GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .
Chương 4-
PHẦN 4 .
Lý thuyết tổng quát
-Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao .
-Phương trình vi phân cấp cao tổng quát .
-Các dạng phương trình vi phân giảm cấp .
Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .
Trần hồng Cơ .
28/05/2013 .
****************************************************************************
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.
1 . Lý thuyết tổng quát
-Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao .
1.1 Khái niệm .
Như đã trình bày ở Chương 4-Phần 1 - 1.1 , phương trình vi phân tuyến tính cấp cao có dạng (1)
**Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp n là G(x,v(x)) = 0 trong đó
1.2 Bài toán Cauchy và điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm .Bài toán Cauchy đặt ra là tìm nghiệm của G(x,v(x)) = 0 thỏa mãn các điều kiện :
Nhờ định lý hàm ẩn dưới một số điều kiện có thể viết lại dưới dạng (2) :
+Dạng (1) biểu diễn phương trình tuyến tính cấp cao theo toán tử vi phân D .
+Dạng (2) biểu diễn phương trình vi phân hiển cấp n theo biến ( x , u(x)) .
+Dạng (3) gọi là dạng ẩn , biểu diễn phương trình vi phân tuyến tính cấp cao G(x,v(x)) = 0 với
+Định lý Péano về sự tồn tại nghiệm .
Đưa ra một tiêu chuẩn để phương trình vi phân (2) có nghiệm duy nhất
*Liên tục Lipschitz .
Hàm F( x , u(x)) có tính chất trên gọi là liên tục đối với biến u theo nghĩa Lipschitz .
** Định lý Picard - Lindelof .
Nếu phương trình vi phân (2) thỏa mãn định lý Péano và hơn nữa nếu F liên tục Lipschitz theo u thì tồn tại nghiệm y = y(x) và nghiệm này là duy nhất .
1.3 Các dạng biểu thức nghiệm của phương trình vi phân cấp cao .
+Nghiệm y = y(x,C1,C2,...,Cn) xác định trên DxU khả vi liên tục đến cấp n , gọi là nghiệm tổng quát dạng hiển của (2) <=>
(i)
(ii)
Nghiệm y = y(x,C1,C2,...,Cn) thỏa mãn (2) với các Ck ( k = 1,2,...,n ) tìm được ở (i) .
Để tìm nghiệm tổng quát dạng hiển của (2) ta thay thế x0 và u0 vào hệ , giải hệ này tìm các giá trị Ck ( k = 1,2,...,n ) .
+ Nghiệm F = F (x,y,C1,C2,...,Cn) = 0 , xác định trên DxU , gọi là nghiệm tổng quát dạng ẩn của (2) .
+Nghiệm { x = c(t,Ck ) , y = x(t,Ck ) với ( k = 1,2,...,n ) } , gọi là nghiệm tổng quát dạng tham số của (2).
+Nghiệm riêng là nghiệm thỏa mãn tính duy nhất nghiệm theo định lý Picard Lindelof với các hằng số Ck ( k = 1,2,...,n ) tìm được khi giải các điều kiện cho trước .
+Nghiệm y = y(x,C1,C2,...,Cn) xác định trên DxU khả vi liên tục đến cấp n , gọi là nghiệm tổng quát dạng hiển của (2) <=>
(i)
(ii)
Nghiệm y = y(x,C1,C2,...,Cn) thỏa mãn (2) với các Ck ( k = 1,2,...,n ) tìm được ở (i) .
Để tìm nghiệm tổng quát dạng hiển của (2) ta thay thế x0 và u0 vào hệ , giải hệ này tìm các giá trị Ck ( k = 1,2,...,n ) .
+Nghiệm { x = c(t,Ck ) , y = x(t,Ck ) với ( k = 1,2,...,n ) } , gọi là nghiệm tổng quát dạng tham số của (2).
+Nghiệm riêng là nghiệm thỏa mãn tính duy nhất nghiệm theo định lý Picard Lindelof với các hằng số Ck ( k = 1,2,...,n ) tìm được khi giải các điều kiện cho trước .
+Nghiệm kỳ dị là nghiệm không thỏa mãn tính duy nhất nghiệm theo định lý Picard Lindelof ( không bị chặn theo biến u ) , có thể hiểu tại điểm (x0,u0) nào đó có nhiều nghiệm của phương trình cùng đi qua ( Các bạn có thể xem ở Chương 1-Phần 3 từ 1.1 đến 1.3 về tính duy nhất nghiệm của phương trình vi phân ) .
1.3 Nghiệm kỳ dị của phương trình vi phân cấp cao .
1.3 Nghiệm kỳ dị của phương trình vi phân cấp cao .
