Biện pháp hữu ích cho máy tính - P3 

USB Disk Security 6.5

Link :  https://www.fshare.vn/file/YCICW99BG2OY

Những thủ thuật tìm kiếm bí mật trong Windows 10

Nếu đang sử dụng hệ điều hành Windows 10 và muốn tìm kiếm nhanh dữ liệu, bạn có thể áp dụng một số thủ thuật đơn giản sau.

Áp dụng bộ lọc

Khi sử dụng hộp tìm kiếm trong thanh tác vụ hoặc từ Cortana, bạn có thể bị choáng ngợp bởi kết quả hiển thị với nhiều nội dung xuất hiện, gồm ổ đĩa nội bộ, web hay những nơi khác. Tuy nhiên, Windows 10 chứa các bộ lọc tìm kiếm có thể giúp bạn thu hẹp kết quả. Điều này thể hiện bằng các biểu tượng ở đầu bảng tìm kiếm. Bạn cũng có thể nhấp vào nút mũi tên chỉ xuống ở góc trên bên phải để xem tất cả các bộ lọc có sẵn.
Đặc biệt, nếu đã biết nơi muốn tìm kiếm trước khi bắt đầu, bạn có thể nhập một thuật ngữ lọc ngay trong hộp tìm kiếm. Cụ thể, chỉ cần nhập cụm từ lọc (Apps, Documents, Folders, Music, Photos, Settings, Videos và Web), theo sau bằng dấu hai chấm và sau đó thêm cụm từ tìm kiếm của bạn.


Những thủ thuật tìm kiếm bí mật trong Windows 10 - ảnh 1

Bộ lọc sẽ giúp giới hạn nội dung tìm kiếm ở phạm vi theo ý muốn

Settings và Control Panel

Windows 10 đã thêm ứng dụng Settings mới rất hữu ích cho người dùng, tuy nhiên Control Panel vẫn được giữ nguyên. Đó là sự rắc rối trong việc sắp xếp khiến người dùng khó khăn khi tìm kiếm một thiết lập trong ứng dụng Settings hay Control Panel.
May mắn là có một cách để tìm kiếm ở cả hai nơi. Khi bạn tìm kiếm bằng cách sử dụng hộp tìm kiếm trong thanh tác vụ, kết quả sẽ có một biểu tượng đen trắng hoặc biểu tượng màu bên cạnh chúng. Với biểu tượng đen trắng tương ứng thiết lập trong Settings, còn biểu tượng màu chỉ thiết lập trong Control Panel.



Những thủ thuật tìm kiếm bí mật trong Windows 10 - ảnh 2

Người dùng có thể tìm kiếm kết quả Control Panel từ ứng dụng Settings
Tuy nhiên, ứng dụng Settings cũng hiển thị các kết quả từ Control Panel với các biểu tượng màu sắc, và khi bạn nhấp vào nó sẽ được đưa đến giao diện Control Panel.

Tìm kiếm từ File Explorer

Hộp tìm kiếm Cortana trong thanh tác vụ không phải là hộp tìm kiếm duy nhất trong Windows 10 khi bạn có thể sử dụng Windows Explorer để tìm kiếm dữ liệu trên máy tính của mình.
Nếu đang ở trong Windows Explorer, bạn không cần phải thoát khỏi cửa sổ đó để tìm một tập tin, chỉ cần sử dụng hộp tìm kiếm ở góc trên cùng bên phải, nó sẽ tìm kiếm nội dung bên trong thư mục mà bạn đã chọn ở bảng điều khiển bên trái. Trong khi tìm kiếm trên một thư mục lớn có thể mất thời gian thì việc làm này có thể sẽ nhanh hơn nhiều.

Tính toán nhanh

Bạn có thể bỏ qua bước tìm kiếm ứng dụng máy tính mà thay vào đó nhập một phương trình trực tiếp vào hộp tìm kiếm trong thanh tác vụ. Bạn không chỉ nhận được câu trả lời ngay lập tức mà còn nhận được công cụ máy tính trực tuyến của Bing để mở rộng thêm việc tính toán, dĩ nhiên sẽ cần kết nối internet.

Những thủ thuật tìm kiếm bí mật trong Windows 10 - ảnh 3

Bản thân hộp tìm kiếm của Microsoft cũng có thể thực hiện các phép tính toán

Lưu hoạt động tìm kiếm

Trong trường hợp bạn nghĩ rằng mình có thể tìm kiếm lại nội dung vừa tìm kiếm trong tương lai, bạn có thể lưu hoạt động này để việc tìm kiếm sắp tới được dễ dàng hơn. Sau khi nhập cụm từ tìm kiếm vào hộp tìm kiếm của Windows Explorer, hãy nhấp vào tab Search ở thanh ribbon chạy dọc theo đầu cửa sổ. Tại đây bạn có thể tinh chỉnh các thông số tìm kiếm cho ngày tháng, kích thước và loại tập tin… Khi đặt các thông số tìm kiếm, nhấp Save search và đặt tên truy vấn tìm kiếm của mình.
Theo mặc định, các tìm kiếm đã lưu của bạn sẽ được lưu trong thư mục Search của thư mục người dùng nhưng bạn hoàn toàn có thể lưu chúng vào bất kỳ thư mục nào mà mình muốn.

Kiến Văn
(Ảnh chụp màn hình)
Nguồn :  http://thanhnien.vn/cong-nghe/nhung-thu-thuat-tim-kiem-bi-mat-trong-windows-10-872375.html


Làm chủ công cụ chụp ảnh màn hình trên Windows 10

Windows 10 cung cấp cho người dùng nhiều cách khác nhau để chụp ảnh màn hình desktop, rất hữu ích cho các thao tác như soạn thảo một nội dung hướng dẫn gửi đến cho bạn bè.

Snipping Tool

Một trong những công cụ khá quen thuộc là Snipping Tool, được cung cấp từ những ngày Vista ra mắt với giao diện trực quan và dễ sử dụng. Để mở ứng dụng, bạn có thể điều hướng đến Start > All Programs > Windows Accessories > Snipping Tool.
Sau khi mở ứng dụng bạn hãy nhấp vào New để bắt đầu quá trình chụp màn hình. Điều này sẽ tự động làm mờ màn hình của bạn, nhưng đừng lo lắng vì nó chỉ có nghĩa công cụ đã sẵn sàng để cắt xén những vùng được chỉ định trên màn hình.


Làm chủ công cụ chụp ảnh màn hình trên Windows 10 - ảnh 1

Snipping Tool là công cụ chụp ảnh màn hình miễn phí trong Windows 10
Đơn giản chỉ cần nhấp vào con chuột và kéo nó để cắt màn hình, sau khi nhả nút chuột sẽ tự động tạo ra một bản xem trước ảnh chụp màn hình mới được tạo. Nếu bạn lưu nó hãy nhấp vào biểu tượng đĩa mềm trong phần trên bên trái cửa sổ Snipping Tool. Nếu thoát khỏi chương trình mà không lưu, ảnh chụp màn hình sẽ bị loại bỏ.
Theo mặc định khung hình chụp sẽ dạng hộp hình chữ nhật, nhưng nếu bạn nhấp vào mũi tên bên cạnh nút New trong Snipping Tool, một hộp thả xuống sẽ xuất hiện cho phép bạn thay đổi sang dạng khác, bao gồm tự do, cửa sổ hoặc toàn màn hình.

Nút PrtScn

Bạn có thể chụp toàn bộ màn hình một cách nhanh chóng bằng cách nhấn vào nút Print Screen trên bàn phím, có thể gắn nhãn PrtScn, PrtSc hoặc tương tự. Lưu ý: một số bàn phím laptop có thể yêu cầu bạn bấm nút chức năng Fn kết hợp với nút Print Screen để kích hoạt tính năng này.


Làm chủ công cụ chụp ảnh màn hình trên Windows 10 - ảnh 2

Bạn có thể nhấn phím PrtScn để chụp nhanh toàn bộ màn hình máy tính
Nhấn nút Print Screen dường như không làm bất cứ điều gì, tuy nhiên nó đã thực sự chụp màn hình của bạn. Thay vì lưu ảnh chụp màn hình dưới dạng tập tin, Print Screen chỉ đơn giản sao chép nó vào khay nhớ tạm. Để lưu ảnh chụp màn hình bạn sẽ phải dán nó từ khay nhớ tạm vào một chương trình khác, như Paint, Word…

Phím Windows + PrtScn

Nhấn phím Windows và Print Screen sẽ làm cho màn hình mờ dần. Điều này cho thấy ảnh chụp màn hình đã thành công. Nó xuất hiện trong một thư mục có tiêu đề Screenshots đặt trong thư mục Pictures.

Làm chủ công cụ chụp ảnh màn hình trên Windows 10 - ảnh 3

Thao tác Windows + PrtScn sẽ đưa ảnh chụp lưu trực tiếp vào thư mục Pictures > Screenshots
Lưu ý: một số laptop có thể yêu cầu nút Fn để kích hoạt Print Screen. Trong trường hợp này bạn sẽ phải bấm phím Windows, Fn và Print Screen.

Chỉ chụp một cửa sổ

Trong một số trường hợp bạn không cần chụp toàn bộ màn hình. May mắn là, nếu chỉ muốn chụp một cửa sổ màn hình cụ thể bạn đơn giản chỉ cần bấm vào thanh tiêu đề của cửa sổ mà bạn muốn chụp kết hợp nhấn phím Alt + PrtScn.


Làm chủ công cụ chụp ảnh màn hình trên Windows 10 - ảnh 4

Thao tác Alt + PrtScn sẽ đưa ảnh chụp màn hình vào khay nhớ tạm
Thao tác này sẽ chụp cửa sổ đang hoạt động dưới dạng ảnh chụp màn hình và sao chép nó vào khay nhớ tạm. Để lưu hoặc chỉnh sửa bạn phải dán vào chương trình mình chọn.

Kiến Văn 
(Ảnh chụp màn hình)
Nguồn :  http://thanhnien.vn/cong-nghe/lam-chu-cong-cu-chup-anh-man-hinh-tren-windows-10-867893.html



Internet Download Manager Update thường xuyên khi có build mới

Internet Download Manager là công cụ hỗ trợ tải về các tập tin với tốc độ nhanh nhất. IDM có thể tải về nhiều tập tin và các phân đoạn tập tin cùng một lúc, tạm dừng và tiếp tục tải với một lần nhấp chuột duy nhất, khôi phục quá trình tải tập tin bị hỏng do ngắt điện đột xuất hoặc các vấn đề liên quan đến mạng. Giao diện đơn giản và dễ sử dụng cho người dùng.



IDM hỗ trợ tải tập tin mà bạn lựa chọn từ các trình duyệt phổ biến Internet Explorer, Opera, Mozilla và Netcape… Khi tải tập tin IDM sẽ hiển thị hộp thoại để bạn kiểm soát được quá trình tải tập tin về.
IDM có chức năng tự động cập nhật và kiểm tra phiên bản mới một lần một tuần. Khi cập nhật phiên bản mới, IDM có một hộp thoại mô tả các tính năng mới khi cập nhật từ phiên bản cũ bạn đang dùng. Bạn có thể tải về phiên bản mới nhất của IDM bằng cách sử dụng công cụ cập nhật nhanh có sẵn trên IDM.

Download   INTERNET DOWNLOAD MANAGER
Phát hành: Tonec Inc
Version:6.29 build 1
Ngày cập nhật: 3/10/2017
Yêu cầu: Windows XP/Vista/7/8/8.1/10

What's new in version 6.29 Build 2

(Released: Oct 05, 2017)
Added support of https proxy servers. It's possible to make VPN connections via https proxy servers by using proxy.pac files
Fixed problems with https downloading via proxy servers with Digest authentication
Added support for Firefox 57, 58
Fixed bugs
HƯỚNG DẪN KÍCH HOẠT

Cách 1:  Sử dụng công cụ IDM Full Toolkit (Khuyến khích dùng cách này)



Công cụ này bao gồm tải, cập nhật, cài đặt và kích hoạt luôn. Nó bao gồm cả tùy chọn gỡ bỏ IDM luôn rất tiện.

Cách 2: Kích hoạt bằng tool IDM Trial Reset



Chuột phải idm_trial_reset.exe chọn Run as administrator

* Nếu muốn dùng IDM ở chế độ dùng thử:
– Chọn tab Trial Reset rồi click vào Reset the IDM trial now để đưa thời gian dùng thử IDM về 30 ngày, mở IDM khi bị block, báo fake serial…
– Nếu muốn chương trình tự động hoàn toàn, giải nén file, chọn Automatically. (bỏ chọn để tắt tự động)
* Nếu muốn dùng IDM ở chế độ đăng ký:
– Chọn tab Register rồi click Register IDM now

Internet Download Manager là 1 trình download mạnh mẽ cần có trên máy tính chạy windows của bạn và hiện nay chưa có phần mềm nào thay thế được nó. Có rất nhiều tool kích hoạt trên mạng nhưng theo lời khuyên của mình thì các bạn chỉ nên kích hoạt 1 trong 2 cách trên thôi cho an toàn.

Nguồn :  http://www.blogthuthuatwin10.com/2016/06/internet-download-manager-update-thuong.html



Double Driver - Sao lưu và phục hồi driver cho phần cứng

Một trong những điều phiền toái nhất xét trên phương diện của việc cài đặt lại hệ điều hành cho máy tính là làm thế nào để tìm lại tất cả các driver cho phần cứng của mình. Trong trường hợp chúng ta có sẵn CD cài đặt thì không vấn đề gì nhưng giả sử như chữ "không" xuất hiện thì vấn đề lúc này mới thực sự phát sinh.



Thay vì rời nhà và vi vu tìm kiếm một cách vất vả thì tốt hơn hết, hãy tìm đến sự giúp đỡ của một phần mềm có tên đầy đủ là Double Driver. Thứ mà "vị cứu tinh" này mang đến là khả năng khôi phục các driver một cách dễ dàng.

THÔNG TIN THÊM VỀ DOUBLE DRIVER

Sau khi cài đặt thành công vào hệ thống, việc đầu tiên bạn làm sẽ là kích hoạt sử dụng Double Driver. Sau khi giao diện tương tác hiện ra, các bạn chuyển qua tab Backup và nhấp ngay button Scan Current System để tiến hành quét tìm kiếm các driver.



Sau khi một tiến trình Scan hoàn thành, một list danh sách driver sẽ được hiển thị một cách đầy đủ. Ở đây, mặc định Double Driver sẽ tự động check kiểm các driver quan trọng cho hệ thống, song cũng có thể "check all" hoặc chọn thêm một số driver cần để sao lưu.

Và để sao lưu các driver các bạn chỉ cần nhấp button Backup now, đồng thời chọn thư mục lưu trữ và cuối cùng click OK. Việc khôi phục hoàn toàn tương tự.



Lựa chọn nơi lưu trữ Driver



Sau thao tác này, bạn sẽ nhìn thấy một cửa sổ cho biết tiến trình làm việc.






Tất cả các driver sẽ được tự động xắp xếp ngăn nắp phân bố theo thư mục giúp bạn quản lí được dễ dàng hơn.



Để phục hồi Driver Windows cũng rất đơn giản chạy phần mềm chuyển qua tab Restore và làm theo hình bên dưới hoặc chọn vào Other location và chọn thư mục đã sao lưu driver trước đó trường hợp cài lại win.



Click chuột Restore now bắt đầu phục hồi lại driver



Phần mềm này dạng portable chạy ngay không cần cài đặt tương thích với Windows XP/Vista/7/8/8.1 và Windows 10 phiên bản 4.1.0. Tải về theo link bên dưới
http://www.mediafire.com/download/fj35214fabk273u/double_driver_4.1.0_portable.zip



Nguồn :  http://www.blogthuthuatwin10.com/2016/06/double-driver-sao-luu-va-phuc-hoi.html


c ghost-win-10-Pro-32bit.GHO (5,9G)





------------------------------------------------------------------------------------------- 

Love not the world, neither the things that are in the world. If any man love the world, the love of the Father is not in him. For all that is in the world, the lust of the flesh, and the lust of the eyes, and the pride of life, is not of the Father, but is of the world. 1 John 2:15-16 KJV 

Chớ yêu thế gian cùng những gì trong thế gian. Nếu ai yêu thế gian thì sự kính yêu Thượng Đế không ở trong người ấy. I Giăng 2:15

GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN . Phần 16e . NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN.

GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN .

Phần 16e . NGUYÊN HÀM  - TÍCH PHÂN.   

DANH MỤC CÔNG CỤ GIẢI TOÁN TRỰC TUYẾN  MATHEMATICA  WOLFRAM | ALPHA .

Giới thiệu .

Bạn đọc truy cập vào đường dẫn  http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen  để sử dụng các widgets giải toán trực tuyến W|A Mathematica theo chỉ mục trong danh sách dưới đây .

Những widgets này đã được tác giả sắp xếp theo từng môn học và cấp lớp theo ký hiệu như sau :

D : Đại số . Ví dụ  D8.1 widget dùng cho Đại số lớp 8 , mục 1 - Khai triển , rút gọn biểu thức đại số .
H : Hình học . Ví dụ  H12.3  widget dùng cho Hình học lớp 12 , mục 3 - Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian .
G : Giải tích . Ví dụ : G11.7  widget dùng cho Giải tích lớp 11 , mục 7 - Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
GI : Giải tích cao cấp I . Ví dụ GI.15  widget dùng cho Giải tích cao cấp I , mục 15 - Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GII : Giải tích cao cấp II .


++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++


 ĐẠI SỐ 8

D8.1  Khai triển , rút gọn biểu thức đại số
D8.2  Rút gọn phân thức
D8.3  Phân tích thừa số
D8.4  Nhân 2 đa thức
D8.5  Khai triển tích số ( có thể dùng để khai triển Newton )
D8.6  Phân tích thừa số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 10

D10.1 Giải phương trình nguyên Diophante
D10.2 Giải phương trình tuyệt đối
D10.3 Giải phương trình chứa tham số
D10.4  Giải phương trình đại số
D10.5  Giải phương trình từng bước
D10.6  Giải bất phương trình minh hoạ bằng đồ thị

D10.8  Tính giá trị biểu thức hàm số
D10.9  Giải bất phương trình đại số và minh hoạ bằng đồ thị
D10.10  Giải bất phương trình đại số - tìm miền nghiệm
D10.11  Giải phương trình đại số
D10.12  Giải phương trình vô tỷ
D10.13  Giải phương trình minh hoạ từng bước
D10.14  Giải phương trình dạng hàm ẩn
D10.15  Giải hệ thống phương trình tuyến tính , phi tuyến
D10.16  Giải hệ phương trình
D10.17  Vẽ miền nghiệm của bất phương trình đại số
D10.19  Tối ưu hoá hàm 2 biến với các ràng buộc
D10.20  Tìm giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành Ox , trục tung Oy

HÌNH HỌC 10

H10.1  Tính diện tích tam giác trong hệ toạ độ Oxy
H10.3  Khảo sát conic ( đường tròn , Ellipse , Parabola , Hyperbola )
H10.2  Tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng trong Oxy



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 11

D11.1 Thuật chia Euclide dùng cho số và đa thức  ( HORNER )
D11.2  Tính tổng nghịch đảo của n số tự nhiên




D11.6  Khai triển nhị thức Newton


GIẢI TÍCH 11


G11.1  Tính gíá trị một chuỗi số  theo n
G11.2  Đa thức truy hồi
G11.3  Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số
G11.4  Tính giới hạn của chuỗi số khi  $n \rightarrow  \infty$
G11.5  Tìm hàm số ngược của hàm số cho trước
G11.6  Tìm đạo hàm của hàm số hợp - giải thích
G11.7   Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
G11.8   Tìm giới hạn của hàm số
G11.9   Tìm giới hạn của hàm số
G11.10  Tính đạo hàm hàm số có dạng U/V
G11.11  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước
G11.12  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước

G11+12.1   Tính đạo hàm ,tích phân , giới hạn , vẽ đồ thị


LƯỢNG GIÁC 11

L11.1   Giải phương trình lượng giác
L11.2   Giải phương trình lượng giác trên một đoạn
L11.3   Tìm chu kỳ của hàm số tuần hoàn
L11.4   Khai triển công thức lượng giác



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 12

D12.1   Cấu trúc của số phức
D12.1   Giải phương trình mũ
D12.3   Giải  phương trình chứa tham số
D12.4   Giải  phương trình  bất kỳ  ( Bậc 2 , 3 , ... , mũ  , log , căn thức )
D12.5   Giải phương trình mũ



GIẢI TÍCH 12


G12.1  Vẽ đồ thị biểu diễn phương trình
G12.2    Khảo sát hàm số hữu tỷ
G12.3   Vẽ đồ thị trong toạ độ cực (Polar)
G12.4    Tìm cực trị của hàm số
G12.5    Vẽ đồ thị hàm số 2D
G12.6   Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số
G12.7    Vẽ nhiều hàm số - Basic plot. To plot two or more functions, enter {f1(x), f2(x),...}
G12.8    Tìm điểm uốn của hàm số cho trước
G12.9    Tìm nghiệm của các phương trình  y = 0 , y ' = 0 ,  y " = 0
G12.10    Tính tích phân bất định
G12.11    Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.12   Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.13   Tìm đường tiệm cận của hàm số
G12.14   Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.15  Tìm giao điểm của hàm số đa thức và trục hoành Ox - Vẽ đồ thị .
G12.16    Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi (C1) , (C2)
G12.17    Vẽ đồ thị hàm số ( có đường tiệm cận )
G12.18   Vẽ đồ thị 2D , 3D
G12.19   Tìm hoành độ giao điểm giữa 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.20    Vẽ đường cong tham số 3D
G12.21    Tính diện tich mặt tròn xoay
G12.22    Tích thể tích vật tròn xoay  (C) , trục  Ox , x =a , x= b
G12.23    Thể tích vật tròn xoay
G12.24    Tích thể tích vật tròn xoay (C1) , (C2) , trục OX , x = a , x = b
G12.25    Khảo sát hàm số đơn giản
G12.26    Tìm cực trị của hàm số
G12.27    Tìm nguyên hàm của hàm số
G12.28    Tính tích phân xác định


HÌNH HỌC 12

H12.1  Tính khoảng cách 2 điểm trong 2D , 3D
H12.2   Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm trong không gian
H12.3  Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian
H12.4   Tìm công thức thể tích , diện tích hình không gian
H12.5   Vẽ đồ thị 2D , mặt 3D
H12.6    Tích có hướng 2 vector



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

GIẢI TÍCH CAO CẤP

GI.1    Vẽ đồ thị , mặt 3D
GI.2   Vẽ đồ thị , mặt  3D
GI.3    Tích phân 2 lớp
GI.5    Tích phân kép
GI.6    Tích phân bội 3
GI.7    Tích phân bội 3
GI.8    Tích phân suy rộng
GI.9    Chuỗi và dãy số
GI.10    Các bài toán cơ bản trong vi  tích phân
GI.11     Vẽ hàm từng khúc ( piecewise ) - dùng để xét tính liên tục của hàm số
GI.12    Tính đạo hàm và tích phân một hàm số cho trước
GI.13     Vẽ đồ thị hàm số trong hệ toạ độ cực
GI.14     Tính đạo hàm riêng
GI.15    Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GI.16    Tính tổng chuỗi số  n = 1...$\infty$
GI.17     Vẽ  đồ thị  3 hàm số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Bài viết sau đây mô tả các khái niệm toán học và hướng dẫn tính toán chi tiết bằng công cụ trực tuyến , bạn đọc có thể tham khảo những nội dung chính yếu được đề cập đến trong giáo trình toán phổ thông  cùng với các ví dụ minh họa  .

Một số website hữu ích phục vụ cho việc giảng dạy và học tập môn toán :

http://quickmath.com/
http://analyzemath.com/
http://www.intmath.com/
http://www.mathportal.org
https://www.mathway.com/
https://www.symbolab.com/
http://www.graphsketch.com/
http://www.meta-calculator.com/online/?home
http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen

https://www.geekandnerd.org/mathematics-problem-solver-online/

https://www.geekandnerd.org/edu-courses/

16.  NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN . Phân loại -Tích phân lượng giác .

16.3  Phân loại tích phân .    

16.3.3  Tính tích phân lượng giác   $\int  T \left [x^p, sinmx , cosnx , tankx  \right ]dx :: m,n,k,p\in \mathbb{Z}$

a.  Áp dụng các công thức tích phân cơ bản .

@ Nhân (chia , bình phương) được cứ nhân (chia , bình phương)

Ví dụ 1.

*Tính   $I=\int 2^x ( 3^x + 2^{-x}/cos^2x) dx $     (NDCN)
Khai triển biểu thức tích phân  $ 2^x ( 3^x + 2^{-x}/cos^2x)=6^x+1/cos^2x$
 $I=\int   2^x ( 3^x + 2^{-x}/cos^2x) dx = \int [6^x+1/cos^2x] dx = 6^x/Ln6 +tanx+C $


*Tính   $I=\int  [sin(x/2)+cos(x/2)]^2 dx $     (BDCB)
Khai triển biểu thức tích phân  $ [sin(x/2)+cos(x/2)]^2 =1+sinx$
 $I=\int   [sin(x/2)+cos(x/2)]^2 dx = \int [1+sinx] dx = x-cosx +C $

@ Không nhân (chia , bình phương) được, dùng U.V  hoặc U/V  (công thức tích phân từng phần )

Ví dụ 2.

*Tính   $I=\int  xsinx dx $     (KNDXU.V) 
Công thức tích phân từng phần   $u=x , dv = sinxdx$  ta có $du=dx , v=\int dv = \int sinxdx =-cosx$
$I=\int  xsinx dx = uv - \int vdu=-xcosx - \int (-cosx)dx=-xcosx + sinx +C$
Xem   https://goo.gl/WdpWjw


 @ Dùng các công thức lượng giác

Ví dụ 3.

*Tính   $I=\int  sinx (2cosx + sin3x) dx $     (NDCN)
Công thức lượng giác   $ sinx (2cosx + sin3x) = sin2 x + 1/2.cos2 x - 1/2.cos4 x$
 (dùng công thức nhân và công thức biến đổi tổng - tích )
$I=\int   sinx (2cosx + sin3x) dx = \int (sin2 x + 1/2.cos2 x - 1/2.cos4 x)dx =1/4 sin2 x - 1/8 sin4 x - 1/2 cos2 x +C$
Xem   https://goo.gl/4anAoK


*Tính   $I=\int  \frac {5tanx.cos^3x + 4}{cos^2x} dx $     (CDCC)
Công thức lượng giác   $ \frac {5tanx.cos^3x + 4}{cos^2x} = 5tanx.cosx + 4 /cos^2x = 5sinx+4/cos^2x$  (dùng công thức cơ bản )
$I=\int   \frac {5tanx.cos^3x + 4}{cos^2x} dx = \int (5sinx + 4 /cos^2x)dx =-5cosx + 4 tanx +C$
Xem   https://goo.gl/5bUKFp


*Tính   $I=\int  cosx(sinx + 2cosx) dx $     (NDCN)
Công thức lượng giác   $cosx(sinx + 2cosx)  =sinxcosx + 2 cos^2 x  = 1/2 sin2 x + 1 + cos2 x$  (dùng công thức nhân )
$I=\int   cosx(sinx + 2cosx) dx = \int ( 1/2 sin2 x + 1 + cos2 x)dx =-1/4cos 2x +x + 1/2sin2x +C$
Xem   https://goo.gl/96vNtH


*Tính   $I=\int  (sinx + 2cosx)^2 dx $     (BDCB)
Khai triển   $(sinx + 2cosx)^2  =sin^2x + 4 cos^2x + 4 sinx.cosx =2sin2x + 3cos^2x + 1 = 2sin2x+1+3/2(1+cos2x)$
$=2sin2x + 5/2 + 3/2cos2x $  (dùng công thức nhân và hạ bậc )
$I=\int  (sinx + 2cosx)^2 dx = \int (2sin2x + 5/2 + 3/2cos2x )dx $ Vậy  $I = 5/2x  - cos2x + 3/4 sin 2x +C$
Xem   https://goo.gl/yqqoW8


*Tính   $I=\int  (sin^4x + cos^4x) dx $     (NDCN)
Công thức lượng giác   $sin^4x + cos^4x=1-2sin^2xcos^2x=1-1/2(2sinxcosx)^2=1-1/2sin^22x$  (dùng công thức nhân )
$sin^4x + cos^4x=1-1/4(1-cos4x) = 3/4+1/4cos4x$ (dùng công thức hạ bậc )
$I=\int    (sin^4x + cos^4x) dx = \int (3/4+1/4cos4x)dx =3/4.x + 1/16sin4x +C$
Xem   https://goo.gl/Lz2aYj

b. Áp dụng các phương pháp tích phân .

@ Tích phân đổi biến loại 1 . (DB1)
Ghi nhớ :
 " Cái gì đạo hàm gần giống bên ngoài thì đặt nó = u "
Đặt u = ruột , tính du = ... dx , đổi cận
GHI NHỚ :

*SIN LẺ  -  ĐẶT  U = COS  (BTHỨC CHỨA COS)
*COS LẺ  -  ĐẶT  U = SIN  (BTHỨC CHỨA SIN)


Ví dụ 4.  Tính các tích phân xác định sau


*Tính   $I=\int_{0}^{\pi/2} sinx.\sqrt{1+cosx} dx $     (DB1)
Đặt   $ u = 1+cosx ; du =-sinxdx ; -du=sinxdx$  đổi cận  $x=0 \Rightarrow u =2$ , $x=\pi/2 \Rightarrow u = 1$
$I= \int_{2}^{1} \sqrt{u}.(- du) = -2/3 u^{3/2}|_{2}^{1}=2/3 (2 \sqrt{2} - 1)≈1.2190 $
Xem   https://goo.gl/SrVrDN


@ Tích phân đổi biến loại 2 . (DB2)
Ghi nhớ :
 " Cái gì đạo hàm khác bên ngoài thì đặt  u = toàn bộ "
Đặt u = vỏ & ruột , lũy thừa phá căn , giải ngược , vi phân 2 vế , tính dx = ... du , đổi cận

Ví dụ 5.  Tính các tích phân xác định sau

*Tính   $I=\int_{0}^{\pi/2}  \frac{sin(x-\pi/2)Ln(1+sinx)}{1+sinx} dx $     (DB2)
Viết lại $I=\int_{0}^{\pi/2}  - \frac{ cosx.Ln(1+sinx)}{1+sinx} dx $
Đặt   $ u = Ln(1+sinx) ; e^u=1+sinx ; e^udu = cosxdx $  đổi cận  $x=0 \Rightarrow u = 0$ , $x=\pi/2 \Rightarrow u = Ln2$
$I= \int_{0}^{Ln2}  - \frac{u.e^u}{e^u}du  = \int_{0}^{Ln2} (-u) du = -u^2/2||_{0}^{Ln2}  = -1/2 Ln^2(2)≈-0.24023$
Xem   https://goo.gl/k63K31


@ Áp dụng cho tích phân có đuôi lượng giác  $sinkxdx , coskxdx$
Ghi nhớ :
" U đầu , dV đuôi "

Đặt   $u =...  (x)  \Rightarrow du = ...dx$      ( u biểu thức chứa x )
$dv = sinkxdx  \Rightarrow  v= \int dv = \int sinkx dx = -1/k. coskx$  (dv biểu thức chứa hàm lượng giác .dx )
Hoặc
$dv = coskxdx  \Rightarrow  v= \int dv = \int coskx dx = 1/k. sinkx$
Khi đó
$I= uv - \int vdu$


Ví dụ 6.  Tính các tích phân xác định sau

*Tính   $I=\int  x. cosx dx $     (TP)
Đặt   $u =x  \Rightarrow du = dx$      ( u biểu thức chứa x )
$dv = cosxdx  \Rightarrow  v= \int dv = \int cosx dx = sinx$  (dv biểu thức chứa $cosx.dx$ )
Khi đó
$I= uv - \int vdu = xsinx - \int sinxdx= xsinx + cosx +C$
 Dùng  widget  G12.II.1 TICH PHAN BAT DINH - NGUYEN HAM   https://goo.gl/f2Geaw
Xem   https://goo.gl/uqmP5P


*Tính   $I=\int  x.sin2x dx $     (TP)
Đặt   $u =x  \Rightarrow du = dx$      ( u biểu thức chứa x )
$dv = sin2xdx  \Rightarrow  v= \int dv = \int sin2x dx = -cos2x/2$  (dv biểu thức chứa $sin2x.dx$ )
Khi đó
$I= uv - \int vdu = x(-cos2x/2) - \int  (-cos2x/2) dx=-1/2 xcos2x + 1/4 sin2x +C$
 Dùng  widget  G12.II.1 TICH PHAN BAT DINH - NGUYEN HAM   https://goo.gl/f2Geaw
Xem   https://goo.gl/63paE9

c. Công thức lượng giác biến đổi tích thành tổng .

Ví dụ 7.

*Tính   $I=\int  sinx (2cosx + sin3x) dx $     (NDCN)
Công thức lượng giác   $ sinx (2cosx + sin3x) = sin2 x + 1/2.cos2 x - 1/2.cos4 x$
 (dùng công thức nhân và công thức biến đổi tổng - tích )
$I=\int   sinx (2cosx + sin3x) dx = \int (sin2 x + 1/2.cos2 x - 1/2.cos4 x)dx =1/4 sin2 x - 1/8 sin4 x - 1/2 cos2 x +C$
Xem   https://goo.gl/4anAoK

*Tính   $I=\int  cos4x (cos2x + sin2x) dx $     (NDCN)
Công thức lượng giác   $ cos4x (cos2x + sin2x) = 1/2 cos6x + 1/2 cos2x + 1/2 sin6x + 1/2sin(-2x) $
 (dùng  công thức biến đổi tổng - tích )
$I=\int   cos4x (cos2x + sin2x) dx = \int [1/2 cos6x + 1/2 cos2x + 1/2 sin6x - 1/2sin2x ]dx $
$I=1/12 sin6 x + 1/4 sin 2x  - 1/12cos6x + 1/4 cos2x +  C$
Xem   https://goo.gl/o3d5HR


d. Tách hàm số lũy thừa lượng giác .

GHI NHỚ :

*SIN LẺ  -  ĐẶT  U = COS  (BTHỨC CHỨA COS)
*COS LẺ  -  ĐẶT  U = SIN  (BTHỨC CHỨA SIN)

Ví dụ 8.

*Tính   $I=\int  sin^4x dx $     (HB)
Hạ bậc    $ sin^4x=(sin^2x)^2=[(1-cos2x)/2]^2=1/4[1-2cos2x+cos^22x]$

$I=\int  sin^4x dx = \int 1/4[1-2cos2x+cos^22x] dx =1/4(x-sin2x)+1/4  \int cos^22x dx $    (HB)
$=1/4(x-sin2x)+1/4  \int  (1+cos4x)/2  dx = 1/4(x-sin2x)+ 1/8(x+sin4x/4)+C$
$=3/8x  -1/4 sin2x + 1/32 sin4x +C$
Xem   https://goo.gl/K8G7T9

*Tính   $I=\int  cos^3x dx $     (TTSLG)
Tách tich số  $ cos^3x = cos^2x.cosx=(1-sin^2x).cosx $   (cos lẻ - u : sin )

Đặt  $u=sinx ; du =cosxdx$
$I=\int   cos^3x dx = \int (1-sin^2x).cosxdx = \int (1-u^2) du =u-1/3.u^3 = sinx - 1/3.sin^3x + C $
$I=  3/4 sinx + 1/12 sin3x +C$

Xem   https://goo.gl/QDfGAV

e. Dạng tích hai hàm số lũy thừa sin và cos .

GHI NHỚ :

*SIN LẺ  -  ĐẶT  U = COS  (BTHỨC CHỨA COS)

*COS LẺ  -  ĐẶT  U = SIN  (BTHỨC CHỨA SIN)

Ví dụ 9.

*Tính   $I=\int  sin^2xcos^3x dx $     (TSHLG)
COS  LẺ , ĐẶT  U = SIN
Phân  tích $ sin^2xcos^3x = sin^2x.cos^2x.cosx = sin^2x.(1-sin^2x).cosx=(sin^2x-sin^4x).cosx$
$I=\int  sin^2xcos^3x dx= \int  (sin^2x-sin^4x).cosx dx $
Đặt $u=sinx ; du=cosxdx$
$I=\int  (u^2 - u^4).du = u^3/3 - u^5/5 +C = 1/3.sin^3x - 1/5.sin^5x +C $

Xem   http://tinyurl.com/y87lkx4n  ,   https://goo.gl/37oz9D


*Tính   $I=\int  cos^4xsin^3x dx $     (TSHLG)
SIN  LẺ , ĐẶT  U = COS
Phân  tích $ cos^4xsin^3x  =cos^4x.sin^2x.sinx = cos^4x.(1-cos^2x).sinx=(cos^4x-cos^6x).sinx$
$I=\int  cos^4xsin^3x dx= \int  (cos^4x-cos^6x).sinx dx $
Đặt $u=cosx ; du=-sinxdx$
$I=\int  (u^4 - u^6).(-du) = u^7/7 - u^5/5 +C = 1/7.cos^7x - 1/5.cos^5x +C $

Xem   https://goo.gl/cwBxru

*Tính   $I=\int  cos^2xsin^4x dx $     (HB)

Phân  tích $ cos^2xsin^4x  =1/2(1+cos2x).[1/2(1-cos2x)]^2=1/8(1+cos2x)(1-cos2x)(1-cos2x)$
$ =1/8(1+cos2x)(1-cos2x)(1-cos2x)=1/8(1-cos2x)sin^22x=1/8sin^22x-1/8sin^22x.cos2x$
$=1/16(1-cos4x)-1/8sin^22x.cos2x$
Vậy
 $I=\int  cos^2xsin^4x dx = \int  [1/16(1-cos4x)-1/8sin^22x.cos2x] dx$
$I= x/16 - 1/64.sin4x   - 1/8 \int  sin^22x.cos2x.dx$  (DB1)
Đặt $u=sin2x ; du=2.cos2x.dx$
Khi đó
$ \int  sin^22x.cos2x.dx =1/2  \int  u^2.du = 1/6.u^3 = 1/6. sin^32x$
$I= x/16 - 1/64.sin4x   - 1/8.1/6. sin^32x +C =x/16 - 1/64.sin4x   - 1/48.sin^32x +C  $

Xem   https://goo.gl/8PsCde


*Tính   $I=\int  cos^3xsin^3x dx $     (HB)

C1. Phân  tích $ cos^3xsin^3x  =sin^3x.cos^2x.cosx=sin^3x.(1-sin^2x)cosx=.(sin^3x-sin^5x)cosx$
Vậy
 $I=\int  cos^3xsin^3x dx  = \int  (sin^3x-sin^5x)cosx .dx$    (DB1)
Đặt $u=sinx ; du=cosx.dx$
Khi đó
$ \int  (sin^3x-sin^5x)cosx dx =\int (u^3-u^5)du=1/4.u^4 - 1/6.u^6 $
$I=1/4. sin^4x - 1/6. sin^6x +C  $

C2. Phân  tích $ cos^3xsin^3x  =cos^3x.sin^2x.sinx=cos^3x.(1-cos^2x)sinx=.(cos^3x-cos^5x)sinx$
Vậy
 $I=\int  cos^3xsin^3x dx  = \int  (cos^3x-cos^5x)sinx.dx$    (DB1)
Đặt $u=cosx ; du=-sinx.dx$
Khi đó
$ \int  (cos^3x-cos^5x)sinx dx =\int (u^5-u^3)du=1/6.u^6 - 1/4.u^4 $
$I=1/6. cos^6x - 1/4. cos^4x +C  $

Xem   https://goo.gl/wLj4aF


f. Dạng mẫu số chứa sin ( cos ) dùng CT cơ bản và nhân 2 .

GHI NHỚ :

*SIN LẺ  -  ĐẶT  U = COS  (BTHỨC CHỨA COS)

*COS LẺ  -  ĐẶT  U = SIN  (BTHỨC CHỨA SIN)

Ví dụ 10.

*Tính   $I=\int  1/(1+cos2x) dx $     (HB)
$I=\int  1/(2cos^2x) dx = \int  1/2 \int  1/cos^2x dx = 1/2. tanx +C $      (CTCB)

Xem    https://goo.gl/QoVX2x

*Tính   $I=\int  1/sin3x dx $ 
$I=  \int  sin3x /sin^23x dx =\int  sin3x /(1-cos^23x) dx  $      (DB1)
Đặt  $u=cos3x ; du=-3.sin3xdx$
$I= \int  sin3x /(1-cos^23x) dx = \int 1/(1-u^2)(-du/3)=1/3 \int 1/(u^2-1) du  $     (TPHT)
$I= 1/3 \int 1/2. [1/(u-1)-1/(u+1)] du = 1/6. Ln| \frac{u-1}{u+1}| = 1/6. Ln| \frac{cos3x-1}{cos3x+1}| + C $ 

Xem    https://goo.gl/FgECao

g. Dạng mẫu số chứa lũy thừa sin ( cos ) dùng CT cơ bản và TPHT .

GHI NHỚ :

*SIN LẺ  -  ĐẶT  U = COS  (BTHỨC CHỨA COS)

*COS LẺ  -  ĐẶT  U = SIN  (BTHỨC CHỨA SIN)

Ví dụ 11.

*Tính   $I=\int  1/cos^3x dx $   
$I=\int  1/cos^3x dx=\int  cosx/cos^4x dx =\int  cosx/(1-sin^2x)^2.dx $      (DB1)
Đặt  $u = sinx; du = cosxdx$
$I=\int  cosx/(1-sin^2x)^2.dx = \int du/(1-u^2)^2$      (TPHT)

$I= 1/2. \frac{u}{1-u^2} +  1/4. Ln | \frac{1+u}{1-u}|  = 1/2. \frac{sinx}{1-sin^2x} +  1/4. Ln | \frac{1+sinx}{1-sinx}|  =  1/2. \frac{sinx}{cos^2x} +  1/4. Ln | \frac{1+sinx}{1-sinx}|  + C $

Xem    https://goo.gl/SHuXbU


h. Dạng chứa lũy thừa tan ( cot ) dùng CT cơ bản và TPHT .

*SIN LẺ  -  ĐẶT  U = COS  (BTHỨC CHỨA COS)

*COS LẺ  -  ĐẶT  U = SIN  (BTHỨC CHỨA SIN)

Ví dụ 12.

*Tính   $I=\int  tan^3x dx $ 
$I=\int  tan^3x dx=\int  tanx.tan^2x  dx =\int  tanx.(1/cos^2x-1)dx $      (DB1)
Đặt  $u = tanx; du = 1/cos^2x.dx$
$I=\int  tanx.1/cos^2x.dx - \int tanx.dx = \int  u.du -  \int  sinx/cosx.dx$      (DB1)
$I=1/2.u^2 - K = 1/2.tan^2x - K $  với  $K= \int  sinx/cosx.dx $  đặt  $v=cosx ; dv = -sinxdx$
$K= - \int dv/v = - Ln|v| = - Ln|cosx| $
Vậy
$I=1/2.tan^2x  + Ln|cosx| +C $

Xem   https://goo.gl/FHVoPp


*Tính   $I=\int  cot^4x dx $
$I=\int cot^4x.dx=\int   cot^2x.cot^2x  dx =\int  cot^2x.(1/sin^2x-1)dx $      (DB1)
Đặt  $u = cotx; du =- 1/sin^2x.dx$
$I=\int  cot^2x.1/sin^2x- \int cot^2x.dx  = -\int  u^2.du -  \int  (1/sin^2x-1) .dx$      (DB1)
$I=-1/3.u^3 - H = -1/3.cot^3x - H $  với  $H=\int  (1/sin^2x-1) .dx=-cotx-x$ 

Vậy
$I=-1/3.cot^3x + cotx+x +C $

Xem   https://goo.gl/eviwuo

Trần hồng Cơ
Ngày 20/02/2017







 ------------------------------------------------------------------------------------------- 

Chớ khoe-khoang về ngày mai; Vì con chẳng biết ngày mai sẽ sanh ra điều gì. Hãy để cho kẻ khác khen-ngợi con, miệng con chẳng nên làm; Để cho một người ngoài tán-mỹ con, môi con đừng làm.

Châm-ngôn 27:1-2

GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN . Phần 16d . NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN.

GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN .

Phần 16d . NGUYÊN HÀM  - TÍCH PHÂN.   

DANH MỤC CÔNG CỤ GIẢI TOÁN TRỰC TUYẾN  MATHEMATICA  WOLFRAM | ALPHA .

Giới thiệu .

Bạn đọc truy cập vào đường dẫn  http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen  để sử dụng các widgets giải toán trực tuyến W|A Mathematica theo chỉ mục trong danh sách dưới đây .

Những widgets này đã được tác giả sắp xếp theo từng môn học và cấp lớp theo ký hiệu như sau :

D : Đại số . Ví dụ  D8.1 widget dùng cho Đại số lớp 8 , mục 1 - Khai triển , rút gọn biểu thức đại số .
H : Hình học . Ví dụ  H12.3  widget dùng cho Hình học lớp 12 , mục 3 - Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian .
G : Giải tích . Ví dụ : G11.7  widget dùng cho Giải tích lớp 11 , mục 7 - Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
GI : Giải tích cao cấp I . Ví dụ GI.15  widget dùng cho Giải tích cao cấp I , mục 15 - Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GII : Giải tích cao cấp II .


++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++


 ĐẠI SỐ 8

D8.1  Khai triển , rút gọn biểu thức đại số
D8.2  Rút gọn phân thức
D8.3  Phân tích thừa số
D8.4  Nhân 2 đa thức
D8.5  Khai triển tích số ( có thể dùng để khai triển Newton )
D8.6  Phân tích thừa số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 10

D10.1 Giải phương trình nguyên Diophante
D10.2 Giải phương trình tuyệt đối
D10.3 Giải phương trình chứa tham số
D10.4  Giải phương trình đại số
D10.5  Giải phương trình từng bước
D10.6  Giải bất phương trình minh hoạ bằng đồ thị

D10.8  Tính giá trị biểu thức hàm số
D10.9  Giải bất phương trình đại số và minh hoạ bằng đồ thị
D10.10  Giải bất phương trình đại số - tìm miền nghiệm
D10.11  Giải phương trình đại số
D10.12  Giải phương trình vô tỷ
D10.13  Giải phương trình minh hoạ từng bước
D10.14  Giải phương trình dạng hàm ẩn
D10.15  Giải hệ thống phương trình tuyến tính , phi tuyến
D10.16  Giải hệ phương trình
D10.17  Vẽ miền nghiệm của bất phương trình đại số
D10.19  Tối ưu hoá hàm 2 biến với các ràng buộc
D10.20  Tìm giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành Ox , trục tung Oy

HÌNH HỌC 10

H10.1  Tính diện tích tam giác trong hệ toạ độ Oxy
H10.3  Khảo sát conic ( đường tròn , Ellipse , Parabola , Hyperbola )
H10.2  Tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng trong Oxy



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 11

D11.1 Thuật chia Euclide dùng cho số và đa thức  ( HORNER )
D11.2  Tính tổng nghịch đảo của n số tự nhiên




D11.6  Khai triển nhị thức Newton


GIẢI TÍCH 11


G11.1  Tính gíá trị một chuỗi số  theo n
G11.2  Đa thức truy hồi
G11.3  Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số
G11.4  Tính giới hạn của chuỗi số khi  $n \rightarrow  \infty$
G11.5  Tìm hàm số ngược của hàm số cho trước
G11.6  Tìm đạo hàm của hàm số hợp - giải thích
G11.7   Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
G11.8   Tìm giới hạn của hàm số
G11.9   Tìm giới hạn của hàm số
G11.10  Tính đạo hàm hàm số có dạng U/V
G11.11  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước
G11.12  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước

G11+12.1   Tính đạo hàm ,tích phân , giới hạn , vẽ đồ thị


LƯỢNG GIÁC 11

L11.1   Giải phương trình lượng giác
L11.2   Giải phương trình lượng giác trên một đoạn
L11.3   Tìm chu kỳ của hàm số tuần hoàn
L11.4   Khai triển công thức lượng giác



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 12

D12.1   Cấu trúc của số phức
D12.1   Giải phương trình mũ
D12.3   Giải  phương trình chứa tham số
D12.4   Giải  phương trình  bất kỳ  ( Bậc 2 , 3 , ... , mũ  , log , căn thức )
D12.5   Giải phương trình mũ



GIẢI TÍCH 12


G12.1  Vẽ đồ thị biểu diễn phương trình
G12.2    Khảo sát hàm số hữu tỷ
G12.3   Vẽ đồ thị trong toạ độ cực (Polar)
G12.4    Tìm cực trị của hàm số
G12.5    Vẽ đồ thị hàm số 2D
G12.6   Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số
G12.7    Vẽ nhiều hàm số - Basic plot. To plot two or more functions, enter {f1(x), f2(x),...}
G12.8    Tìm điểm uốn của hàm số cho trước
G12.9    Tìm nghiệm của các phương trình  y = 0 , y ' = 0 ,  y " = 0
G12.10    Tính tích phân bất định
G12.11    Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.12   Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.13   Tìm đường tiệm cận của hàm số
G12.14   Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.15  Tìm giao điểm của hàm số đa thức và trục hoành Ox - Vẽ đồ thị .
G12.16    Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi (C1) , (C2)
G12.17    Vẽ đồ thị hàm số ( có đường tiệm cận )
G12.18   Vẽ đồ thị 2D , 3D
G12.19   Tìm hoành độ giao điểm giữa 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.20    Vẽ đường cong tham số 3D
G12.21    Tính diện tich mặt tròn xoay
G12.22    Tích thể tích vật tròn xoay  (C) , trục  Ox , x =a , x= b
G12.23    Thể tích vật tròn xoay
G12.24    Tích thể tích vật tròn xoay (C1) , (C2) , trục OX , x = a , x = b
G12.25    Khảo sát hàm số đơn giản
G12.26    Tìm cực trị của hàm số
G12.27    Tìm nguyên hàm của hàm số
G12.28    Tính tích phân xác định


HÌNH HỌC 12

H12.1  Tính khoảng cách 2 điểm trong 2D , 3D
H12.2   Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm trong không gian
H12.3  Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian
H12.4   Tìm công thức thể tích , diện tích hình không gian
H12.5   Vẽ đồ thị 2D , mặt 3D
H12.6    Tích có hướng 2 vector



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

GIẢI TÍCH CAO CẤP

GI.1    Vẽ đồ thị , mặt 3D
GI.2   Vẽ đồ thị , mặt  3D
GI.3    Tích phân 2 lớp
GI.5    Tích phân kép
GI.6    Tích phân bội 3
GI.7    Tích phân bội 3
GI.8    Tích phân suy rộng
GI.9    Chuỗi và dãy số
GI.10    Các bài toán cơ bản trong vi  tích phân
GI.11     Vẽ hàm từng khúc ( piecewise ) - dùng để xét tính liên tục của hàm số
GI.12    Tính đạo hàm và tích phân một hàm số cho trước
GI.13     Vẽ đồ thị hàm số trong hệ toạ độ cực
GI.14     Tính đạo hàm riêng
GI.15    Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GI.16    Tính tổng chuỗi số  n = 1...$\infty$
GI.17     Vẽ  đồ thị  3 hàm số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Bài viết sau đây mô tả các khái niệm toán học và hướng dẫn tính toán chi tiết bằng công cụ trực tuyến , bạn đọc có thể tham khảo những nội dung chính yếu được đề cập đến trong giáo trình toán phổ thông  cùng với các ví dụ minh họa  .

Một số website hữu ích phục vụ cho việc giảng dạy và học tập môn toán :

http://quickmath.com/
http://analyzemath.com/
http://www.intmath.com/
http://www.mathportal.org
https://www.mathway.com/
https://www.symbolab.com/
http://www.graphsketch.com/
http://www.meta-calculator.com/online/?home
http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen

https://www.geekandnerd.org/mathematics-problem-solver-online/

https://www.geekandnerd.org/edu-courses/

16.  NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN . Phân loại -Tích phân vô tỷ .

16.3  Phân loại tích phân .    

16.3.2  Tính tích phân vô tỷ   $\int R\left [x^k, \sqrt[n]{P_m(x)} \right ]dx :: m,n,k\in \mathbb{Z}$

a. Khử căn bằng công thức hàm mũ - Tách tử số .

Hàm số $y = R\left [x^k, \sqrt[n]{P_m(x)} \right ]$  dưới dấu tích phân có dạng hữu tỷ được phân tích thành các phân số có thể rút gọn bằng công thức mũ .

Ví dụ 1.  Tính các tích phân bất định sau

$I_1=\int \frac{ x^3-2x+\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}}dx $       (CDCC)                             
$I_2=\int \frac{\sqrt{x+1}+4}{x+1} dx$       (CDCC)       

$I_3=\int (\sqrt{x}-x)(\sqrt[3]{x}+x)dx$       (NDCN)                                 
$I_4=\int (1-3\sqrt[4]{x})^2 dx $       (BDCB)

Lời giải 

*$I_1=\int \frac{ x^3-2x+\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}}dx $       (CDCC)
Phân tích  $\frac{ x^3-2x+\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}}=x^{5/2} - 2 \sqrt{x} + 1/x^{1/6}$
 $I_1=\int [x^{5/2} - 2 \sqrt{x} + 1/x^{1/6}] dx = 2/7. x^{7/2} - 4/3. x^{3/2} + 6/5. x^{5/6} +C$
Xem   https://goo.gl/hkGESS


*$I_2=\int \frac{\sqrt{x+1}+4}{x+1} dx $       (CDCC)
Phân tích  $ \frac{\sqrt{x+1}+4}{x+1} =1/ \sqrt{x + 1} + 4/(x + 1)$
 $I_2=\int [\frac{\sqrt{x+1}+4}{x+1} =1/ \sqrt{x + 1} + 4/(x + 1)] dx =  2 \sqrt{x + 1} + 4Ln|x + 1|+C$
Xem   https://goo.gl/8gL8sN


*$I_3=\int (\sqrt{x}-x)(\sqrt[3]{x}+x)dx $       (CDCC)
Phân tích  $ (\sqrt{x}-x)(\sqrt[3]{x}+x) =x^{3/2} - x^{4/3} + x^{5/6} - x^2$
 $I_3=\int [x^{3/2} - x^{4/3} + x^{5/6}] dx = 2/5 x^{5/2} - 3/7 x^{7/3} + 6/11 x^{11/6} - x^3/3 +C$
Xem   https://goo.gl/mpJXqq

*$I_4=\int (1-3\sqrt[4]{x})^2dx $       (BDCB)
Phân tích  $ (1-3\sqrt[4]{x})^2 =9 \sqrt{x} - 6 \sqrt[4]{x} + 1$
 $I_4=\int [9 \sqrt{x} - 6 \sqrt[4]{x} + 1] dx = 6 x\sqrt{x} - 24/5x \sqrt[4]{x} +  x  +C$
Xem   https://goo.gl/iPx6Dd


b. Khử căn ở mẫu bằng lượng liên hiệp .

Hàm số $y = R\left [x^k, \sqrt[n]{P_m(x)} \right ]$  dưới dấu tích phân có dạng hữu tỷ chứa căn thức có thể khử căn bằng lượng liên hiệp.
Lưu ý :  '' Phá căn trên (dưới)  , nhân lượng dưới (trên) "

Ví dụ 2.  Tính các tích phân bất định sau

$I_1=\int \frac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}dx $       (LLH)                           
$I_2=\int \frac{2x}{\sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2-1}}dx$       (LLH)   
$I_3=\int \frac{x}{\sqrt{2x+5}+\sqrt{2x+1}}dx $       (LLH)


Lời giải 

*$I_1=\int \frac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}dx $       (LLH)
Phân tích  $\frac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}=\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}$       (PCDNLT)
 $I_1=\int [\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}] dx = 2/3 x^{3/2} + 2/3 (x + 1)^{3/2} +C$
Xem   https://goo.gl/BkiMEa


*$I_2=\int \frac{2x}{\sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2-1}}dx $       (LLH)
Phân tích  $\frac{2x}{\sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2-1}}=x \sqrt{x^2 - 1} + x \sqrt{x^2 + 1}$       (PCDNLT)
 $I_2=\int [x \sqrt{x^2 - 1} + x \sqrt{x^2 + 1}] dx =\int  x \sqrt{x^2 - 1} dx+\int  x\sqrt{x^2 + 1} dx$      (DB1)
Xét  $H=\int  x \sqrt{x^2 - 1} dx$   đặt  $u=x^2-1;du=2xdx;du/2=xdx$
$H=\int  1/2  \sqrt{u} du = 1/3.u^{3/2}=1/3.(x^2-1)^{3/2}$
Xét  $K=\int  x \sqrt{x^2 + 1} dx$   đặt  $v=x^2+1;dv=2xdx;dv/2=xdx$
$H=\int  1/2  \sqrt{v} dv = 1/3.v^{3/2}=1/3.(x^2+1)^{3/2}$

Vậy  $I_2=1/3.(x^2-1)^{3/2}+1/3.(x^2+1)^{3/2}+C$
Xem   https://goo.gl/jioSDX


*$I_3=\int \frac{x}{\sqrt{2x+5}+\sqrt{2x+1}}dx $       (LLH)
Phân tích  $\frac{x}{\sqrt{2x+5}+\sqrt{2x+1}}=1/4 x \sqrt{2 x + 5} - 1/4 x \sqrt{2 x + 1}$       (PCDNLT)
 $I_3=\int [1/4 x \sqrt{2 x + 5} - 1/4 x \sqrt{2 x + 1}]dx = \int 1/4 x \sqrt{2 x + 5}dx -\int 1/4 x \sqrt{2 x + 1}dx$      (DB2)

Xét  $H=\int  x \sqrt{2 x + 5} dx$   đặt  $u=\sqrt{2 x + 5};u^2=2x+5;x=(u^2-5)/2;2udu=2dx ;udu=dx$
$H=\int  u.(u^2-5)/2.udu =1/10 u^5 - 5/6 u^3=1/10 \sqrt{(2 x + 5)^5}-5/6\sqrt{(2 x + 5)^3} $
Xét  $K=\int  x \sqrt{2 x + 1} dx$   đặt  $v=\sqrt{2 x + 1};v^2=2x+1;x=(v^2-1)/2;2vdv=2dx ;vdv=dx$
$H=\int  v.(v^2-1)/2.vdv = 1/10 v^5 - 1/6 v^3=1/10\sqrt{(2 x + 1)^5}-1/6\sqrt{(2 x + 1)^3} $

Vậy  $I_3=1/4 [1/10 \sqrt{(2 x + 5)^5}-5/6\sqrt{(2 x + 5)^3}] -1/4[1/10\sqrt{(2 x + 1)^5}-1/6\sqrt{(2 x + 1)^3} ]  +C$
 $I_3=1/40 \sqrt{(2 x + 5)^5}-5/24\sqrt{(2 x + 5)^3} -1/40\sqrt{(2 x + 1)^5}+1/24\sqrt{(2 x + 1)^3} +C$
Xem   https://goo.gl/q4wLhr

c. Khử căn bằng các phương pháp đổi biến DB1 , DB2 , DB3   .

@ Tích phân đổi biến loại 1 . (DB1)
Ghi nhớ :
 " Cái gì đạo hàm gần giống bên ngoài thì đặt nó = u "
Đặt u = ruột , tính du = ... dx , đổi cận

Ví dụ 3.  Tính các tích phân xác định sau

*Tính   $I=\int_{0}^{4} x.\sqrt{x^2+9} dx $     (DB1)
Đặt   $ u = x^2+9 ; du =2xdx ; du/2=xdx$  đổi cận  $x=0 \Rightarrow u =9$ , $x=4 \Rightarrow u = 25$
$I= \int_{9}^{25} \sqrt{u}.1/2. du = 1/2.u^{3/2}.2/3|_{9}^{25}= 1/3 u^{3/2}|_{9}^{25}=  98/3≈32.667$
Xem   https://goo.gl/tKpKRP


@ Tích phân đổi biến loại 2 . (DB2)
Ghi nhớ :
 " Cái gì đạo hàm khác bên ngoài thì đặt  u = toàn bộ "
Đặt u = vỏ & ruột , lũy thừa phá căn , giải ngược , vi phân 2 vế , tính dx = ... du , đổi cận

Ví dụ 4.  Tính các tích phân xác định sau

*Tính   $I=\int_{0}^{3}  \frac {x^3}{\sqrt{x^2+16}} dx $     (DB2)
Viết lại $I=\int_{0}^{3}  \frac {x^2}{\sqrt{x^2+16}} xdx $
Đặt   $ u = \sqrt{x^2+16} ;u^2=x^2+16 ; x^2=u^2 -16 ; udu =xdx $  đổi cận  $x=0 \Rightarrow u = 4$ , $x=3 \Rightarrow u = 5$
$I= \int_{4}^{5} \frac {u^2-16}{u}.udu)  = \int_{4}^{5} (u^2-16) du = 1/3u^3-16u||_{4}^{5} =  = 13/3≈4.3333$
Xem   https://goo.gl/LucNtE


@ Tích phân đổi biến loại 3 . (DB3)
Ghi nhớ :
 " Dành cho các dạng hàm số vô tỷ hoặc hữu tỷ - lượng giác hóa"

Dạng $k^2-X^2$  đặt  $X= ksint$
Tính $dX=kcostdt$  , đổi cận

Dạng $k^2+X^2$  đặt  $X= ktant$
Tính $dX= \frac{k}{cos^2t}dt$  , đổi cận

Dạng $X^2-k^2$  đặt  $X= \frac{k}{cost}$
Tính $dX= \frac{ksint}{cos^2t}dt$  , đổi cận

Ví dụ 5.  Tính các tích phân xác định sau

*Tính   $I_1=\int_{0}^{2}  1/   \sqrt{4-x^2} dx $     (DB3)
Đặt   $ x =2sint  ; dx=2costdt$  đổi cận  $x=0 \Rightarrow t = 0$ , $x=2 \Rightarrow t = \pi/2$
$I_1= \int_{0}^{\pi/2} 1/   \sqrt{4-4sin^2t} .2costdt  = \int_{0}^{pi/2} dt =  t|_{0}^{\pi/2}= π/2≈1.5708$
Xem   https://goo.gl/99KUFn


*Tính   $I_2=\int_{0}^{3/2}  1/  (9+4x^2) dx $     (DB3)
Đặt   $ x =3/2 tant  ; dx= 3/2 \frac{1}{cos^2t} dt$  đổi cận  $x=0 \Rightarrow t = 0$ , $x=3/2 \Rightarrow t = \pi/4$
$I_2= \int_{0}^{\pi/4}  \frac{1}{9+9tan^2t} . 3/2 \frac{1}{cos^2t} dt = 3/18  \int_{0}^{\pi/4}  dt =  t|_{0}^{\pi/4}= π/24≈0.13090 $
Xem   https://goo.gl/knxPgr


*Tính   $I_3=\int_{1}^{2} 1/ (x. \sqrt{x^2-1}) dx $     (DB3)
Đặt   $ x =1/cost  ; dx= \frac{sint}{cos^2t} dt$  đổi cận  $x=1 \Rightarrow t = 0$ , $x=2 \Rightarrow t = \pi/3$
$I_3= \int_{0}^{\pi/3}  \frac{1}{1/cost . \sqrt{1/cos^2t-1}} .\frac{sint}{cos^2t} dt =\int_{0}^{\pi/3}  dt= t|_{0}^{\pi/3}= \pi/3 ≈ 1.0472$
Xem   https://goo.gl/knxPgr


d. Khử căn bằng các phương pháp hữu tỷ hóa .

Ví dụ 6.  Tính các tích phân bất định sau

$I_1= \int   \frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt[3]{x+1}-4} dx $

$I_2= \int   \frac{\sqrt{x}-x}{\sqrt[6]{x}-1}dx $

$I_3= \int    \sqrt  \frac{x+1}{x+2}dx $

$I_4= \int    \sqrt[3] \frac{x+1}{x}dx $   


Lời giải 

*$I_1=\int  \frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt[3]{x+1}-4}dx $     

Đặt Ruột = $t^{boi}$ hay  $x+1=t^6;dx=6t^5dt;\sqrt{x+1}=t^3;\sqrt[3]{x+1}=t^2$     

 $I_1=\int [ \frac{t^3+1}{t^2-4}].6t^5dt =6 /7t^7 + 24/5 t^5 + 6/4t^4 + 96/3 t^3 + 12 t^2 + 384 t + 432 Ln|t - 2| - 336 Ln|t + 2| +C$
Xem   https://goo.gl/cp4Wid

Thay $t=\sqrt[6]{x+1}$ thu được 

Xem   https://goo.gl/mq2PFT

*$I_2=\int  \frac{\sqrt{x}-x}{\sqrt[6]{x}-1}dx $   

Đặt Ruột = $t^{boi}$ hay  $x=t^6;dx=6t^5dt;\sqrt{x}=t^3$   

 $I_2=\int [ \frac{t^3-t^6}{t-1}].6t^5dt =  -\frac{1}{165} t^9 (90 t^2 + 99 t + 110)+C$
Xem   https://goo.gl/fqak3k

Thay $t=\sqrt[6]{x}$ thu được

Xem   https://goo.gl/un3sw6


* $I_3=\int   \sqrt  \frac{x+1}{x+2}dx $   

Đặt Ruột = $t^{boi}$ hay  $\frac{x+1}{x+2}=t^2; \frac{1}{(x+2)^2}dx=2tdt ;x = (1 - 2 t^2)/(t^2 - 1) ; (x+2)^2= 1/(t^2 - 1)^2$   

 $I_3=\int [\sqrt  t^2 . 2tdt .1/(t^2 - 1)^2 ] = t/(1-t^2) + 1/2. Ln|(t-1)/(t+1)|   +C$
Xem   https://goo.gl/1rJucs

Thay $t= \sqrt  \frac{x+1}{x+2} $ thu được

Xem   https://goo.gl/PmFd2v


* $I_4=\int   \sqrt[3] \frac{x+1}{x}dx $ 

Đặt Ruột = $t^{boi}$ hay  $ \frac{x+1}{x}=t^3 ; \frac{-1}{x^2}dx=3t^2dt ;x = 1/(t^3 - 1) ; x^2= 1/(t^3 - 1)^2$ 

 $I_4=\int [\sqrt[3]  t^3 . {-3t^2/(t^3-1)^2} dt ] = 1/6 [6 t/(t^3 - 1) + Ln(t^2 + t + 1) - 2 Ln(1 - t) + 2 \sqrt{3} tan^{-1}((2 t + 1)/ \sqrt{3})] +C $
Xem   https://goo.gl/6tTsFK

Thay $t= \sqrt[3] \frac{x+1}{x} $ thu được

Xem   https://goo.gl/ZXUJd9


e. Khử căn bằng các phương pháp HĐT bậc 2 + lượng giác hóa .

@ Tích phân đổi biến loại 3 . (DB3)
Ghi nhớ :
 " Dành cho các dạng hàm số vô tỷ hoặc hữu tỷ - lượng giác hóa"

Dạng $k^2-X^2$  đặt  $X= ksint$
Tính $dX=kcostdt$  , đổi cận

Dạng $k^2+X^2$  đặt  $X= ktant$
Tính $dX= \frac{k}{cos^2t}dt$  , đổi cận

Dạng $X^2-k^2$  đặt  $X= \frac{k}{cost}$
Tính $dX= \frac{ksint}{cos^2t}dt$  , đổi cận

Ví dụ 7.  Tính các tích phân xác định sau

*Tính   $I_1=\int  1/   \sqrt{-x^2-2x+3} dx $     (DB3)
Phân tích  $-x^2-2x+3=-(x^2+2x )+3=-(x^2+2x +1-1)+3=4-(x+1)^2$    (HĐT)
Đặt   $ x+1 =2sint  ; dx=2costdt$
$I_1= \int  1/   \sqrt{4-4sin^2t} .2costdt  = \int  dt = t+C= sin^{-1}(\frac{x+1}{2})+C$
Xem   https://goo.gl/9g89HE


*Tính   $I_2=\int    \sqrt{-x^2+4x+12} dx $     (DB3)
Phân tích  $-x^2+4x+12=-(x^2-2x )+12=-(x^2-4x +4-4)+12=16-(x-2)^2$    (HĐT)
Đặt   $ x-2 =4sint  ; dx=4costdt$
$I_2= \int  \sqrt{16-16sin^2t} .4costdt  =8t+4sin2t+C$
Xem   https://goo.gl/dkB5rv

Thay  $t=sin^{-1}(\frac{x-2}{4})$  thu được

Xem   https://goo.gl/M2zmuL

f. Khử căn bằng các công thức tích phân phức tạp .

Ghi nhớ :
 " Dành cho các dạng hàm số vô tỷ phức tạp ( bậc 2 thiếu ) - chứa kết quả logarith "

Ví dụ 8.  Tính các tích phân xác định sau

*Tính   $I_1=\int  1/   \sqrt{x^2-4x+5} dx $     (TPVTPT)
Phân tích  $x^2-4x+5=(x^2-4x+4 -4)+5=(x-2)^2+1$    (HĐT)
$I_1=\int  1/   \sqrt{x^2-4x+5} dx = \int  1/   \sqrt{(x-2)^2+1} dx=Ln|x-2+ \sqrt{(x-2)^2+1} |+C$
Xem   https://goo.gl/ZqcFNN


*Tính   $I_2=\int  1/   \sqrt{x^2+6x+5} dx $     (TPVTPT)
Phân tích  $x^2+6x+5=(x^2+6x+9-9)+5=(x+3)^2-4$    (HĐT)
$I_2=\int  1/    \sqrt{x^2+6x+5} dx = \int  1/   \sqrt{(x+3)^2-4} dx=Ln|x+3+ \sqrt{(x+3)^2-4}  |+C$
Xem   https://goo.gl/4kZkRe

*Tính   $I_3=\int  1/ [ (x-1). \sqrt{x^2-2x+4}] dx $     (TPVTPT)
Phân tích  $x^2-2x+4=(x^2-2x+1 -1)+4=(x-1)^2+3$    (HĐT)
$I_3=\int   1/ [ (x-1). \sqrt{x^2-2x+4}] dx = \int  1/ [ (x-1). \sqrt{(x-1)^2+3}] dx=- \frac{1}{\sqrt{3}}.Ln| \frac{ \sqrt{3}+ \sqrt{(x-1)^2+1} }{x-1}|+C$
Xem   https://goo.gl/Qzykmb


*Tính   $I_4=\int  1/ [ (x+1). \sqrt{x^2+2x-3}] dx $     (TPVTPT)
Phân tích  $x^2+2x-3=(x^2+2x+1 -1)-3=(x+1)^2-4$    (HĐT)
$I_4=\int   1/ [ (x+1). \sqrt{x^2+2x-3}] dx = \int  1/ [ (x+1). \sqrt{(x+1)^2-4}] dx=- \frac{1}{2}.Ln| \frac{ 2+ \sqrt{(x+1)^2-4 }}{x+1}|+C$

Một vài cách tính khác
Theo W|A

Xem   https://goo.gl/Qzykmb

Theo Symbolab

Giải bằng lượng giác hóa - Symbolab

Xem   https://goo.gl/j9wXYQ

Ghi nhớ :
 " Dành cho các dạng hàm số vô tỷ phức tạp ( bậc 2  đủ )- chứa kết quả logarith  "

Ví dụ 9.  Tính các tích phân xác định sau

*Tính   $I_1=\int  1/ [ (x+1). \sqrt{x^2-4x+5}] dx $     (TPVTPT)
Phân tích  $a= 1 ; b =-4 ; c = 5$

Xem   https://goo.gl/ZbwDK9

*Tính   $I_1=\int  (x+1) /   \sqrt{x^2-4x+5} dx $     (TPVTPT)
Phân tích  $a= 1 ; b =-4 ; c = 5$

Xem   https://goo.gl/JkYCkP

Trần hồng Cơ
Ngày 01/02/2017







 ------------------------------------------------------------------------------------------- 

Chớ khoe-khoang về ngày mai; Vì con chẳng biết ngày mai sẽ sanh ra điều gì. Hãy để cho kẻ khác khen-ngợi con, miệng con chẳng nên làm; Để cho một người ngoài tán-mỹ con, môi con đừng làm.

Châm-ngôn 27:1-2