GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN . Chương 5 - PHẦN 5 .

   

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Chương 5 -

PHẦN 5 . 

Các phương pháp giải hệ thống phương trình vi phân tuyến tính .


-Ứng dụng của hệ thống phương trình vi phân tuyến tính . 
-Phương pháp ma trận .
-Phương pháp toán tử .
-Phương pháp biến đổi Laplace  .


 

Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  



Trần hồng Cơ .
01/10/2013 .



****************************************************************************
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.



1. Ứng dụng của hệ thống phương trình vi phân tuyến tính .
1.1 Bài toán dao động trượt ngang .
+Xét bài toán dao động trượt ngang không cản của nhà 2 tấm phẳng dưới tác động của hệ lực F1(t) và F2(t) với mô hình như sau 

Về mặt tổng quát , tầng thứ j ( j = 1,...,n ) được xem như một tấm phẳng cứng có khối lượng mj , chịu tải ngoài là Fj(t) , độ cứng và hệ số cản kết hợp giữa tầng j và tầng ( j -1 ) được cho bởi kj và cj . Chuyển vị của tầng j ký hiệu là xj(t) .
Phương trình chuyển động của hệ có dạng 

Xét trường hợp đặc biệt với n = 2 , m1 = m2 = m , k1 = k2  = k , F1(t) = F2(t) = macosWt  . Ta thu được 

1.2 Bài toán dao động dọc .
+Xét bài toán dao động dọc của ghế trong xe hơi có mô hình như sau 

Gọi chuyển vị , khối lượng xe và ghế lần lượt là x1(t) , x2(t) , m1 và m2 , độ cứng lò xo và cản nhớt tương ứng là k1 , k2 và c1 , c2 . Phân tích lực cho hệ thống , theo định luật Newton 2 .

1.2 Bài toán mạch điện .
+Xét bài toán mạch điện có mô hình như sau 

Tại nút A , cường độ dòng điện trong mạch thỏa mãn  iC  =  iL  +  iR  , xét mạch điện bên trái nút A  ta có  V1(t)  = vR  + vC 
vR  =  R.iR  và  
$v_{C}=\frac{1}{C}\int_{-\infty }^{t}iCdt$
nên $V_{1}(t)=R.iR+\frac{1}{C}\int_{-\infty }^{t}iCdt$
Đạo hàm 2 vế , thu được 
$iC.\frac{1}{C}+R.\frac{\mathrm{d}(iC-iL) }{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d}V_{1}(t)}{\mathrm{d}t}$
Xét mạch điện bên phải nút A ta có  vR  = vL + V2(t)  <=>  R.iR  = L.iL'(t) + V2(t)   hay  
$R.(iC-iL)-L.\frac{\mathrm{d} iL(t)}{\mathrm{d} t}=V_{2}(t)$,

Vậy hệ phương trình vi phân xác định iC và iL được viết 
$\left\{\begin{matrix}
R.\frac{\mathrm{d}iC(t) }{\mathrm{d} t}+\frac{1}{C}.iC(t)-R.\frac{\mathrm{d}iL(t) }{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d}V_{1}(t) }{\mathrm{d} t}\\R.iC(t)-L.\frac{\mathrm{d}iL(t) }{\mathrm{d} t}-R.iL(t)=V_{2}(t)\end{matrix}\right.$


2. Bài tập áp dụng .
2.1 Phương pháp ma trận .
+Giải các hệ phương trình vi phân sau bằng phương pháp ma trận .

2.2  Phương pháp toán tử .
+Giải các hệ phương trình vi phân sau bằng phương pháp toán tử .

2.3  Phương pháp Laplace .
+Giải các hệ phương trình vi phân sau bằng phương pháp Laplace .

Trần hồng Cơ .
14/10/2013 .

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.
 -------------------------------------------------------------------------------------------

 Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.
 Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.
 Albert Einstein .

Tìm hiểu về wxMaxima . Bài 2 . MỘT SỐ LỆNH TÍNH TOÁN TRÊN GIAO DIỆN wxMaxima .

Tìm hiểu về wxMaxima .
Bài 2 .
MỘT SỐ LỆNH TÍNH TOÁN TRÊN GIAO DIỆN wxMaxima .

************************************************************************************

************************************************************************************



Đường dẫn

Bài 1 .  Tìm hiểu về wxMaxima . Bài 1 . VẼ ĐỒ THỊ CÁC MẶT TRONG KHÔNG GIAN BẰNG wxMaxima .




Các bạn có thể download phần mềm miễn phí wxMaxima cho việc học tập , nghiên cứu môn toán theo địa chỉ sau http://andrejv.github.io/wxmaxima/ . 
Tham khảo tài liệu tại  http://maxima.sourceforge.net/documentation.html 
http://andrejv.github.io/wxmaxima/help.html





Bài viết này đề cập đến một số lệnh tính toán hữu ích trên giao diện wxMaxima .
+ Khởi động bảng tính .
1. Lệnh tính toán sơ cấp . 
1.1 Các ký hiệu tính toán số học .
+ cộng  
- trừ  
* nhân   
/  chia   
^ lũy thừa 
sqrt ( ) căn bậc hai  
! giai thừa  
sin( )  
cos( )  
tan( )  
cot( ) 
asin( )
acos( )
atan( )
acot( )
log( )
( )^( ) 

Ví dụ . 

Các hằng số được quy định bởi 

 wxMaxima cho phép nhập trực tiếp các lệnh tính toán và trả về kết quả ngay trên bảng tính  .

Ví dụ . Tính thể tích hình trụ tròn có bán kính đáy là r , chiều cao h .
$S=\pi R^{2};V=\pi R^{2}h$
(r:10,h:100)$
S:pi*r^2;

V:S*h;
Nhấn Shift-Enter ,  

Chúng ta cũng có thể tạo các hàm S(r) và V(r,h) , và nhập liệu như sau 

1.2 Các lệnh rút gọn & khai triển biểu thức hữu tỷ , lượng giác , logarith .
+Lệnh ratsimp( b/thức ) ; rút gọn biểu thức hữu tỷ theo biến mặc định .
Ví dụ .     

+Lệnh fullratsimp( b/thức ) ; rút gọn và cho kết quả cuối cùng là biểu thức hữu tỷ tối giản .
Ví dụ . Rút gọn 
$P=\frac{(x^{a/2}+1)^{2}(x^{a/2}-1)^{2}}{x^{a}-1}$

+Lệnh expand( ) ; khai triển biểu thức hữu tỷ ;  lệnh factor( ) ; đưa biểu thức hữu tỷ về dạng tích .

+Ký hiệu % chỉ về kết quả đã tính toán trước đó , nếu cần xóa lưu trữ bộ nhớ ta click vào Maxima và Clear Memory  - hoặc nhập lệnh  kill(all) ; 
Ví dụ .  

+Chức năng tính toán hàm lượng giác của wxMaxima như 
*trigsimp( ) ; rút gọn biểu thức lượng giác  
*trigexpand( ) ; khai triển biểu thức lương giác 
Ví dụ . 

+Chức năng tính toán hàm logarith của wxMaxima như 
*logcontract( ) ; rút gọn biểu thức logarith
*( ) ,logexpand=super ; khai triển biểu thức logarith  . 
Ví dụ .

1.3 Các lệnh giải phương trình đại số , lượng giác và logarith .
+Lệnh solve([eqns ],[vars ] ) ;  cho giá trị nghiệm của phương trình . 

+Khi solve([eqns ],[vars ] ) ;  không cho nghiệm hiển có thể dùng  lệnh find_root([eqns] , [vars ] , a , b ) ; để có nghiệm xấp xỉ của phương trình trên khoảng ( a , b )

+Lệnh solve([eqns ],[vars ] ) ;  có thể cho nghiệm dạng tham số đối với hệ phương trình không đầy đủ . 

 Dùng vòng lặp để biểu diễn nghiệm tham số . 

+Lệnh algsys([expr1,expr2,...,exprn ],[var1,var2,...,varm ] ) ;  có thể cho nghiệm của hệ phương trình bất kỳ . 

Tương tự như trên ta có thể dùng vòng lặp để biểu diễn nghiệm tham số .

+Lệnh allroots( poly ) ;  có thể cho nghiệm thực và phức của đa thức .

+Lệnh funcsolve( eqn , f(n) ) ;  tìm biểu thức  nghiệm của phương trình hàm f(n) . 

2 . Giới thiệu về toán tử . 
2.1 Khái niệm  .
+wxMaxima cho phép ta xây dựng những toán tử theo yêu cầu , có thể hiểu là những phép toán giữa hai hay nhiều hạng tử trên một tập hợp nào đó và hình thành hệ thức .  Các hệ thức này là : đơn cấp - đầu , đơn cấp - cuối , nhị cấp - giữa , đa cấp - giữa , so khớp và rỗng .
Ví dụ . 
*đơn cấp - đầu ( unary prefix ) : phủ định a ( hay  - a ) 
*đơn cấp - cuối ( unary postfix ) : giai thừa của a  ( hay a ! )
*nhị cấp - giữa ( binary infix ) : a mũ b  ( hay  a^b )
*đa cấp - giữa ( n-ary infix ) : a cộng b cộng c ( hay a + b + c )
*so khớp ( matchfix ) : đoạn [ a , b ] 
*rỗng ( nofix ) : không tác động lên bất kỳ hạng tử nào . 
Ví dụ .

+Các toán tử đã được định nghĩa trong wxMaxima đều có thể tương tác với nhau linh hoạt và có tính năng rất mạnh . Xét ví dụ về hệ thức so khớp và nhị cấp - giữa sau đây 

Kết hợp hệ thức so khớp và nhị cấp - giữa 

2.2  Phép toán đồng nhất - phép toán logic - phép toán chỉ định  .
+Phép toán đồng nhất ký hiệu là  =  được dùng trong so sánh các hạng tử trong một hệ thức nhị cấp . Hệ thức đồng nhất là một mệnh đề với phép toán  =  .  Phủ định của phép toán  =  là  phép toán  # . 
Hàm is đánh giá hệ thức đồng nhất và trả về giá trị Boole đúng hoặc sai , nghĩa là  is(a=b) có trị true nếu a đồng nhất với b . 
Lưu ý rằng not a=b tương đương với a#b hay is(a#b)

+Phép toán đồng nhất kết hợp với các cấu trúc chọn lựa khác hình thành một chuỗi Boole nào đó và mang một giá trị true hoặc false . Ví dụ 

+Phép toán logic gồm có : not  ( phủ định ) , and  ( và , với  , giao )  ,  or  ( hay , hoặc , hợp )  .
Not là phép toán đầu ( prefix ) , toán hạng của nó là một hay nhiều hệ thức Boole và giá trị của nó là một giá trị Boole . And  và Or là các phép toán giữa ( infix ) , thực hiện trên hai hạng tử , tương tự như  not , toán hạng của nó là một hay nhiều hệ thức Boole và giá trị của nó là một giá trị Boole . Ví dụ .

2.3  Phép toán chỉ định - phép toán so sánh .
+Phép toán chỉ định gồm có : , :: , :=  và ::=   được dùng gán các hạng tử của biểu thức vế trái với biểu thức vế phải của hệ thức . 
Ví dụ về  phép toán : 

+Phép toán ::  cũng giống như :  , tuy nhiên nó ước lượng cho vế phải cũng giống như vế trái . 
Ví dụ về  phép toán :: 

+Phép toán :=  xác định hàm số có biến là ký tự được quy định trong ( , , .. )  . 

+Phép toán ::=  xác định hàm macro có biến là ký tự được quy định trong ( )  . Hàm macro tác động lên các biến của nó và cho giá trị theo ngữ cảnh mà macro đã được gọi . Dưới đây là một ví dụ viết cho hàm macro goi(gd) tìm giao điểm hai đồ thị . 

Lời giải .

" INTRO : Chuong trinh tim toa do giao diem 2 do thi 
y = f(x) (C1) va y = g(x) (C2)"$   
f(x):=2*x^3-5*x^2$   "nhap ham f(x) vao day"$
g(x):=x^2-3*x-1$     "nhap ham g(x) vao day"$
-----------------------------------------------------------
pthdgd(x):=f(x)-g(x)=0$ 
ngh:solve(pthdgd(x),x)$ 
n:length(ngh)$

goi(gd)::=
block(print(" Chuong trinh tim toa do giao diem 2 do thi 
y = f(x) (C) va y = g(x) (C2)"),
print("(1)Ham so thu nhat la f(x) = ",f(x)),
print("(2)Ham so thu hai la g(x) = ",g(x)),
print("Phuong trinh hoanh do giao diem la :",
"f(x)=g(x)"),print("<=>",pthdgd(x),"<=>",ngh),
print(" Thay hoanh do vao f(x) , ta co "))$

goi(gd)$

print(" Toa do giao diem " )$
for i : 1 thru n do
print("Tung do giao diem thu ",i," la ",ratsimp(f(rhs(ngh[i]))),
"=>M",i,[rhs(ngh[i]),ratsimp(f(rhs(ngh[i])))])$

print("")$ print("")$
print("http://cohtran.blogspot.com - cohtran MMPC-VN,Copyright 2013.")$

print("Chuc ban vui ve ^..^")$
+Phép toán so sánh gồm có < , <= , >  và >=   được dùng trong các hàm hay các toán tử khác khi cần phải xác định cấu trúc so sánh .
Ví dụ .

TRẦN HỒNG CƠ .
01/10/2013


-------------------------------------------------------------------------------------------


Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.
 Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.
 Albert Einstein .