Giải toán trực tuyến W | A




Vẽ đồ thị trong Oxyz plot3D(f(x,y),x=..,y=..)
Vẽ đồ thị trong Oxy plot(f(x),x=..,y=..)
Đạo hàm derivative(f(x))
Tích phân Integrate(f(x))


Giải toán trực tuyến W|A

MW

Thứ Bảy, 23 tháng 4, 2016

GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN . Phần 14d . KHẢO SÁT HÀM SỐ - Sự biến thiên của hàm số .



GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN .

Phần 14d . KHẢO SÁT HÀM SỐ  - Sự biến thiên của hàm số .   


DANH MỤC CÔNG CỤ GIẢI TOÁN TRỰC TUYẾN  MATHEMATICA  WOLFRAM | ALPHA .

Giới thiệu .

Bạn đọc truy cập vào đường dẫn  http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen  để sử dụng các widgets giải toán trực tuyến W|A Mathematica theo chỉ mục trong danh sách dưới đây .

Những widgets này đã được tác giả sắp xếp theo từng môn học và cấp lớp theo ký hiệu như sau :

D : Đại số . Ví dụ  D8.1 widget dùng cho Đại số lớp 8 , mục 1 - Khai triển , rút gọn biểu thức đại số .
H : Hình học . Ví dụ  H12.3  widget dùng cho Hình học lớp 12 , mục 3 - Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian .
G : Giải tích . Ví dụ : G11.7  widget dùng cho Giải tích lớp 11 , mục 7 - Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
GI : Giải tích cao cấp I . Ví dụ GI.15  widget dùng cho Giải tích cao cấp I , mục 15 - Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GII : Giải tích cao cấp II .


++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++


 ĐẠI SỐ 8

D8.1  Khai triển , rút gọn biểu thức đại số
D8.2  Rút gọn phân thức
D8.3  Phân tích thừa số
D8.4  Nhân 2 đa thức
D8.5  Khai triển tích số ( có thể dùng để khai triển Newton )
D8.6  Phân tích thừa số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 10

D10.1 Giải phương trình nguyên Diophante
D10.2 Giải phương trình tuyệt đối
D10.3 Giải phương trình chứa tham số
D10.4  Giải phương trình đại số
D10.5  Giải phương trình từng bước
D10.6  Giải bất phương trình minh hoạ bằng đồ thị

D10.8  Tính giá trị biểu thức hàm số
D10.9  Giải bất phương trình đại số và minh hoạ bằng đồ thị
D10.10  Giải bất phương trình đại số - tìm miền nghiệm
D10.11  Giải phương trình đại số
D10.12  Giải phương trình vô tỷ
D10.13  Giải phương trình minh hoạ từng bước
D10.14  Giải phương trình dạng hàm ẩn
D10.15  Giải hệ thống phương trình tuyến tính , phi tuyến
D10.16  Giải hệ phương trình
D10.17  Vẽ miền nghiệm của bất phương trình đại số
D10.19  Tối ưu hoá hàm 2 biến với các ràng buộc
D10.20  Tìm giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành Ox , trục tung Oy

HÌNH HỌC 10

H10.1  Tính diện tích tam giác trong hệ toạ độ Oxy
H10.3  Khảo sát conic ( đường tròn , Ellipse , Parabola , Hyperbola )
H10.2  Tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng trong Oxy



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 11

D11.1 Thuật chia Euclide dùng cho số và đa thức  ( HORNER )
D11.2  Tính tổng nghịch đảo của n số tự nhiên




D11.6  Khai triển nhị thức Newton


GIẢI TÍCH 11


G11.1  Tính gíá trị một chuỗi số  theo n
G11.2  Đa thức truy hồi
G11.3  Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số
G11.4  Tính giới hạn của chuỗi số khi  $n \rightarrow  \infty$
G11.5  Tìm hàm số ngược của hàm số cho trước
G11.6  Tìm đạo hàm của hàm số hợp - giải thích
G11.7   Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
G11.8   Tìm giới hạn của hàm số
G11.9   Tìm giới hạn của hàm số
G11.10  Tính đạo hàm hàm số có dạng U/V
G11.11  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước
G11.12  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước

G11+12.1   Tính đạo hàm ,tích phân , giới hạn , vẽ đồ thị


LƯỢNG GIÁC 11

L11.1   Giải phương trình lượng giác
L11.2   Giải phương trình lượng giác trên một đoạn
L11.3   Tìm chu kỳ của hàm số tuần hoàn
L11.4   Khai triển công thức lượng giác



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 12

D12.1   Cấu trúc của số phức
D12.1   Giải phương trình mũ
D12.3   Giải  phương trình chứa tham số
D12.4   Giải  phương trình  bất kỳ  ( Bậc 2 , 3 , ... , mũ  , log , căn thức )
D12.5   Giải phương trình mũ



GIẢI TÍCH 12


G12.1  Vẽ đồ thị biểu diễn phương trình
G12.2    Khảo sát hàm số hữu tỷ
G12.3   Vẽ đồ thị trong toạ độ cực (Polar)
G12.4    Tìm cực trị của hàm số
G12.5    Vẽ đồ thị hàm số 2D
G12.6   Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số
G12.7    Vẽ nhiều hàm số - Basic plot. To plot two or more functions, enter {f1(x), f2(x),...}
G12.8    Tìm điểm uốn của hàm số cho trước
G12.9    Tìm nghiệm của các phương trình  y = 0 , y ' = 0 ,  y " = 0
G12.10    Tính tích phân bất định
G12.11    Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.12   Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.13   Tìm đường tiệm cận của hàm số
G12.14   Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.15  Tìm giao điểm của hàm số đa thức và trục hoành Ox - Vẽ đồ thị .
G12.16    Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi (C1) , (C2)
G12.17    Vẽ đồ thị hàm số ( có đường tiệm cận )
G12.18   Vẽ đồ thị 2D , 3D
G12.19   Tìm hoành độ giao điểm giữa 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.20    Vẽ đường cong tham số 3D
G12.21    Tính diện tich mặt tròn xoay
G12.22    Tích thể tích vật tròn xoay  (C) , trục  Ox , x =a , x= b
G12.23    Thể tích vật tròn xoay
G12.24    Tích thể tích vật tròn xoay (C1) , (C2) , trục OX , x = a , x = b
G12.25    Khảo sát hàm số đơn giản
G12.26    Tìm cực trị của hàm số
G12.27    Tìm nguyên hàm của hàm số
G12.28    Tính tích phân xác định


HÌNH HỌC 12


H12.1  Tính khoảng cách 2 điểm trong 2D , 3D
H12.2   Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm trong không gian
H12.3  Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian
H12.4   Tìm công thức thể tích , diện tích hình không gian
H12.5   Vẽ đồ thị 2D , mặt 3D
H12.6    Tích có hướng 2 vector



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

GIẢI TÍCH CAO CẤP

GI.1    Vẽ đồ thị , mặt 3D
GI.2   Vẽ đồ thị , mặt  3D
GI.3    Tích phân 2 lớp
GI.5    Tích phân kép
GI.6    Tích phân bội 3
GI.7    Tích phân bội 3
GI.8    Tích phân suy rộng
GI.9    Chuỗi và dãy số
GI.10    Các bài toán cơ bản trong vi  tích phân
GI.11     Vẽ hàm từng khúc ( piecewise ) - dùng để xét tính liên tục của hàm số
GI.12    Tính đạo hàm và tích phân một hàm số cho trước
GI.13     Vẽ đồ thị hàm số trong hệ toạ độ cực
GI.14     Tính đạo hàm riêng
GI.15    Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GI.16    Tính tổng chuỗi số  n = 1...$\infty$
GI.17     Vẽ  đồ thị  3 hàm số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Bài viết sau đây mô tả các khái niệm toán học và hướng dẫn tính toán chi tiết bằng công cụ trực tuyến , bạn đọc có thể tham khảo những nội dung chính yếu được đề cập đến trong giáo trình toán phổ thông  cùng với các ví dụ minh họa  .

Một số website hữu ích phục vụ cho việc giảng dạy và học tập môn toán :

http://quickmath.com/
http://analyzemath.com/
http://www.intmath.com/
http://www.mathportal.org
https://www.mathway.com/
https://www.symbolab.com/
http://www.graphsketch.com/
http://www.meta-calculator.com/online/?home
http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen
https://www.geekandnerd.org/edu-courses/

14.  KHẢO SÁT HÀM SỐ  - Sự biến thiên của hàm số .

14.8  Sự biến thiên của hàm số .

14.8.1  Tính tăng giảm của hàm số $y=f(x)$ .

a. Quy tắc chung .

*Tính đạo hàm y'(x) , giải phương trình $y'(x) = 0$ , tìm cực trị hàm số .
*Lập bảng biến thiên tăng giảm


x
-∞

                             +∞
y’(x)



y(x)




*Hàm tăng trên $(a,b) \Leftrightarrow y'(x) \geq 0 , \forall x \in (a,b)$
*Hàm giảm trên $(a,b) \Leftrightarrow y'(x) \leq 0 , \forall x \in (a,b)$
Âm giảm , dương tăng ,


b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Xét tính tăng giảm của hàm số $y=x^3-3x+2$

Lời giải

*Dùng widget  G12.I.1 TIM KHOANG TANG GIAM CUA HAM SO    https://goo.gl/kp4R8Z


Xem  https://goo.gl/oLA1yd
Kết luận : Hàm tăng trên $(-\infty,-1);(1,+\infty)$


Xem  https://goo.gl/LoyqQB
Kết luận : Hàm giảm trên $(-1,1)$

Dùng widget khảo sát hàm số và dựa trên đồ thị trực tiếp

Ví dụ 2. 
Xét tính tăng giảm của hàm số $y=x^3-3x+2$

Lời giải

*Dùng widget  G12.I.1 KHAO SAT HAM SO (C)    https://goo.gl/syK0uL



Kết luận :
Hàm tăng trên $(-\infty,-1);(1,+\infty)$
Hàm giảm trên $(-1,1)$


14.8.2  Bài toán tìm điều kiện để hàm số $y=f(x)$  luôn tăng / giảm trên tập xác định .
a. Quy tắc chung .

*Tính đạo hàm y'(x) , xét phương trình $y'(x) = 0$ .

*Hàm tăng trên $\mathbb{R}  \Leftrightarrow y'(x) \geq 0 , \forall x\in \mathbb{R}$
Đối với bất phương trình bậc 2 : $ax^2+bx+c \geq 0  \Leftrightarrow a \geq 0 ; \Delta \leq 0 $

*Hàm giảm trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow y'(x) \leq 0 , \forall x\in \mathbb{R}$
Đối với bất phương trình bậc 2 : $ax^2+bx+c \leq 0  \Leftrightarrow a \leq 0 ; \Delta \leq 0 $

Ghi nhớ :  $da=df ; \Delta \leq 0$
Âm giảm , dương tăng ,

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm m để hàm số $y=x^3-(m+1)x^2+(3m-3)x+2$   luôn tăng trên miền xác định D .

$y'(x)=3x^2-2(m+1)x+3m+3$
$y'(x)\geq 0;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow 3\geq 0;\Delta \leq 0$
Hay
$[-(m+1)]^2-3(3m-3)\leq 0;3\geq 0$

* Dùng widget  G12.I.1 TIM m-HS Tang&giam/D (bt18.1)    https://goo.gl/kRVpCc


Xem  https://goo.gl/1yJl9p

Ví dụ 2. 
Tìm m để hàm số $y=-x^3-(m+3)x^2+(m-3)x+1$   luôn giảm trên miền xác định D .
$y'(x)=-3x^2-2(m+3)x+m-3$
$y'(x)\leq 0;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow  -3\leq 0;\Delta \leq 0$
Hay
$[-(m+3)]^2+3(m-3)\leq 0;-3\leq 0$



Xem  https://goo.gl/tkV4Sg

Ví dụ 3. 
Tìm m để hàm số $y=\frac{mx+2}{4x+m-2}$   luôn tăng trên miền xác định D .
$y'(x)=\frac{m(m-2)-2.4}{(4x+m-2)^2}$
$y'(x) > 0;\forall x\in \mathbb{R}-{(2-m)/4} \Leftrightarrow  m(m-2)-2.4  > 0$
Hay
$m^2-2m-8>0$

*Dùng widget  G12.I.1 TIM m-HS Tang&giam/D (bt18.2)    https://goo.gl/oYjzdL

Xem  https://goo.gl/tsASxO

Ví dụ 4. 
Tìm m để hàm số $y=\frac{(m+1)x+4}{x+m-2}$   luôn giảm trên miền xác định D .
$y'(x)=\frac{(m+1)(m-2)-1.4}{(x+m-2)^2}$
$y'(x) < 0;\forall x\in \mathbb{R}-{(2-m)} \Leftrightarrow  (m+1)(m-2)-1.4 < 0$
Hay
$m^2-m-6<0$


Xem  https://goo.gl/NkAHZ9


14.8.3  Bài toán tìm điều kiện để hàm số $y=f(x)$  luôn tăng / giảm trên tập I cho trước .
a. Quy tắc chung .

*Tính đạo hàm $y'(x)$ .

*Hàm tăng trên $I  \Leftrightarrow y'(x) \geq 0 , \forall x\in I$
*Hàm giảm trên $I  \Leftrightarrow y'(x) \leq 0 , \forall x\in I$


Nếu biểu thức $y'=f '(x)$ chứa m (bậc nhất) thực hiên các bước sau :
B1. Chuyển m sang một vế , đưa về bất phương trình $g(x) \geq h(m)$ hoặc $g(x) \leq h(m)$
B2. Rút x làm thừa số chung , xét dấu biểu thức chứa x trong tích số với m (nếu có)
B3. Lập bảng biến thiên của $g(x)$ , đưa khoảng I vào bảng .
B4. Dựa vào bất phương trình cho $g(x) \geq h(m)$ hoặc $g(x) \leq h(m)$ .

Nếu biểu thức $y'=f '(x)$ chứa m (bậc hai) thực hiên các bước sau :
B1. Tính $\Delta = b^2-4ac$ của $y'(x)$ .
B2. Lập bảng (lồng bảng)

m
-∞
                                +∞
Hệ số a
$\Delta = b^2-4ac$
Biện luận
x


g’(x)


x


g’(x)


x


g’(x)



B3. Biện luận trên bảng (lồng bảng) cho m di động từ trái sang phải .
B4. Áp dụng định lý dấu tam thức bậc 2 .
$x_1<\alpha<x_2  \Leftrightarrow a.g(\alpha)<0$
$\alpha<x_1<x_2  \Leftrightarrow a.g(\alpha)>0;\Delta >0;\alpha<S/2$
$x_1<x_2<\alpha  \Leftrightarrow a.g(\alpha)>0;\Delta >0;S/2<\alpha$


Ghi nhớ :
Âm giảm , dương tăng ,
Lớn trên , nhỏ dưới

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm m để hàm số $y=x^3-3mx^2+6mx+1$   luôn tăng trên khoảng $[0,1/2]$ .

Tính $y'=f '(x)= 3x^2-6mx+6m$
Hàm tăng trên $[0,1/2]  \Leftrightarrow y'(x) \geq 0 , \forall x\in  [0,1/2]$
Hay $x^2-2mx+2m \geq 0 , \forall x\in  [0,1/2]$
Chuyển m sang một vế , đưa về bất phương trình $x^2 \geq  2mx-2m$
Ta có  $x^2 \geq  m(2x-2)$
Rút x làm thừa số chung , xét dấu biểu thức chứa x trong tích số với m

Biểu thức  $2x-2 <0 ; x \in [0,1/2]$  nên $x^2 /(2x -2)  \leq  m$
Đặt $g(x)=x^2 /(2x -2)$  và  $h(m)=m$
Lập bảng biến thiên của $g(x)=x^2 /(2x -2)$ , đưa khoảng $[0,1/2]$ vào bảng .
Đạo hàm $g'(x)=\frac{x^2-2x}{2(x-1)^2}$

Kết luận :  $m \geq 0$


Kiểm tra trị số $m=0$ thỏa yêu cầu bài toán
Kết luận :  $m \geq 0$

Xem  https://goo.gl/PY6xEJ

Ví dụ 2. 
Tìm m để hàm số $y=(x^2+x+m)/(x+1)$   luôn giảm trên khoảng $(0,1)$ .





Ví dụ 3. 
Tìm m để hàm số $y=(x+2m)/(x+1)$   luôn giảm trên khoảng $[1,3/2]$ .



Xem  https://goo.gl/KDh5sB




Trần hồng Cơ
Ngày 18/04/2016



------------------------------------------------------------------------------------------- 

 If you know about what you are talking about , you have something more valuable than gold and jewels - 

Có nhiều vàng và châu ngọc , nhưng miệng có tri thức là bửu vật quý giá vô song . 



Châm ngôn 20:15 

Thứ Sáu, 15 tháng 4, 2016

GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN . Phần 14c . KHẢO SÁT HÀM SỐ - Sự tương giao đồ thị .



GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN .

Phần 14c . KHẢO SÁT HÀM SỐ  - Sự tương giao đồ thị .   


DANH MỤC CÔNG CỤ GIẢI TOÁN TRỰC TUYẾN  MATHEMATICA  WOLFRAM | ALPHA .

Giới thiệu .

Bạn đọc truy cập vào đường dẫn  http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen  để sử dụng các widgets giải toán trực tuyến W|A Mathematica theo chỉ mục trong danh sách dưới đây .

Những widgets này đã được tác giả sắp xếp theo từng môn học và cấp lớp theo ký hiệu như sau :

D : Đại số . Ví dụ  D8.1 widget dùng cho Đại số lớp 8 , mục 1 - Khai triển , rút gọn biểu thức đại số .
H : Hình học . Ví dụ  H12.3  widget dùng cho Hình học lớp 12 , mục 3 - Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian .
G : Giải tích . Ví dụ : G11.7  widget dùng cho Giải tích lớp 11 , mục 7 - Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
GI : Giải tích cao cấp I . Ví dụ GI.15  widget dùng cho Giải tích cao cấp I , mục 15 - Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GII : Giải tích cao cấp II .


++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++


 ĐẠI SỐ 8

D8.1  Khai triển , rút gọn biểu thức đại số
D8.2  Rút gọn phân thức
D8.3  Phân tích thừa số
D8.4  Nhân 2 đa thức
D8.5  Khai triển tích số ( có thể dùng để khai triển Newton )
D8.6  Phân tích thừa số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 10

D10.1 Giải phương trình nguyên Diophante
D10.2 Giải phương trình tuyệt đối
D10.3 Giải phương trình chứa tham số
D10.4  Giải phương trình đại số
D10.5  Giải phương trình từng bước
D10.6  Giải bất phương trình minh hoạ bằng đồ thị

D10.8  Tính giá trị biểu thức hàm số
D10.9  Giải bất phương trình đại số và minh hoạ bằng đồ thị
D10.10  Giải bất phương trình đại số - tìm miền nghiệm
D10.11  Giải phương trình đại số
D10.12  Giải phương trình vô tỷ
D10.13  Giải phương trình minh hoạ từng bước
D10.14  Giải phương trình dạng hàm ẩn
D10.15  Giải hệ thống phương trình tuyến tính , phi tuyến
D10.16  Giải hệ phương trình
D10.17  Vẽ miền nghiệm của bất phương trình đại số
D10.19  Tối ưu hoá hàm 2 biến với các ràng buộc
D10.20  Tìm giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành Ox , trục tung Oy

HÌNH HỌC 10

H10.1  Tính diện tích tam giác trong hệ toạ độ Oxy
H10.3  Khảo sát conic ( đường tròn , Ellipse , Parabola , Hyperbola )
H10.2  Tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng trong Oxy



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 11

D11.1 Thuật chia Euclide dùng cho số và đa thức  ( HORNER )
D11.2  Tính tổng nghịch đảo của n số tự nhiên




D11.6  Khai triển nhị thức Newton


GIẢI TÍCH 11


G11.1  Tính gíá trị một chuỗi số  theo n
G11.2  Đa thức truy hồi
G11.3  Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số
G11.4  Tính giới hạn của chuỗi số khi  $n \rightarrow  \infty$
G11.5  Tìm hàm số ngược của hàm số cho trước
G11.6  Tìm đạo hàm của hàm số hợp - giải thích
G11.7   Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
G11.8   Tìm giới hạn của hàm số
G11.9   Tìm giới hạn của hàm số
G11.10  Tính đạo hàm hàm số có dạng U/V
G11.11  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước
G11.12  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước

G11+12.1   Tính đạo hàm ,tích phân , giới hạn , vẽ đồ thị


LƯỢNG GIÁC 11

L11.1   Giải phương trình lượng giác
L11.2   Giải phương trình lượng giác trên một đoạn
L11.3   Tìm chu kỳ của hàm số tuần hoàn
L11.4   Khai triển công thức lượng giác



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 12

D12.1   Cấu trúc của số phức
D12.1   Giải phương trình mũ
D12.3   Giải  phương trình chứa tham số
D12.4   Giải  phương trình  bất kỳ  ( Bậc 2 , 3 , ... , mũ  , log , căn thức )
D12.5   Giải phương trình mũ



GIẢI TÍCH 12


G12.1  Vẽ đồ thị biểu diễn phương trình
G12.2    Khảo sát hàm số hữu tỷ
G12.3   Vẽ đồ thị trong toạ độ cực (Polar)
G12.4    Tìm cực trị của hàm số
G12.5    Vẽ đồ thị hàm số 2D
G12.6   Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số
G12.7    Vẽ nhiều hàm số - Basic plot. To plot two or more functions, enter {f1(x), f2(x),...}
G12.8    Tìm điểm uốn của hàm số cho trước
G12.9    Tìm nghiệm của các phương trình  y = 0 , y ' = 0 ,  y " = 0
G12.10    Tính tích phân bất định
G12.11    Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.12   Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.13   Tìm đường tiệm cận của hàm số
G12.14   Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.15  Tìm giao điểm của hàm số đa thức và trục hoành Ox - Vẽ đồ thị .
G12.16    Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi (C1) , (C2)
G12.17    Vẽ đồ thị hàm số ( có đường tiệm cận )
G12.18   Vẽ đồ thị 2D , 3D
G12.19   Tìm hoành độ giao điểm giữa 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.20    Vẽ đường cong tham số 3D
G12.21    Tính diện tich mặt tròn xoay
G12.22    Tích thể tích vật tròn xoay  (C) , trục  Ox , x =a , x= b
G12.23    Thể tích vật tròn xoay
G12.24    Tích thể tích vật tròn xoay (C1) , (C2) , trục OX , x = a , x = b
G12.25    Khảo sát hàm số đơn giản
G12.26    Tìm cực trị của hàm số
G12.27    Tìm nguyên hàm của hàm số
G12.28    Tính tích phân xác định


HÌNH HỌC 12


H12.1  Tính khoảng cách 2 điểm trong 2D , 3D
H12.2   Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm trong không gian
H12.3  Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian
H12.4   Tìm công thức thể tích , diện tích hình không gian
H12.5   Vẽ đồ thị 2D , mặt 3D
H12.6    Tích có hướng 2 vector



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

GIẢI TÍCH CAO CẤP

GI.1    Vẽ đồ thị , mặt 3D
GI.2   Vẽ đồ thị , mặt  3D
GI.3    Tích phân 2 lớp
GI.5    Tích phân kép
GI.6    Tích phân bội 3
GI.7    Tích phân bội 3
GI.8    Tích phân suy rộng
GI.9    Chuỗi và dãy số
GI.10    Các bài toán cơ bản trong vi  tích phân
GI.11     Vẽ hàm từng khúc ( piecewise ) - dùng để xét tính liên tục của hàm số
GI.12    Tính đạo hàm và tích phân một hàm số cho trước
GI.13     Vẽ đồ thị hàm số trong hệ toạ độ cực
GI.14     Tính đạo hàm riêng
GI.15    Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GI.16    Tính tổng chuỗi số  n = 1...$\infty$
GI.17     Vẽ  đồ thị  3 hàm số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Bài viết sau đây mô tả các khái niệm toán học và hướng dẫn tính toán chi tiết bằng công cụ trực tuyến , bạn đọc có thể tham khảo những nội dung chính yếu được đề cập đến trong giáo trình toán phổ thông  cùng với các ví dụ minh họa  .

Một số website hữu ích phục vụ cho việc giảng dạy và học tập môn toán :

http://quickmath.com/
http://analyzemath.com/
http://www.intmath.com/
http://www.mathportal.org
https://www.mathway.com/
https://www.symbolab.com/
http://www.graphsketch.com/
http://www.meta-calculator.com/online/?home
http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen
https://www.geekandnerd.org/edu-courses/

14.  KHẢO SÁT HÀM SỐ  - Sự tương giao đồ thị .

14.7  Sự tương giao đồ thị của hàm số .

14.7.1  Đồ thị hàm số $y=f(x)$ và trục hoành Ox

a. Quy tắc .

Khảo sát hàm số $y=f(x)$ .
Giải phương trình $f(x)=0$ .
Số nghiệm của phương trình = số giao điểm của đồ thị và trục hoành
Cắt trục hoành (có hoành không có tung , $y = 0$ )

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Xét sự tương giao của đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+2$ và trục hoành Ox

Lời giải

*Dùng widget G12.I.1 KHAO SAT (C),Ox (bt20.4)     https://goo.gl/5CgtXB 




14.7.2  Đồ thị hàm số $y=f(x)$ và trục tung Oy

a. Quy tắc .

Khảo sát hàm số $y=f(x)$ .
Thay $x=0$  vào hàm số .
Giao điểm của đồ thị và trục tung
Cắt trục tung (có tung không có hoành , $x = 0$ )

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Xét sự tương giao của đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+2$ và trục tung Oy

Lời giải

*Dùng widget G12.I.1 KHAO SAT (C),Oy (bt20.5)     https://goo.gl/xdqO32




14.7.3  Đồ thị hàm số $(C_1):y=f(x)$ và  $(C_2):y=g(x)$  ( m tham số )

a. Quy tắc .

Khảo sát 2 hàm số $(C_1):y=f(x)$ và $(C_2):y=g(x)$ .
Lưu ý đến tập xác định của các hàm số , các cận biên .
Giải phương trình $f(x)=g(x)$
Tìm giao điểm của 2 đồ thị trên .


b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Xét sự tương giao của đồ thị hàm số $y=x^3-3x+2$ và $y=x+2$ .
Lời giải

*Dùng widget G12.I.1 KHAO SAT (C1),(C2) (bt20.1a)     https://goo.gl/bX0e7P
Kiểm tra bằng đồ thị .


*Dùng widget  G12.I.1 KHAO SAT (C1),(C2) (bt20.1b)     https://goo.gl/m4E80h
Tìm nghiệm đại số .




14.7.4  Đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng $y=m$  ( m tham số )

a. Quy tắc .

Khảo sát hàm số $y=f(x)$ .
Lưu ý đến các tung độ cực trị , các cận biên .
Cho $y=m$  di động từ dưới lên trên ( từ $-\infty$ đến $-\infty$ ) .
Tìm giao điểm của đồ thị và $y=m$


b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Xét sự tương giao của đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+2$ và $y=m$ . Tìm m để $x^3-3x^2+2-m=0$  có 3 nghiệm phân biệt .

Lời giải

*Dùng widget  G12.I.1 KHAO SAT HAM SO (C)    https://goo.gl/Qs01Um
Thực hành bằng cách khảo sát hàm số .


Các tung độ cực trị là  $y_{CT}=-2$ và $y_{CD}=-2$
Cho đường thẳng $y=m$ ( song song với Ox )   di động từ dưới lên trên ( từ $-\infty$ đến $-\infty$ ) , ta có :
+ $m<-2\vee m>2$  : 1 giao điểm
+$m=-2\vee m=2$  : 2 giao điểm
+$-2<m<2$  : 3 giao điểm
Vậy phương trình  $x^3-3x^2+2-m=0$  có 3 nghiệm phân biệt khi  $-2<m<2$

* Dùng widget  G12.I.1 KHAO SAT (C),(d)(bt20.6)     https://goo.gl/O4yrfc



Cho đường thẳng g(m) ( song song với Oy )di động từ trái sang phải ( từ $-\infty$ đến $-\infty$ ) ,
ta có :
+ $m<-2\vee m>2$  : 1 giao điểm
+$m=-2\vee m=2$  : 2 giao điểm
+$-2<m<2$  : 3 giao điểm

Ví dụ 2. 
Ví dụ như trên : xét sự tương giao của đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+2$ và $y=m$ . Tìm m để $x^3-3x^2+2-m=0$  có 3 nghiệm phân biệt .

Lời giải

*Dùng widget  G12.I.1 BLUAN SO Ngh BANG DO THI (bt21.1)    https://goo.gl/YuuDjq
Giải trực tiếp .


Xem   https://goo.gl/HXQ9uz



Mô tả lời giải cụ thể

+ $m<-2\vee m>2$  : 1 giao điểm
+$m=-2\vee m=2$  : 2 giao điểm
+$-2<m<2$  : 3 giao điểm


14.7.5  Điều kiện đồ thị 2 hàm số $y=f(x)$ , $y=g(x)$ và cắt nhau một số giao điểm .

a. Quy tắc .

Phương trình hoành độ giao điểm : f(x) = g(x) ( PTHDGD )
Tách PTB3 = PTB1.PTB2 (nếu có)
Thay nghiệm PTB1 vào PTB2 =/= 0 .
B.1 Tìm nghiệm x(m) của PTHDGD
B.2 Tìm điều kiện có nghĩa của x(m)


b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm m để đồ thị hàm số $y = f(x) = m(x^2-1)$ và $y = g(x) = -2x^3+x+1$ có 3 giao điểm phân biệt .

Lời giải

*Dùng widget  G12.I.1 DK/2 HS CAT NHAU MOT SO GD (bt20.2)    https://goo.gl/eSmPpB
Tìm nghiệm x(m) của PTHDGD .



*Dùng widget  G12.I.1 DK/2 HS CAT NHAU MOT SO GD (bt20.3)    https://goo.gl/ehqF1v
Tìm điều kiện có nghĩa của x(m)














Trần hồng Cơ
Ngày 12/04/2016



------------------------------------------------------------------------------------------- 

 If you know about what you are talking about , you have something more valuable than gold and jewels - 

Có nhiều vàng và châu ngọc , nhưng miệng có tri thức là bửu vật quý giá vô song . 



Châm ngôn 20:15 

Thứ Bảy, 9 tháng 4, 2016

GIẢ DƯƠNG TÍNH VÀ GIẢ ÂM TÍNH .






 GIẢ DƯƠNG TÍNH VÀ GIẢ ÂM TÍNH .

 False-Positive2

Không phải tất cả các kết quả của các xét nghiệm y tế là hoàn toàn chính xác. Các nhà khoa học có thể mắc sai lầm khi họ kết luận rằng một điều gì đó là đúng khi nó thực sự là sai hay cái gì đó là sai trong khi nó thực sự là đúng . Khi một điều gì đó được kết luận đúng mà nó thực sự là sai, chúng ta sẽ mắc một lỗi giả dương tính hoặc sai loại I. Mặt khác, khi một cái gì đó được kết luận là sai mà nó thực sự lại là đúng sự thật, chúng ta có một giả âm tính hoặc sai loại II.

Nói như vậy liệu chúng ta có  thực sự nên lo lắng về một test y tế dương tính cho một căn bệnh hiếm gặp  chăng ?

Phương pháp chụp nhũ ảnh là một cách để phát hiện ung thư vú ở giai đoạn đầu của nó, giúp bệnh nhân để tăng tỷ lệ sống sót của họ. Năm 2009, John Allen Paulos, một giáo sư toán học tại Đại học Temple, đã viết một bài báo có tựa đề là Toán nhũ ảnh, để thảo luận xem liệu phụ nữ nên thường xuyên chụp nhũ ảnh của họ như thế nào . Nếu nhũ ảnh có thể giúp chẩn đoán ung thư vú, tại sao chúng ta lại không thực hiện chúng thường xuyên hơn? Theo Paulos, nó là chủ đề gây tranh cãi cho dù phụ nữ nên chụp nhũ ảnh hàng tháng kể từ khi các cuộc thử nghiệm cho rằng phương pháp này có thể gây ra các tác hại do ảnh hưởng bức xạ. Ngoài ra, giả sử bạn có một xét nghiệm dương tính, điều này có thật hoàn toàn đúng là bạn bị ung thư? Câu trả lời là không hẳn .



BN-HB837_HJourn_F_20150223124818

 Vậy bạn sẽ phải lo lắng ra sao nếu bạn có một xét nghiệm dương tính của một căn bệnh hiếm gặp?
Nói cách khác, một thử nghiệm chính xác là thế nào ? Lisa Goldberg, một giáo sư môn thống kê tại UC Berkeley, giải thích ngắn gọn về cách chúng ta nên tiếp cận vấn đề này trên một đoạn video của Numberphile,




Bạn có thực sự bị bệnh không? hay đó chỉ là giả dương tính . Goldberg đã thảo luận một số kết quả khả thi mà các xét nghiệm có thể mang lại cho chúng ta, được tóm tắt trong bảng dưới đây:





Trạng thái thực

 Test
Mắc bệnh
Khỏe mạnh
Mắc bệnh
Đúng
Sai(dương tính giả)
Khỏe mạnh
Sai (âm tính giả)
Đúng


Screen Shot 2016-05-13 at 1.05.24 PM
 Như chúng ta có thể thấy trên đây , có hai tình huống mà một thử nghiệm có thể không xác định được người có bệnh 'thực tế'.
-Thứ nhất, kiểm tra là âm tính trong khi các đối tượng kiểm tra là thực sự bị bệnh. Trong trường hợp này, nó là một âm tính giả .
-Thứ hai, các thử nghiệm có thể dương tính trong khi các đối tượng thử nghiệm thực sự khỏe mạnh, đó là một dương tính giả .
Do đó, điều quan trọng nhất là cần phải đo mức chính xác của các xét nghiệm khi bạn nhận được một xét nghiệm có kết luận dương tính.
Để làm được điều này , chúng ta có thể tìm thấy xác suất của bệnh tật với một kết quả dương tính ký hiệu là
P (Macbenh / Ketquaduongtinh)  [ tiếng Anh  P(Sickness|Possitive Result) ].

Áp dụng định luật Bayes về xác suất có điều kiện 

$P(\text{Sickness}\mid\text{Positive Result}) = \dfrac{P(\text{Positive Result}\mid\text{Sickness})\cdot P(\text{Sickness})}{P(\text{Positive Result})}$


$P ({Macbenh}|{Ketquaduongtinh}) = \frac {P ({Ketquaduongtinh}|{Macbenh}) . P ({Macbenh})} {P ({Ketquaduongtinh})}$



$P ({Ketquaduongtinh}) = P ({Ketquaduongtinh}|{Macbenh}) .P({Macbenh}) + P ({Ketquaduongtinh}|{Khoemanh}).P ({Khoemanh})$

Giả sử chúng ta có một căn bệnh hiếm xảy ra ở 1 trên 1000 người; thử nghiệm là 99% chính xác với những người thực sự bị bệnh và thử nghiệm không chẩn đoán là 1 trên số 10 người khỏe mạnh là bị bệnh. Theo giả thuyết của chúng ta thì

$P ({Ketquaduongtinh}|{Macbenh} ) = 0,99$ ;

$P ({Macbenh} )= \frac{1}{1000} = 0,001$ ;

$P ({Ketquaduongtinh}|{Khoemanh}) = \frac {1}{10} = 0,1$ ;

$P ({Khoemanh}) = 1- \frac {1}{1000} = 0,999 $ .

Kết quả là ,

$P ({Ketquaduongtinh} ) = (0.99).(0,001) + (0.1).(0,999) \approx 0.1$

Do đó,

$P ({Macbenh}|{Ketquaduongtinh}) = \frac {(0,99).(0,001)}{0,1} \approx 0,01$ .

Với căn bệnh hiếm gặp và một test về căn bệnh đó chủ yếu là có thể xác định tất cả người bệnh và cho ta 1 kết quả giả dương tính trên mỗi 10 đối tượng kiểm tra, cơ hội của bạn mắc bệnh là 0.01, hoặc 1 trong số 100 mà thôi. Vì vậy, một ý tưởng rất tốt là bạn nên tham khảo ý kiến ​​thứ hai .

Tất cả các test y tế có thể dẫn đến các sai số giả dương tính và giả âm tính. Bởi vì các xét nghiệm y tế không thể tuyệt đối đúng, giả dương tính và giả âm tính là hai vấn đề chúng ta phải đối phó . Một dương tính giả có thể dẫn đến điều trị không cần thiết và âm tính giả có thể dẫn đến một chẩn đoán sai, mà thực ra là rất nghiêm trọng vì một căn bệnh đã được bỏ qua.

Tuy nhiên, chúng ta có thể giảm thiểu các lỗi bằng cách thu thập thêm thông tin, xem xét các biến số khác, điều chỉnh độ nhạy (tỷ lệ dương tính thật) và độ đặc hiệu (tỷ lệ âm tính đúng) của các kiểm tra, hoặc tiến hành thử nghiệm nhiều lần.

Mặc dù vậy, công việc này vẫn rất là khó vì nếu giảm một loại lỗi này có nghĩa là gia tăng các loại hình khác của lỗi kia . Đôi khi, chỉ có một loại lỗi lại là thích hợp hơn so với cái khác, vì vậy các nhà khoa học sẽ phải đánh giá các hậu quả của các lỗi và đưa ra quyết định chính xác cuối cùng.


Trần hồng Cơ 
Biên soạn - Trích dịch .

Ngày 07/08/2016

Tài liệu tham khảo


[1] Paulos, J. A. (2009, December 10). Mammogram Math [Web]. Retrieved from http://www.nytimes.com/2009/12/13/magazine/13Fob-wwln-t.html?_r=2
[2] Haran, B. [Numberphile]. (2016, March 16). Are you REALLY sick? (false positives) [Video file]. Retrieved from https://www.youtube.com/watch?v=M8xlOm2wPAA
[3] kingscollegelondon. (2013, November 25). ‘There’s A Math For That’-The Paradox Of The False Positive [Video file]. Retrieved from https://www.youtube.com/watch?v=6WuTNMleuQI
[4] Fernandez, E. (2011, October 17). High Rate of False-Positives with Annual Mammograms [Web]. Retrieved from https://www.ucsf.edu/news/2011/10/10778/high-rate-false-positives-annual-mammogram
[5] MEDCRAMvideos. (2014, March 16). Sensitivity and Specificity Explained Clearly [Video file]. Retrieved from https://www.youtube.com/watch?v=Z5TtopYX1Gc
[6] Diagnostic Accuracy. (n.d.). Retrieved from http://ebp.uga.edu/courses/ChapterDiagnosisSensitivityandspecificity.html



Nguồn  http://blogs.ams.org/mathgradblog/2016/08/06/false-positive-vs-false-negative/


-------------------------------------------------------------------------------------------

 If you know about what you are talking about , you have something more valuable than gold and jewels -

 Có nhiều vàng và châu ngọc , nhưng miệng có tri thức là bửu vật quý giá vô song . 

Châm ngôn 20:15 




*******

Blog Toán Cơ trích đăng các thông tin khoa học tự nhiên của tác giả và nhiều nguồn tham khảo trên Internet .
Blog cũng là nơi chia sẻ các suy nghĩ , ý tưởng về nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau .


Chia xẻ

Bài viết được xem nhiều trong tuần

CÁC BÀI VIẾT MỚI VỀ CHỦ ĐỀ TOÁN HỌC

Danh sách Blog

Gặp Cơ tại Researchgate.net

Co Tran