GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN . Chương 5 - PHẦN 3 .

   

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Chương 5 -

PHẦN 3 . 

Các phương pháp giải hệ thống phương trình vi phân tuyến tính .

-Phương pháp ma trận .
-Phương pháp toán tử     .
-Phương pháp biến đổi Laplace  .


 

Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  



Trần hồng Cơ .
09/09/2013 .



****************************************************************************
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.



 
Các phương pháp giải hệ thống phương trình vi phân tuyến tính .
2. Phương pháp toán tử .
+Hệ thống phương trình tuyến tính hệ số hằng có dạng 

                   y(t)'  =  A.y(t)  +  h(t)   (1)

Với A là ma trận các hằng số thực  aij , ( i,j = 1,2,...,n ) ; h(t)  là vector cột ( h1(t)  h2(t)  ... hn(t) ) gồm các hàm hk(t) ( k = 1,2,...,n )  liên tục trên miền D cho trước .
+Nếu  h(t) = 0   (1) thành hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng .

                   y(t)'  =  A.y(t)         (2)

Trong Chương 5 - Phần 2  chúng ta đã xét đến phương pháp ma trận , tìm nghiệm thuần nhất và nghiệm riêng cho dạng (1) .

+Trong mục này ta khảo sát cách giải hệ thống phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất có dạng 

  y(t)'  =  A(t).y(t)  +  h(t)   (3)

bằng phương pháp toán tử .

2.1 Nghiệm thuần nhất .
+Cách tìm nghiệm thuần nhất không giống như Chương 5 - Phần 2 -1 - 1.1 , Đối với dạng (1) hoặc (2) biểu thức nghiệm thuần nhất có được là nhờ vào phương trình đặc trưng của (1) :  | A - mI |  = 0  . Nghiệm đặc trưng có thể là dạng thực - rời , phức , thực - bội , thực - phức , từ đó tìm được vector đặc trưng vk(t)  tương ứng .

+ Xét hệ thống phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất có dạng 

y(t)'  =  A(t).y(t)  +  h(t)   (3)

 nghiệm thuần nhất được tìm bằng phương pháp toán tử với các bước sau đây .

Bước 1 . Tìm dạng toán tử của hệ (1) , gọi  s(D)  là ma trận toán tử tương ứng . Tính định thức det[s(D)] . 

Bước 2 . Thay D bằng m , xét phương trình  s(m) = 0 , nghiệm  của phương trình này chính là nghiệm đặc trưng của hệ .  
Ví dụ 1 . ( Thực - rời ) Giải hệ 

Thay D bằng m , nghiệm phương trình đặc trưng  s(m) = 0  cũng chính là nghiệm của det[s(D)] = 0 . 

Ví dụ 2 . ( Phức ) Giải hệ  



2.2 Nghiệm riêng .
2.2.1 Nhắc lại về toán tử vi phân .
Xem lại Chương 4 - Phần 2 . 1.2.2 các công thức toán tử vi phân ngược .
* Các công thức quan trọng .

** Liên hệ giữa toán tử vi phân ngược hàm mũ và  hàm lượng giác .

2.2.2 Cách tìm nghiệm riêng . 
Nghiệm riêng yR của hệ (3) sẽ được tìm sau khi đã có nghiệm thuần nhất yTN  . Nghiệm tổng quát của (3) ký hiệu yTQ là tổ hợp nghiệm thuần nhất và nghiệm riêng .
yTQ  =  yR  +  yTN 

Xét hệ         y(t)'  =  A(t).y(t)  +  h(t)      (3)
Với s(D)  là ma trận toán tử của hệ . 
+Bước 1 . 
Tạo ma trận s(D1)  bằng cách thay cột thứ nhất của  s(D)  bằng h(t)  . 
Tính định thức s(D1) .
Tạo ma trận s(D2)  bằng cách thay cột thứ hai của  s(D)  bằng h(t)  . 
Tính định thức s(D2) .
+Bước 2 . 
Nghiệm riêng y1 = det[s(D1)] / det [s(D)]
Nghiệm riêng y2 = det[s(D2)] / det [s(D)] .

Ví dụ 3 . ( Phức ) Giải hệ

+Tìm nghiệm riêng của hệ .
Tạo ma trận s(D1)  bằng cách thay cột thứ nhất của  s(D)  bằng h(t)  . Tính định thức s(D1) .

Ví dụ 4 . ( Thực - rời ) Giải hệ

Lưu ý : Công thức Euler được áp dụng khi tìm nghiệm riêng của hệ thống phương trình vi phân tuyến tính nhờ đó việc tính toán sẽ dễ dàng hơn .

Ví dụ 5 . ( Phức ) Giải hệ

Các bạn có thể tìm nhanh biểu thức nghiệm riêng của hệ bằng công thức Euler .

2.3 Phương pháp biến thiên tham số .
2.3.1 Nhắc lại về phương pháp biến thiên tham số .
Xem lại Chương 4 - Phần 1 . 4. về nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính cấp cao .
+Tìm nghiệm thuần nhất yTN của phương trình vi phân đã cho .
+Nghiệm riêng có dạng yR  =  u1(t)y1(t) +   u2(t)y2(t) +  ...   với  {y1(t), y2(t), ...  } là tập nghiệm thuần nhất .
+Tìm định thức Wronski của hệ này và kiểm tra xem có phải là hệ cơ sở hay không .
+Thiết lập và giải hệ thống phương trình tuyến tính với ẩn hàm là {u1(t)', u2(t)' , ...  } 
+Tích phân theo biến độc lập của các ẩn hàm này thu được {u1(t) , u2(t) , ...  } 
+Trả về biểu thức nghiệm riêng  yR  =  u1(t)y1(t) +   u2(t)y2(t) +  ... 
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính có dạng :    yTQ  =  yTN  +  yR  .
2.3.2 Ví dụ minh họa .

Ví dụ 6 . ( Phức ) Giải hệ

Tìm biểu thức A(t)'  và  B(t)' 

Vậy nghiệm tổng quát của hệ là 

Xem tiếp 

Trần hồng Cơ .
20/09/2013 .


This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.
 -------------------------------------------------------------------------------------------

 Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.
 Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.
 Albert Einstein .