GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN . Chương 4 - PHẦN 4 .

   

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Chương 4-

PHẦN 4 . 

Lý thuyết tổng quát 
-Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao .
-Phương trình vi phân cấp cao tổng quát .
-Các dạng phương trình vi phân giảm cấp .












Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  



Trần hồng Cơ .
28/05/2013 .



****************************************************************************
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.



1 . Lý thuyết tổng quát 
-Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao .
1.1  Khái niệm .
Như đã trình bày ở Chương 4-Phần 1 - 1.1 , phương trình vi phân tuyến tính cấp cao có dạng  (1) 

*Dạng tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính theo toán tử như sau 

xét  P(x, t) là đa thức theo biến t  với các hệ số là hàm ak (x) , có dạng  

thay biến  t  bằng toán tử vi phân D ta có

**Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp n là  G(x,v(x)) = 0  trong đó 

1.2 Bài toán Cauchy và điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm .

Bài toán Cauchy đặt ra là tìm nghiệm của G(x,v(x)) = 0 thỏa mãn các điều kiện :

Nhờ định lý hàm ẩn dưới một số điều kiện có thể viết lại dưới dạng (2) :

Lưu ý :
+Dạng (1) biểu diễn phương trình tuyến tính cấp cao theo toán tử vi phân  D .
+Dạng (2)  biểu diễn phương trình vi phân hiển cấp n theo biến ( x , u(x)) .
+Dạng (3) gọi là dạng ẩn , biểu diễn phương trình vi phân tuyến tính cấp cao  G(x,v(x)) = 0  với 

+Định lý Péano về sự tồn tại nghiệm .

+Định lý Picard-Lindelof . 
Đưa ra một tiêu chuẩn để phương trình vi phân (2) có nghiệm duy nhất 
*Liên tục Lipschitz . 

Hàm F( x , u(x)) có tính chất trên gọi là liên tục đối với biến u theo nghĩa Lipschitz  .

** Định lý Picard - Lindelof .

Nếu phương trình vi phân (2) thỏa mãn định lý Péano và hơn nữa nếu F liên tục Lipschitz theo u thì   tồn tại nghiệm y = y(x) và nghiệm này là duy nhất .

1.3 Các dạng biểu thức nghiệm của phương trình vi phân cấp cao .
+Nghiệm y = y(x,C1,C2,...,Cn) xác định trên DxU  khả vi liên tục đến cấp n , gọi là nghiệm tổng quát dạng hiển của (2) <=>
(i) 

(ii) 
Nghiệm y = y(x,C1,C2,...,Cn)  thỏa mãn (2) với các  Ck   ( k = 1,2,...,n )  tìm được ở (i) .
 Để tìm nghiệm tổng quát dạng hiển của (2) ta thay thế  x0 và u0 vào hệ , giải hệ này tìm các giá trị Ck   ( k = 1,2,...,n ) .
+Nghiệm F = F (x,y,C1,C2,...,Cn) = 0 , xác định trên DxU    , gọi là nghiệm tổng quát dạng ẩn của (2) .
+Nghiệm { x = c(t,Ck )  ,  y = x(t,Ck ) với ( k = 1,2,...,n ) } , gọi là nghiệm tổng quát dạng tham số của (2).
+Nghiệm riêng là nghiệm thỏa mãn tính duy nhất nghiệm theo định lý Picard Lindelof  với các hằng số Ck   ( k = 1,2,...,n )  tìm được khi giải các điều kiện cho trước .

+Nghiệm kỳ dị là nghiệm không thỏa mãn tính duy nhất nghiệm theo định lý Picard Lindelof ( không bị chặn theo biến u  ) , có thể hiểu tại điểm (x0,u0)  nào đó có nhiều nghiệm của phương trình cùng đi qua  ( Các bạn có thể xem ở Chương 1-Phần 3 từ 1.1 đến 1.3 về tính duy nhất nghiệm của phương trình vi phân ) .
1.3 Nghiệm kỳ dị của phương trình vi phân cấp cao .

+Như đã trình bày ở trên , để khảo sát nghiệm kỳ dị của phương trình vi phân chúng ta xét vài ví dụ sau đây và từ đó đưa ra cách tìm các nghiệm này trong trường hợp tổng quát .
Ví dụ 1 .
*Chúng ta xem lại một bài toán về duy nhất nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 ( Chương 1-Phần 3  1.3  2 ) 

a. 

+ Tìm nghiệm của phương trình .
+ Kiểm tra tính duy nhất nghiệm của phương trình với  
x Î[ - 4 , 4 ] . Vẽ đồ thị minh họa .

**Trong các phương trình vi phân sau , hãy tìm nghiệm kỳ dị và vẽ đồ thị nghiệm này .

Lời giải .
a. Các công thức có trong Chương 1-Phần 2   1.  từ 1.1-1.5 .
+Tìm nghiệm phương trình .

+ Kiểm tra tính duy nhất nghiệm của phương trình . Xét 

Tập xác định của phương trình là 
DF = R \ {0} .
Tập xác định của đạo hàm theo y là  
DFy = D = R \ {0} . 
Vậy nghiệm  y = 0 không phải là nghiệm kỳ dị .
Tuy nhiên tính duy nhất nghiệm bị phá vỡ do hàm không liên tục theo y trên miền cho trước  
DxU = [ - 4 , 4 ] x [ 0 - b , 0 + b ] .

+ Kiểm tra bằng Maple , vẽ đồ thị nghiệm phương trình 


+Tìm nghiệm kỳ dị của phương trình  [ dạng (2) ]

+Tìm nghiệm kỳ dị của phương trình  [ dạng (2) ]

Nghiệm kỳ dị  khi a = 1 và trường hướng của phương trình vi phân được mô tả trong hình sau đây .

Xem tiếp :

http://cohtran-toan-don-gian.blogspot.com/2013/05/gioi-thieu-ve-phuong-trinh-vi-phan_29.html

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

 ------------------------------------------------------------------------------------------- 
 Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic. 
 Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.
 Albert Einstein .

$$(a+b)^{2009}$$ ; 

$$\sqrt[3]{x^2-1}$$ ; 

$$\int_{1}^{3}\sqrt{3x-1}dx$$;

$$\frac{a-b}{a+b}$$;

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^3-8}{x^2-6x+8}$