GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN .
Phần 7b . HÌNH HỌC - Đường cong 2D - Conics - Tiếp tuyến với Ellipse
DANH MỤC CÔNG CỤ GIẢI TOÁN TRỰC TUYẾN MATHEMATICA WOLFRAM | ALPHA .
Giới thiệu .
Bạn đọc truy cập vào đường dẫn http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen để sử dụng các widgets giải toán trực tuyến W|A Mathematica theo chỉ mục trong danh sách dưới đây .
Những widgets này đã được tác giả sắp xếp theo từng môn học và cấp lớp theo ký hiệu như sau :
D : Đại số . Ví dụ D8.1 widget dùng cho Đại số lớp 8 , mục 1 - Khai triển , rút gọn biểu thức đại số .
H : Hình học . Ví dụ H12.3 widget dùng cho Hình học lớp 12 , mục 3 - Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian .
G : Giải tích . Ví dụ : G11.7 widget dùng cho Giải tích lớp 11 , mục 7 - Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
GI : Giải tích cao cấp I . Ví dụ GI.15 widget dùng cho Giải tích cao cấp I , mục 15 - Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GII : Giải tích cao cấp II .
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
ĐẠI SỐ 8
D8.1 Khai triển , rút gọn biểu thức đại số
D8.2 Rút gọn phân thức
D8.3 Phân tích thừa số
D8.4 Nhân 2 đa thức
D8.5 Khai triển tích số ( có thể dùng để khai triển Newton )
D8.6 Phân tích thừa số
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
ĐẠI SỐ 10
D10.1 Giải phương trình nguyên Diophante
D10.2 Giải phương trình tuyệt đối
D10.3 Giải phương trình chứa tham số
D10.4 Giải phương trình đại số
D10.5 Giải phương trình từng bước
D10.6 Giải bất phương trình minh hoạ bằng đồ thị
D10.8 Tính giá trị biểu thức hàm số
D10.9 Giải bất phương trình đại số và minh hoạ bằng đồ thị
D10.10 Giải bất phương trình đại số - tìm miền nghiệm
D10.11 Giải phương trình đại số
D10.12 Giải phương trình vô tỷ
D10.13 Giải phương trình minh hoạ từng bước
D10.14 Giải phương trình dạng hàm ẩn
D10.15 Giải hệ thống phương trình tuyến tính , phi tuyến
D10.16 Giải hệ phương trình
D10.17 Vẽ miền nghiệm của bất phương trình đại số
D10.19 Tối ưu hoá hàm 2 biến với các ràng buộc
D10.20 Tìm giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành Ox , trục tung Oy
HÌNH HỌC 10
H10.1 Tính diện tích tam giác trong hệ toạ độ Oxy
H10.3 Khảo sát conic ( đường tròn , Ellipse , Parabola , Hyperbola )
H10.2 Tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng trong Oxy
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
ĐẠI SỐ 11
D11.1 Thuật chia Euclide dùng cho số và đa thức ( HORNER )
D11.2 Tính tổng nghịch đảo của n số tự nhiên
D11.6 Khai triển nhị thức Newton
GIẢI TÍCH 11
G11.1 Tính gíá trị một chuỗi số theo n
G11.2 Đa thức truy hồi
G11.3 Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số
G11.4 Tính giới hạn của chuỗi số khi $n \rightarrow \infty$
G11.5 Tìm hàm số ngược của hàm số cho trước
G11.6 Tìm đạo hàm của hàm số hợp - giải thích
G11.7 Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
G11.8 Tìm giới hạn của hàm số
G11.9 Tìm giới hạn của hàm số
G11.10 Tính đạo hàm hàm số có dạng U/V
G11.11 Tìm đạo hàm của hàm số cho trước
G11.12 Tìm đạo hàm của hàm số cho trước
G11+12.1 Tính đạo hàm ,tích phân , giới hạn , vẽ đồ thị
LƯỢNG GIÁC 11
L11.1 Giải phương trình lượng giác
L11.2 Giải phương trình lượng giác trên một đoạn
L11.3 Tìm chu kỳ của hàm số tuần hoàn
L11.4 Khai triển công thức lượng giác
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
ĐẠI SỐ 12
D12.1 Cấu trúc của số phức
D12.1 Giải phương trình mũ
D12.3 Giải phương trình chứa tham số
D12.4 Giải phương trình bất kỳ ( Bậc 2 , 3 , ... , mũ , log , căn thức )
D12.5 Giải phương trình mũ
GIẢI TÍCH 12
G12.1 Vẽ đồ thị biểu diễn phương trình
G12.2 Khảo sát hàm số hữu tỷ
G12.3 Vẽ đồ thị trong toạ độ cực (Polar)
G12.4 Tìm cực trị của hàm số
G12.5 Vẽ đồ thị hàm số 2D
G12.6 Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số
G12.7 Vẽ nhiều hàm số - Basic plot. To plot two or more functions, enter {f1(x), f2(x),...}
G12.8 Tìm điểm uốn của hàm số cho trước
G12.9 Tìm nghiệm của các phương trình y = 0 , y ' = 0 , y " = 0
G12.10 Tính tích phân bất định
G12.11 Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.12 Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.13 Tìm đường tiệm cận của hàm số
G12.14 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.15 Tìm giao điểm của hàm số đa thức và trục hoành Ox - Vẽ đồ thị .
G12.16 Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi (C1) , (C2)
G12.17 Vẽ đồ thị hàm số ( có đường tiệm cận )
G12.18 Vẽ đồ thị 2D , 3D
G12.19 Tìm hoành độ giao điểm giữa 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.20 Vẽ đường cong tham số 3D
G12.21 Tính diện tich mặt tròn xoay
G12.22 Tích thể tích vật tròn xoay (C) , trục Ox , x =a , x= b
G12.23 Thể tích vật tròn xoay
G12.24 Tích thể tích vật tròn xoay (C1) , (C2) , trục OX , x = a , x = b
G12.25 Khảo sát hàm số đơn giản
G12.26 Tìm cực trị của hàm số
G12.27 Tìm nguyên hàm của hàm số
G12.28 Tính tích phân xác định
HÌNH HỌC 12
H12.1 Tính khoảng cách 2 điểm trong 2D , 3D
H12.2 Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm trong không gian
H12.3 Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian
H12.4 Tìm công thức thể tích , diện tích hình không gian
H12.5 Vẽ đồ thị 2D , mặt 3D
H12.6 Tích có hướng 2 vector
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
GIẢI TÍCH CAO CẤP
GI.1 Vẽ đồ thị , mặt 3D
GI.2 Vẽ đồ thị , mặt 3D
GI.3 Tích phân 2 lớp
GI.5 Tích phân kép
GI.6 Tích phân bội 3
GI.7 Tích phân bội 3
GI.8 Tích phân suy rộng
GI.9 Chuỗi và dãy số
GI.10 Các bài toán cơ bản trong vi tích phân
GI.11 Vẽ hàm từng khúc ( piecewise ) - dùng để xét tính liên tục của hàm số
GI.12 Tính đạo hàm và tích phân một hàm số cho trước
GI.13 Vẽ đồ thị hàm số trong hệ toạ độ cực
GI.14 Tính đạo hàm riêng
GI.15 Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GI.16 Tính tổng chuỗi số n = 1...$\infty$
GI.17 Vẽ đồ thị 3 hàm số
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Bài viết sau đây mô tả các khái niệm toán học và hướng dẫn tính toán chi tiết bằng công cụ trực tuyến , bạn đọc có thể tham khảo những nội dung chính yếu được đề cập đến trong giáo trình toán phổ thông cùng với các ví dụ minh họa .
Một số website hữu ích phục vụ cho việc giảng dạy và học tập môn toán :
http://quickmath.com/
http://analyzemath.com/
http://www.intmath.com/
http://www.mathportal.org
https://www.mathway.com/
https://www.symbolab.com/
http://www.graphsketch.com/
http://www.meta-calculator.com/online/?home
http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen
7. HÌNH HỌC - Đường cong 2D - Conics - Ellipse
7.1.3 Viết phương trình tiếp tuyến với Ellipse .
Nhắc lại về phương trình tiếp tuyến với Ellipse .
- Phương trình tiếp tuyến (T) tại một điểm M thuộc Ellipse .
Cho (E) tâm O(0,0) : $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(dạng chính tắc) , đường thẳng (T) $Ax+By+C=0$
và điểm $M(x_M,y_M) \in (E)$
Để (E) tiếp xúc với (T) thì $a^2 A^2+b^2 B^2-C^2=0$
Tiếp điểm M
$x_M = -a^2 A C/(a^2 A^2+b^2 B^2) $
$y_M = -b^2 B C)/(a^2 A^2+b^2 B^2) , B \neq 0$
Xem http://goo.gl/2oLXb9
Điều kiện tiếp xúc (T) với (E) là $a^2 A^2+b^2 B^2-C^2=0$
Tiếp tuyến tại M thuộc (E) : $A(x-x_M)+B(y-y_M)=0$ nên $C=-(Ax_M+By_M)$
Thay vào điều kiện tiếp xúc , thu được
$a^2 A^2+b^2 B^2-(Ax_M+By_M)^2=0$ giải phương trình này tìm quan hệ giữa A , B , chọn A , B tương ứng .
-Một cách vắn tắt :
Điểm $M(x_M,y_M) \in (E)$ phương trình tiếp tuyến với (E) tại M là
$x_Mx/a^2+y_My/b^2=1$
Lưu ý .
Nếu $a^2 A^2+b^2 B^2-C^2>0$ thì (E) cắt (T) tại 2 điểm phân biệt .
Nếu $a^2 A^2+b^2 B^2-C^2<0$ thì (E) không cắt (T) .
Với phương trình (E) chính tắc có tâm $I(x_0,y_0)$ khác O(0,0)
$(x-x_0)^2/a^2+(y-y_0)^2/b^2=1$
Điều kiện tiếp xúc (T) : Ax+By+C=0 với (E) là
$a^2 A^2+b^2 B^2=(Ax_0+By_0+C)^2$
Xem http://goo.gl/IzTYU4
-Phương trình tiếp tuyến (T) với Ellipse (E) song song đường thẳng (d) .
Cho (E) : $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(dạng chính tắc) , đường thẳng (d) $Ax+By+C=0$
Phương trình tiếp tuyến (T) // (d) là : $Ax+By+m=0$
-Điều kiện tiếp xúc của đường thẳng (T) $Ax+By+m=0$ và Ellipse (E)
Điều kiện tiếp xúc (T) với (E) là $a^2 A^2+b^2 B^2-m^2=0$
Giải phương trình này tìm được m .
Điều kiện tiếp xúc (T) với (E) là $a^2 A^2+b^2 B^2-m^2=0$
Giải phương trình này tìm được m .
Lưu ý
*Tiếp tuyến song song với trục hoành Ox là : $y= \pm b$
*Tiếp tuyến song song với trục tung Oy là : $x= \pm a$
-Phương trình tiếp tuyến (T) với Ellipse (E) vuông góc đường thẳng (d) .
Cho (E) : $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(dạng chính tắc) , đường thẳng (d) $Ax+By+C=0$
Phương trình tiếp tuyến (T) _|_ (d) là : $-Bx+Ay+m=0$
Cho (E) : $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(dạng chính tắc) , đường thẳng (d) $Ax+By+C=0$
Phương trình tiếp tuyến (T) _|_ (d) là : $-Bx+Ay+m=0$
-Điều kiện tiếp xúc của đường thẳng (T) $-Bx+Ay+m=0$ và Ellipse (E)
Điều kiện tiếp xúc (T) với (E) là $a^2 B^2+b^2 A^2-m^2=0$
Giải phương trình này tìm được m .
Điều kiện tiếp xúc (T) với (E) là $a^2 B^2+b^2 A^2-m^2=0$
Giải phương trình này tìm được m .
Lưu ý
*Tiếp tuyến vuông góc với trục hoành Ox là : $x= \pm a$
*Tiếp tuyến song song với trục tung Oy là : $y= \pm b$
*Tiếp tuyến vuông góc với trục hoành Ox là : $x= \pm a$
*Tiếp tuyến song song với trục tung Oy là : $y= \pm b$
Cho (E) : $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(dạng chính tắc) , và điểm $M_1(x_1,y_1) \notin (E)$
Phương trình tiếp tuyến (T) đi qua $M_1(x_1,y_1)$ là : $A(x-x_1)+B(y-y_1)=0$
nên $C=-(Ax_1+By_1)$
-Điều kiện tiếp xúc của đường thẳng (T) $A(x-x_1)+B(y-y_1)=0$ và Ellipse (E)
$a^2 A^2+b^2 B^2-C^2=0$
Thay vào điều kiện tiếp xúc , thu được
$a^2 A^2+b^2 B^2-(Ax_1+By_1)^2=0$
Giải phương trình này tìm được quan hệ giữa A , B . Chọn A và B tương ứng .
$a^2 A^2+b^2 B^2-C^2=0$
Thay vào điều kiện tiếp xúc , thu được
$a^2 A^2+b^2 B^2-(Ax_1+By_1)^2=0$
Giải phương trình này tìm được quan hệ giữa A , B . Chọn A và B tương ứng .
a. Viết phương trình tiếp tuyến với Ellipse tại một điểm M thuộc Ellipse .
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
Nhập trực tiếp vào ô Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp http://www.wolframalpha.com
Ví dụ . Cho (E) $x^2/25+y^2/9=1$ viết phương trình tiếp tuyến tại điểm $M(2 \sqrt{6}, 3/5 )$
Kiểm tra
Ta có a^2=25 , b^2 = 9
Nhập x^2/25+y^2/9=1,x = 2 sqrt(6), y = 3/5 , kết luận $M(2 sqrt(6), 3/5 ) \in (E)$
Xem http://goo.gl/7VoLqi
Tiếp tuyến tại M thuộc (E) : $A(x-x_M)+B(y-y_M)=0$ nên $C=-(Ax_M+By_M)$
Thay vào điều kiện tiếp xúc : $a^2 A^2+b^2 B^2-(Ax_M+By_M)^2=0$
$25 A^2+9 B^2-(A.2 \sqrt{6}+B.3/5)^2=0$ giải phương trình này tìm quan hệ giữa A , B , chọn A , B tương ứng .
Nhập solve [25 A^2+9 B^2-(A*2 sqrt(6)+B*3/5)^2=0] for A ta có $A = 6 \sqrt{6} B/5$
Xem http://goo.gl/7yuU0z
Chọn A= 6 sqrt(6) , B = 5
Phương trình tiếp tuyến với (E) tại M là
$6 \sqrt{6}(x-2 \sqrt{6})+5(y-3/5)=0$
Nhập x^2/25+y^2/9=1 , 6 \sqrt(6)(x-2 \sqrt(6))+5(y-3/5)=0
Xem http://goo.gl/LIKRVT
Viết nhanh bằng phương pháp tách đôi tọa độ
Nhập x^2/25+y^2/9=1 , 2 sqrt(6)x/25+ 3/5 y/9=1
Xem http://goo.gl/8Hr3yK
Giải bài toán bằng widget
*Dùng widget KHAO SAT ELLIPSE xét xem điểm $M(2 sqrt(6), 3/5 ) \in (E)$ ?
Nhập x^2/25+y^2/9=1,x = 2 sqrt(6), y = 3/5 , kết luận $M(2 sqrt(6), 3/5 ) \in (E)$
*Dùng widget H10.II.3 T.T VOI ELLIPSE TAI M
b. Viết phương trình tiếp tuyến với Ellipse song song với đường thẳng d .
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
Nhập trực tiếp vào ô Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp http://www.wolframalpha.com
Ví dụ 1. Cho (E) $x^2/25+y^2/9=1$ viết phương trình tiếp tuyến với (E) song song với đường thẳng d
x - 4y + 7 = 0
Phương trình tiếp tuyến (T) // (d) là : $x-4y+m=0$
-Điều kiện tiếp xúc của đường thẳng (T) $x-4y+m=0$ và Ellipse (E)
Điều kiện tiếp xúc (T) với (E) là $a^2 A^2+b^2 B^2-m^2=0$ với $a^2=25; b^2=9;A=1;B=-4$
Hay $25*1^2+9*4^2-m^2=0$
Giải phương trình này tìm được m .
Nhập 25 *1^2+9* 4^2-m^2=0 , thu được m = 13 ; m = -13Điều kiện tiếp xúc (T) với (E) là $a^2 A^2+b^2 B^2-m^2=0$ với $a^2=25; b^2=9;A=1;B=-4$
Hay $25*1^2+9*4^2-m^2=0$
Giải phương trình này tìm được m .
Xem http://goo.gl/QleIP9
Vậy phương trình tiếp tuyến (T) // (d) là : $x-4y+13=0$ ; $x-4y-13=0$
Kiểm tra
Nhập x^2/25+y^2/9=1,x-4y+13=0,x-4y-13=0,x-4y+7 = 0
Xem http://goo.gl/8KCuZs
*Dùng widget H10.II.3 TT VOI ELLIPSE SSONG DTHANG
Kiểm tra
*Dùng widget KHAO SAT ELLIPSE
Kiểm tra
Nhập x^2/25+y^2/9=1,x-4y+13=0,x-4y-13=0,x-4y+7 = 0
Ví dụ 2 . Cho (E) $(x-2)^2/10^2+(y+1)^2/6^2=1$ viết phương trình tiếp tuyến với (E) song song với đường thẳng d : x + 4y + 10 = 0
*Dùng widget H10.II.3 TT VOI ELLIPSE SSONG DTHANG
Vậy phương trình tiếp tuyến (T) // (d) là : $x+4y+28=0$ ; $x+4y-24=0$
Kiểm tra
Nhập (x-2)^2/10^2+(y+1)^2/6^2=1 , x+4y+10 = 0 , x+4y+28=0 , x+4y-24=0
c. Viết phương trình tiếp tuyến với Ellipse vuông góc với đường thẳng d .
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
Nhập trực tiếp vào ô Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp http://www.wolframalpha.com
Ví dụ 1. Cho (E) $(x-2)^2/100+(y+1)^2/36=1$ viết phương trình tiếp tuyến với (E) vuông góc với đường thẳng d
4x - y + 3 = 0
Phương trình tiếp tuyến (T) _|_ (d) là : $x+4y+m=0$
-Điều kiện tiếp xúc của đường thẳng (T) $x+4y+m=0$ và Ellipse (E)
Điều kiện tiếp xúc (T) với (E) là $a^2 B^2+b^2 A^2=(B_x0-Ay_0+m)^2=0$
với $a^2=100; b^2=36;A=4;B=-1;x_0=2;y_0=-1$
Hay $100*1^2+36*4^2=(-1*2-4*(-1)+m)^2$
Giải phương trình này tìm được m .
Nhập 100*1^2+36*4^2=(-1*2-4*(-1)+m)^2 , thu được m = 28 ; m = -24Điều kiện tiếp xúc (T) với (E) là $a^2 B^2+b^2 A^2=(B_x0-Ay_0+m)^2=0$
với $a^2=100; b^2=36;A=4;B=-1;x_0=2;y_0=-1$
Hay $100*1^2+36*4^2=(-1*2-4*(-1)+m)^2$
Giải phương trình này tìm được m .
Xem http://goo.gl/yrZDXI
Vậy phương trình tiếp tuyến (T) _|_ (d) là : $x+4y-24=0$ ; $x+4y+28=0$
Kiểm tra
Nhập (x-2)^2/100+(y+1)^2/36=1,4x - y + 3 = 0,x+4y-24=0,x+4y+28=0
Xem http://goo.gl/mdjsd4
*Dùng widget H.10.II TT VOI ELLIPSE VUONG GOC DTHANG
Phương trình tiếp tuyến (T) _|_ (d) là : $x+4y-24=0$ ; $x+4y+28=0$
d. Viết phương trình tiếp tuyến với Ellipse đi qua M1 không thuộc (E) .
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
Nhập trực tiếp vào ô Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp http://www.wolframalpha.com
Ví dụ 1. Cho (E) $(x-2)^2/100+(y+1)^2/36=1$ viết phương trình tiếp tuyến với (E) đi qua M1(10,5)
Kiểm tra
Nhập (x-2)^2/100+(y+1)^2/36=1,x=10,y=5 kết luận M1(10,5) không thuộc (E)
Phương trình tiếp tuyến (T) đi qua $M_1(x_1,y_1)$ là : $A(x-x_1)+B(y-y_1)=0$
nên $C=-(Ax_1+By_1)$
Cụ thể với M1(10,5) ta có $A(x-10)+B(y-5)=0$ hay $Ax+By-10A-5B=0$ vậy $C=-(10A+5B)$
-Điều kiện tiếp xúc của đường thẳng (T) $Ax+By-10A-5B=0$ và Ellipse (E)
$a^2 A^2+b^2 B^2=(Ax_0+By_0+C)^2$ trong đó $C=-(Ax_1+By_1)$
$a^2A^2+b^2B^2=(Ax_0+By_0-(Ax_1+By_1))^2$ với $C=-(10A+5B)$
$10^2A^2+6^2B^2=(A*2+B*(-1)-(10A+5B))^2$
Giải phương trình này tìm được quan hệ giữa A , B . Chọn A và B tương ứng .
Nhập 10^2A^2+6^2B^2=(A*2+B*(-1)-(10A+5B))^2
ta có {A = 0 , B =/= 0 } ; {B = 3A/8 , A =/=0}
Với A = 0 phương trình tiếp tuyến (T) : y - 5 = 0
Với B = 3A/8 , chọn A = 8 , B = 3 phương trình tiếp tuyến (T) $8x+3y-95=0$
Kiểm tra
Nhập (x-2)^2/100+(y+1)^2/36=1, y =5 , 8x+3y-95=0
Xem http://goo.gl/GBRsBA
*Dùng widget H10.II.3 TT VOI ELLIPSE QUA M1 NGOAI (E)
Với A = 0 phương trình tiếp tuyến (T) : y - 5 = 0
Với A = 8AB/3 , chọn A = 8 , B = 3 phương trình tiếp tuyến (T) $8x+3y-95=0$
Kiểm tra
*Dùng widget KHAO SAT ELLIPSE
Nhập (x-2)^2/100+(y+1)^2/36=1, y =5 , 8x+3y-95=0
7.1.4 Một số dạng tiếp tuyến phức tạp với Ellipse .
a. Tiếp tuyến với Ellipse hợp với trục hoành một góc $\alpha^{\circ}$ .
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
Nhập trực tiếp vào ô Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp http://www.wolframalpha.com
Ví dụ . Khảo sát (C) $(x-2)^2/16+(y-1)^2/9 = 1$ .
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) hợp với trục hoành một góc $45^{\circ}$ .
Bước 1. Tìm tâm I và bán trục của (E)
Cần nhớ rằng $Ax+By+C=0 \Leftrightarrow y = - A/B.x - C/B$ với $B \neq 0$
Hệ số góc của đường thẳng là $k=tan \alpha = -A/B$
Tiếp tuyến (T) có dạng $Ax+By+C=0$ với $-A/B = tan \alpha$ , $m=-C/B$ có thể viết lại
(T) $x.tan \alpha - y + m =0$
( A = $tan \alpha$ , B = -1 , C = m )
-Điều kiện tiếp xúc của đường thẳng (T) $x. tan \alpha - y + m =0$ và Ellipse (E)
$a^2 A^2+b^2 B^2=(Ax_0+By_0+C)^2$
$a^2.tan^2 \alpha+b^2.(-1)^2=(tan \alpha.x_0-1.y_0+m)^2$
Giải phương trình này thu được m .
Cụ thể với a = 4 , b = 3 , x0 = 2 , y0 = 1 , $\alpha = 45^{\circ}$
Nhập
4^2*(tan(pi/4))^2+3^2.(-1)^2=(tan(pi/4)*2-1*1+m)^2
Thu được m = -6 , m = 4
Viết phương trình tiếp tuyến
(T1) x.tan45 - y - 6 = 0
(T2) x.tan45 - y +4 = 0
Kiểm tra
Nhập (x-2)^2/16+(y-1)^2/9 = 1 , x - y - 6 = 0 , x - y + 4 = 0
Nhập (x-2)^2/16+(y-1)^2/9 = 1 , x - y - 6 = 0 , x - y + 4 = 0
*Dùng widget H10.II.3 TT VOI ELLIPSE HOP Ox GOC ALPHA
Kiểm tra
*Dùng widget KHAO SAT ELLIPSE
Nhập (x-2)^2/16+(y-1)^2/9 = 1 , x - y - 6 = 0 , x - y + 4 = 0
b. Tiếp tuyến với Ellipse hợp với trục tung một góc $\alpha^{\circ}$ .
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
Nhập trực tiếp vào ô Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp http://www.wolframalpha.com
Ví dụ . Khảo sát Ellipse (E) $(x- 1/ \sqrt(3))^2/16+(y-1)^2 = 1$ .
Viết phương trình tiếp tuyến với (E) hợp với trục tung một góc $30^{\circ}$ .
Lưu ý : Tiếp tuyến (T) hợp với trục tung một góc $\alpha^{\circ}$ nghĩa là góc của (T) và trục hoành là
$90^{\circ}-\alpha^{\circ}$ .
(T) $x.tan(90- \alpha ) - y + m =0$
Bài toán quy về viết phương trình tiếp tuyến với (E) hợp với trục hoành một góc $90^{\circ}-\alpha^{\circ}$ .
Vậy
(T1) $x.tan60 - y + 7 =0$
(T2) $x.tan60 - y - 7 =0$
Kiểm tra
*Dùng widget KHAO SAT ELLIPSE
Nhập (x- 1/ sqrt(3))^2/16+(y-1)^2 = 1 , x*tan(60) - y + 7 = 0 , x*tan(60) - y - 7 = 0
c. Tiếp tuyến với Ellipse hợp với đường thẳng một góc $\alpha^{\circ}$ .
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
Nhập trực tiếp vào ô Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp http://www.wolframalpha.com
Ví dụ . Khảo sát Ellipse (E) $(x-2)^2/9+(y-1)^2/4 = 1$ .
Viết phương trình tiếp tuyến với (E) hợp với đường thẳng (d1) x - 2y + 3 = 0 một góc $45^{\circ}$ .
Lưu ý :
+Góc hợp bởi 2 đường thẳng (d) và (d1) có hệ số góc tương ứng là k và k1 được tính bởi công thức
$tan[(d),(d1)]= \frac{k-k1}{1+k.k1}$
Hoặc
++Xác định pháp vector của đường thẳng cho trước
(d1) $A1x+B1y+C1=0$ , ta có $ \overrightarrow{n_{d1}}=(A1,B1)$
(d1) $A1x+B1y+C1=0$ , ta có $ \overrightarrow{n_{d1}}=(A1,B1)$
Phương trình đường thẳng cần tìm (d) $Ax+By+C=0$ , có pháp vector là
$ \overrightarrow{n_{d}}=(A,B)$
Tính góc giữa 2 pháp vector , giải phương trình
$cos(\overrightarrow{n_{d}},\overrightarrow{n_{d1}})=\frac{\overrightarrow{n{d}}.\overrightarrow{n_{d1}}}{||\overrightarrow{n_{d}}||.||\overrightarrow{n_{d1}}||}=
\frac{AA_1+BB_1}{\sqrt{A^2+B^2}.\sqrt{A_1^2+B_1^2}}=cos\alpha^{\circ}$
Tìm được quan hệ giữa A , B .
Chọn A và B tương ứng .
*Dùng widget H10.II.1 CHUM DTHANG HOP VOI (d) GOC ALPHA
+Chọn { B = -1 , A = 3 } thì (T1) 3x - y + m = 0
++Chọn { B = 3 , A = 1 } thì (T2) x + 3y + m = 0
*Dùng widget H10.II.3 TT VOI ELLIPSE SSONG DTHANG
Nhập A = 3 , B = -1 , x0 = 2 , y0 =1 , a = 3 , b = 2
Vậy phương trình tiếp tuyến với (E) là 3x - y -5 -sqrt(85) = 0 , 3x - y -5+sqrt(85) = 0
Kiểm tra*Dùng widget KHAO SAT ELLIPSE
Nhập (x-2)^2/9+(y-1)^2/4 = 1,x - 2y + 3 = 0,3x - y -5 -sqrt(85) = 0,3x - y -5+sqrt(85) = 0
*Dùng widget H10.II.3 TT VOI ELLIPSE SSONG DTHANG
Nhập A = 1 , B = 3 , x0 = 2 , y0 =1 , a = 3 , b = 2
Vậy phương trình tiếp tuyến với (E) là x + 3y -5 -3sqrt(5) = 0 , x + 3y -5+3sqrt(5) = 0
Kiểm tra*Dùng widget KHAO SAT ELLIPSE
Nhập (x-2)^2/9+(y-1)^2/4 = 1,x - 2y + 3 = 0,x + 3y -5 -3sqrt(5) = 0 , x + 3y -5+3sqrt(5) = 0
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trần hồng Cơ
20/05/2015
-------------------------------------------------------------------------------------------
Mục đích cuộc sống càng cao thì đời người càng giá trị.
Geothe
