Wikipedia

Kết quả tìm kiếm

Giải toán trực tuyến W | A




Vẽ đồ thị trong Oxyz plot3D(f(x,y),x=..,y=..)
Vẽ đồ thị trong Oxy plot(f(x),x=..,y=..)
Đạo hàm derivative(f(x))
Tích phân Integrate(f(x))


Giải toán trực tuyến W|A

Hiển thị các bài đăng có nhãn phương pháp số. Hiển thị tất cả bài đăng
Hiển thị các bài đăng có nhãn phương pháp số. Hiển thị tất cả bài đăng

Chủ Nhật, 20 tháng 1, 2013

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN . Chương 2-PHẦN 4 .





GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .


Chương 2-

PHẦN 4 .











Phương pháp toán tử vi phân ngược .  
Ví dụ minh họa .
Giải phương trình vi phân bằng Maple .
Bài tập thực hành . 








Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  



Trần hồng Cơ .
30/12/2012 .


****************************************************************************

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.



1. Phương pháp toán tử vi phân ngược .
1.1  Ký hiệu .
Đạo hàm cấp theo biến x của hàm số y ( khả vi liên tục đến cấp k ) được ký hiệu 




Khi đó ta nói D là toán tử vi phân .   


1.2  Tính chất .

1.3  Công thức .
Dưới đây là các công thức toán tử vi phân , rất thường được áp dụng cho việc tìm nghiệm phương trình .

1.3.1  Toán tử vi phân và hàm mũ .


Với P(t) là đa thức theo biến t  với các hệ số hằng , khi thay t bằng toán tử vi phân D ta có 


Liên hệ giữa toán tử vi phân và hàm mũ .
1.3.2  Toán tử vi phân ngược .


* Xét phương trình vi phân viết dạng toán tử 
** Toán tử vi phân ngược cấp k



1.3.3  Toán tử vi phân ngược và hàm mũ .


* Xét phương trình vi phân viết dạng toán tử 






** Liên hệ giữa toán tử vi phân ngược và hàm mũ .







2.  Ví dụ minh họa .

2.1  Phép tính trên toán tử vi phân và toán tử vi phân ngược .

















Lời giải .
1.

Kiểm tra bằng Maple 




2.



2.2  Áp dụng toán tử vi phân ngược   .

Xét phương trình vi phân cấp n hệ số hằng có dạng 


Để giải phương trình cấp cao này ta thực hiện 2 bước .
Bước 1 .  Giải phương trình cấp cao thuần nhất 



Bước 2 .  Tìm nghiệm riêng yR  của phương trình cấp cao như sau :
1. Tác động toán tử vi phân ngược cho 2 vế phương trình ( dùng khai triển Taylor cho biểu thức toán tử vi phân ngược ) nhận dạng các hàm cơ sở .
2. Khi có được hệ cơ sở ta biểu diễn yR qua các hàm cơ sở  với các hệ số  chưa biết thay vào phương trình vi phân rồi dùng phương pháp hệ số bất định .

Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình là 

yTQ  =  yR  +  yTN



Ví dụ . Giải các phương trình vi phân sau 








3.  Giải phương trình vi phân bằng Maple .
3.1  Các lệnh cơ bản giải phương trình vi phân . 
Khai thác gói công cụ 
>with(DEtools):
a .  Giải phương trình vi phân .
Cấu trúc lệnh . 

>dsolve(ODE)  ;
>dsolve(ODE,y(x),options) ;
>dsolve({ODE,ICs},y(x),options) ;


+ODE : phương trình vi phân thường 

+y(x) : biểu thức biến phụ thuộc .
+ICs : điều kiện ban đầu ( tìm nghiệm riêng ) dạng 
y(xo) = yo , D(y)(xo) = y1 , D(D(y))(xo) = y2 ...
+options : tùy chọn cho nghiệm ở dạng  explicit ( hiển )  , implicit ( ẩn ) , numerics ( số ) , series  ( chuỗi ) , useInt ( tích phân ) ...
+alias : bí danh cho biểu thức biến phụ thuộc y(x)  .
Ví dụ 1.



Để xem biểu thức giải tích ta dùng lệnh 
>value( ) ;
Tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân 

Tìm nghiệm bằng phép biến đổi Laplace 


b .  Giải xấp xỉ phương trình vi phân .
Câú trúc lệnh .

>dsolve({ODE,init},vars,numeric) ;
>dsolve(
{ODE,init},vars,numeric,options) ;



+ODE : phương trình vi phân thường 

+vars : biểu thức các biến .
+init : điều kiện ban đầu dạng 
y(xo) = yo , D(y)(xo) = y1 , D(D(y))(xo) = y2 ...
+options : tùy chọn cho phương pháp xấp xỉ như  method =rkf45 ( Runge-Kutta cấp 4 ) ,  method =dverk78 ,  method =classical ,  method =taylorseries ,  method =gear , method =mgear  ,  method =lsode , method =ck45 ,  method =rosenbrock ,  method = bvp ,   ...

 ( Trong Maple version 14 các tùy chọn gồm có :  rkf45, ck45, rosenbrock, bvp, rkf45_dae, ck45_dae, rosenbrock_dae, dverk78, lsode, gear, taylorseries, mebdfi,  classical)


Tìm giá trị của y tại x = 0.1 ta nhập lệnh dsol(0.1)

hoặc cho tùy chọn Array([ , , ]) vào lệnh dsolve 

Xem tiếp :  


http://cohtran-toan-don-gian.blogspot.com/2013/01/gioi-thieu-ve-phuong-trinh-vi-phan.html








  Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

-------------------------------------------------------------------------------------------

Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.

Albert Einstein .

Chủ Nhật, 13 tháng 1, 2013

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN . Chương 2- PHẦN 3 .





GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .


Chương 2-

PHẦN 3 .







Sơ lược về chuỗi hình học .
Tiêu chuẩn hội tụ - Chuỗi lũy thừa - Bán kính hội tụ .
Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân .
Ứng dụng nghiệm chuỗi cho  phương trình Airy và phương trình Hermite .  








Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  



Trần hồng Cơ .
30/12/2012 .


****************************************************************************

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.



1. Sơ lược về chuỗi hình học .
1.1  Chuỗi hữu hạn - chuỗi vô hạn . 
+ Chuỗi hữu hạn được xác định bởi 


+ Chuỗi vô hạn được xác định bởi  

Một vấn đề đặt ra là tìm số hạng tổng quát  an của chuỗi với một số giả thiết . 
Ví dụ . Tìm số hạng tổng quát  an của dãy số sau 
6 + 3 + 3/2 + 3/4 + 3/8 + ...
* Dùng Maple .

Bạn dùng lệnh >rsolve(eq,a(n)) tìm biểu thức  an của   chuỗi số .




** Dùng công cụ trực tuyến WA .
Bạn truy cập địa chỉ http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-trực-tuyến.php
Tìm chỉ mục G11.2 Đa thức truy hồi 

nhập liệu như hình vẽ , click Submit .
Xem thêm các chỉ mục từ bài viết 
 http://cohtran.blogspot.com/2012/04/cac-vi-du-minh-hoa-cach-su-dung-cong-cu_21.html

1.2  Chuỗi hình học - Geometry Series .

+Xét cấp số nhân - geometry sequence 

Tổng n số hạng đầu tiên là một chuỗi hữu hạn ký hiệu Sn và được tính bởi 


*Chuỗi hình học phân kỳ khi  |q| >= 1 .
*Chuỗi hình học hội tụ khi  |q| < 1 .
Ta có thể xem chuỗi  hình học hội tụ thỏa mãn 



+Thay  q = x   , ta có 

+Thay  q = - x   , ta có




+Tương tự cho các biểu thức theo biến , ta thu được  


1.3  Một vài ứng dụng của chuỗi hình học -

+ Khai triển chuỗi của hàm y = ln(x +1


+ Khai triển chuỗi của hàm y = arctanx  


Đồ thị hàm y = arctanx và xấp xỉ dạng chuỗi được mô tả trong hình sau ( màu đen : hàm arctanx ; màu đỏ :  chuỗi xấp xỉ  )
   


Nguồn : http://www.sosmath.com/calculus/powser/powser01.html

2. Tiêu chuẩn hội tụ - Chuỗi lũy thừa - Bán kính hội tụ .


2.1  Tiêu chuẩn hội tụ . 

+Chuỗi hội tụ : khi tổng riêng hữu hạn thứ n của nó tiến đến giá trị hữu hạn 

Ví dụ . Chuỗi  1/3 + 1/15 + 1/35 + 1/63 + 1/99 + ...
là chuỗi hội tụ .

+Chuỗi phân kỳ : khi tổng riêng hữu hạn thứ n của nó không tiến đến giá trị hữu hạn


Ví dụ . Chuỗi  1/2 + 2/5 + 3/8 + 4/11 + 5/14 + ...
là chuỗi phân kỳ .


a. Điều kiện cần của chuỗi hội tụ .

b. Hệ quả . 

c. Một vài tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi dương . 
1. Cho 2 chuỗi dương 


2.  Ít nhất một trong các đại lượng sau

 3. Cho 

d. Định lý Leibniz . 


Cho chuỗi đan dấu 
a1 - a2 + a3 - a4 + a5 - ... - an-1  +  a ...  >  0 
Với  { a} là dãy dương giảm ,  lim  a  = 0  
Khi đó chuỗi  đan dấu hội tụ .        


e. Định lý hội tụ cho chuỗi dấu bất kỳ .  


Cho chuỗi dấu bất kỳ
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ... + an-1  +  a  + ...  (A)
Nếu chuỗi 
|a1| + |a2| + |a3| + |a4| + |a5| + ... + |an-1|  +  |a| + ...

hội tụ thì chuỗi (A) hội tụ .

2.2  Định nghĩa chuỗi lũy thừa .  


Chuỗi lũy thừa theo biến x tại lân cận điểm  xo   có dạng  (1) 

Ví dụ :


 







2.3 Bán kính hội tụ .
a. Định lý Abel .
Cho chuỗi lũy thừa 

b. Bán kính hội tụ . 


+ Xét chuỗi (1) do định lý Abel , (1) sẽ có khoảng hội tụ L với tâm là điểm  xo
L = { x | x  -   xo  | < R }
hay  L = { x /  xo  - R <  x  <   xo + R   } .
Trường hợp đặc biệt đối với chuỗi (2) thì  xo  = 0 .

Số  R  được gọi là bán kính hội tụ .    
Nếu   R  = 0 thì (1) chỉ hội tụ tại điểm xo  . 
Nếu   R  = oo  thì (1) hội tụ trên toàn trục Ox 
(-oo , +oo )       
+ Để tìm khoảng hội tụ ta tìm bán kính hội tụ R và giải bất phương trình 
| x  -   xo  | < R  <=>  - R  <  x  -   xo  < R 
<=>   xo  - R <  x  <   xo + R  . 
Từ đó tìm ra khoảng hội tụ   L . + Công thức tính bán kính hội tụ .




Ví dụ : Xét sự hội tụ , tính bán kính hội tụ và tìm khoảng hội tụ L của các chuỗi sau


 








Lời giải .
khai triển biểu thức này bằng Maple 
>Raabe:=n*(((n+2)/(n+1))^5*((2*n+1)/(2*n+3))-1)+2;
>A:=expand((n+2)^5*(2*n+1)):
>B:=expand((n+1)^5*(2*n+3)):
>T:=simplify(A/B-1):
>R:=n*T+2:
> Raabe:= simplify(R);

kết quả ta thu được 


 





Dễ thấy rằng Raabe > 1  nên chuỗi đã cho là phân kỳ .
Lưu ý : Nếu dùng tiêu chuẩn D'Alembert bạn đọc có thể kiểm tra bằng đồ thị với các lệnh sau 
>D_Alembert:=((x+2)/(x+1))^5*((2*x+1)/(2*x+3));
>plot([D_Alembert,1],x=0..50,y=-2..10,
thickness=[3,1]);
Đồ thị biểu diễn biểu thức theo D'Alembert nằm phía trên đường thẳng  y  =  1 ( không thỏa mãn điều kiện có cận trên đúng  < 1 )  nên chuỗi đã cho là phân kỳ .


3. Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân .
3.1  Đạo hàm chuỗi .

Xét chuỗi lũy thừa (2) , giả sử rằng (2) liên tục và hội tụ đều trên khoảng hội tụ L . Khi đó đạo hàm chuỗi (2) được cho bởi



Tóm lại :

** Muốn thay chỉ số k chạy từ n thành 0 , ta cộng thêm n vào tất cả các thành phần nào có chứa chỉ số k trong chuỗi ban đầu ( thay k = k+n )



3.2  Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân hệ số hằng thuần nhất .
Với công thức đạo hàm chuỗi ở 3.1 , khi thay vào phương trình vi phân hệ số hằng thuần nhất , ta có thể rút gọn và đưa về phương trình truy hồi theo ẩn số an . Việc giải và tìm ra các hệ số  an  sẽ cho ta biểu thức nghiệm của phương trình vi phân .
Xét các ví dụ sau đây    


Ta có thể tìm a2 qua a0  , a3 qua a1 , a4 qua a2 rồi thay bằng biểu thức có a0  ,  a5 qua a3 rồi thay bằng biểu thức có a1  ...v.v. Tuy nhiên như đã trình bày ở phần 1.1 bạn dùng lệnh >rsolve(eq,a(n)) tìm biểu thức   ak   của   chuỗi số .
>restart;eq:={(k+1)*(k+2)*a(k+2)+9*a(k)=0,a(0)=C_1,a(1)=C_2};
>reeq[k]:=rsolve(eq,a(k));
>y:=sum(reeq[k]*x^k,k=0..10);

Kết quả thu được như sau 

Xem tiếp :




 http://cohtran-toan-don-gian.blogspot.com/2012/12/gioi-thieu-ve-phuong-trinh-vi-phan_29.html




Creative Commons License
-------------------------------------------------------------------------------------------
Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.
Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.
Albert Einstein .

*******

Blog Toán Cơ trích đăng các thông tin khoa học tự nhiên của tác giả và nhiều nguồn tham khảo trên Internet .
Blog cũng là nơi chia sẻ các suy nghĩ , ý tưởng về nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau .


Chia xẻ

Bài viết được xem nhiều trong tuần

CÁC BÀI VIẾT MỚI VỀ CHỦ ĐỀ TOÁN HỌC

Danh sách Blog

Thông tin hàng ngày.

Giới thiệu bản thân

Ảnh của Tôi


Các chuyên đề ứng dụng .

1. Phương trình vi phân  
2. Toán đơn giản - College Algebra 
3. Toán thực hành - Practical Mathematics 
4. Vật lý tổng quan ( đang viết )
5. Phương trình tích phân 
( đang chuẩn bị ) 

Gặp Cơ tại Researchgate.net

Co Tran