Wikipedia

Kết quả tìm kiếm

Giải toán trực tuyến W | A




Vẽ đồ thị trong Oxyz plot3D(f(x,y),x=..,y=..)
Vẽ đồ thị trong Oxy plot(f(x),x=..,y=..)
Đạo hàm derivative(f(x))
Tích phân Integrate(f(x))


Giải toán trực tuyến W|A

Thứ Năm, 6 tháng 12, 2012

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN . Chương 1- PHẦN 3 .



GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Chương 1-

PHẦN 3 .

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm -
Giải số phương trình vi phân .






Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  

Trần hồng Cơ .
10/11/2012 .

****************************************************************************

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

1. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm  .


1.1   Định lý .


Định lý  tồn tại và duy nhất nghiệm là công cụ mà nhờ nó chúng ta có thể  kết luận rằng chỉ tồn tại một nghiệm cho phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện ban đầu nào đó . Nội dung và ý nghĩa thực sự của định lý này như thế nào và tại sao chúng ta phải nghiên cứu những tính chất đặc biệt này ? Trước tiên ta sẽ đưa ra phát biểu của định lý .

Khi đó nghiệm của phương trình vi phân này có dạng 


Picard là người đã phát hiện ra biểu thức nghiệm của phương trình vi phân , từ đó ông đưa ra phương pháp xấp xỉ liên tiếp sẽ được trình bày dưới đây . 

1.2   Ý nghĩa  .


- Sự tồn tại nghiệm phương trình vi phân được cho trên một miền đóng ( hình chữ nhật trong mặt phẳng ) 
trên đó hàm 2 biến f(x,y) và đạo hàm df(x,y) /dy liên tục  .
- Trên miền con đóng I 
phương trình vi phân này sẽ có nghiệm duy nhất đi qua điểm ( xo , yo ) .
- Lưu ý :
*Tính chất đạo hàm  df(x,y) /dy   liên tục là để phương trình có nghiệm duy nhất . Nếu không thỏa mãn điều kiện này tính duy nhất sẽ bị phá vỡ .
Xét ví dụ phương trình vi phân sau .


*Có thể thay thế điều kiện đạo hàm  df(x,y) /dy   liên tục bằng điều kiện liên tục Lipschitz trên miền 



Định lý Picard-Lindelof cho ta một tiêu chuẩn nhẹ hơn để phương trình vi phân có nghiệm duy nhất .
1.3   Ví dụ minh họa  .
1. Giả sử rằng phương trình vi phân 
y' = f(x,y)  thỏa mãn điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm với 2 nghiệm riêng tìm được là 

a. Vẽ đồ thị 2 nghiệm này trên cùng hệ trục toa độ .
b. Hãy cho biết tính chất của nghiệm y(x) thỏa mãn  y(0) = 1   trên đoạn [ -1/2 , 1/2 ] . Có thể phát biểu gì cho y(x)  khi  
Lời giải .
a.  Dùng FooPlot vẽ 2 nghiệm riêng 

Để ý rằng y2(0)  = 2  và  y1(0)  = 0
b.  Dựa vào a. nếu nghiệm y(x) thỏa mãn  y(0) = 1   trên đoạn [ -1/2 , 1/2 ] thì 

Vì miền thác triển nghiệm quá lớn nên không có dự báo gì về tính chất cho hàm  y(x)  khi  

2.

a. Tìm nghiệm của phương trình .
b. Kiểm tra tính duy nhất nghiệm của phương trình trên đoạn [ - 4 , 4 ] . Vẽ đồ thị minh họa .

Lời giải .
a.  
b.  Tính duy nhất nghiệm bị phá vỡ do hàm 

không liên tục trên [ - 4 , 4 ] x [ 0 - b , 0 + b ] .

+ Kiểm tra bằng Maple , vẽ đồ thị nghiệm phương trình 








Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.




-------------------------------------------------------------------------------------------
Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.
Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.
Albert Einstein .

2 nhận xét :

  1. Xin tác giả cho biết định lý tồn tại và duy nhất nghiệm có liên quan gì đến nguyên lý ánh xạ co không ? Cám ơn .

    Trả lờiXóa
  2. Việc chứng minh định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình vi phân cấp 1 có những bước sau :

    1. C/m phép lặp Picard-Lindelof có nghiệm yn bị giới nội trong hình chữ nhật ( do f(x,y) liên tục trong miền đó .
    2. C/m phép lặp Picard hội tụ đều trên tập I đến một nghiệm y(x) ( do f(x,y) liên tục theo x và liên tục Lipschitz theo y , hoặc df/dy liên tục ) < xem 1.1 >
    3. C/m tính duy nhất nghiệm nhờ tính liên tục Lipschitz theo y .

    Theo lý thuyết toán tử nghiệm của phương trình tích phân tương ứng ( biểu thức nghiệm của phương trình vi phân - xem 1.1 ) quy về lời giải của BÀI TOÁN ĐIỂM BÂT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ CO trong không gian metric đầy đủ của các hàm C1 .
    Như vậy có thể hiểu rằng Nguyên lý ánh xạ co liên hệ rất chặt chẽ với định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy .

    Trả lờiXóa

Cám ơn lời bình luận của các bạn .
Tôi sẽ xem và trả lời ngay khi có thể .


I will review and respond to your comments as soon as possible.,
Thank you .

Trần hồng Cơ .
Co.H.Tran
MMPC-VN
cohtran@mail.com
https://plus.google.com/+HongCoTranMMPC-VN/about

*******

Blog Toán Cơ trích đăng các thông tin khoa học tự nhiên của tác giả và nhiều nguồn tham khảo trên Internet .
Blog cũng là nơi chia sẻ các suy nghĩ , ý tưởng về nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau .


Chia xẻ

Bài viết được xem nhiều trong tuần

CÁC BÀI VIẾT MỚI VỀ CHỦ ĐỀ TOÁN HỌC

Danh sách Blog

Thông tin hàng ngày.

Giới thiệu bản thân

Ảnh của Tôi


Các chuyên đề ứng dụng .

1. Phương trình vi phân  
2. Toán đơn giản - College Algebra 
3. Toán thực hành - Practical Mathematics 
4. Vật lý tổng quan ( đang viết )
5. Phương trình tích phân 
( đang chuẩn bị ) 

Gặp Cơ tại Researchgate.net

Co Tran