GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN . Chương 5 - PHẦN 4 .

   

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Chương 5 -

PHẦN 4 . 

Các phương pháp giải hệ thống phương trình vi phân tuyến tính .

-Phương pháp ma trận .
-Phương pháp toán tử     .
-Phương pháp biến đổi Laplace  .


 

Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  



Trần hồng Cơ .
25/09/2013 .



****************************************************************************
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.







Các phương pháp giải hệ thống phương trình vi phân tuyến tính .
3. Phương pháp biến đổi Laplace .
+Xét hệ thống

                   y(t)'  =  A.y(t)  +  h(t)   (1)

Với A = [ aij ] , ( i,j = 1,2,...,n ) ; h(t)  = ( h1(t)  h2(t)  ... hn(t) ) trong đó hàm hk(t) ( k = 1,2,...,n )  liên tục trên miền D cho trước .
+Khi  h(t) = 0   (1)  có dạng thuần nhất .

                   y(t)'  =  A.y(t)         (2)

Trong Chương 5 - Phần 3  chúng ta đã xét đến phương pháp toán tử , tìm nghiệm thuần nhất và nghiệm riêng cho dạng (1) .

+Phần sau đây ta khảo sát phương pháp biến đổi Laplace giải hệ thống phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất có dạng 

  y(t)'  =  A(t).y(t)  +  h(t)   (3)

+Các bạn có thể xem lại lý thuyết phép biến đổi Laplace và Laplace ngược ở Chương 4 - Phần 3 . 1 và 2 . Ví dụ minh họa cho phương pháp này được trình bày ở 3.2 . 
3.1  Nội dung tổng quát .
+Nói chung phương pháp biến đổi Laplace cho (1) gần giống như cách giải ở 3.2  . Các bước cụ thể như sau :
Bước 1 .  Áp phép biến đổi Laplace vào 2 vế của các phương trình trong hệ (1) đưa về hệ đại số các ảnh  Y(sj) = L{yj(t)}, j = 1,2,...,n .
Bước 2 .  Tìm nghiệm đại số  Y(sj) bằng phương pháp Cramer  .
Bước 3 . Áp phép biến đổi ngược vào Y(sj)   ta tìm lại được hàm gốc yj(t) , j = 1,2,...,n .


3.2  Một số công thức thông dụng .
+Phép biến đổi Laplace .
Hàm gốc f(t) có biến thực t qua phép biến đổi Laplace thành ảnh F(s) có biến là số thực s .   

Bảng Laplace  .

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN . Chương 5 - PHẦN 3 .

   

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Chương 5 -

PHẦN 3 . 

Các phương pháp giải hệ thống phương trình vi phân tuyến tính .

-Phương pháp ma trận .
-Phương pháp toán tử     .
-Phương pháp biến đổi Laplace  .


 

Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  



Trần hồng Cơ .
09/09/2013 .



****************************************************************************
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.



 
Các phương pháp giải hệ thống phương trình vi phân tuyến tính .
2. Phương pháp toán tử .
+Hệ thống phương trình tuyến tính hệ số hằng có dạng 

                   y(t)'  =  A.y(t)  +  h(t)   (1)

Với A là ma trận các hằng số thực  aij , ( i,j = 1,2,...,n ) ; h(t)  là vector cột ( h1(t)  h2(t)  ... hn(t) ) gồm các hàm hk(t) ( k = 1,2,...,n )  liên tục trên miền D cho trước .
+Nếu  h(t) = 0   (1) thành hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng .

                   y(t)'  =  A.y(t)         (2)

Trong Chương 5 - Phần 2  chúng ta đã xét đến phương pháp ma trận , tìm nghiệm thuần nhất và nghiệm riêng cho dạng (1) .

+Trong mục này ta khảo sát cách giải hệ thống phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất có dạng 

  y(t)'  =  A(t).y(t)  +  h(t)   (3)

bằng phương pháp toán tử .

2.1 Nghiệm thuần nhất .
+Cách tìm nghiệm thuần nhất không giống như Chương 5 - Phần 2 -1 - 1.1 , Đối với dạng (1) hoặc (2) biểu thức nghiệm thuần nhất có được là nhờ vào phương trình đặc trưng của (1) :  | A - mI |  = 0  . Nghiệm đặc trưng có thể là dạng thực - rời , phức , thực - bội , thực - phức , từ đó tìm được vector đặc trưng vk(t)  tương ứng .

+ Xét hệ thống phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất có dạng 

y(t)'  =  A(t).y(t)  +  h(t)   (3)

 nghiệm thuần nhất được tìm bằng phương pháp toán tử với các bước sau đây .

Bước 1 . Tìm dạng toán tử của hệ (1) , gọi  s(D)  là ma trận toán tử tương ứng . Tính định thức det[s(D)] . 

Bước 2 . Thay D bằng m , xét phương trình  s(m) = 0 , nghiệm  của phương trình này chính là nghiệm đặc trưng của hệ .  
Ví dụ 1 . ( Thực - rời ) Giải hệ 

Thay D bằng m , nghiệm phương trình đặc trưng  s(m) = 0  cũng chính là nghiệm của det[s(D)] = 0 . 

Ví dụ 2 . ( Phức ) Giải hệ  



2.2 Nghiệm riêng .
2.2.1 Nhắc lại về toán tử vi phân .
Xem lại Chương 4 - Phần 2 . 1.2.2 các công thức toán tử vi phân ngược .
* Các công thức quan trọng .

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN . Chương 5 - PHẦN 2 .

   

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Chương 5 -

PHẦN 2 . 

Các phương pháp giải hệ thống phương trình vi phân tuyến tính .

-Phương pháp ma trận .
-Phương pháp toán tử     .
-Phương pháp biến đổi Laplace  .


 

Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  



Trần hồng Cơ .
20/08/2013 .



****************************************************************************
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.




Các phương pháp giải hệ thống phương trình vi phân tuyến tính .
1. Phương pháp ma trận .
+Như đã trình bày ở Chương 5-Phần 1 , hệ thống phương trình tuyến tính hệ số hằng có dạng 

                   y(t)'  =  A.y(t)  +  h(t)   (1)

Với  A là ma trận các hằng số thực  aij , ( i,j = 1,2,...,n )  và h(t)  là vector cột ( h1(t)  h2(t)  ... hn(t) ) gồm các hàm hk(t) ( k = 1,2,...,n )  liên tục trên miền D cho trước .
+Khi  h(t) = 0   ta có hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng .

                   y(t)'  =  A.y(t)         (2)

Trong phần này chúng ta sẽ khảo sát các phương pháp giải cho dạng (1) .
1.1 Nghiệm thuần nhất .
Nghiệm thuần nhất yTN của hệ (1) là lời giải của (2) .
Cách tìm nghiệm thuần nhất .
Bước 1 . Tìm nghiệm của phương trình đặc trưng 
| A - mI |  = 0 .  
Đây là phương trình đại số bậc n theo ẩn đặc trưng m .  
+Nghiệm của phương trình này gọi là nghiệm đặc trưng mk , k = 1, 2 ...  của hệ . 
Bước 2 . Tìm vector đặc trưng ký hiệu là vk(t) tương ứng với nghiệm mk   bằng cách giải phương trình 
                        Avk(t) =mk . vk(t).
+Các trường hợp của trị đặc trưng gồm :
a. Thực -rời .
 +Các mk  , k = 1,2,..., n là thực - rời có hệ n vector đặc trưng tương ứng vk(t)  là độc lập tuyến tính .  Hệ nghiệm của (2) có dạng  

                   uk(t) = exp(mk t).vk(t) 

Ví dụ 1 . 

b. Phức .
 Trị đặc trưng phức  mk = a + ib   với vector đặc trưng tương ứng là vk(t)  thì  a - ib  cũng là trị đặc trưng của hệ . Hai nghiệm thực độc lập tuyến tính của hệ có dạng 

                   uk1(t) =Re{ exp(mk t).vk(t)} = 
      exp(at).[Re{vk(t)}cosbt - Im{vk(t)}sinbt]

                   uk2(t) = Im{exp(mk t).vk(t)} =
      exp(at).[Re{vk(t)}sinbt + Im{vk(t)}cosbt]

Ví dụ 2 . 

c. Thực - bội .
 Hệ có một trị đặc trưng m   là thực - bội cấp p và  mj  là trị đặc trưng thực - rời , j = 1,2,..., h với vector đặc trưng tương ứng là vj(t)  . Để tìm vector đặc trưng vj(t) ( j = 2,3,..., ) ta giải phương trình ma trận 
( A - mI ) v = vj-1(t)  .  Nghiệm của hệ được biểu diễn bởi 
             

Ví dụ 3 . 

Khi đó 

d. Thực - phức .
 Hệ có một số trị đặc trưng mi , i = 1,2 ,..., k   là phức và  mj  là trị đặc trưng thực - rời , j = 1,2,..., h với vector đặc trưng tương ứng là vj(t)  . Nghiệm của hệ được biểu diễn bởi tổ hợp tuyến tính dạng a.  và  b ( hoặc  c.  tùy theo các dạng của trị đặc trưng ) . 
Ví dụ 4 .

1.2 Nghiệm riêng .




Xem tiếp 

http://cohtran-toan-don-gian.blogspot.com/2013/08/gioi-thieu-ve-phuong-trinh-vi-phan_28.html


Trần hồng Cơ .
09/09/2013 .


This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.
 -------------------------------------------------------------------------------------------

 Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.
 Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.
 Albert Einstein .

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN . Chương 5 - PHẦN 1 .

   

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Chương 5 -

PHẦN 1 . 

-Một số kiến thức cần thiết .
Lý thuyết tổng quát 
-Hệ thống phương trình vi phân  .
-Hệ thống phương trình vi phân tuyến tính .







 

Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  



Trần hồng Cơ .
01/08/2013 .



****************************************************************************
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.



1 . Một số kiến thức cần thiết .
1.1  Hệ thống phương trình tuyến tính .
+Nhắc lại hệ thống phương trình tuyến tính (1) 

Ma trận mở rộng của hệ có dạng 

+Hạng của ma trận A ký hiệu r(A) = r  là số vector dòng ( hoặc cột ) lớn nhất độc lập tuyến tính của A .
Ta tìm hạng của ma trận bằng phép biến đổi Gauss-Jordan theo dòng ( hoặc cột ) .
Ví dụ :

Thực hành Maple bằng lệnh  >Rank(  ) ;

+Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính .
Xét trường hợp m = n thì Anxn là ma trận vuông cấp n .
(1) có dạng   

Tương ứng với 
-Nếu r(A) = r(A|B) = r = n  thì nghiệm X duy nhất .
-Nếu r(A) = r  <  r(A|B)  thì vô nghiệm X .
-Nếu r(A) = r(A|B) = r  <  n  thì vô số nghiệm X .
+Định thức của ma trận vuông Anxn  ký hiệu det(A) .

Ví dụ : Tính định thức của ma trận 

+Sự liên quan giữa nghiệm của hệ phương trình tuyến tính và định thức .
Xét hệ (1) :  AX  =  B .
-Hệ có nghiệm duy nhất nếu det(A) =/= 0 .
-Hệ vô nghiệm hoặc vô số nghiệm nếu det(A) = 0 .
Trong trường hợp hệ là thuần nhất i.e AX  =  0  .
-Hệ có nghiệm duy nhất X  =  0  nếu det(A) =/= 0 .
-Hệ có vô số nghiệm X =/=  0  nếu det(A) = 0 .


1.2  Trị đặc trưng và vector đặc trưng .
+Nhắc lại về đa thức đặc trưng . Cho ma trận vuông       Anxn  , ta nói đa thức đặc trưng của A là  det(A -mI)  với I là ma trận đơn vị cấp n . 
-Phương trình đặc trưng của A  là det(A - mI) = 0 . 
-Trị đặc trưng của ma trận A là nghiệm m tìm được từ phương trình đặc trưng .
Nghiệm m có thể là thực - rời , thực - bội cấp p , phức , phức -căn bậc n , phức - bội cấp p  (xem Chương 4-Phần 1 . 2.1.2 ) . 
-Vector đặc trưng tương ứng với trị đặc trưng m cảu ma trận A là nghiệm  X  thỏa AX  = mX  .
Ví dụ : 
Tìm trị và vector đặc trưng của ma trận sau 

Vector đặc trưng tương ứng với m = 2 . 
Giải AX  = 2X  .

 

2 .Lý thuyết tổng quát 
-Hệ thống phương trình vi phân   .
2.1  Hệ thống phương trình vi phân cấp 1 .
+Hệ thống phương trình vi phân gồm nhiều phương trình chứa biến độc lập , ẩn hàm và các đạo hàm của ẩn hàm . 

Việc giải hệ thống này là khảo sát biểu thức của ẩn hàm ( nghiệm ) và biến độc lập ở dạng hiển , dạng ẩn ( hoặc tham số ) và bằng hình thức giải tích , giải số hay đồ thị . 
+Nếu hệ phương trình chỉ chứa đạo hàm cấp 1 của ẩn hàm ta nói đây là hệ thống phương trình vi phân cấp 1 . Trong phần tiếp theo ta sẽ khảo sát hệ thống phương trình cấp 1 - hiển theo đạo hàm có dạng sau đây (2)

Hoặc rút gọn 

2.2  Bài toán Cauchy và định lý tồn tại duy nhất nghiệm  .
+Bài toán Cauchy đối với hệ phương trình vi phân cấp 1 được phát biểu 

+Định lý Picard - Lindelof :

+Các hàm y = (yk(x,C1,..,Cn)) xác định trên miền W thuộc D´U,  với các hằng số Ck , k =1,..,n được xác định duy nhất thỏa mãn (2) gọi là nghiệm tổng quát của hệ . 
-Nghiệm thỏa định lý Picard-Lindelof ta gọi là nghiệm duy nhất của hệ  .
-Nghiệm không thỏa mãn tính duy nhất được gọi là nghiệm kỳ dị .
Ví dụ : Chứng minh rằng 

Lời giải . 
Thay biểu thức của y1 và y2 vào hệ thống phương trình ,

Để ý rằng các hằng số C1 và C2 được xác định duy nhất theo y1 , y2 . 
2.3  Quan hệ giữa phương trình vi phân cấp cao và hệ thống phương trình vi phân .
+ Xét phương trình vi phân cấp cao 

Đây chính là hệ thống phương trình vi phân (2) .
Ví dụ : 

3 .Lý thuyết tổng quát 
-Hệ thống phương trình vi phân tuyến tính  .
3.1  Hệ thống phương trình vi phân tuyến tính .
+Hệ thống phương trình vi phân tuyến tính gồm nhiều phương trình chứa biến độc lập , ẩn hàm bậc nhất và các đạo hàm của ẩn hàm  . (3)  

Để viết dưới dạng ma trận 

+Khi h(t)  =  0  ta nói (3) có dạng tuyến tính thuần nhất . 
+Khi h(t)  =  0  và các hàm aij(t) = const ta nói (3) có dạng tuyến tính thuần nhất hệ số hằng . 
Ví dụ :

3.2  Tập nghiệm của hệ thống phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất .
+Hệ thống phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất có dạng 
              
                   y(t)'  =  A(t).y(t)      (4)

Với A(t) là ma trận các hàm  aij(t) , ( i,j = 1,2,...,n )  liên tục trên miền D .
+Giả sử hệ nghiệm của (4) là { yk(t) } , ( k = 1,2,...,n ) độc lập tuyến tính , mỗi yk(t) có thể viết ở dạng vector  ( y1k(t)   y2k(t)   ... ynk(t) )  khi đó một số tính chất của hệ nghiệm như sau .
-Nghiệm tổng quát của (4)   yk(t) là tổ hợp tuyến tính của yjk(t) , ( j = 1,2,...,n )
-Hệ nghiệm { yk(t) } , ( k = 1,2,...,n ) còn gọi là hệ cơ sở của (4) có cấu trúc một không gian vector .
-Để một hệ nghiệm của (4) là hệ cơ sở thì điều kiện cần và đủ là định thức Wronski của nó khác 0 .

3.3  Nghiệm của hệ thống phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất .
+Như đã nói ở phần trên hệ thống phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất có dạng 

                  y(t)'  =  A(t).y(t)  +  h(t)   (3)

Với A(t) là ma trận các hàm  aij(t) , ( i,j = 1,2,...,n )  và h(t)  là vector cột ( h1(t)  h2(t)  ... hn(t) ) gồm các hàm hk(t) liên tục trên miền D .
+Nếu biết nghiệm riêng của hệ không thuần nhất  ( ký hiệu là yR )  và nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất tương ứng ( ký hiệu là yTN )  thì nghiệm tổng quát của hệ không thuần nhất ( ký hiệu yTQ )  sẽ là 

yTQ   =  yR  +  yTN 

+Nghiệm riêng của hệ không thuần nhất có thể tìm được bằng phương pháp biến thiên tham số  .  
Đặt { yk(t) } , ( k = 1,2,...,n ) là hệ cơ sở của hệ  tuyến tính thuần nhất . Khi đó yk(t) là tổ hợp tuyến tính của yjk(t) , ( j = 1,2,...,n )
Nghiệm riêng của hệ không thuần nhất được tính từ biểu thức 

3.4  Hệ thống phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng .
+Hệ thống phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng có dạng 

                  y(t)'  =  A.y(t)  +  h(t)   (5)

Với A là ma trận các hằng số thực  aij , ( i,j = 1,2,...,n )  và h(t)  là vector cột ( h1(t)  h2(t)  ... hn(t) ) gồm các hàm hk(t) liên tục trên miền D .
+Nếu  h(t) = 0   ta có hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng .

                   y(t)'  =  A.y(t)         (6)

+Phương trình đặc trưng của (6) là  det( A - mI ) = 0  . Đây là phương trình đại số bậc n theo ẩn đặc trưng mk  , k = 1, 2 ...  .  
+Nghiệm của phương trình này là nghiệm đặc trưng mk của hệ , vector đặc trưng tương ứng là vk(t) , tìm được bằng cách giải phương trình 
Avk(t) =mk . vk(t).
+Một số trường hợp của trị đặc trưng như sau :
a. Thực -rời .
 Nếu các mk  , k = 1,2,..., n là thực và rời nhau thì hệ n vector đặc trưng tương ứng vk(t)  là độc lập tuyến tính .  Hệ nghiệm của (6) cũng độc lập tuyến tính và có dạng  

                   uk(t) = exp(mk t).vk(t) 

b. Phức .
 Nếu có mk = a + ib  là trị đặc trưng với vector đặc trưng tương ứng là vk(t)  thì  a - ib  cũng là trị đặc trưng của hệ . Khi đó 2 nghiệm thực độc lập tuyến tính của hệ sẽ là 

                   uk1(t) =Re{ exp(mk t).vk(t)} = 
      exp(at).[Re{vk(t)}cosbt - Im{vk(t)}sinbt]

                   uk2(t) = Im{exp(mk t).vk(t)} =
      exp(at).[Re{vk(t)}sinbt + Im{vk(t)}cosbt]


c. Thực - bội .
 Nếu có mj  là trị đặc trưng thực - rời , j = 1,2,..., h với vector đặc trưng tương ứng là vj(t)  và một trị đặc trưng m   là thực - bội cấp p của hệ . Khi đó nghiệm của hệ được biểu diễn bởi 





Trần hồng Cơ
09/08/2013.

Xem tiếp :
http://cohtran-toan-don-gian.blogspot.com/2013/08/gioi-thieu-ve-phuong-trinh-vi-phan.html



------------------------------------------------------------------------------------------- 
 Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.
 Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.
 Albert Einstein .