GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN . Phần 13a . XỬ LÝ DỮ LIỆU - So sánh dữ liệu .

 

GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN .

Phần 13a . XỬ LÝ DỮ LIỆU  -  So sánh dữ liệu .   

DANH MỤC CÔNG CỤ GIẢI TOÁN TRỰC TUYẾN  MATHEMATICA  WOLFRAM | ALPHA .

Giới thiệu .

Bạn đọc truy cập vào đường dẫn  http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen  để sử dụng các widgets giải toán trực tuyến W|A Mathematica theo chỉ mục trong danh sách dưới đây .

Những widgets này đã được tác giả sắp xếp theo từng môn học và cấp lớp theo ký hiệu như sau :

D : Đại số . Ví dụ  D8.1 widget dùng cho Đại số lớp 8 , mục 1 - Khai triển , rút gọn biểu thức đại số .
H : Hình học . Ví dụ  H12.3  widget dùng cho Hình học lớp 12 , mục 3 - Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian .
G : Giải tích . Ví dụ : G11.7  widget dùng cho Giải tích lớp 11 , mục 7 - Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
GI : Giải tích cao cấp I . Ví dụ GI.15  widget dùng cho Giải tích cao cấp I , mục 15 - Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GII : Giải tích cao cấp II .


++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++


 ĐẠI SỐ 8

D8.1  Khai triển , rút gọn biểu thức đại số
D8.2  Rút gọn phân thức
D8.3  Phân tích thừa số
D8.4  Nhân 2 đa thức
D8.5  Khai triển tích số ( có thể dùng để khai triển Newton )
D8.6  Phân tích thừa số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 10

D10.1 Giải phương trình nguyên Diophante
D10.2 Giải phương trình tuyệt đối
D10.3 Giải phương trình chứa tham số
D10.4  Giải phương trình đại số
D10.5  Giải phương trình từng bước
D10.6  Giải bất phương trình minh hoạ bằng đồ thị

D10.8  Tính giá trị biểu thức hàm số
D10.9  Giải bất phương trình đại số và minh hoạ bằng đồ thị
D10.10  Giải bất phương trình đại số - tìm miền nghiệm
D10.11  Giải phương trình đại số
D10.12  Giải phương trình vô tỷ
D10.13  Giải phương trình minh hoạ từng bước
D10.14  Giải phương trình dạng hàm ẩn
D10.15  Giải hệ thống phương trình tuyến tính , phi tuyến
D10.16  Giải hệ phương trình
D10.17  Vẽ miền nghiệm của bất phương trình đại số
D10.19  Tối ưu hoá hàm 2 biến với các ràng buộc
D10.20  Tìm giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành Ox , trục tung Oy

HÌNH HỌC 10

H10.1  Tính diện tích tam giác trong hệ toạ độ Oxy
H10.3  Khảo sát conic ( đường tròn , Ellipse , Parabola , Hyperbola )
H10.2  Tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng trong Oxy



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 11

D11.1 Thuật chia Euclide dùng cho số và đa thức  ( HORNER )
D11.2  Tính tổng nghịch đảo của n số tự nhiên




D11.6  Khai triển nhị thức Newton


GIẢI TÍCH 11


G11.1  Tính gíá trị một chuỗi số  theo n
G11.2  Đa thức truy hồi
G11.3  Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số
G11.4  Tính giới hạn của chuỗi số khi  $n \rightarrow  \infty$
G11.5  Tìm hàm số ngược của hàm số cho trước
G11.6  Tìm đạo hàm của hàm số hợp - giải thích
G11.7   Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
G11.8   Tìm giới hạn của hàm số
G11.9   Tìm giới hạn của hàm số
G11.10  Tính đạo hàm hàm số có dạng U/V
G11.11  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước
G11.12  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước

G11+12.1   Tính đạo hàm ,tích phân , giới hạn , vẽ đồ thị


LƯỢNG GIÁC 11

L11.1   Giải phương trình lượng giác
L11.2   Giải phương trình lượng giác trên một đoạn
L11.3   Tìm chu kỳ của hàm số tuần hoàn
L11.4   Khai triển công thức lượng giác



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 12

D12.1   Cấu trúc của số phức
D12.1   Giải phương trình mũ
D12.3   Giải  phương trình chứa tham số
D12.4   Giải  phương trình  bất kỳ  ( Bậc 2 , 3 , ... , mũ  , log , căn thức )
D12.5   Giải phương trình mũ



GIẢI TÍCH 12


G12.1  Vẽ đồ thị biểu diễn phương trình
G12.2    Khảo sát hàm số hữu tỷ
G12.3   Vẽ đồ thị trong toạ độ cực (Polar)
G12.4    Tìm cực trị của hàm số
G12.5    Vẽ đồ thị hàm số 2D
G12.6   Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số
G12.7    Vẽ nhiều hàm số - Basic plot. To plot two or more functions, enter {f1(x), f2(x),...}
G12.8    Tìm điểm uốn của hàm số cho trước
G12.9    Tìm nghiệm của các phương trình  y = 0 , y ' = 0 ,  y " = 0
G12.10    Tính tích phân bất định
G12.11    Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.12   Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.13   Tìm đường tiệm cận của hàm số
G12.14   Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.15  Tìm giao điểm của hàm số đa thức và trục hoành Ox - Vẽ đồ thị .
G12.16    Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi (C1) , (C2)
G12.17    Vẽ đồ thị hàm số ( có đường tiệm cận )
G12.18   Vẽ đồ thị 2D , 3D
G12.19   Tìm hoành độ giao điểm giữa 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.20    Vẽ đường cong tham số 3D
G12.21    Tính diện tich mặt tròn xoay
G12.22    Tích thể tích vật tròn xoay  (C) , trục  Ox , x =a , x= b
G12.23    Thể tích vật tròn xoay
G12.24    Tích thể tích vật tròn xoay (C1) , (C2) , trục OX , x = a , x = b
G12.25    Khảo sát hàm số đơn giản
G12.26    Tìm cực trị của hàm số
G12.27    Tìm nguyên hàm của hàm số
G12.28    Tính tích phân xác định


HÌNH HỌC 12

H12.1  Tính khoảng cách 2 điểm trong 2D , 3D
H12.2   Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm trong không gian
H12.3  Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian
H12.4   Tìm công thức thể tích , diện tích hình không gian
H12.5   Vẽ đồ thị 2D , mặt 3D
H12.6    Tích có hướng 2 vector



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

GIẢI TÍCH CAO CẤP

GI.1    Vẽ đồ thị , mặt 3D
GI.2   Vẽ đồ thị , mặt  3D
GI.3    Tích phân 2 lớp
GI.5    Tích phân kép
GI.6    Tích phân bội 3
GI.7    Tích phân bội 3
GI.8    Tích phân suy rộng
GI.9    Chuỗi và dãy số
GI.10    Các bài toán cơ bản trong vi  tích phân
GI.11     Vẽ hàm từng khúc ( piecewise ) - dùng để xét tính liên tục của hàm số
GI.12    Tính đạo hàm và tích phân một hàm số cho trước
GI.13     Vẽ đồ thị hàm số trong hệ toạ độ cực
GI.14     Tính đạo hàm riêng
GI.15    Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GI.16    Tính tổng chuỗi số  n = 1...$\infty$
GI.17     Vẽ  đồ thị  3 hàm số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Bài viết sau đây mô tả các khái niệm toán học và hướng dẫn tính toán chi tiết bằng công cụ trực tuyến , bạn đọc có thể tham khảo những nội dung chính yếu được đề cập đến trong giáo trình toán phổ thông  cùng với các ví dụ minh họa  .

Một số website hữu ích phục vụ cho việc giảng dạy và học tập môn toán :

http://quickmath.com/
http://analyzemath.com/
http://www.intmath.com/
http://www.mathportal.org
https://www.mathway.com/
https://www.symbolab.com/
http://www.graphsketch.com/
http://www.meta-calculator.com/online/?home
http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen

13.  XỬ LÝ DỮ LIỆU  - So sánh dữ liệu .

13.1  Dữ liệu đơn biến - đa biến  .

13.1.1  Đơn biến - đa biến .

a. Đơn biến .
Dữ liệu đơn biến mô tả các trạng thái , hiện tượng dựa trên "một biến" (chỉ gồm một loại dữ liệu)

Ví dụ 1 .
-Số lượng bông hoa tuylip nở trên 10 luống trong trại hoa là
25, 29, 28, 32, 25, 21, 28, 22, 26 , 20  ( đơn vị : bông) 
Biến dữ liệu : bông (rời rạc) .



Chiều cao của 8 sinh viên lớp STAT Fall 08
177 , 180 , 182 , 169 , 172 , 178 , 179 , 181 ( đơn vị : cm)
Biến dữ liệu : chiều cao (liên tục) .

Xử lý dữ liệu đơn biến bằng cách
-Lập bảng phân phối tần số .
-Tìm giá trị trung tâm bằng cách dùng trung bình (mean) , trung vị (median) và thường số (mode) .
-Tìm độ phân tán bằng cách dùng khoảng giá trị (range) , tứ phân vị (quartile) và độ lệch chuẩn (standard deviation) .
-Biểu diễn dữ liệu bằng các biểu đồ cột (bar graph) , đoạn (line graph) , quạt (pie graph) , hộp và tia (box-whisker) và biểu đồ lịch sử nhóm (histogram) . 


b. Đa biến .
Dữ liệu đa biến mô tả các trạng thái , hiện tượng dựa trên "nhiều biến"  (gồm nhiều loại dữ liệu)

Ví dụ 2 .
-Khảo sát sự biến đổi của hiện tượng thời tiết dựa trên thời gian , nhiệt độ , độ ẩm , áp suất khí quyển 

Thời gian  $t$                 :  6:00, 7:00, 8:00, 9:00, 10:00, 11:00, 12:00  (đon vị : giờ AM)
Nhiệt độ $\theta$                  :  20.5, 23.8, 25.0 , 27.5, 29.2, 31.5 , 32 ( đơn vị : độ C)
Độ ẩm $\mu$                    : 78.3, 55.7 , 48.5, 36.0, 30.5 , 28.2 , 25.6 ( đơn vị : %)
Áp suất khí quyển $P$   :  1014, 1018, 1100, 1105, 1109, 1010, 1015 ( đơn vị : hPa) 

Biến dữ liệu : thời gian , nhiệt độ , độ ẩm , áp suất khí quyển  .

-Khảo sát doanh số trong 2 tuần của cửa hàng nước giải khát vào mùa hè dựa trên nhiệt độ trung bình ngày và doanh số ngày ( 2 biến)

24.0°     245
26.5°     316
21.0°     215
25.4°     332
28.5°     406
22.8°     242
29.5°     531
25.7°     514
23.0°     418
28.2°     422
22.7°     358
27.5°     512
26.4°     372
28.7°     410

Biến dữ liệu :  nhiệt độ , doanh số .

Xử lý dữ liệu đa biến bằng cách
-Phân tích so sánh dữ liệu hai biến số cùng lúc
-Xét sự tương quan giữa các biến độc lập và phụ thuộc , tìm quan hệ nguyên nhân - kết quả và giải thích  .
-Sử dụng bảng, biểu đồ điểm rời rạc hàm điều hóa (best fitted) khi một biến tùy thuộc vào giá trị của các biến khác.


13.1.2  Biểu đồ điểm rời rạc - Hồi quy tuyến tính .

a. Biểu đồ điểm rời rạc .
Mô tả mối liên hệ giữa 2 tập dữ liệu 

Ví dụ 3 .
-Khảo sát doanh số trong 2 tuần của cửa hàng nước giải khát vào mùa hè dựa trên nhiệt độ và doanh số ( 2 biến) với bảng dữ liệu ở ví dụ 2 . Hãy vẽ biểu đồ điểm rời rạc .


*Truy cập   http://www.alcula.com/calculators/statistics/scatter-plot/
Nhập dữ liệu như hình sau , click SUBMIT DATA

Ví dụ 4.   Điều tra về chiều cao (cm)  và trọng lượng (kg) của 30 học sinh thường xuyên tham gia rèn luyện thể dục ta có bảng số liệu và biểu đồ điểm rời rạc như sau .

b. Hồi quy tuyến tính .

-Với cặp dữ liệu cho trước $(x_1,y_1)$  và  $(x_2,y_2)$ , giả thiết rằng  $x_i , y_i $ có quan hệ tuyến tính . Quan hệ giữa cặp dữ liệu chính là đường thẳng nối 2 điểm và việc tìm phương trình đường thẳng này gọi là hồi quy tuyến tính .

-Phương trình thỏa mãn tính chất này được gọi là mô hình toán học của quan hệ tuyến tính .

-Khi các dữ liệu điểm chi ra khuynh hướng tuyến tính , ta có thể tìm được đường thẳng xấp xỉ tốt nhất . Đường thẳng này được gọi là đường điều hóa tốt nhất ( BFL , Best-fitted Line ) .

Ví dụ 5.   Xét các dữ liệu điểm  (5,14),(9,17),(12,16),(14,18),(17,23)
a. Tìm đường điều hóa tốt nhất  (BFL)

b.Vẽ biểu đồ điểm rời rạc và đồ thị của BFL trên cùng mặt phẳng tọa độ  .

 

Dùng công thức tính b  và  a .

Nguồn

• Download CurveExpert Basic 1.4 (evaluation edition)

*Truy cập   http://www.alcula.com/calculators/statistics/linear-regression/
Nhập dữ liệu như hình sau , click SUBMIT DATA

Sample size: 5
Mean x (x̄): 11.4
Mean y (ȳ): 17.6
Intercept (a): 10.267605633803
Slope (b): 0.64319248826291
Regression line equation: y=10.267605633803+0.64319248826291x

*Truy cập   https://www.easycalculation.com/statistics/regression.php
Nhập các dữ liệu điểm  (5,14),(9,17),(12,16),(14,18),(17,23)

Ví dụ 6.   Lượng khí thải phát tán ở Hoa Kỳ  từ 1986  đến 1995 được cho ở bảng dưới đây

Năm	Khí thải  ( tấn )	Năm	Khí thải  ( tấn )
1986	109199	1991	93376
1987	108012	1992	94043
1988	115849	1993	94133
1989	103144	1994	98779
1990	100650	1995	92099

a. Sắp xếp các đữ liệu với x là số năm sau 1980 và y là khối lượng khí thải phát tán ( đơn vị : tấn ) . 

Vẽ các điểm dữ liệu này .

b. Viết phương trình đường điều hóa tốt nhất cho các điểm dữ liệu (BFL) .

c. Vẽ đồ thị của mô hình tuyến tính trên cùng hệ trục tọa độ với các điểm dữ liệu .

d. So sánh sự thay đổi của khối lượng khí thải phát tán hằng năm và độ dốc của đường điều hóa tốt nhất BFL .

Lời giải  

a. Sắp xếp các đữ liệu với x là số năm sau 1980 và y là khối lượng khí thải phát tán ( đơn vị : tấn ) . 

Vẽ các điểm dữ liệu này .

Từ 1986  đến 1995 , ta sắp xếp lại dữ liệu của x  , chọn  x = 0  biểu diễn cho 1980 ,

Năm	Khí thải ( tấn )	Năm	Khí thải  (tấn)
6	109199	11	93376
7	108012	12	94043
8	115849	13	94133
9	103144	14	98779
10	100650	15	92099

*Truy cập   https://www.easycalculation.com/statistics/regression.php
Nhập dữ liệu như hình sau , click CALCULATE

b. Viết phương trình đường điều hóa tốt nhất cho các điểm dữ liệu (BFL) .
BFL :  y = 123944.909-2192.048x

c. Vẽ đồ thị của mô hình tuyến tính trên cùng hệ trục tọa độ với các điểm dữ liệu .
*Truy cập   http://www.alcula.com/calculators/statistics/linear-regression/
Nhập dữ liệu như hình sau , click SUBMIT DATA

Sample size: 10
Mean x (x̄): 10.5
Mean y (ȳ): 100928.4
Intercept (a): 123944.90909091
Slope (b): -2192.0484848485
Regression line equation: y=123944.90909091-2192.0484848485x  (BFL)

*Xem lời giải chi tiết
  www.mathportal.org/calculators/statistics-calculator/correlation-and-regression-calculator.
hay
  http://goo.gl/wr53dy

d. So sánh sự thay đổi của khối lượng khí thải phát tán hằng năm và độ dốc của đường điều hóa tốt nhất BFL .

-Lượng khí thải phát tán hằng năm có xu hướng giảm dần tương ứng với độ dốc của BFL là -2192.0484 (âm)
-Trung bình lượng khí thải giảm dần khoảng  -2192.0484/ năm

LƯU Ý KỸ THUẬT 

Sau khi mô hình của tập hợp dữ liệu đã được tìm thấy, nó có thể được làm tròn cho mục đích báo cáo. Tuy nhiên, không sử dụng một mô hình làm tròn trong khi tính toán, và cũng không làm tròn đáp số trong quá trình tính toán, trừ khi có quy định khác. Khi mô hình được sử dụng để tìm các đáp số ngoại suy hay nội suy khác  , nên được làm tròn một cách thích hợp với yêu cầu bài toán , và khi kiểm tra lại không có độ chính xác quá sai biệt so với các xuất liệu gốc . 

c. Nội suy - ngoại suy .

-Nội suy là phép toán tìm giá trị tương ứng của dữ liệu điểm nằm trong (khoảng) tập hợp dữ liệu ban đầu .
-Ngoại suy là phép toán tìm giá trị tương ứng của dữ liệu điểm nằm ngoài (khoảng) tập hợp dữ liệu ban đầu . 

Ví dụ 7.   Thất nghiệp và thu nhập cá nhân . Bảng dữ liệu sau chỉ ra tỷ lệ thất nghiệp và tổng thu nhập cá nhân tại Hoa Kỳ theo các năm tương ứng .

a. Dùng hồi quy tuyến tính để dự báo tổng thu nhập cá nhân nếu tỷ lệ thất nghiệp là 5% ( nội suy ).

b. Dùng hồi quy tuyến tính để dự báo tỷ lệ thất nghiệp nếu tổng thu nhập cá nhân là    USD10 billion  ( 10 tỷ USD ) ( ngoại suy ) .

c. Những dự báo ở  câu (a)  và  (b)  có đáng tin cậy không ? Giải thich ?

Năm	Tỷ lệ thất nghiệp               ( % )	Tổng thu nhập cá nhân           (Tỷ  USD )
1975	8.5	1.3
1980	7.1	2.3
1985	7.2	3.4
1990	5.6	4.8
1995	5.6	6.1
2000	4.0	8.3

Lời giải

Nhập và vẽ các điểm dữ liệu bằng cách

*Truy cập 

http://www.mathportal.org/calculators/statistics-calculator/correlation-and-regression-calculator.php   hay 

http://goo.gl/7gqkcY

với x là tỷ lệ thất nghiệp (%) , y là tổng thu nhập (tỷ USD) .

Click Compute

Xem chi tiết     http://goo.gl/XaqMDI

Bằng Curve Expert - hoặc http://www.alcula.com/calculators/statistics/linear-regression/
ta tìm được phương trình đường điều hóa tốt nhất BFL 
y = -1.5799257x + 14.372862
a. Dùng hồi quy tuyến tính để dự báo tổng thu nhập cá nhân nếu tỷ lệ thất nghiệp là 5% ( nội suy ).
Thay  a = 5 vào hàm số trên ta có y = 6.473 (tỷ USD)
b. Dùng hồi quy tuyến tính để dự báo tỷ lệ thất nghiệp nếu tổng thu nhập cá nhân là    USD10 billion  ( 10 tỷ USD ) ( ngoại suy ) .
Thay y = 10 vào hàm số trên thu được  x = 2.768 (%)

*Truy cập    http://www.alcula.com/calculators/statistics/linear-regression/
Nhập dữ liệu như hình sau , click SUBMIT DATA

Để tìm hệ số tương quan r  , Click vào  Correlation coefficient .

c.  Với hệ số tương quan tuyến tính   r  =  -0.970438  sát với -1 , có thể kết luận những dự báo này là có độ tin cậy tốt , quan hệ tuyến tính giữa x và y có mức độ mạnh .

 Ngoài ra , vì   r  < 0  , ta có thể nói rằng tổng thu nhập cá nhân  y ( total personal income )  giảm dần  khi tỷ lệ thất nghiệp  x ( unemployment rate ) gia tăng .

Trần hồng Cơ
Ngày 25/01/2016




------------------------------------------------------------------------------------------- -

Những điều biết được chỉ là hạt cát , những điều chưa biết là cả một đại dương .

Isaac Newton