý tộc Saxon trong khi Elisabeth là có nguồn gốc từ Đức và Scotland, có họ xa với gia đình Stirling có năng khiếu toán học .
Khi Tschirnhaus lên sáu tuổi mẹ ông qua đời nhưng bù lại ông được người mẹ kế rất yêu thương. Năm 1666, ông vào Gymnasium ở Görlitz, nơi ấy ông đã dành hai năm chuẩn bị cho đại học. Ông có mối quan tâm sâu sắc trong toán học ở giai đoạn này . Tschirnhaus tự tham khảo những bài học riêng trong các chủ đề toán học và điều này khiến kiến thức của ông vượt xa các tư liệu ở trường.
Tschirnhaus vào Đại học Leiden vào mùa thu của 1668 và ở đó ông học toán học, triết học, vật lý và y học. Ông cũng trúng tuyển giảng viên luật tại Leiden vào ngày 8 tháng Sáu 1669 nhưng có vẻ như ông không quan tâm nhiều đến việc đó. Ông đã tiếp thu được những tiến bộ mới nhất trong y học như lý thuyết của Harvey liên quan đến vòng tuần hoàn máu . Ông cũng theo học Pieter van Schooten ( anh trai kế của nhà toán học nổi tiếng Frans van Schooten) và đã được giới thiệu về toán học và triết học của Descartes .
Với một thư giới thiệu của Spinoza, Tschirnhaus viếng thăm Anh tháng 5 năm 1675 nơi ông đã gặp Oldenburg thư ký của Hội Hoàng gia. Oldenburg đã giới thiệu ông với những bác học nổi tiếng khác, Robert Boyle, Denis Papin, và Isaac Newton. Ông cũng đã gặp John Collins ở London và John Wallis tại Oxford. Ông đã trình cho Collins và Wallis các phương pháp giải phương trình, nhưng hóa ra đây lại là trường hợp đặc biệt của một kết quả nghiên cứu đã được biết đến. Với một lá thư giới thiệu từ Oldenburg, ông đến Paris vào mùa thu năm 1675, nơi ông ở lại trong một thời gian sau khi gặp Leibniz và Huygens.
Tháng 11 năm 1676, ông rời Paris, đi cùng Bá tước Nimpsch xứ Silesia. Họ lần đầu tiên đến Lyon, nơi Tschirnhaus gặp lại Villette và cùng tiến hành các thí nghiệm vật lý . Sau đó Tschirnhaus đến Turin, Milan, Venice, Bologna và Rome. Ở khắp mọi nơi đã đi , ông đều liên lạcvà tiếp xúc với các nhà khoa học hàng đầu thế giới bao gồm cả Athanasius Kircher và Alfonso Borelli ở Rome. Tschirnhaus tiếp tục đến thăm Naples, Sicily, Milan, và Geneva trước khi trở về năm 1679 Paris, The Hague (nơi ông đến thăm Huygens) và Hanover (nơi ông đến thăm Leibniz). Trong khi thực hiện cuộc hành trình dài này, Tschirnhaus thường xuyên báo cáo quan sát và khám phá của mình cho Leibniz bằng thư, và nhận được nhiều phản hồi hữu ích. Ví dụ, ngày 30 tháng tư năm 1678 Tschirnhaus đã viết một lá thư dài cho Leibniz từ Rome . Trong đó ông đã thảo luận một số câu hỏi toán học bao gồm các lời giải của phương trình bậc cao . Ông đề nghị rằng nên xem đại số như là một môn học có chủ đề rộng và bao quát , trong đó tổ hợp chỉ là một phần trong môn này . Sau khi kết thúc cuộc hành trình dài của mình năm 1679, Tschirnhaus sống ở quê nhà Kieslingswalde trong suốt một thời gian dài . Tschirnhaus tiếp tục thực hiện một chuyến thăm thứ ba đến Paris năm 1682, và tại đây vào ngày 22 tháng 7, ông được bầu vào Académie des Sciences.
Tschirnhaus khảo sát các lời giải của phương trình và nghiên cứu tính chất các đường cong. Ông đã phát hiện ra phép biến đổi , khi áp dụng cho một phương trình bậc n, sẽ dẩn về một phương trình bậc n không có số hạng x^(n-1) và x^(n-2) . Ông cũng nghiên cứu các đường cong catacaustic năm 1682, những là chùm của các tia sáng phát ra từ một nguồn điểm sau khi phản xạ từ một đường cong cho trước . Công trình của ông về các đường cong này được nhớ đến với một đường xoắn ốc hình sin được mang tên Tschirnhaus .
Vào năm 1700 Tschirnhaus xuất bản tác phẩm " Gründliche Anleitung zu nützlichen Wissenschaften "rất được Leibniz ca ngợi và ảnh hưởng rất lớn đến Christian Wolff.
.jpg)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
60 . Đường cong Watt .
Sylvester, Kempe và Cayley tiếp tục phát triển hình học kết hợp với các lý thuyết về các liên kết trong những năm 1870. Thực tế Kempe đã chứng minh rằng tất cả các đoạn hữu hạn của một đường cong đại số có thể được tạo ra bởi một mối liên kết theo cách này. Nếu a = c thì C là một đường tròn bán kính b với số 8 bên trong nó.
Sir Alfred Bray Kempe D.C.L ( Tiến sĩ luật ) -F.R.S ( thành viên Hội hoàng gia Anh ) (6 1849, Kensington, Luân Đôn - 21 Tháng Tư 1922, London) là một nhà toán học nổi tiếng nhất về công trình mối liên kết và các định lý bốn màu.
Kempe học tại Trinity College, Cambridge, nơi Arthur Cayley là một trong những giáo viên nổi tiếng đã giảng dạy cho ông . Ông tốt nghiệp cử nhân (22 wrangler) vào năm 1872 . Mặc dù quan tâm chính của ông là toán học, nhưng ông lại trở thành một luật sư, chuyên về pháp luật của Giáo Hội. Ông được phong tước hiệp sĩ vào năm 1913, năm đó ông trở thành Chancellor cho Giáo Phận London. Ông đã nhận được bằng danh dự D.C.L. ( Doctor of Canon Law (Latin: Juris Canonici Doctor; J.C.D.) học vị thuộc Giáo hội La mã )từ Đại học Durham.
Năm 1877 Kempe phát hiện ra mối liên kết đoạn thẳng mới và đã xuất bản các bài giảng có ảnh hưởng về đề tài này. Định lý Kempe tổng quát về các liên kết phát biểu rằng bất kỳ tập hợp con bị chặn nào của một đường cong đại số có thể được phác thảo ra bởi sự chuyển động của một trong các khớp nối trong một mối liên kết được lựa chọn thích hợp. Cách chứng minh của Kempe ban đầu là sai lầm, và được các nhà toán học chứng minh lần đầu tiên hoàn chỉnh vào năm 2002, dựa trên ý tưởng của ông .
Năm 1879, Kempe đã đưa ra " chứng minh " nổi tiếng của ông về định lý bốn màu, nhưng Percy Heawood chỉ ra sự không chính xác của nó vào năm 1890. Mãi về sau, công trình của ông đã dẫn đến các khái niệm cơ bản như chuỗi Kempe và các tập hợp tất yếu .
Về các lĩnh vực triết học năm 1886 Kempe đã khai mở một khuynh hướng mới đáng lưu ý , và nhiều tạo ra nhiều ảnh hưởng đến Charles Sanders Peirce. Kempe cũng phát hiện ra những khái niệm mà bây giờ được gọi là đa tập hợp -multisets, mặc dù thực tế này đã không được ghi nhận cho đến khá lâu sau khi ông mất .
Kempe đã được bầu làm thành viên của Hội Hoàng gia vào năm 1881. Ông là chủ tịch của Hội Toán học London từ 1892 đến 1894. Ông cũng là một nhà leo núi, chủ yếu là ở Thụy Sĩ.
| Arthur Cayley | |
|---|---|
 Portrait in London by Barraud & Jerrard | |
| Sinh | 16 August 1821 Richmond, Surrey, UK |
| Mất | 26 January 1895(aged 73) Cambridge, England |
| Thường trú | England |
| Quốc tịch | British |
| Lĩnh vực | Mathematics |
| Viện nghiên cứu | University of Cambridge |
| King's College School Trinity College, Cambridge | |
| Cố vấn khoa học | George Peacock William Hopkins |
| Các sinh viên Dr | H. F. Baker Andrew Forsyth Charlotte Scott |
| Chuyên ngành | Projective geometry Group theory Cayley–Hamilton theorem |
| Giải thưởng | Copley Medal (1882) |
Arthur Cayley F.R.S. ( thành viên Hội hoàng gia Anh ) ( phiên âm : / 'Keɪli / ; Tháng Tám 16, 1821 - 26 tháng một năm 1895) là một nhà toán học người Anh. Ông là người đã góp công lớn trong việc xây dựng các trường phái toán học thuần túy hiện đại Anh . .
Khi còn nhỏ, Cayley rất thích giải quyết các vấn đề toán học phức tạp thiên về giải trí . Ông đã học tại Trinity College, Cambridge, và tỏ ra rất xuất sắc về tiếng Hy Lạp, tiếng Pháp, tiếng Đức, và Ý, cũng như toán học. Ông làm việc trong vai trò luật sư trong 14 năm.
Ông đưa ra định lý Cayley-Hamilton , rằng tất cả các ma trận vuông là nghiệm của đa thức đặc trưng của riêng nó , và chứng minh điều này cho ma trận vuông cấp 2 và 3 . Arthur Cayley cũng là người đầu tiên xác định khái niệm của một nhóm theo cách nhìn hiện đại - như là một tập hợp với một phép toán hai ngôi thỏa mãn một định luật nào đó . Trước đây, khi các nhà toán học đã nói về "nhóm", họ thường hiểu nghĩa là các nhóm hoán vị .
Nguồn : http://www.scribd.com/doc/định lý Cayley-Hamilton
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
61 . Đường cong phù thủy Agnesi .
Đường cong này đã được Maria Agnesi nghiên cứu và đặt tên là versiera năm 1748 trong cuốn sách của cô có tên là " Istituzioni Analitiche " . Nó còn được gọi là đường bậc 3 Agnesi - Cubique d'Agnesi hoặc Agnésienne. Đã có một cuộc thảo luận thú vị về lý do để đường cong này được gọi là đường phù thủy trong cuốn sách tiểu sử Agnesi.
Đường cong đã được Fermat và Guido Grandi nghiên cứu trước đó vào năm 1703.
Đường cong nằm giữa y = 0 và y = a. Nó có điểm uốn tại y = 3a / 4. Đường thẳng y = 0 là một tiệm cận đường cong.
Đường cong có thể được coi như một quỹ tích của một điểm P được xác định như sau. Vẽ một đường tròn C có tâm tại (0, a / 2) đi qua gốc O. Dựng đường thẳng từ O cắt C tại L và đường thẳng y = a tại M. Khi đó, P có x-tọa độ của M và toạ độ y của L.
Tiếp tuyến với đường cong phù thủy Agnesi tại điểm với tham số p là
Maria Agnesi là một nhà toán học người Ý được ghi nhận là có công trình đóng góp trong phép tính vi phân . Cô đã từng khảo sát về đường cong bậc ba bây giờ được biết như là " đường phù thủy của Agnesi '.
Maria Gaetana Agnesi (sinh ngày 16 tháng 5 năm 1718 - mất ngày 09 tháng một năm 1799) là một nhà toán học và triết học người Ý.
Cô được coi là người viết cuốn sách đầu tiên thảo luận về cả hai lĩnh vực vi phân và tích phân và là một thành viên danh dự trong đội ngũ các giảng viên tại Đại học Bologna , Ý .
Điểm đáng trân trọng là cô đã dành bốn thập niên cuối cùng của cuộc đời mình để nghiên cứu thần học (đặc biệt là patristics) và phục vụ tầng lớp người nghèo. Maria Gaetana Agnesi được sinh ra tại Milan vào ngày 16 tháng năm 1718, trong một gia đình giàu có và có học thức. Cha cô vì muốn nâng cao vị thế gia đình của mình vào giới quý tộc Milan và để đạt được mục tiêu của mình, ông đã kết hôn năm 1717 với Anna Fortunata Brivio , một thiếu nữ thuộc lớp thượng lưu . Cái chết của mẹ cô đã tạo cho cô cái cớ để rút lui khỏi cộng đồng giới quyền quý .
Maria Gaetana Agnesi lúc này trở thành người quản lý công việc của gia đình.
Từ khi sinh ra tại Milan, Maria đã được công nhận như là một thần đồng từ rất sớm, cô có thể nói cả Ý và Pháp lúc năm tuổi. Ngày sinh nhật thứ 13 của
Maria Gaetana Agnesi , cô đã có thể nói lưu loát được tiếng Hy Lạp, Do Thái, Tây Ban Nha, Đức, và cả tiếng Latin, thường được gọi là "thần đồng ngôn ngữ". Cô thậm chí còn có thể dạy ngôn ngữ cho cả các anh em trai của mình . Khi lên 9 tuổi,
Maria Gaetana Agnesi đã sáng tác và đọc một bài phát biểu kéo dài một giờ bằng tiếng Latin đến cử tọa là một số những trí thức nổi bật nhất đương thời . Các chủ đề cô thường nói là về quyền được giáo dục của phụ nữ .
Khi Maria lên mười lăm tuổi, cha của cô bắt đầu thường xuyên tụ tập tại nhà của ông một nhóm gồm những học giả nổi tiếng nhất ở Bologna, những người mà trước đây cô đã từng có dịp đọc các tác phẩm và trao đổi một loạt đề tài về các vấn đề triết học sâu sắc nhất. Ghi nhận về các cuộc họp này được lưu lại trong cuốn " Charles de Brosses Lettres sur l'Italie và Philosophicae Propositiones ", mà sau đó cha cô đã xuất bản năm 1738. Trong thời gian đó, Maria bắt đầu nghiên cứu về vi phân và tích phân.
Công trình đáng giá nhất của Maria Gaetana Agnesi là tác phẩm " Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana " , xuất bản tại Milan vào năm 1748 , đây được coi là bản giới thiệu tốt nhất còn tồn tại cho đến nay về các công trình của Euler. Cuốn thứ nhất viết về giải tích đại lượng hữu hạn và cuốn thứ hai là về giải tích vô cùng bé - infinitesimals . Một bản dịch tiếng Pháp của tập thứ hai bởi P .T . d'Antelmy, với phần bổ sung của Charles Bossut (1730-1814), đã được xuất bản tại Paris năm 1775, và một bản dịch tiếng Anh của toàn bộ công trình của Maria Gaetana Agnesi bởi John Colson (1680-1760), được kiểm định bởi John Hellins - một nhà toán học tại Cambrige , cũng đã được xuất bản sau đó vào năm 1801 . Trong tác phẩm " Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana " , Maria Gaetana Agnesi đề cập đến các đường cong đã được khảo sát trước đó bởi Pierre de Fermat và Guido Grandi . Grandi gọi tên các đường cong này là versoria theo tiếng Latin và đề nghị gọi là versiera theo tiếng Ý , có lẽ do sự chơi chữ " versoria " trong thuật ngữ hàng hải có nghĩa là dây buồm , trong khi " versiera " theo tiếng Ý lại có nghĩa là Nữ quỷ ( hay phù thủy ) . Vì thế sau khi dịch sang bản Anh ngữ đường cong versoria này có tên gọi là " witch of Agnesi "
Agnesi cũng đã viết một bài bình luận cho cuốn " Traité analytique des sections coniques du marquis de l'Hôpital " mặc dù được đánh giá cao bởi những người đã từng đọc bản thảo này , nhưng đáng tiếc chưa bao giờ được công bố rộng rãi .
Năm 1750,
Maria Gaetana Agnesi được Đức Giáo Hoàng Benedict XIV bổ nhiệm vào chức giáo sư toán học , triết học tự nhiên và vật lý tại Bologna. Cô là người phụ nữ đầu tiên được bổ nhiệm làm giáo sư tại một trường đại học Ý. Sau cái chết của cha mình năm 1752, cô quyết định thực hiện một mục đích đã được ấp ủ từ lâu là nghiên cứu thần học, đặc biệt là về các Giáo Phụ và cống hiến đời mình cho các bệnh nhân , người nghèo và vô gia cư . Sau vài năm giữ chức vụ giám đốc Trivulzio Hospice thuộc dòng nữ tu Thiên Thanh ở Milan, bản thân cô cũng tham gia dòng này . Cô đã sống những ngày tháng phục vụ rất khắc khổ cho đến cuối đời ( ngày 09 tháng một năm 1799 ) , mặc dù cho đến nay chưa ai được biết đầy đủ về cái chết của cô.
Đến đây kết thúc bài viết " Danh mục và lịch sử các đường cong " . Bài viết này gồm 3 phần .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Trần hồng Cơ
25/09/2012 .
Nguồn :
Wikipedia
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Curves/Curves.html
Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.
Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.
Albert Einstein .
hello , you can view more special curves at http://www.takayaiwamoto.com/Greek_Math/Trisect/Special_Curves/Special_Curves_Tri.html
Trả lờiXóathanks for your info , I need some differential operators and special functions docs .
Trả lờiXóafollow here and get curves infos http://www.daviddarling.info/encyclopedia/P/plane_curves.html
Trả lờiXóahttp://curvebank.calstatela.edu/famouscurves/famous.htm#Trifolium
Trả lờiXóaTransformation of Curves . Two methods of transforming a curve, developed on the basis of Functional Theoretic Algebra.
Trả lờiXóaxem thêm về Archimedes - http://natureofmathematics.wordpress.com/lecture-notes/archimedes/
Trả lờiXóa