GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN . Phần 14a . KHẢO SÁT HÀM SỐ - Các nội dung chính .

GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN .

Phần 14a . KHẢO SÁT HÀM SỐ  - Các nội dung chính .   

DANH MỤC CÔNG CỤ GIẢI TOÁN TRỰC TUYẾN  MATHEMATICA  WOLFRAM | ALPHA .

Giới thiệu .

Bạn đọc truy cập vào đường dẫn  http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen  để sử dụng các widgets giải toán trực tuyến W|A Mathematica theo chỉ mục trong danh sách dưới đây .

Những widgets này đã được tác giả sắp xếp theo từng môn học và cấp lớp theo ký hiệu như sau :

D : Đại số . Ví dụ  D8.1 widget dùng cho Đại số lớp 8 , mục 1 - Khai triển , rút gọn biểu thức đại số .
H : Hình học . Ví dụ  H12.3  widget dùng cho Hình học lớp 12 , mục 3 - Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian .
G : Giải tích . Ví dụ : G11.7  widget dùng cho Giải tích lớp 11 , mục 7 - Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
GI : Giải tích cao cấp I . Ví dụ GI.15  widget dùng cho Giải tích cao cấp I , mục 15 - Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GII : Giải tích cao cấp II .


++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++


 ĐẠI SỐ 8

D8.1  Khai triển , rút gọn biểu thức đại số
D8.2  Rút gọn phân thức
D8.3  Phân tích thừa số
D8.4  Nhân 2 đa thức
D8.5  Khai triển tích số ( có thể dùng để khai triển Newton )
D8.6  Phân tích thừa số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 10

D10.1 Giải phương trình nguyên Diophante
D10.2 Giải phương trình tuyệt đối
D10.3 Giải phương trình chứa tham số
D10.4  Giải phương trình đại số
D10.5  Giải phương trình từng bước
D10.6  Giải bất phương trình minh hoạ bằng đồ thị

D10.8  Tính giá trị biểu thức hàm số
D10.9  Giải bất phương trình đại số và minh hoạ bằng đồ thị
D10.10  Giải bất phương trình đại số - tìm miền nghiệm
D10.11  Giải phương trình đại số
D10.12  Giải phương trình vô tỷ
D10.13  Giải phương trình minh hoạ từng bước
D10.14  Giải phương trình dạng hàm ẩn
D10.15  Giải hệ thống phương trình tuyến tính , phi tuyến
D10.16  Giải hệ phương trình
D10.17  Vẽ miền nghiệm của bất phương trình đại số
D10.19  Tối ưu hoá hàm 2 biến với các ràng buộc
D10.20  Tìm giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành Ox , trục tung Oy

HÌNH HỌC 10

H10.1  Tính diện tích tam giác trong hệ toạ độ Oxy
H10.3  Khảo sát conic ( đường tròn , Ellipse , Parabola , Hyperbola )
H10.2  Tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng trong Oxy



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 11

D11.1 Thuật chia Euclide dùng cho số và đa thức  ( HORNER )
D11.2  Tính tổng nghịch đảo của n số tự nhiên




D11.6  Khai triển nhị thức Newton


GIẢI TÍCH 11


G11.1  Tính gíá trị một chuỗi số  theo n
G11.2  Đa thức truy hồi
G11.3  Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số
G11.4  Tính giới hạn của chuỗi số khi  $n \rightarrow  \infty$
G11.5  Tìm hàm số ngược của hàm số cho trước
G11.6  Tìm đạo hàm của hàm số hợp - giải thích
G11.7   Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
G11.8   Tìm giới hạn của hàm số
G11.9   Tìm giới hạn của hàm số
G11.10  Tính đạo hàm hàm số có dạng U/V
G11.11  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước
G11.12  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước

G11+12.1   Tính đạo hàm ,tích phân , giới hạn , vẽ đồ thị


LƯỢNG GIÁC 11

L11.1   Giải phương trình lượng giác
L11.2   Giải phương trình lượng giác trên một đoạn
L11.3   Tìm chu kỳ của hàm số tuần hoàn
L11.4   Khai triển công thức lượng giác



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 12

D12.1   Cấu trúc của số phức
D12.1   Giải phương trình mũ
D12.3   Giải  phương trình chứa tham số
D12.4   Giải  phương trình  bất kỳ  ( Bậc 2 , 3 , ... , mũ  , log , căn thức )
D12.5   Giải phương trình mũ



GIẢI TÍCH 12


G12.1  Vẽ đồ thị biểu diễn phương trình
G12.2    Khảo sát hàm số hữu tỷ
G12.3   Vẽ đồ thị trong toạ độ cực (Polar)
G12.4    Tìm cực trị của hàm số
G12.5    Vẽ đồ thị hàm số 2D
G12.6   Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số
G12.7    Vẽ nhiều hàm số - Basic plot. To plot two or more functions, enter {f1(x), f2(x),...}
G12.8    Tìm điểm uốn của hàm số cho trước
G12.9    Tìm nghiệm của các phương trình  y = 0 , y ' = 0 ,  y " = 0
G12.10    Tính tích phân bất định
G12.11    Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.12   Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.13   Tìm đường tiệm cận của hàm số
G12.14   Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.15  Tìm giao điểm của hàm số đa thức và trục hoành Ox - Vẽ đồ thị .
G12.16    Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi (C1) , (C2)
G12.17    Vẽ đồ thị hàm số ( có đường tiệm cận )
G12.18   Vẽ đồ thị 2D , 3D
G12.19   Tìm hoành độ giao điểm giữa 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.20    Vẽ đường cong tham số 3D
G12.21    Tính diện tich mặt tròn xoay
G12.22    Tích thể tích vật tròn xoay  (C) , trục  Ox , x =a , x= b
G12.23    Thể tích vật tròn xoay
G12.24    Tích thể tích vật tròn xoay (C1) , (C2) , trục OX , x = a , x = b
G12.25    Khảo sát hàm số đơn giản
G12.26    Tìm cực trị của hàm số
G12.27    Tìm nguyên hàm của hàm số
G12.28    Tính tích phân xác định


HÌNH HỌC 12

H12.1  Tính khoảng cách 2 điểm trong 2D , 3D
H12.2   Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm trong không gian
H12.3  Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian
H12.4   Tìm công thức thể tích , diện tích hình không gian
H12.5   Vẽ đồ thị 2D , mặt 3D
H12.6    Tích có hướng 2 vector



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

GIẢI TÍCH CAO CẤP

GI.1    Vẽ đồ thị , mặt 3D
GI.2   Vẽ đồ thị , mặt  3D
GI.3    Tích phân 2 lớp
GI.5    Tích phân kép
GI.6    Tích phân bội 3
GI.7    Tích phân bội 3
GI.8    Tích phân suy rộng
GI.9    Chuỗi và dãy số
GI.10    Các bài toán cơ bản trong vi  tích phân
GI.11     Vẽ hàm từng khúc ( piecewise ) - dùng để xét tính liên tục của hàm số
GI.12    Tính đạo hàm và tích phân một hàm số cho trước
GI.13     Vẽ đồ thị hàm số trong hệ toạ độ cực
GI.14     Tính đạo hàm riêng
GI.15    Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GI.16    Tính tổng chuỗi số  n = 1...$\infty$
GI.17     Vẽ  đồ thị  3 hàm số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Bài viết sau đây mô tả các khái niệm toán học và hướng dẫn tính toán chi tiết bằng công cụ trực tuyến , bạn đọc có thể tham khảo những nội dung chính yếu được đề cập đến trong giáo trình toán phổ thông  cùng với các ví dụ minh họa  .

Một số website hữu ích phục vụ cho việc giảng dạy và học tập môn toán :

http://quickmath.com/
http://analyzemath.com/
http://www.intmath.com/
http://www.mathportal.org
https://www.mathway.com/
https://www.symbolab.com/
http://www.graphsketch.com/
http://www.meta-calculator.com/online/?home
http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen

14.  KHẢO SÁT HÀM SỐ  - Các nội dung chính  .

14.1  Tập xác định của hàm số .

14.1.1  Điều kiện có nghĩa .

a. Bảng tóm tắt  .

Điều kiện có nghĩa của biểu thức đại số

$\sqrt{A}  : A\geq 0$

$\frac{A}{B}:B\neq 0$

$\frac{A}{\sqrt{B}}:B>0$

$\log_{a}M:0<a\neq 1;M>0$



*Dùng widget    D10.I.2 TAP XAC DINH CUA HAM SO   https://goo.gl/HWaidJ

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm tập xác định của hàm số $y=x/(x^2-1) + \sqrt{4-x^2}$

Lời giải
domain $ x/(x^2 - 1) + \sqrt{4 - x^2}$
x element R : ${-2<=x<-1 or -1<x<1 or 1<x<=2}$

Xem  https://goo.gl/um6kbQ


Ví dụ 2. 
Tìm tập xác định của hàm số $y=log(2x-1)+(x-1)/(x^2+3x-4)$

Lời giải
domain $ log(2 x - 1) + (x - 1)/(x^2 + 3 x - 4)$
x element R : ${1/2<x<1 or x>1}$

Xem  https://goo.gl/MxRmZr

14.1.2  Điều kiện có nghĩa ( tìm m để bất phương trình luôn thỏa với mọi x) .

a. Quy tắc chung  .

Điều kiện có nghĩa của biểu thức đại số thỏa $\forall x\in \mathbb{R}$

$da = df ; \Delta \leq 0$ ( theo đề bài )

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm m để tập xác định của hàm số $y= \sqrt{(m-2)x^2 +(m-2)x+m}$   là  R

Lời giải

$da = df ; \Delta \leq 0$ ( theo đề bài ) được viết thành
${(m - 2)^2 - 4 (m - 2) m<=0, m - 2>=0, m - 2>=0}$
hay ${-3 m^2 + 4 m + 4<=0, m - 2>=0, m - 2>=0}$
Vậy  $m\geq 2$

*Dùng widget  D10.II.2 TIM m BPTB2 CO NGHIEM /R   https://goo.gl/xUqzex

Xem  https://goo.gl/Y0Wbn2

14.2  Đạo hàm cấp 1 - Cực trị - Xét tính tăng giảm của hàm số .

14.2.1  Đạo hàm cấp 1 .

a. Bảng công thức đạo hàm .

*Hàm sơ cấp

$(C)'=0$ ; $x'=1$ ; $(Cx)'=C$ ; $(x^m)'=mx^{m-1}$ ; $(1/x)'=-1/x^2$ ; $(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

*Hàm tổng quát

$(u+v)'=u'+v'$ ; $(uv)'=u'v+uv'$ ; $(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'$ ; $(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

*Hàm lượng giác

$(sinx)'=cosx$ ; $(cosx)'=-sinx$ ; $(tanx)'=1/cos^2x$ ; $(cotx)'=-1/sin^2x$ ;

*Hảm siêu việt

$(a^x)'=a^xlna$ ; $(e^x)'=e^x$ ; $(log_{a}x)'=\frac{1}{xlna}$ ; $(lnx)'=\frac{1}{x}$


b. Đạo hàm hàm số hợp .

Công thức chính

$(f[u(x)])'=f'(u).u'(x)$
Đạo hàm hàm hợp , từ ngoài vào trong , đến khi hết x .

c. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm đạo hàm cấp 1 của hàm số $y=x^3-3x^2+4x-7$

Lời giải

*Dùng widget  G11.II.3 DAO HAM CAP CAO   https://goo.gl/PVLtso

$y'(x) = 3 x^2 - 6 x + 4$

Xem  https://goo.gl/ubFfRq

Ví dụ 2. 
Tìm đạo hàm cấp 1 của hàm số $y=(x^2-x+1)/(x-1)$

Lời giải

Xem  https://goo.gl/2Xh29Q


14.2.2  Cực trị của hàm số .

a. Quy tắc chung .

*Hàm số có cực trị tại   $x=x_{0} \Leftrightarrow $
+ Đạo hàm cấp 1 :  $y'(x_{0})=0 $
+ Đạo hàm cấp 1 $y'(x)$ đổi dấu khi đi qua $x_{0}$

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm cực trị của hàm số $y=-x^3+4x^2-4x+1$

Lời giải

*Dùng widget  G12.I.1 TIM CUC TRI CUA HAM SO    https://goo.gl/zOH8q6

$-x^3 + 4 x^2 - 4 x + 1 = -5/27 at x = 2/3 (minimum)$
$-x^3 + 4 x^2 - 4 x + 1 = 1 at x = 2 (maximum)$

Xem  https://goo.gl/sHi5HY

Ví dụ 2. 

Tìm m để hàm số  $y=-x^3+3mx^2+1$ có cực trị tại $x_{0}=2$

Lời giải

*Dùng widget  G12.I.1 TIM m / HS CO CUC TRI TAI x=x0 (bt1)    https://goo.gl/axyU4A

Xem  https://goo.gl/Ue7weg


14.2.3  Tính tăng giảm của hàm số .

a. Quy tắc chung .

*Hàm tăng trên $(a,b) \Leftrightarrow y'(x) \geq 0 , \forall x\in (a,b)$
*Hàm giảm trên $(a,b) \Leftrightarrow y'(x) \leq 0 , \forall x\in (a,b)$
Âm giảm , dương tăng ,

Lập bảng biến thiên tăng giảm

x	-∞		+∞
y’(x)
y(x)

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm khoảng tăng của hàm số $y=x^3-3x+2$

Lời giải

*Dùng widget  G12.I.1 TIM KHOANG TANG GIAM CUA HAM SO    https://goo.gl/kp4R8Z

Xem  https://goo.gl/oLA1yd

Ví dụ 2. 
Tìm khoảng giảm của hàm số $y=x^3/3-2x^2+3x-1$

Lời giải

14.3  Đạo hàm cấp 2 - Điểm uốn - Xét tính lồi lõm của đồ thị hàm số .

14.3.1  Điểm uốn của hàm số .

a. Quy tắc chung .

*Hàm số có điểm uốn tại $x=x_{0} \Leftrightarrow $
+ Đạo hàm cấp 2 :  $y''(x_{0})=0 $
+ Đạo hàm cấp 2 $y''(x)$ đổi dấu khi đi qua $x_{0}$

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm điểm uốn của hàm số $y=(x^2+x+5)/(x^2+x+1)$

Lời giải

*Dùng widget  G12.I.1 TIM DIEM UON CUA HAM SO    https://goo.gl/FxdxU9

Ví dụ 2. 
Tìm điểm uốn của hàm số $y=(x^2-1)^2-5$

Lời giải

14.3.2  Tính lồi lõm của hàm số .

a. Quy tắc chung .

*Hàm lõm trên $(a,b) \Leftrightarrow y''(x) \geq 0 , \forall x\in (a,b)$
*Hàm lồi trên $(a,b) \Leftrightarrow y''(x) \leq 0 , \forall x\in (a,b)$
Âm lồi , dương lõm ,

Lập bảng lồi lõm

x	-∞		+∞
y'’(x)
y(x)

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm khoảng lõm của hàm số $y=-x^3+3x^2+2$

Lời giải

*Dùng widget  G12.I.1 TIM KHOANG LOI LOM CUA HAM SO    https://goo.gl/ldd5za

14.4  Đường tiệm cận của hàm số .

14.4.1  Đường tiệm cận của hàm số .

a. Quy tắc chung .

*Đường tiệm cận đứng : $x= x_{0};lim_{x\rightarrow x_{0}}y(x)=\pm \infty $
*Đường tiệm cận ngang : $y= y_{0};lim_{x\rightarrow \pm \infty }y(x)=y_{0} $
*Đường tiệm cận xiên : $y= ax+b;lim_{x\rightarrow \pm \infty }y(x)=\pm \infty  $
với $a=\lim_{x\rightarrow \pm \infty }\frac{f(x)}{x};b=\lim_{x\rightarrow \pm \infty}[f(x)-ax]$

TCĐ : Mẫu số = 0
TCN : Lấy tương đương bậc cao
TCX : Chia Horner - lấy phần thương ( Dư $\neq 0$ ; Dư $\rightarrow 0;x\rightarrow \pm \infty $ )

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm đường tiệm cận của hàm số $y=(x^2-x+1)/(x-1)$

Lời giải

*Dùng widget  G12.I.1 TIM DUONG TIEM CAN CUA HAM SO    https://goo.gl/XXC4IJ

Tiệm cận đứng : $x=1$
Tiệm cận ngang : không có
Tiệm cận xiên : $y=x$

14.4.2  Điều kiện tồn tại (ĐKTT)  đường tiệm cận của hàm số .

a. Quy tắc chung .

Như đã trinh bày ở trên
TCĐ : Mẫu số = 0 , ĐKTT  phương trình Mẫu số = 0 phải có nghiệm thực .
TCN : Lấy tương đương bậc cao , ĐKTT  giới hạn của hàm số là hằng số thực .
TCX : Chia Horner - lấy phần thương ĐKTT  phần  Dư $\neq 0$ ; Dư $\rightarrow 0;x\rightarrow \pm \infty $ )

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm ĐKTT đường tiệm cận của hàm số $y=(x^2-3x+2m-1)/(2x - 1)$

Lời giải

*Dùng widget  G12.I.1 TIM PHAN DU CUA HAM SO HUU TY    https://goo.gl/vbqH0U

Khai triển tiệm cận  Series[(x^2-3x+2m-1)/(2x - 1), {x, Infinity, 4}]
Cho phần dư $\neq 0$ , tìm được $m\neq 9/8$
Xem   https://goo.gl/Ohl5vR

14.5  Đồ thị của hàm số .

Dùng lệnh plot  W|A

Ví dụ 1. 
Vẽ đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+2$
plot(x^3-3x^2+2,x=-2..4,y=-5..5)

Xem   https://goo.gl/0Mvckf

Hoặc https://goo.gl/0pxvgF  với  GraphSketch.com

Ví dụ 2. 
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y=-x^3/3-x^2+1/3$

Lời giải

*Dùng widget  G12.I.1 KHAO SAT HAM SO (C)    https://goo.gl/Qs01Um

Trần hồng Cơ
Ngày 29/03/2016



------------------------------------------------------------------------------------------- 

 If you know about what you are talking about , you have something more valuable than gold and jewels - 

Có nhiều vàng và châu ngọc , nhưng miệng có tri thức là bửu vật quý giá vô song . 

Châm ngôn 20:15