Các phương pháp giải hệ thống phương trình vi phân tuyến tính .
-Phương pháp ma trận . -Phương pháp toán tử . -Phương pháp biến đổi Laplace.
Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .
Các phương pháp giải hệ thống phương trình vi phân tuyến tính . 1. Phương pháp ma trận. +Như đã trình bày ở Chương 5-Phần 1 , hệ thống phương trình tuyến tính hệ số hằng có dạng y(t)' = A.y(t) + h(t) (1) Với A là ma trận các hằng số thực aij , ( i,j = 1,2,...,n ) và h(t) là vector cột ( h1(t)h2(t) ... hn(t) ) gồm các hàm hk(t) ( k = 1,2,...,n )liên tục trên miền D cho trước. +Khi h(t) = 0 ta có hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng . y(t)' = A.y(t) (2) Trong phần này chúng ta sẽ khảo sát các phương pháp giải cho dạng (1) . 1.1 Nghiệm thuần nhất . Nghiệm thuần nhất yTN của hệ (1) là lời giải của (2) . Cách tìm nghiệm thuần nhất . Bước 1 . Tìm nghiệm của phương trình đặc trưng | A - mI | = 0 . Đây là phương trình đại số bậc n theo ẩn đặc trưng m . +Nghiệm của phương trình này gọi là nghiệm đặc trưng mk , k = 1, 2 ... của hệ . Bước 2 . Tìm vector đặc trưng ký hiệu là vk(t) tương ứng với nghiệm mk bằng cách giải phương trình Avk(t) =mk .vk(t). +Các trường hợp của trị đặc trưng gồm : a. Thực -rời . +Các mk , k = 1,2,..., n là thực - rời có hệ n vector đặc trưng tương ứng vk(t) là độc lập tuyến tính . Hệ nghiệm của (2) có dạng uk(t) = exp(mk t).vk(t)
Ví dụ 1 .
b. Phức . Trị đặc trưng phức mk = a + ib với vector đặc trưng tương ứng là vk(t) thì a - ib cũng là trị đặc trưng của hệ . Hai nghiệm thực độc lập tuyến tính của hệ có dạng uk1(t) =Re{ exp(mkt).vk(t)} = exp(at).[Re{vk(t)}cosbt - Im{vk(t)}sinbt]
c. Thực - bội . Hệ có mộttrị đặc trưng m là thực - bội cấp p vàmj là trị đặc trưng thực - rời , j = 1,2,..., h với vector đặc trưng tương ứng là vj(t) . Để tìm vector đặc trưng vj(t) ( j = 2,3,..., ) ta giải phương trình ma trận ( A - mI ) v = vj-1(t) . Nghiệm của hệ được biểu diễn bởi
Ví dụ 3 .
Khi đó
d. Thực - phức . Hệ có một số trị đặc trưng mi, i = 1,2 ,..., k là phức vàmj là trị đặc trưng thực - rời , j = 1,2,..., h với vector đặc trưng tương ứng là vj(t) . Nghiệm của hệ được biểu diễn bởi tổ hợp tuyến tính dạng a. và b ( hoặc c. tùy theo các dạng của trị đặc trưng ) . Ví dụ 4 .
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License. ------------------------------------------------------------------------------------------- Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic. Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas. Albert Einstein .
NHẬT KÝ LƯỢNG TỬ - CUỘC THÁM HIỂM THẾ GIỚI VẬT LÝ HẠT - Bài 3 . QED + μ : GIỚI THIỆU VỀ muon .
Lời nói đầu .
Vật lý hạt nhân là một nhánh quan trọng trong khoa học vật lý , nó chỉ ra những quan hệ tương tác giữa các hạt , phản hạt cùng những cấu thành khác trong thế giới hạt vi mô . Nhưng để hiểu được các ý nghĩa của chúng bằng việc sử dụng các công thức , ký hiệu toán học và các kiến thức vật lý cao cấp khác là cả một sự khó khăn với quảng đại quần chúng . Loạt bài sau đây gồm 20 đề tài được các tác giả là những nhà vật lý hạt hiện đang tham gia nghiên cứu về lĩnh vực này thể hiện qua những bài đăng rất thú vị . Xin trân trọng giới thiệu đến bạn đọc .
Trần hồng Cơ .
Tham khảo - Trích lược .
Ngày 18/08/2013.
Đây là lúc quay trở lại chuyến thăm dò tiếp tục của chúng ta về cấu trúc của các mô hình tiêu chuẩn. Công cụ chính vẫn là sơ đồ Feynman, đã được giới thiệu trong bài viết trước (bài 1, 2). Đến nay chúng ta đã tự mình làm quen với điện động lực học lượng tử mình (QED): lý thuyết về các electron, positron, và photon. Công việc bây giờ là bắt đầu thêm vào phần xây dựng mô hình chuẩn. Chúng ta sẽ khởi sự với các muon, được miêu tả dưới đây bởi nghệ sĩ Julie Peasley , Los Angeles . (Những con thú bằng vải thủ công này có thể được tìm thấy tại trang web , The Particle Zoo .)
Chúng ta đều quen thuộc với điện tử. Nhưng nào , hãy làm quen với một anh em họ ( nặng hơn) của nó , tên là muon (μ). Những muon này đã đến từ đâu? Hoặc, như nhà vật lý đoạt giải Nobel I.I. Rabi đã từng thắc mắc , "Ai đã ra lệnh điều đó ?" (Đây vẫn còn là một câu hỏi chưa được trả lời ! ) Bên cạnh khối lượng của nó, muon có các thuộc tính cơ bản giống như các điện tử : nó có cùng điện tích, cảm giác giống nhau lực , và - giống như các điện tử - nó cũng có đối tác phản hạt .
3.2 Quy luật Feynman cho QED + μ .
Đây là cách làm để khi mở rộng quy tắc Feynman được thực sự dễ dàng . Chúng ta sẽ gọi lý thuyết này là " QED + μ," điện động lực học lượng tử với một hạt bổ sung muon . Chỉ cần phải viết các quy tắc cho hai bản sao của QED như sau :
Chúng ta hãy nhớ lại cách giải thích này. Ba dòng đó cho chúng ta biết rằng có ba loại ( hoặc hạt ) trong lý thuyết: các điện tử (e), hạt muon (μ), và photon (γ). Với các hạt vật chất, là những hạt có dòng mang một mũi tên, và cũng có phản hạt của nó . Chúng ta quy định phản hạt bằng mũi tên quay về hướng ngược lại khi đọc các sơ đồ từ trái sang phải. Các quy tắc về đỉnh ( nút ) cho chúng ta biết rằng có hai loại tương tác : một photon có thể tương tác với hai electron hoặc hai muon .
Điều quan trọng cần lưu ý là chúng ta không thể có những liên kết photon mà lại kết hợp các electron và muon. Theo luật bảo toàn, chúng ta nói rằng số điện tử và số muon là được bảo tồn theo từng loại . Ví dụ, trong lý thuyết đã phát triển cho đến nay, bạn có thể không có một phân rã muon thành một electron và photon. (Chúng ta sẽ giới thiệu các loại tương tác trong thời gian tới khi có dịp thảo luận về lý thuyết điện yếu.)
Bài tập nhỏ 1 : Sơ đồ sau đây có được cho phép trong QED + μ không ?
Trả lời : Có! Nhưng liệu điều này này không vi phạm tính bảo toàn của số điện tử và muon ? Bạn bắt đầu với hai e là bên trái và kết thúc với hai μ .
Gợi ý: Những điều gì mà các mũi tên nói với bạn ? ( hạt , phản hạt ! )
Một khi bạn đã tự thuyết phục bản thân rằng sơ đồ trên không vi phạm sự bảo toàn electron hoặc muon, hãy để tôi lưu ý rằng đây là một cách dễ dàng để sản xuất các muon tại các máy va chạm electron năng lượng thấp (LEC) . Bạn chỉ cần đập vỡ một electron với một positron và đôi khi bạn sẽ kết thúc với một cặp muon-antimuon mà bạn có thể phát hiện ra bằng thực nghiệm.
Bài tập nhỏ 2 : Trước đó , khi thực hiện tán xạ electron-positron thành electron-positron, chúng ta phải bao gồm hai sơ đồ. Tại sao chỉ có một sơ đồ cho tán xạ eμ thành eμ ?
Gợi ý : Hãy vẽ hai biểu đồ cho tán xạ ee thành ee và kiểm tra xem liệu các quy tắc Feynman vẫn cho phép cả hai sơ đồ nếu chúng ta chuyển đổi các trạng thái cuối cùng thành muon.
3.3 Phát hiện các hạt muon - một số va chạm vật lý .
Nếu nghĩ thêm về điều này một chút, bạn có thể tự hỏi : nếu các điện tử và muon rất tương đồng nhau , thì làm thế nào thực nghiệm có thể phân biệt chúng trong một máy va chạm? Hai bạn Seth và Mike có thể trách cứ tôi vì đã bỏ qua một số thông tin về sự tương tác của các hạt mang điện qua vật chất, nhưng một trong những cách đơn giản để phân biệt muon với electron là việc đo năng lượng và xung lượng của chúng . Chúng ta biết rằng năng lượng (ra khỏi thế năng) của một hạt là tổng của động năng của nó cộng với năng lượng khối được cộng thêm theo cầu phương $E^2 = m^2c^4 + p^2c^2$ (đây là phiên bản "thực" của $E = mc^2$ ). Bởi vì hạt muon nặng hơn các điện tử nên chúng ta chỉ có thể kiểm tra khối lượng của hạt bằng cách căn cứ vào năng lượng được đo và động lượng mà thôi .
Trên thực tế, đây là một hình ảnh đơn giản . Để không làm phiền các blogger khác của US/LHC, tôi muốn cung cấp tốt hơn bằng một ấn bản " hoạt hình " . Các electron hơi nhẹ , vì vậy bạn hãy tưởng tượng rằng chúng là những quả bóng ping-pong nhỏ nhắn . Ngược lại , các hạt muon thì nặng, vì vậy hãy tưởng tượng chúng như các quả bóng bowling to hơn . Như bạn đã biết , các máy dò LHC rất lớn và đầy đủ các công cụ ... bởi đó điều chúng ta muốn nói đến là những cái lần lượt được tạo thành từ hạt nhân và một đám mây điện tử. Vì thế chúng ta có thể tưởng tượng đến một biển cả gồm những quả bóng bàn . Khi các electron tông vào các hố bóng này, chúng sẽ phân phối tất cả năng lượng của mình vào các quả bóng khác. Điều này xảy ra trong nhiệt lượng kế điện từ ( electromagnetic calorimeter ), hoặc còn gọi là ECAL . "Calor" là tiếng Latin chỉ về nhiệt, nên bạn có thể đoán rằng ECAL thực sự chỉ là một nhiệt kế lớn thích hợp để đo năng lượng mà điện tử phân tán . Trong khi đó các muon , là quả bóng bowling rất lớn chúng chỉ cần xuyên thẳng qua các hố bóng để chui tọt qua phía bên kia là xong . Dưới đây là một hình ảnh minh họa vui và rất khoa học .
Hy vọng rằng chúng ta sẽ không nhận được bất kỳ ý kiến nào nói rằng, " Ồ bạn ơi , muon là đồ ngớ ngẩn " Trong thực tế, hoàn toàn ngược lại : muon là các hạt mô hình chuẩn duy nhất , mà làm điều này bằng mọi cách để muon đến được ngoại vi của máy dò, sẽ dễ dàng giúp chúng ta để nhận dạng chúng . Trong thực tế, nam châm hình xuyến khổng lồ trên các máy dò ATLAS dưới đây là để uốn cong đường đi của hạt muon , giúp thiết bị phát hiện ngoại vi xác định động lượng muon bằng cách đo độ cong của quỹ đạo của chúng .
Bài tập nhỏ 3 : [Cho các bạn nào muốn tính toán thực tế , đòi hỏi bạn có một kiến thức vật lý trung học phổ thông] . Hãy thuyết phục bản thân rằng hình ảnh phỏng đoán này là chính xác bằng cách tính toán xung lượng cuối cùng của một quả bóng va chạm đàn hồi với
(a) một quả bóng có cùng khối lượng và
(b) một quả bóng có khối lượng nhẹ hơn nhiều .
ATLAS toroidal magnets. Image from the Interactions.org Image Bank .
3.4 Những điều gọn gàng mà muon có thể làm được .
Bạn hãy lưu ý một vài nhận xét sau : mô hình QED + μ của chúng ta chỉ mới là một món đồ chơi lý thuyết . Theo lịch sử, các nhà khoa học nhận biết ngay rằng có một cái gì đó là lạ về muon : không giống như các điện tử, nó phân rã thành các hạt khác và dường như tương tác với các meson một cách bất thường . Trong thực tế , có thời kỳ người ta cho rằng muon là một loại meson. Những khác biệt này kết thúc như là một dấu hiệu của một cái gì đó thú vị hơn : lực yếu .
Bài tập nhỏ 4 : Hãy tự thuyết phục chính mình rằng những quy tắc Feynman của chúng ta cho QED + μ không cho phép phân rã muon, tức là μ trở thành một thứ không-μ .
Muon được tạo ra trên bầu trời khi các tia vũ trụ chạm vào những nguyên tử của thượng tầng khí quyển . Những cơn mưa đổ xuống Trái đất và buộc chúng ta phải đặt thí nghiệm vật chất tối của chúng ta sâu dưới lòng đất để tránh 'tiếng ồn " của chúng . Tuy nhiên điều thực sự gọn gàng , đó là một thực tế muon đã làm công việc của nó đối với bề mặt trái đất là một kiểm tra thực nghiệm rất đáng phấn khích của thuyết tương đối . Chúng ta biết rằng muon phân rã phần còn lại trong khoảng vài micro giây . Trong thời gian này, có vẻ như không có cách nào để chúng vượt qua những cây số (khoảng 4 km) giữa Trái đất và bầu khí quyển , ngay cả khi chúng đang đi với tốc độ của ánh sáng! (c ~ $3.10^8$ m / s) . Hiện tượng giãn nở thời gian chính là những gì đang xảy ra !
3.5 Giới thiệu về tau .
Tau đã được phát hiện trong một loạt các thí nghiệm từ năm 1974 đến năm 1977 bởi Martin Lewis Perl với các đồng nghiệp của mình tại nhóm SLAC-LBL
( Trích : M. L. Perl et al.; Abrams, G.; Boyarski, A.; Breidenbach, M.; Briggs, D.; Bulos, F.; Chinowsky, W.; Dakin, J. et al. (1975). "Evidence for Anomalous Lepton Production in e+e− Annihilation". Physical Review Letters 35 (22): 1489. Bibcode:1975PhRvL..35.1489P. doi:10.1103/PhysRevLett.35.1489 ) .
Martin Lewis Perl
Tau (τ), cũng được gọi là lepton tau, hạt tau hạt hoặc tauon, là một hạt cơ bản tương tự như điện tử ( electron ), với điện tích âm và một spin 1/2. Cùng với các electron, muon, và ba neutrino, nó được xếp loại như một lepton. Giống như tất cả các hạt cơ bản, tau có một phản hạt đối điện tích tương ứng nhưng bằng nhau về khối lượng và spin , mà trong trường hợp của tau là antitau (cũng được gọi là tau dương ). Hạt Tau được biểu thị bằng τ- và antitau bởi τ.
Lepton tau có thời gian sống $2,9 × 10^-13$ s và một khối lượng khoảng 1,777.8 MeV/$c^2$ (so với 105,7 MeV/$c^2$ của muon và 0.511 MeV/$c^2$ của electron). Vì tương tác của chúng rất giống như điện tử , tau có thể được coi như một phiên bản nặng hơn của electron. Do khối lượng lớn hơn e của chúng , các hạt tau không phát ra bức xạ hãm ( bremsstrahlung radiation ) nhiều như electron, chúng có khả năng thâm nhập cao, nhiều hơn so với các điện tử. Tuy nhiên, vì thời gian sống ngắn ngủi của mình , phạm vi của tau chủ yếu được tạo nên do chiều dài phân rã của chúng , đó là quá nhỏ so với bức xạ hãm để có thể chú ý : Sức thâm nhập của chúng chỉ xuất hiện ở năng lượng cực cao ( trên năng lượng PEV )
Giống như trường hợp của các lepton tích điện khác, tau có một hạt tau neutrino liên hợp. Neutrino tau được biểu thị bằng ντ.
Tau là lepton duy nhất có thể phân rã thành các hadron - các lepton khác không có khối lượng cần thiết . Như các phương thức phân rã khác của tau, sự phân rã hadronic là thông qua sự tương tác yếu.
Vì số lepton tauonic được bảo toàn trong các phân rã yếu, nên một tau neutrino được tạo ra khi một tau phân rã thành một muon hoặc một electron .
Tỷ lệ phân nhánh của các phân rã hoàn toàn lepton tau thông thường là :
17,82% cho phân rã thành một neutrino tau, electron và phản neutrino electron ;
17,39% cho phân rã thành một neutrino tau, muon và phản neutrino muon.
Bài tập nhỏ 5 : Mô hình Chuẩn thực ra còn có một người anh em họ của electron, tên là tau (τ), dẫn đến ba lepton tích điện nếu tính tổng số . Hãy viết ra những quy luật Feynman cho lý thuyết QED + μ + τ, nghĩa là lý thuyết về các electron, muon, và Tau tương tác thông qua các photon . Hãy chắc chắn rằng electron, muon, và số tau đều được bảo toàn . Vẽ sơ đồ để sản xuất tau trong một máy gia tốc electron-positron .
Bài tập nhỏ 6 : Trên đây chúng ta cho rằng muon là đặc biệt bởi vì chúng chạm vào các máy dò như quả bóng bowling thông qua một loạt các quả bóng ping-pong . Taus thậm chí còn nặng hơn, nên chúng cũng sẽ chạm vào ngoại vi của máy dò?
Trả lời : Đây là một câu hỏi lừa . Chính xác mà nói thì Tau đủ năng lượng làm cho nó đến với ngoại vi của máy dò trong lý thuyết QED + μ + τ. Tuy nhiên, đây không phải là toàn bộ câu chuyện cho các electron, muon, và Tau (gọi chung là lepton) trong Mô hình Chuẩn . Giống như muon, Tau không ổn định và sẽ phân rã . Trong thực tế, chúng phân rã nhanh hơn nhiều so với muon bởi vì có khối lượng nặng hơn và có thể phân rã thành các hạt khác . Thường rất khó khăn để tái tạo Tau từ dữ liệu thu được .
Bây giờ chúng ta rất quen thuộc với việc cùng đưa ra nhiều bản sao của QED. Hiện tại, chỉ có ba bản sao chúng ta phải quan tâm QED , QED + μ , QED + μ + τ . Đó là một câu hỏi mở chỉ ra lý do tại sao đây là trường hợp cần lưu ý . Sự tồn tại của ít nhất ba bản, tuy nhiên, hóa ra là quan trọng đối với sự mất cân bằng của vật chất và phản vật chất trong vũ trụ. Nội dung bài tiếp theo sẽ giới thiệu về lực yếu và những gì chúng ta có thể thực sự nhìn thấy làm được với các lepton .
Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.
Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.
Albert Einstein .
NHẬT KÝ LƯỢNG TỬ - CUỘC THÁM HIỂM THẾ GIỚI VẬT LÝ HẠT - Bài 2 . Nhiều sơ đồ FEYNMAN hơn nữa .
Lời nói đầu .
Vật lý hạt nhân là một nhánh quan trọng trong khoa học vật lý , nó chỉ ra những quan hệ tương tác giữa các hạt , phản hạt cùng những cấu thành khác trong thế giới hạt vi mô . Nhưng để hiểu được các ý nghĩa của chúng bằng việc sử dụng các công thức , ký hiệu toán học và các kiến thức vật lý cao cấp khác là cả một sự khó khăn với quảng đại quần chúng . Loạt bài sau đây gồm 20 đề tài được các tác giả là những nhà vật lý hạt hiện đang tham gia nghiên cứu về lĩnh vực này thể hiện qua những bài đăng rất thú vị . Xin trân trọng giới thiệu đến bạn đọc .
Trần hồng Cơ .
Tham khảo - Trích lược .
Ngày 18/08/2013.
Trong bài 1, chúng ta học được phương pháp tạo sơ đồ Feynman bằng cách vẽ đường , dòng sóng và kết nối chúng lại với các đỉnh . Chúng ta đã bắt đầu với một tập hợp các qui luật để có thể vẽ các sơ đồ này :
Chúng ta có thể vẽ các đường với mũi tên hoặc dòng sóng và chỉ được phép nối chúng bằng cách sử dụng các nút (đỉnh) như hình thức nêu trên . Đây là những quy luật của trò chơi. Sau đó chúng ta cũng đã nói rằng mũi tên là các điện tử (nếu mũi tên đi từ trái sang phải) và positron (nếu mũi tên theo hướng ngược lại) trong khi các dòng sóng là photon. Việc lựa chọn quy luật là những gì chúng ta gọi là "mô hình tương tác hạt," và đặc biệt chúng ta đã phát triển những điều được gọi là điện động lực học lượng tử, cái nói theo kiểu vật lý đối với "lý thuyết về electron và photon."
2.1 Tất cả điều đó đến từ đâu ?
Một câu hỏi mà bạn có thể đặt ra bây giờ là: "Các quy tắc này đến từ đâu? Tại sao họ cấm tôi không thể vẽ sơ đồ với ba dòng sóng giao nhau? "
Câu trả lời ngắn gọn : chúng chỉ là các quy tắc mà chúng ta đã chọn. Thật ra về mặt kỹ thuật chúng đến từ một công thức toán học của lý thuyết hạt . Rõ ràng nó không phải là tất cả, nhưng lý do tại sao chúng ta chỉ cho phép có một đỉnh đặc biệt bởi vì đó là sự tương tác duy nhất có cả hai khía cạnh,
(1) không-thời gian đối xứng ("Lorentz") và
(2) sự đối xứng 'chuẩn' trong của lý thuyết.
Đây là một câu trả lời không thỏa mãn, nhưng chúng ta sẽ từng bước xây dựng các lý thuyết phức tạp hơn giúp làm sáng tỏ về điều này. Để vui một chút , đây là biểu thức toán học mã hóa các thông tin tương tự như các quy tắc Feynman trên : [chú ý: Chúng ta biết đây là một phương trình rồi , nhưng không được sợ hãi nhé !]
Không cần đi vào chi tiết, ký hiệu $\Psi$ đại diện cho điện tử (vạch trên đầu biến nó thành một positron) trong khi A là photon. Số e là "liên kết điện từ cặp" và nó xác định điện tích của electron. Do những phương trình có thể đang bị đe dọa , nên ta sẽ không quá lo lắng về chúng ở đây. Trên thực tế mục đích của chúng ta sẽ đi theo hướng ngược lại - Bạn sẽ thấy rằng có thể tìm hiểu khá nhiều về QED bằng cách chỉ nhìn vào sơ đồ Feynman mà không cần các tính toán phức tạp. Điểm quan trọng đối với các quy tắc dễ thương của chúng ta là làm thế nào để kết nối những con đường thực sự nắm bắt tốt nhất ý nghĩa vật lý được mã hóa trong các phương trình xấu xí đó .
Bây giờ ta mở ngoặc nhanh cho một lưu ý , bởi vì chắc chắn rằng một số bạn sẽ tò mò: Trong phương trình trên , $\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }$ là một loại đạo hàm . Đúng vậy ! Các đạo hàm chỉ cho chúng ta biết về cách mọi thứ thay đổi, và trong thực tế thuật ngữ này nói với chúng ta về cách thức lan truyền điện tử trong không gian. Thế còn điện tử e ? Một thuật ngữ cho chúng ta biết cách photon ánh sáng liên kết đến các electron. Ký hiệu m là khối lượng của electron. Chúng ta sẽ có nhiều dịp để nói về điều này trên con đường khám phá khi thảo luận về các điện tử và cho chúng ta biết cách các photon truyền qua không gian. Trong thực tế, các F này mã hóa các điện trường và từ trường.
[Thông tin thêm cho bạn đọc : lưu ý rằng thành phần khối lượng electron trông giống như quy luật Feynman cho tương tác hai electron với liên kết cường độ m. Bạn có thể thấy điều này bằng cách nhìn vào bộ ba điện tử-điện tử-photon và loại bỏ các photon.]
2.2 Những gì chúng ta có thể học hỏi từ việc chỉ cần nhìn vào các quy tắc .
Như đã biết chúng ta có thể sử dụng đường , dòng và nút để vẽ các sơ đồ đại diện cho tương tác hạt. Nếu bạn chưa có, tôi khuyến khích bạn lấy một mảnh giấy và hãy bắt đầu chơi với các quy tắc Feynman. Một trò chơi rất tốt là bạn hãy tự hỏi xem liệu có bao giờ một trạng thái ban đầu nhất định có thể cung cấp cho bạn một trạng thái cuối cùng nhất định hay không . Dưới đây là một vài bài tập nhỏ :
1. Bắt đầu với một electron . Bạn có thể nào kết thúc với một trạng thái cuối cùng có chứa positron không ? [Trả lời: Có! Vẽ một sơ đồ như vậy.]
2. Nếu bạn bắt đầu với một electron , bạn có thể nào kết thúc với trạng thái nhiều positron cuối cùng hơn là trạng thái electron cuối cùng không ? [Trả lời: không! Hãy vẽ những sơ đồ cho đến khi bạn tin đó là không thể.]
3. Vẽ một sơ đồ một electron và photon tương tác để sinh ra 3 electron, 2 positron, và 2 photon. Rút ra một vài chi tiết để có được một cảm giác về bao nhiêu cách khác nhau mà ta có thể làm điều này.
4. Nếu bạn bắt đầu với một photon, bạn có thể kết thúc với một trạng thái cuối cùng chỉ có nhiều photon? [Đây là một câu hỏi đánh lừa . Câu trả lời là " không" , tuy nhiên đây là một hiệu ứng cơ học lượng tử khá tinh tế vượt quá phạm vi của chúng ta . Bạn có thể vẽ một sơ đồ như vậy để nghĩ rằng câu trả lời là "có".]
Vì vậy, sau đây là những gì bạn sẽ nhận ra :
-Luật Feynman là một cách tốt đẹp để tìm hiểu những gì các loại tương tác hạt có thể và không thể xảy ra. (ví dụ như câu hỏi 1 và 2).
-Trong thực tế, bài học bạn thu được là có một sự bảo toàn điện tích trong mỗi sơ đồ đến từ sự bảo toàn điện tích tại mỗi nút .
-Bạn cũng có thể thấy rằng các tương tác phức tạp có thể được rút thành tương tác đơn giản với "hạt ảo" (hạt trung gian mà không xuất hiện trong tình trạng ban đầu).
Chúng ta có thể thực hiện điều này chỉ bằng cách nêu rõ các quy tắc Feynman và vui chơi với các bản vẽ sơ đồ . Không cần thiết lắm về các kiến thức Toán, hay các nền tảng kỹ thuật cần thiết khác phải không nào ?!
2.3 Tổng hợp sơ đồ: sự tương tự với tổng hợp các đường đi .
Chúng ta có thể thực hiện rất nhiều điều hơn nữa với sơ đồ Feynman, chẳng hạn như tính toán xác suất đối với việc xảy ra tương tác . Thực sự ra điều này đòi hỏi nền tảng toán học hơn là vật lý, nhưng vẫn còn rất nhiều điều mà chúng ta có thể tìm hiểu một cách khái niệm từ sơ đồ Feynman .
Ví dụ, có hai sơ đồ đơn giản mà chúng ta có thể rút ra đại diện cho sự tán xạ của một electron và một positron từ một hạt khác như sau :
Cần nhớ lại rằng chúng ta có thể mô tả các tương tác trong từ bằng cách "đọc" chúng từ trái sang phải:
Sơ đồ đầu tiên cho thấy một electron và một positron đến triệt tiêu vào một photon, sau đó "phát sinh cặp " một electron và positron đi .
Sơ đồ thứ hai cho thấy một electron và một positron đến tương tác bằng cách gửi một photon giữa chúng. Đây chắc chắn là một quá trình khác hẳn vì các electron và positron không bao giờ thực sự chạm vào, không giống như giản đồ đầu tiên.
Hãy nhớ rằng các sơ đồ thực sự là viết tắt cho các số phức. Những con số đại diện cho xác suất cho mỗi các quá trình này xảy ra. Để tính toán đầy đủ khả năng mà một electron và một positron nẩy bật vào nhau, chúng ta cần phải cộng thêm vào những đóng góp này như những số phức.
Điều này có nghĩa gì? Đây chỉ là công việc của cơ học lượng tử ! Hãy nhớ lại các thí nghiệm về khe đôi .
Chúng ta đã biết cơ học lượng tử chỉ ra rằng các đối tượng đều thực hiện tất cả các đường đi từ một trạng thái quan sát ban đầu cho một trạng thái quan sát cuối cùng . Vì vậy, nếu bạn nhìn thấy một hạt tại điểm A, thì xác suất để nó hiển thị tại điểm B được cho bởi tổng của biên độ xác suất cho mỗi đường đi trung gian .
Tổng những sơ đồ trên là một sự tổng quát hóa của các ý tưởng chính xác. Trạng thái quan sát ban đầu của chúng ta là một electron và một positron. Mỗi hạt trong số này có một động lượng cố định [và được quan sát] nào đó . Nếu bạn muốn tính toán xác suất mà chúng sẽ tương tác và sinh ra một electron và positron với một động lượng khác (ví dụ như chúng bật ra khỏi nhau và đầu ra theo hướng ngược nhau), thì chúng ta không chỉ phải tổng hợp trên những đường đi trung gian khác nhau, mà còn từ những tương tác trung gian khác nhau nữa .
Một lần nữa, tạm dừng đối với hình ảnh lớn như thế nhé các bạn ! : thực sự chúng ta sẽ không tính toán bất cứ điều gì vì đối với hầu hết mọi người, đây không phải là điều thú vị như vẽ sơ đồ đâu . Nhưng thậm chí chỉ cần mô tả những gì người ta sẽ tính toán, chúng ta có thể thấy cách thức mọi điều rút gọn có liên quan đến hình ảnh đơn giản của chúng ta về cơ học lượng tử : đó là thí nghiệm khe đôi [ điều này chúng ta sẽ đề cập đến trong những phần sau ].
2.4 Bảo toàn động lượng .
Mỗi hạt trạng thái ban đầu và cuối cùng đều có một động lượng rõ ràng. (với từ ngữ "động lượng" ta cũng bao gồm tổng số năng lượng của hạt) . Một trong những điều ta có thể dự đoán được ngay là , bất kỳ sơ đồ vật lý phải đáp ứng các bảo toàn động lượng. Trong thực tế, điều này được xây dựng tại mỗi giao điểm ( nút ) : chúng ta giả định rằng tổng của các động lượng đi vào mỗi nút (tức là từ trái sang) là bằng với động lượng đi ra khỏi nó ( đi ra bên phải). Do đó bạn không thể nào có hai trạng thái năng lượng electron ban đầu rất thấp lại tán xạ thành một cái gì đó với một trạng thái năng lượng rất cao cuối cùng .
Có lẽ rõ ràng hơn, điều này có nghĩa rằng bạn không thể có sơ đồ Feynman mà trong đó "không có gì" lại biến thành vật chất , hoặc từ một cái gì đó biến thành không có gì như hai sơ đồ sau đây .
Chúng ta để ý rằng cả hai sơ đồ về mặt kỹ thuật là được phép vì chúng tuân theo các quy luật Feynman trước đây . Do đó chúng ta cần phải áp đặt thêm tính chất bảo toàn động lượng như một quy tắc Feynman bổ sung.
Đây là một bài tập cho người đọc cao cấp hơn - những người biết về thuyết tương đối đặc biệt - :
Hãy tự thuyết phục bản thân rằng luật bảo toàn động lượng nghiêm cấm bất kỳ sơ đồ nào chỉ chứa một sự tương tác đơn , ví dụ như sau
[Một bài tập đơn giản hơn nhiều cho tất cả mọi người:
Hãy "đọc" mỗi sơ đồ từ trái sang phải và mô tả những gì đang xảy ra bằng lời nói . Mặc dù đây là tất cả các biến thể của các quy tắc cho các dòng giao nhau, làm thế nào giải thích để ba sơ đồ này khác nhau về ý nghĩa vật lý ?]
Rất đơn giản nhận thấy rằng trong biểu đồ tán xạ electron-positron trên ( xem 2.3 ) , động lượng của photon trung hòa được xác định đầy đủ bởi các động lượng của các hạt bên ngoài. Ví dụ, trong sơ đồ đầu tiên động lượng photon phải là tổng của các động lượng hạt ban đầu. ( Một bài tập cho người đọc cao cấp một lần nữa: Hãy tự thuyết phục rằng photon trung hòa không phải chỉ là " ở trên vỏ ", nghĩa là bình phương của 4-động lượng của nó khác không . Điều này là chấp nhận được vì photon là một hạt ảo.)
2.5 Sơ đồ vòng lặp : một khúc dạo đầu cho những gì sắp đến .
Bây giờ tôi muốn dừng lại để đề cập đến một "chủ đề cao cấp'' mà chúng ta sẽ gặp trong một bài viết sắp tới . Nếu bạn siêng năng và đã từng vui chơi với các loại biểu đồ Feynman, bạn sẽ nhận thấy rằng cũng có thể vẽ sơ đồ có vòng khép kín, chẳng hạn như sau
Chúng ta gọi là đồ thị như vậy là sơ đồ vòng lặp vì lý do rất rõ ràng . Sơ đồ mà không có vòng lặp được gọi là sơ đồ cây. Ta thấy rằng sơ đồ vòng lặp khá đặc biệt đồng thời nó cũng giới thiệu một số vấn đề mới 'chuyên sâu' hơn mà chúng ta chỉ đề cập đến chút ít ngay bây giờ: (vài điều trong số này hơi 'cao cấp' một tí , nhưng bạn đừng lo lắng nếu có vẻ mơ hồ một chút - chúng ta sẽ trở lại vấn đề này sau nhé ! )
Sơ đồ trên là một đóng góp cho quá trình tán xạ electron-positron mà chúng ta đã xem xét ở trên. Bạn sẽ có thể tự thuyết phục chính mình rằng trong thực tế, có một số vô hạn các đóng góp cho mỗi tương tác giữa các hạt cho trước trạng thái cuối cùng và ban đầu được đưa ra bằng cách vẽ nhiều vòng lặp hơn một cách sáng tạo. Điều này nghe có vẻ lạ, nhưng hãy nhớ rằng trước đó cũng đã có một số lượng vô hạn các đường đi giữa hai điểm khi chúng ta đã nghiên cứu thí nghiệm " khe vô hạn".
Đối với các bạn có căn bản phép tính vi tích phân thì những gì chúng ta đang thực sự làm chính là khai triển Taylor . Vậy tham số khai triển của chúng ta là gì? Đó chính là các liên kết điện từ cặp e (trong phương trình chúng ta đã viết ở trên). Nói cách khác, chúng ta đang mở rộng về số lượng các đỉnh. Mỗi đỉnh cho một hệ số e (đó là một số nhỏ) , để kết quả đầy đủ thực sự là xấp xỉ tốt nhất chỉ bằng việc dựa trên sự khảo sát các sơ đồ cây .
Trong ánh sáng giải luận của chúng ta về bảo toàn động lượng, bạn nên tự thuyết phục chính mình rằng các hạt "vòng" (đó là hoàn toàn ảo) có thể có bất kỳ động lượng lớn tùy ý . Điều này trái ngược với các hạt trung gian trong sơ đồ cây là các hạt có động lượng bị hạn chế bởi các động lượng bên ngoài . Đây thực sự khá là thú vị : điều này có nghĩa rằng các vòng lặp rất nhạy cảm đối với vật lý năng lượng cao .
Một lần nữa , trong ánh sáng của sự hiểu biết của chúng ta về cơ học lượng tử, có thể thấy rằng ngay cả đối với một sơ đồ lặp đơn chúng ta cũng phải tổng hợp vô số các xung ( động lượng ) vòng khả dĩ . Điều này có thể là một vấn đề rắc rối : một tổng trên một tập hợp vô hạn các số tự nó có thể là vô hạn . Do đó e rằng việc tính toán xác suất cơ học lượng tử của chúng ta có thể sẽ cho một kết quả vô nghĩa ( liệu có nghĩa gì đối với một xác suất là vô hạn? ). Trong thực tế, đây là sự liên quan rất sâu sắc với ý tưởng rằng các vòng lặp rất nhạy cảm với vật lý năng lượng cao . Chúng ta sẽ thảo luận về tất cả điều này kỹ lưỡng hơn khi chúng ta nói đến các boson Higgs .
Sơ đồ vòng lặp có thể rất tẻ nhạt khi tính toán đấy các bạn ! Trong thực tế, chúng là những tai ương của cuộc sống hầu hết sinh viên tốt nghiệp ngành vật lý khi họ lần đầu tiên tìm hiểu lý thuyết trường lượng tử. May mắn thay, chúng ta sẽ không phải tính toán gì cả và , bây giờ , ta sẽ chỉ ngạc nhiên trước khả năng của chúng đối với những điều phức tạp mà thôi !
2.6 Hoạt động trong khoảng cách : Các lực hút và đẩy .
Buổi thảo luận của chúng ta đã bắt đầu có một chút kỹ thuật rồi đó , vì vậy hãy lùi lại một bước và xét xem bằng cách nào một số trong những hạt này đến được với nhau. Chúng ta nhớ lại rằng photon không chỉ là hạt của ánh sáng, nhưng chúng là "hạt lực" trung gian , là cái trung hòa lực điện giữa các electron (và positron nữa ) . Hình ảnh hoạt họa giúp ta hiểu được hoạt động của các hạt lực này là hạt tích điện "tung" các photon qua lại khi chúng tương tác . Ta có thể tưởng tượng , khi được chụp lại trong cuộc phiêu lưu hạt , hai electron như hai cầu thủ bóng rổ ném một quả bóng trong khi trượt băng. Động lượng của quả bóng đang được tung hứng qua lại đã được biên dịch thành chuyển động của các hạt ra xa nhau.
Điều này luôn luôn đặt ra câu hỏi : làm thế quái nào mà chúng ta cần phải hiểu được lực gây ra các hạt hút lẫn nhau ? (Ví dụ, một electron và một positron.) Các hình ảnh phim hoạt hình sẽ không còn có ý nghĩa nữa !
Có một vài cách để trả lời câu hỏi này. Trước hết, "lực" là những mô tả cổ điển của hiện tượng lượng tử. Để trích xuất được đúng một lực, ta phải tìm cách để xây dựng các thế năng của một hệ thống và xét xem những loại chuyển động gì của hạt làm cho nó suy giảm. Có một cách để thực hiện điều này từ quan điểm lượng tử, và nó chỉ ra cho chính xác hành vi đúng . Đối với những người có một số nền tảng về cơ học lượng tử, có một gợi ý tốt về việc xem 30 trang đầu ( hoặc hơn nữa ) cuốn sách giáo khoa của Zee .
Tuy nhiên, chúng ta đã hứa với nhau rằng sẽ không tính toán gì cả . Vì vậy, đây là những điều sẽ được bắt đầu . Chúng ta hãy nhớ lại rằng với vật lý cổ điển, trong sự hiện diện của một trường lực , động lượng không được bảo toàn ( lực sinh ra gia tốc). Tuy nhiên quy tắc Feynman của chúng ta , rõ ràng cũng yêu cầu tính chất bảo toàn động lượng . Vì vậy, chúng ta có thể đưa ra câu hỏi theo một cách khác : lý thuyết lượng tử có thể cung cấp cho chúng ta các loại lực bất kỳ như thế nào ?
Để đi từ một mô hình lượng tử (hạt ảo) đến một mô hình cổ điển ( lực ), bằng cách nào đó chúng ta phải bao gồm các tác động của các hạt lượng tử để tạo ra một hiện tượng vĩ mô. Điều thực sự xảy ra khi một electron và một positron hút lẫn nhau trên một khoảng cách dài là một điều gì đó tựa như thế này :
Điều này trông giống như một trong những biểu đồ mà chúng ta đã xem xét ở trên, ngoại trừ bây giờ có thêm một số photon trạng thái cuối cùng . Electron và positron di chuyển về nhau bằng cách ném các photon đi vào không gian. Một cách chính xác đây giống như những việc mà một phi hành gia bị mắc kẹt sẽ phải làm để quay lại tàu con thoi không gian của mình ( tựa như electron quay về positron vậy ) : Đó là việc anh ta sẽ ném một cái cờ-lê thật mạnh ( hay một vật gì đó ) theo hướng ngược lại và để cho sự bảo toàn động lượng làm tiếp công việc của nó .
Đến đây bạn sẽ nói rằng : "Thật điên rồ! Sách giáo khoa vật lý của tôi nói rằng các hạt tích điện trái dấu hút và đó là nó thôi - không có đề cập đến một loạt các photon thêm vào nào cả . "Vâng đúng vậy , nhưng sách giáo khoa vật lý của bạn cũng nói rằng có cái gì khác nữa : Đó là trường điện từ " . Các photon thêm vào trong hình ảnh cơ học lượng tử xây dựng một cách chính xác trường điện từ trong mô hình cổ điển ! Điều này nghe có vẻ kỳ lạ , nhưng đây là những gì chúng ta giải nghĩa khi nói rằng photon là người vận chuyển lượng tử của lực điện từ : đó là lượng tử của điện trường .
Thật ra chúng ta đã tránh né câu hỏi về cách một lực có 'biết' được liệu nó là lực hút hoặc đẩy hay không . Như vậy đến nay ta mới chỉ giải thích lý do tại sao điều này có thể xảy ra. Câu hỏi là làm thế nào để các photon biết được phát ra từ các hạt là hút hoặc đẩy nhau theo cách như vậy ? Không dễ có lời giải thích đơn giản cho điều này, cách chính xác nhất để xác định từ nguyên tắc đầu tiên là phải thực hiện các tính toán - mà chúng ta lại hứa với nhau rằng sẽ không làm toán ! . Vậy những điều chúng ta cần làm là tìm hiểu lý do tại sao tán xạ electron-electron (lực đẩy) lại khác với tán xạ electron-positron (lực hút). Cách đơn giản nhất để lưu ý rằng hai quá trình có ứng xử khác nhau là chúng sẽ được mô tả bằng hai biểu đồ Feynman khác nhau !
Tán xạ electron-positron được trung hòa bởi các biểu đồ chúng ta đã nói ở trên:
Trong khi tán xạ electron-êlectron được mô tả bởi một cặp đồ thị khác nhau :
Để chắc chắn rằng chúng trông có vẻ tương tự, đặc biệt là những sơ đồ thứ hai , các tính toán thực tế (mà chúng ta không thực hiện !) sẽ cho các kết quả khác nhau . Để có được những ứng xử cổ điển người ta phải bao gồm sự phát xạ của photon trở thành trường điện từ. Kết quả quan trọng là biên độ xác suất lượng tử đối với tán xạ electron-electron thích phát ra các photon theo cách mà các hạt đẩy nhau , trong khi biên độ xác suất lượng tử cho tán xạ electron-positron thích phát ra các photon theo cách mà các hạt hút nhau .
2.7 Lời kết và những công việc trong thời gian tới ...
Phù ! Chao ôi ! Chúng ta đã thật sự nói khá nhiều về QED trong bài viết này. Sắp tới công việc tiếp tục là sẽ khảo sát các chi tiết và quay trở lại bức tranh lớn về thế giới hạt . Chúng ta sẽ mở rộng mô hình bao gồm một số hạt mới và xem xét những điều mà biểu đồ Feynman có thể cho chúng ta biết. Trong bài viết sau , mọi công việc sẽ được thực hiện theo cách của chúng ta (trong những bước nhỏ) đối với các quy tắc Feynman cho các mô hình tiêu chuẩn ; và chúng ta bắt đầu biết đến những loại hiện tượng mà các nhà vật lý hy vọng sẽ quan sát được tại LHC.
Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.
Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.
Albert Einstein .
wxMaxima 0.8.5
-
I have released wxMaxima version 0.8.5. There are no major changes in this
release. One of the cool things added are two new translations (Greek an
Japanes...
The Day in Photos – November 5, 2019
-
[image: Hindu women worship the Sun god in the polluted waters of the river
Yamuna during the Hindu religious festival of Chatth Puja in New Delhi,
India, ...
Bài tập B24.Tích phân học toán 12.docx
-
Để có thêm nguồn tư liệu cho HS học tập thi HK 2023 MÔN TOÁN, ÔN TẬP TRONG
LÚC HỌC TOÁN TRONG LỚP, EBOOKTOAN SƯU TẬP CÁC FILE TOÁN DOCX ĐỂ PHỤC VỤ CÁC
TH...
VERBATIM, Verbatim
-
By Erin McKean, editor of VERBATIM. VERBATIM: The Language Quarterly began
as a simple six-page pamphlet in 1974, a project launched by lexicographer
Laure...
The Orbit of Kepler 16b
-
[image: The Orbit of Kepler 16b]NASA's Kepler space telescope recently made
the news by finding a planet that orbits a double-star system, a situation
that...
implicitplot misbehaves in Maple 2024
-
>
restart;
Here are the graphs of a parabola and a straight line:
>
plots:-display(
plot(x^2, x=-1..1),
plot((x+1)/2, x=-1..1),
colo...
Find All Wolfram News in One Place—The Wolfram Blog
-
This is the final post here at the Wolfram|Alpha Blog. Approximately six
and a half years ago our launch team started the Wolfram|Alpha blog just
prior to ...
