GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN . Chương 4- PHẦN 1 .

   

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Chương 4-

PHẦN 1 . 

Tổng quan về phương trình vi phân tuyến tính cấp cao .  
Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao với hệ số hằng .
Phương pháp hệ số bất định .
Phương pháp biến thiên tham số . 

Bài tập thực hành .  





Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  



Trần hồng Cơ .
12/04/2013 .


****************************************************************************


This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.




1. Tổng quan về phương trinh vi phân tuyến tính cấp cao .  

1.1  Các khái niệm cơ bản .
Chúng ta đã đề cập đến phương trình vi phân tuyến tính cấp 2  gồm những khái niệm về hệ cơ sở , định thức Wronski và nguyên lý chồng chất nghiệm trong Chương 2 - Phần 1 . 3 .
Tiếp tục ở chương 4 tác giả sẽ trình bày tóm tắt các cách giải cho phương trình vi phân cấp cao thông qua ví dụ .
1.1.1 Dạng tổng quát .

Ví dụ 1 . 

Ký hiệu .
Đạo hàm cấp k theo biến x của hàm số y ( khả vi liên tục đến cấp k ) được ký hiệu 

Khi đó ta nói D là toán tử vi phân ( xem Chương 2 - Phần 4 . 1 và 2 ) . Dạng tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính theo toán tử như sau 

Ví dụ 2 .

1.1.2  Tính chất của toán tử vi phân .

1.2  Công thức .
Một số công thức toán tử vi phân được áp dụng cho việc tìm nghiệm phương trình vi phân tuyến tính .

1.2.1  Toán tử vi phân và hàm mũ .


Cho P(t) là đa thức theo biến t  với các hệ số hằng ak  , có dạng 

khi thay biến  t  bằng toán tử vi phân D ta có 

Quan hệ giữa toán tử vi phân và hàm mũ .

* Tương tự xét  P(x, t) là đa thức theo biến t  với các hệ số là hàm ak (x) , có dạng  

thay biến  t  bằng toán tử vi phân D ta có

1.2.2  Định lý cơ bản .
Giả sử  u(x)  là một nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính (1) 
                   P(x,D)(y)  =  R(x)  , 
và  v(x)  là nghiệm của phương trình thuần nhất   P(x,D)(y)  =  0  , khi đó  y  =  u(x)   + v(x)  là nghiệm tổng quát của (1)  .

* Dựa vào định lý này chúng ta đưa ra phương pháp tìm nghiệm tổng quát của (1) như dưới đây 
+Tìm nghiệm thuần nhất của (1)  yTN  =  v(x) .
+Tìm nghiệm riêng của (1)  yR  =  u(x) .
Nghiệm tổng quát của (1) có dạng : 
                   
                           yTQ = yTN  + yR

Từ phương trình thuần nhất   P(x,D)(y)  =  0  , ta giả thiết rằng  P(x,D)  độc lập  x  , i.e các hệ số ak là hằng  . 

2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao với hệ số hằng .
Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp cao hệ số hằng               
                  P(D)(y)  =  R(x)   (2) 
Phương trình đặc trưng tương ứng là  
                      P(m)  =  0    . 

***Xem tiếp : 

http://cohtran-toan-don-gian.blogspot.com/2013/04/gioi-thieu-ve-phuong-trinh-vi-phan.html

Trần hồng Cơ .
12/04/2013 .


This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

-------------------------------------------------------------------------------------------
Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.  
Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.

Albert Einstein .