Giải toán trực tuyến W | A




Vẽ đồ thị trong Oxyz plot3D(f(x,y),x=..,y=..)
Vẽ đồ thị trong Oxy plot(f(x),x=..,y=..)
Đạo hàm derivative(f(x))
Tích phân Integrate(f(x))


Giải toán trực tuyến W|A

MW

Thứ Ba, 27 tháng 8, 2013

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN . Chương 5 - PHẦN 2 .


   

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .









Chương 5 -


PHẦN 2 . 



Các phương pháp giải hệ thống phương trình vi phân tuyến tính .

-Phương pháp ma trận .
-Phương pháp toán tử     .
-Phương pháp biến đổi Laplace  .


 

Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  



Trần hồng Cơ .

20/08/2013 .



****************************************************************************Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.




Các phương pháp giải hệ thống phương trình vi phân tuyến tính .
1. Phương pháp ma trận .
+Như đã trình bày ở Chương 5-Phần 1 , hệ thống phương trình tuyến tính hệ số hằng có dạng 

                   y(t)'  =  A.y(t)  +  h(t)   (1)

Với  A là ma trận các hằng số thực  aij , ( i,j = 1,2,...,n )  và h(t)  là vector cột ( h1(t)  h2(t)  ... hn(t) ) gồm các hàm hk(t
k = 1,2,...,n )  liên tục trên miền D cho trước .
+Khi  h(t) = 0   ta có hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng .

                   y(t)'  =  A.y(t)         (2)

Trong phần này chúng ta sẽ khảo sát các phương pháp giải cho dạng (1) .
1.1 Nghiệm thuần nhất .
Nghiệm thuần nhất yTN của hệ (1) là lời giải của (2) .
Cách tìm nghiệm thuần nhất .
Bước 1 . Tìm nghiệm của phương trình đặc trưng 
| A - mI |  = 0 .  
Đây là phương trình đại số bậc n theo ẩn đặc trưng m .  
+Nghiệm của phương trình này gọi là nghiệm đặc trưng mk , k = 1, 2 ...  của hệ . 
Bước 2 . Tìm vector đặc trưng ký hiệu là vk(ttương ứng với nghiệm mk   bằng cách giải phương trình 
                        Avk(t) =mk . vk(t).
+Các trường hợp của trị đặc trưng gồm :
a. Thực -rời .
 +Các mk  , k = 1,2,..., n là thực - rời có hệ n vector đặc trưng tương ứng vk(t)  là độc lập tuyến tính .  Hệ nghiệm của (2) có dạng  

                   uk(t) = exp(mk t).vk(t) 

Ví dụ 1 . 
b. Phức .
 Trị đặc trưng phức  mk = a + ib   với vector đặc trưng tương ứng là vk(t)  thì  a - ib  cũng là trị đặc trưng của hệ . Hai nghiệm thực độc lập tuyến tính của hệ có dạng 

                   uk1(t) =Re{ exp(mk t).vk(t)} = 
      exp(at).[Re{vk(t)}cosbt - Im{vk(t)}sinbt]

                   uk2(t) = Im{exp(mk t).vk(t)} =
      exp(at).[Re{vk(t)}sinbt + Im{vk(t)}cosbt]

Ví dụ 2 . 
c. Thực - bội .
 Hệ có một trị đặc trưng m   là thực - bội cấp p và  mj  là trị đặc trưng thực - rời , j = 1,2,..., h với vector đặc trưng tương ứng là vj(t)  . Để tìm vector đặc trưng vj(t) ( j = 2,3,..., ) ta giải phương trình ma trận 
( A - mI ) vvj-1(t)  .  Nghiệm của hệ được biểu diễn bởi 
             


Ví dụ 3 . 

Khi đó 
d. Thực - phức .
 Hệ có một số trị đặc trưng mi , i = 1,2 ,..., k   là phức và  mj  là trị đặc trưng thực - rời , j = 1,2,..., h với vector đặc trưng tương ứng là vj(t)  . Nghiệm của hệ được biểu diễn bởi tổ hợp tuyến tính dạng a.  và  b ( hoặc  c.  tùy theo các dạng của trị đặc trưng ) . 
Ví dụ 4 .
1.2 Nghiệm riêng .




Xem tiếp 

http://cohtran-toan-don-gian.blogspot.com/2013/08/gioi-thieu-ve-phuong-trinh-vi-phan_28.html


Trần hồng Cơ .
09/09/2013 .

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.
 -------------------------------------------------------------------------------------------

 Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.
 Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.
 Albert Einstein .

2 nhận xét :

  1. Bài viết trình bày rất chi tiết về các phương pháp giải . Cám ơn Blog .

    Trả lờiXóa
  2. http://www.wikihow.com/Solve-Differential-Equations

    Trả lờiXóa

Cám ơn lời bình luận của các bạn .
Tôi sẽ xem và trả lời ngay khi có thể .


I will review and respond to your comments as soon as possible.,
Thank you .

Trần hồng Cơ .
Co.H.Tran
MMPC-VN
cohtran@mail.com
https://plus.google.com/+HongCoTranMMPC-VN/about

*******

Blog Toán Cơ trích đăng các thông tin khoa học tự nhiên của tác giả và nhiều nguồn tham khảo trên Internet .
Blog cũng là nơi chia sẻ các suy nghĩ , ý tưởng về nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau .


Chia xẻ

Bài viết được xem nhiều trong tuần

CÁC BÀI VIẾT MỚI VỀ CHỦ ĐỀ TOÁN HỌC

Danh sách Blog

Gặp Cơ tại Researchgate.net

Co Tran