GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN . Phần 6a . HÌNH HỌC - Đường cong 2D - Đường tròn

GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN .


Phần 6a . HÌNH HỌC - Đường cong 2D - Đường tròn  

DANH MỤC CÔNG CỤ GIẢI TOÁN TRỰC TUYẾN  MATHEMATICA  WOLFRAM | ALPHA .

Giới thiệu .

Bạn đọc truy cập vào đường dẫn  http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen  để sử dụng các widgets giải toán trực tuyến W|A Mathematica theo chỉ mục trong danh sách dưới đây .

Những widgets này đã được tác giả sắp xếp theo từng môn học và cấp lớp theo ký hiệu như sau :

D : Đại số . Ví dụ  D8.1 widget dùng cho Đại số lớp 8 , mục 1 - Khai triển , rút gọn biểu thức đại số .
H : Hình học . Ví dụ  H12.3  widget dùng cho Hình học lớp 12 , mục 3 - Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian .
G : Giải tích . Ví dụ : G11.7  widget dùng cho Giải tích lớp 11 , mục 7 - Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
GI : Giải tích cao cấp I . Ví dụ GI.15  widget dùng cho Giải tích cao cấp I , mục 15 - Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GII : Giải tích cao cấp II .


++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++


 ĐẠI SỐ 8

D8.1  Khai triển , rút gọn biểu thức đại số
D8.2  Rút gọn phân thức
D8.3  Phân tích thừa số
D8.4  Nhân 2 đa thức
D8.5  Khai triển tích số ( có thể dùng để khai triển Newton )
D8.6  Phân tích thừa số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 10

D10.1 Giải phương trình nguyên Diophante
D10.2 Giải phương trình tuyệt đối
D10.3 Giải phương trình chứa tham số
D10.4  Giải phương trình đại số
D10.5  Giải phương trình từng bước
D10.6  Giải bất phương trình minh hoạ bằng đồ thị

D10.8  Tính giá trị biểu thức hàm số
D10.9  Giải bất phương trình đại số và minh hoạ bằng đồ thị
D10.10  Giải bất phương trình đại số - tìm miền nghiệm
D10.11  Giải phương trình đại số
D10.12  Giải phương trình vô tỷ
D10.13  Giải phương trình minh hoạ từng bước
D10.14  Giải phương trình dạng hàm ẩn
D10.15  Giải hệ thống phương trình tuyến tính , phi tuyến
D10.16  Giải hệ phương trình
D10.17  Vẽ miền nghiệm của bất phương trình đại số
D10.19  Tối ưu hoá hàm 2 biến với các ràng buộc
D10.20  Tìm giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành Ox , trục tung Oy

HÌNH HỌC 10

H10.1  Tính diện tích tam giác trong hệ toạ độ Oxy
H10.3  Khảo sát conic ( đường tròn , Ellipse , Parabola , Hyperbola )
H10.2  Tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng trong Oxy



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 11

D11.1 Thuật chia Euclide dùng cho số và đa thức  ( HORNER )
D11.2  Tính tổng nghịch đảo của n số tự nhiên




D11.6  Khai triển nhị thức Newton


GIẢI TÍCH 11


G11.1  Tính gíá trị một chuỗi số  theo n
G11.2  Đa thức truy hồi
G11.3  Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số
G11.4  Tính giới hạn của chuỗi số khi  $n \rightarrow  \infty$
G11.5  Tìm hàm số ngược của hàm số cho trước
G11.6  Tìm đạo hàm của hàm số hợp - giải thích
G11.7   Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
G11.8   Tìm giới hạn của hàm số
G11.9   Tìm giới hạn của hàm số
G11.10  Tính đạo hàm hàm số có dạng U/V
G11.11  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước
G11.12  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước

G11+12.1   Tính đạo hàm ,tích phân , giới hạn , vẽ đồ thị


LƯỢNG GIÁC 11

L11.1   Giải phương trình lượng giác
L11.2   Giải phương trình lượng giác trên một đoạn
L11.3   Tìm chu kỳ của hàm số tuần hoàn
L11.4   Khai triển công thức lượng giác



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 12

D12.1   Cấu trúc của số phức
D12.1   Giải phương trình mũ
D12.3   Giải  phương trình chứa tham số
D12.4   Giải  phương trình  bất kỳ  ( Bậc 2 , 3 , ... , mũ  , log , căn thức )
D12.5   Giải phương trình mũ



GIẢI TÍCH 12


G12.1  Vẽ đồ thị biểu diễn phương trình
G12.2    Khảo sát hàm số hữu tỷ
G12.3   Vẽ đồ thị trong toạ độ cực (Polar)
G12.4    Tìm cực trị của hàm số
G12.5    Vẽ đồ thị hàm số 2D
G12.6   Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số
G12.7    Vẽ nhiều hàm số - Basic plot. To plot two or more functions, enter {f1(x), f2(x),...}
G12.8    Tìm điểm uốn của hàm số cho trước
G12.9    Tìm nghiệm của các phương trình  y = 0 , y ' = 0 ,  y " = 0
G12.10    Tính tích phân bất định
G12.11    Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.12   Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.13   Tìm đường tiệm cận của hàm số
G12.14   Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.15  Tìm giao điểm của hàm số đa thức và trục hoành Ox - Vẽ đồ thị .
G12.16    Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi (C1) , (C2)
G12.17    Vẽ đồ thị hàm số ( có đường tiệm cận )
G12.18   Vẽ đồ thị 2D , 3D
G12.19   Tìm hoành độ giao điểm giữa 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.20    Vẽ đường cong tham số 3D
G12.21    Tính diện tich mặt tròn xoay
G12.22    Tích thể tích vật tròn xoay  (C) , trục  Ox , x =a , x= b
G12.23    Thể tích vật tròn xoay
G12.24    Tích thể tích vật tròn xoay (C1) , (C2) , trục OX , x = a , x = b
G12.25    Khảo sát hàm số đơn giản
G12.26    Tìm cực trị của hàm số
G12.27    Tìm nguyên hàm của hàm số
G12.28    Tính tích phân xác định


HÌNH HỌC 12

H12.1  Tính khoảng cách 2 điểm trong 2D , 3D
H12.2   Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm trong không gian
H12.3  Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian
H12.4   Tìm công thức thể tích , diện tích hình không gian
H12.5   Vẽ đồ thị 2D , mặt 3D
H12.6    Tích có hướng 2 vector



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

GIẢI TÍCH CAO CẤP

GI.1    Vẽ đồ thị , mặt 3D
GI.2   Vẽ đồ thị , mặt  3D
GI.3    Tích phân 2 lớp
GI.5    Tích phân kép
GI.6    Tích phân bội 3
GI.7    Tích phân bội 3
GI.8    Tích phân suy rộng
GI.9    Chuỗi và dãy số
GI.10    Các bài toán cơ bản trong vi  tích phân
GI.11     Vẽ hàm từng khúc ( piecewise ) - dùng để xét tính liên tục của hàm số
GI.12    Tính đạo hàm và tích phân một hàm số cho trước
GI.13     Vẽ đồ thị hàm số trong hệ toạ độ cực
GI.14     Tính đạo hàm riêng
GI.15    Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GI.16    Tính tổng chuỗi số  n = 1...$\infty$
GI.17     Vẽ  đồ thị  3 hàm số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Bài viết sau đây mô tả các khái niệm toán học và hướng dẫn tính toán chi tiết bằng công cụ trực tuyến , bạn đọc có thể tham khảo những nội dung chính yếu được đề cập đến trong giáo trình toán phổ thông  cùng với các ví dụ minh họa  .

Một số website hữu ích phục vụ cho việc giảng dạy và học tập môn toán :

http://quickmath.com/
http://analyzemath.com/
http://www.intmath.com/
http://www.mathportal.org
https://www.mathway.com/
https://www.symbolab.com/
http://www.graphsketch.com/
http://www.meta-calculator.com/online/?home
http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen

6.  HÌNH HỌC - Đường cong 2D - Đường tròn  .

6.1  Đường tròn .

Mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,

1. Phương trình đường tròn chính tắc  (C)  $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$
Tâm $I(a,b)$  bán kính R
Phương tích của điểm $M(x_M,y_M)$ đối với  (C)  :  $\rho[M,(C)]=IM^2-R^2=(x_M-a)^2+(y_M-b)^2-R^2$
Vị trí tương đối của điểm $M(x_M,y_M)$ đối với  (C)

Vị trí tương đối của đường thẳng (T)  $Ax+By+C=0$  đối với  (C)

Điều kiện tiếp xúc của đường thẳng (T)  $Ax+By+C=0$  và đường tròn (C)
$d[I,(T)]=R \Leftrightarrow |Aa+Bb+C|/\sqrt{A^2+B^2}=R$


2. Phương trình đường tròn tổng quát  (C)  $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$
Tâm $I(a,b)$  bán kính $R= \sqrt{a^2+b^2-c}$
Phương tích của điểm $M(x_M,y_M)$ đối với  (C)  :  $\rho[M,(C)]=IM^2-R^2=x_M^2+y_M^2-2ax_M-2by_M+c$


6.1.1   Khảo sát đường tròn và điểm , đoạn thẳng , đường thẳng , tam giác  .

a. Khảo sát đường tròn .  
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .   Khảo sát   (x-1)^2+(y+2)^2 =9
Xem  http://goo.gl/MpBwdf

*Dùng  widget  H10.II.2 KHAO SAT DUONG TRON

Ví dụ .   circle center (1,-2) radius = 3  , Click Submit
Trong phần kết luận ta thu được chu vi , diện tích của đường tròn

b. Tìm tâm và bán kính đường tròn .   
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .  Tìm tâm và bán kính của đường tròn  (C)  $(x-1)^2+(y+2)^2 =9$
find center of  (x-1)^2+(y+2)^2 =9
Xem   http://goo.gl/UXy1kt

Ví dụ .   find center and radius of  x^2+y^2-2x+4y-4=0
Xem   http://goo.gl/hTkPd8
Ví dụ :   find center and  radius of  3x^2+3y^2-2x +4y-1=0
Xem   http://goo.gl/fds9AV

Lưu ý : khi đường tròn (C) có chứa tham số và chắc chắn rằng $a^2+b^2-c>0$
W|A sẽ cho ta tâm và biểu thức bán kính .
Ví dụ .  Tìm tâm và bán kính của đường tròn  (C)  $x^2+y^2-2(m-1)x+2my-m-1=0$
find center and  radius of  x^2+y^2-2(m-1)x+2my-m-1=0
Xem   http://goo.gl/9BQYDm

*Dùng  widget  H10.II.2 TIM TAM,BAN KINH DUONG TRON

Nhập  x^2+y^2-2(m-1)x+2my-m-1=0

Ví dụ .  find center and  radius of  (x-m+2)^2+(y-2m+3)^2=m^2+m+1

Xem   http://goo.gl/PEMfIM

Để khắc phục trường hợp phương trình đường tròn (C) chứa tham số m và không chắc chắn rằng $R>0$  , ta sẽ tính từng bước như ví dụ sau :

 find center  of  x^2+y^2-2(2-m)x +2(m-1)y + m^2-5m+7 =0
Xem   http://goo.gl/36RHjl

Bước 1 ,  Nhập phương trình (C) không có hệ số c
 find center  of  x^2+y^2-2(2-m)x +2(m-1)y=0    ta lấy kết quả  tâm  $I(2-m,1-m)$  ( các bạn có thể tính tay  : $-2a =-2(2-m)  ; -2b = 2(m-1) $  thu được  $a=2-m;b=1-m$
Xem   http://goo.gl/rtluuf

Bước 2 .  Nhập biểu thức $a^2+b^2-c$
a=2-m, b= 1-m , c = m^2-5m+7 ,  a^2+b^2-c   ta lấy kết quả   $m^2 - m - 2$
Xem   http://goo.gl/Yd6iQl

Giải  bất phương trình  $a^2+b^2-c >0$
Nhập  m^2-m-2 > 0
Xem   http://goo.gl/SNMBJX

c. Vẽ đường tròn - điểm .   
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .  Khảo sát  đường tròn tâm I(1,-2) , bán kính R = 3  và  điểm M(-2,1)
 segment  through M(-2,1) , O(0,0) , circle center (1,-2) radius = 3
Xem   http://goo.gl/8KEvzP

Nhận xét :  Điểm  M(-2,1)  ở ngoài (C) .

*Dùng  widget  H10.II.2 KHAO SAT DUONG TRON

Nhập    (x-1)^2+(y+2)^2=3^2 , x=-2,y=1

d. Vẽ đường tròn - đoạn thẳng .   
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .  Khảo sát  đường tròn tâm I(4,3) , bán kính R = 4  và  đoạn thẳng MN với M(-2,1) và N(3,-2)
 segment  through M(-2,1) , N(3,-2) , circle center (4,3) radius = 4
Xem   http://goo.gl/YqAsjn

Nhận xét :  MN  nằm ngoài (C)

e. Vẽ đường tròn - đường thẳng .   
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .  Khảo sát  đường tròn $x^2+y^2-2x+4y-4=0$  và  đường thẳng có hệ số góc = 2 , qua M(3,-1)
(C) có tâm I(1,-2) và bán kính  R = 3
Nhập   line , slope = 2  through (3,-1) , circle center (1,-2) radius = 3
Xem  http://goo.gl/FKk6sF 

Ví dụ .  Vẽ đường tròn , điểm và đường thẳng
 circle center (1,2)   r = sqrt(5)  ,  segment (0,0)  (1,3) , line  2x - y + 3 = 0
Xem   http://goo.gl/IeyZwY

Nhận xét :  Điểm  M(1,3) nằm trong (C)  ;  đường thẳng 2x - y + 3 = 0  cắt  (C) .


f. Vẽ đường tròn - tam giác .   
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .  Khảo sát  đường tròn $x^2+y^2-2x+4y-4=0$  và  tam giác ABC với  A(-5,0), B(3,-3), C(0,2)
(C) có tâm I(1,-2) và bán kính  R = 3
Nhập   circle center (1,-2) radius = 3 , triangle (-5,0),(3,-3),(0,2)
Xem   http://goo.gl/jTo5if

6.1.2  Viết phương trình đường tròn  .

a. Viết phương trình đường tròn biết tâm I và bán kính R .  
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .  Viết phương trình đường tròn tâm  I(-2,3) và có bán kính R = 1
circle center (-2,3) radius = 1
Xem   http://goo.gl/H0NjFF

*Dùng  widget  H10.II.2  DUONG TRON CO TAM,BAN KINH

Ví dụ .  Viết phương trình đường tròn (C có tâm I(m-1,m+2) và có bán kính R = 3
circle center = (m-1,m+2) , r= 3
Ta tìm được  $(x-m+1)^2+(y-m-2)^2=9$
hay  $2 m^2-2 m x-2 m y+2 m+x^2+2 x+y^2-4 y-4 = 0$

Xem   http://goo.gl/XWAH3P

b. Viết phương trình đường tròn biết tâm I và đi qua một điểm .  
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .  Viết phương trình đường tròn tâm  I(-2,3) và qua M(1,4)
circle center (-2,3)  through (1,4)
Xem   http://goo.gl/KIOaL7

*Dùng  widget  H10.II.2 DUONG TRON CO TAM,QUA DIEM M

Ví dụ .  Viết phương trình đường tròn tâm I(2m-1,m+3)  và qua M(1,2)
circle center (2m-1,m+3)  through (1,2)
Xem   http://goo.gl/2oq11P

c. Viết phương trình đường tròn biết đường kính AB .  
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .   Viết phương trình đường tròn (C) có đường kính là AB với A(1,3) , B(3,-1)

Bước 1 . Vẽ và tìm tâm đường tròn (C)
circle center is midpoint between (1,3) and  (3,-1)
Ta tìm được tâm I(2,1)
Xem   http://goo.gl/qkMe4P

Bước 2 .  Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(2,1) và có bán kính R = AB/2
circle center = (2,1) , r= ||(1,3)- (3,-1)||/2
Ta tìm được (C) :      $(x-2)^2+(y-1)^2=5$
Xem  http://goo.gl/hjrCgA

Bước 3 . Kiểm tra
Nhập  circle center = (2,1) , r=sqrt(5) , segment through  (1,3) and  (3,-1)
Xem   http://goo.gl/Na4hBz

*Dùng  widget  H10.II.2 DUONG TRON  DUONG KINH AB

d. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ( đi qua 3 điểm A,B,C) .  
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .   Viết phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC với A(1,0) , B(3,1) , C(0,2)

Bước 1 .   Viết phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC với A(1,0) , B(3,1) , C(0,2)
Nhập
circle through  (1,0),(3,1),(0,2)
Xem   http://goo.gl/g0kLsP

Bước 2 .  Kiểm tra
Nhập  circle center (3/2,3/2) radius = sqrt(5/2)  , triangle  (1,0),(3,1),(0,2)
Xem   http://goo.gl/04bBi0

*Dùng  widget  H10.II.2 DUONG TRON QUA A,B,C

*Dùng  widget  H10.II.2  DUONG TRON CO TAM,BAN KINH

e. Viết phương trình đường tròn tâm I và tiếp xúc với đường thẳng .  
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .   Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(1,2) và tiếp xúc với đường thẳng (d) : $3x-4y-10=0$

Bước 1 . Tính khoảng cách từ I(1,2) đến đường thẳng (d)
distance from (1,2) to  3x-4y-10=0
Ta tìm được  $d[I,(d)]=3=R$
Xem   http://goo.gl/uoZoTZ

Bước 2 .  Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(1,2) và có bán kính R = 3
circle center = (1,2) , r= 3
Ta tìm được (C) :    $(x-1)^2+(y-2)^2 = 9$
Xem  http://goo.gl/QX8KrW

Bước 3 .  Kiểm tra
Nhập  circle center = (1,2) , r= 3 , line  3x-4y-10=0
Ta tìm được tiếp điểm  $(14/5,-2/5)$
Xem  http://goo.gl/JVU9U1

*Dùng  widget  H10.II.2 DUONG TRON CO TAM,TXUC DTHANG

f. Viết phương trình đường tròn tâm I và tiếp xúc với trục hoành Ox .  
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

(C) tâm $I(a,b)$  tiếp xúc Ox  , bán kính  $R = |b|$

Ví dụ .   Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(1,-2) và tiếp xúc với trục Ox
circle center = (1,-2) , radius = |-2|
Xem   http://goo.gl/wJlYun

*Dùng  widget  H10.II.2 DTRON CO TAM , TXUC TRUC HOANH Ox

g. Viết phương trình đường tròn tâm I và tiếp xúc với trục tung Oy .  
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

(C) tâm $I(a,b)$  tiếp xúc Oy  , bán kính  $R = |a|$

Ví dụ .   Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(-4,-3) và tiếp xúc với trục Ox
circle center = (-4,-3) , radius = 4
Xem   http://goo.gl/aiXyck

*Dùng  widget  H10.II.2 DTRON CO TAM , TXUC TRUC TUNG Oy

h. Viết phương trình đường tròn đi qua một điểm và tiếp xúc với 2 trục tọa độ .  
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

(C) tâm $I(a,b)$  tiếp xúc Ox  , bán kính  $R = |b|$
(C) tâm $I(a,b)$  tiếp xúc Oy  , bán kính  $R = |a|$

Ví dụ .   Viết phương trình đường tròn (C) đi qua A(2,1) và tiếp xúc với 2 trục Ox , Oy

Bước 1 .  Tính  $R=||\overrightarrow{AI}||=||(a-x_A,b-y_A)||=\sqrt{(a-x_A)^2+(b-y_A)^2}$
Vì  (C) tiếp xúc với 2 trục tọa độ nên  $R=|a|=|b|$
Giải hệ  $\sqrt{(a-x_A)^2+(b-y_A)^2}=|a|, |a|=|b|$

Cụ thể với  $ A(2,1) $
 Tính  $R=||\overrightarrow{AI}||=||(a-2,b-1)||=\sqrt{(a-2)^2+(b-1)^2}$
Vì  (C) tiếp xúc với 2 trục tọa độ nên  $R=|a|=|b|$
Giải hệ  $\sqrt{(a-2)^2+(b-1)^2}=a^2 , a = b$  tìm a , b  (nếu có)
Giải hệ  $\sqrt{(a-2)^2+(b-1)^2}=a^2 , a = -b$  tìm a , b  (nếu có)

Nhập  solve{(a-2)^2+(b-1)^2=a^2,a=b)
Ta tìm được  a = b = 1  hoặc  a = b = 5
Xem   http://goo.gl/cUo32H
Nhập  solve{(a-2)^2+(b-1)^2=a^2,a=-b)
Hệ vô nghiệm
Xem   http://goo.gl/dHW314

Bước 2 .   Viết phương trình đường tròn (C)  $(x-a)^2+(y-a)^2=a^2$
Nhập equation of circle center (1,1)  r = 1 , circle center (5,5)  r = 5
Xem   http://goo.gl/zckEx8

Bước 3 .   Kiểm tra xem đường tròn có đi qua A và tiếp xúc 2 trục tọa độ không .
Nhập  circle center (1,1) r = 1 , circle center (5,5) r = 5 ,  segment through (0,0) , (2,1)
Xem   http://goo.gl/OKbF8B
Khảo sát đương tròn vừa tìm được
Nhập  circle center (1,1)  r = 1 , circle center (5,5)  r = 5
Xem   http://goo.gl/1b7vD6

*Dùng  widget  H10.II.2 DTRON QUA M ,TXUC 2 TRUC Ox,Oy

Vậy  (x-1)^2+(y-1)^2=1^2 , (x-5)^2+(y-5)^2=5^2
Kiểm tra
*Dùng   widget  H10.II.2 KHAO SAT DUONG TRON
Nhập   (x-1)^2+(y-1)^2=1^2 , (x-5)^2+(y-5)^2=5^2,x=2,y=1,x=0,y=0

i. Viết phương trình đường tròn có bán kính , tâm trên đường thẳng và đi qua một điểm .  
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .  Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I trên đường thẳng (d)  3x - 4y + 2 = 0  , bán kính R = 3 và đi qua điểm M(2,-1) .

Bước 1.  Xét vị trí tương đối của M(2,-1)  và  (d)  3x - 4y + 2 = 0
Tính d[M,(d)]
Nếu  d[M,(d)] < R thì có 2 đường tròn (C)
Nếu  d[M,(d)] = R thì có 1 đường tròn (C)
Nếu  d[M,(d)] > R thì không có đường tròn (C)

Gọi tâm của (C) là  I(a,b)

Tính  $ || \overrightarrow{MI}||=||(a-x_M,b-y_M)||=R$
Tâm  $I(a,b)  \in (d) : Ax+By+C=0$  nên $Aa+Bb+C=0$

Cụ thể với  M(2,-1)  và  (d)  3x - 4y + 2 = 0
Nhập  distance from  M(2,-1)  to  3x - 4y + 2 = 0  ta có   d[M,(d)] = 12/5 <  3  ( có 2 đường tròn (C))
Tính  $ || \overrightarrow{MI}||=||(a-2,b+1)||=3$
Tâm  $I(a,b)  \in (d) : 3x-4y+2=0$  nên $3a-4b+2=0$

Xem   http://goo.gl/zlcx8T
Xem   http://goo.gl/z91I2x

Bước 2 . Giải hệ trên tìm được a , b .

Nhập  ||(a-2,b+1)||=3  

Nhập  |(a-2,b+1)||=3 ,  3a-4b+2=0   ta có   { a = 2 , b = 2 }  { a = -22/25,  b = -4/25}

Phương trình đường tròn (C)

$(C_1):(x-2)^2+(y-2)^2=9$

$(C_2):(x+22/25)^2+(y+4/25)^2=9$

Xem   http://goo.gl/OeLTbA

Bước 3.  Kiểm tra
circle center (2,2)  r = 3 , line 3x - 4y + 2 = 0 , segment (2,2) , (2,-1)
circle center ( -22/25,b = -4/25)  r = 3 , line 3x - 4y + 2 = 0 , segment  ( -22/25,-4/25) , (2,-1)
Xem   http://goo.gl/PykCsH
Xem   http://goo.gl/X16oko

*Dùng  widget  H10.II.2 DTRON TAM THUOC (d),BKINH R QUA M

Vậy  (x-2)^2+(y-2)^2=3^2  ,  (x+22/25)^2+(y+4/25)^2=3^2
Kiểm tra
*Dùng   widget  H10.II.2 KHAO SAT DUONG TRON
Nhập   (x-2)^2+(y-2)^2=3^2,(x+22/25)^2+(y+4/25)^2=3^2,3x-4y+2=0,x=2,y=-1

Ví dụ .  (Tương tự )Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I trên đường thẳng (d)  4x + 3y - 1 = 0  , bán kính R = 3 và đi qua điểm M(1,-5) .


k. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc 2 đường thẳng và đi qua một điểm .  
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .  Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc 2 đường thẳng
(d1)  x - 2y + 3 = 0  ,  (d2)  4x + 2y - 5 = 0  và đi qua điểm M(-1,1) .

Bước 1.  Gọi I(a,b)  là tâm đường tròn (C)
Tính  $ || \overrightarrow{MI}||=||(a-x_M,b-y_M)||=R$
(C) tiếp xúc (d1) :    d[M,(d1)] = R  hay  $|A_1a+B_1b+C_1|/ \sqrt{A_1^2+B_1^2} = R$
(C) tiếp xúc (d2) :    d[M,(d2)] = R  hay  $|A_2a+B_2b+C_2|/ \sqrt{A_2^2+B_2^2} = R$

Cụ thể với  (d1)  x - 2y + 3 = 0  ,  (d2)  4x + 2y - 5 = 0  và đi qua điểm M(-1,1) .
 $ || \overrightarrow{MI}||^2=||(a-2,b+1)||^2=R^2$
 $( a-2b+3)^2/(1^2+2^2) = R^2$
 $(4a+2b-5)^2/ (4^2+2^2) = R^2$

Nhập    ||(a,b)-(-1,1)||^2 ,
Nhập    distance from (a,b) to  x - 2y + 3 = 0  ta có   (a-2 b+3)/sqrt(5)
Nhập   distance from (a,b) to 4x + 2y - 5 = 0  ta có   (4 a+2 b-5)/(2 sqrt(5))
Xem   http://goo.gl/Emx97p
Xem   http://goo.gl/rPGDgP
Xem   http://goo.gl/jHIqfS

Bước 2.  Giải hệ
$||(a-x_M,b-y_M)||^2=(A_1a+B_1b+C_1)^2/ (A_1^2+B_1^2)$
$||(a-x_M,b-y_M)||^2=(A_2a+B_2b+C_2)^2/ (A_2^2+B_2^2)$
Tìm được a , b

Xét hệ   $||(a+1,b-1)||^2 = (|a-2b+3|/ \sqrt{1^2+2^2})^2 $
             $||(a+1,b-1)||^2  = (|4a+2b-5|/ \sqrt{4^2+2^2})^2$

solve   ||(a,b)-(-1,1)||^2 = ((a-2 b+3)/sqrt(5))^2  , ||(a,b)-(-1,1)||^2  =((4 a+2 b-5)/(2 sqrt(5)))^2
Xem   http://goo.gl/D5XRdR

tìm được  {a = -17/10, b = 12/5}  với R = (7 sqrt(5))/10      Xem   http://goo.gl/Hrs4UI
               {a = -3/10, b = -2/5}  với R =   (7 sqrt(5))/10       Xem   http://goo.gl/omfYns

Bước 3.  Viết phương trình đường tròn (C)
Nhập   circle center  (-17/10, 12/5)   r =  (7 sqrt(5))/10  ta có  $(x+17/10)^2+(y-12/5)^2 = 49/20$
Nhập   circle center  (-3/10, -2/5)   r =  (7 sqrt(5))/10  ta có  $(x+3/10)^2+(y+2/5)^2 = 49/20$

Xem   http://goo.gl/XKsbW6
Xem   http://goo.gl/0CASzM

Kiểm tra
Nhập  circle center (-17/10,12/5) r = 7sqrt(5)/10 , line x-2y+3 =0 , segment (0,0) (-1,1)
Nhập  circle center (-17/10,12/5) r = 7sqrt(5)/10 , line  4x+2y-5 = 0 , segment (0,0) (-1,1)
Nhập  circle center (-17/10,12/5)  r= 7 sqrt(5)/10 , line x-2y+3 =0 , line  4x+2y-5 = 0

Nhập  circle center (-3/10,-2/5) r = 7sqrt(5)/10 , line x-2y+3 =0 , segment (0,0) (-1,1)
Nhập  circle center (-3/10,-2/5) r = 7sqrt(5)/10 , line  4x+2y-5 = 0 , segment (0,0) (-1,1)
Nhập  circle center  (-3/10, -2/5)   r =  (7 sqrt(5))/10 , line x-2y+3 =0 , line  4x+2y-5 = 0

Nhập  (x+3/10)^2+(y+2/5)^2 = 49/20 , (x+17/10)^2+(y-12/5)^2 = 49/20 , x-2y+3 =0 , 4x+2y-5 = 0
Xem   http://goo.gl/0Bvar8

*Dùng   widget  H10.II.2 DTRON QUA M,TXUC (d1) VA (d2)

Vậy
(x+3/10)^2+(y+2/5)^2 = 49/20 , (x+17/10)^2+(y-12/5)^2 = 49/20
Kiểm tra
*Dùng   widget  H10.II.2 KHAO SAT DUONG TRON
Nhập  (x+3/10)^2+(y+2/5)^2 = 49/20 , (x+17/10)^2+(y-12/5)^2 = 49/20 , x-2y+3 =0 , 4x+2y-5 = 0

Ví dụ .  (Tương tự) Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc 2 đường thẳng
(d1)  x + 3y - 2 = 0  ,  (d2)  2x - 6y + 1 = 0  và đi qua điểm M(1,2) .



l. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng và tiếp xúc 2 đường thẳng  .  
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .  Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc (d)  x + y + 1 =0 và  tiếp xúc 2 đường thẳng
(d1)  x - 2y + 3 = 0  ,  (d2)  4x + 2y - 5 = 0

Bước 1.  Gọi I(a,b) là tâm đường tròn (C)
Ta có  $I(a,b) \in  (d) : Ax+By+C=0$  nên  $Aa+Bb+C=0$
Đường tròn (C) tiếp xúc (d1) nên $d[I,(d1)]=|A_1a+B_1b+C_1|/ \sqrt{A_1^2+B_1^2}=R$
Đường tròn (C) tiếp xúc (d2) nên $d[I,(d2)]=|A_2a+B_2b+C_2|/ \sqrt{A_2^2+B_2^2}=R$

Cụ thể với  (d)  x + y + 1 =0 và  tiếp xúc 2 đường thẳng
(d1)  x - 2y + 3 = 0  ,  (d2)  4x + 2y - 5 = 0

a + b + 1 =0
Nhập    distance from (a,b) to  x - 2y + 3 = 0  ta có   (a-2 b+3)/sqrt(5)
Nhập   distance from (a,b) to 4x + 2y - 5 = 0  ta có   (4 a+2 b-5)/(2 sqrt(5))
Xem   http://goo.gl/Emx97p
Xem   http://goo.gl/rPGDgP

Bước 2.  Giải hệ phương trình
$Aa+Bb+C=0$
$|A_1a+B_1b+C_1|/ \sqrt{A_1^2+B_1^2}=|A_2a+B_2b+C_2|/ \sqrt{A_2^2+B_2^2}$
Tìm được a , b .

Nhập  solve  a + b + 1 =0 ,  ((a-2 b+3)/sqrt(5))^2 = ((4 a+2 b-5)/(2 sqrt(5)))^2
Xem   http://goo.gl/HDLUT4
Thu được
{a = -17/4 , b = 13/4}  với  R = (31 sqrt(5))/20   Xem   http://goo.gl/OhnbzM 
{a = -3/8 , b = -5/8 }  với  R = (31 sqrt(5))/40    Xem   http://goo.gl/tOcJi0


Bước 3.  Viết phương trình đường tròn (C)
Nhập  circle center (-17/4 ,13/4)   r = (31 sqrt(5))/20    Xem   http://goo.gl/JlXvlh
Nhập  circle center (-3/8 , -5/8 )   r = (31 sqrt(5))/40    Xem   http://goo.gl/Us9ZoE

Kiểm tra
Nhập  (x+17/4)^2+(y-13/4)^2 = 961/80, x + y + 1 =0,x - 2y + 3 = 0, 4x + 2y - 5 = 0
Nhập  (x+3/8)^2+(y+5/8)^2 = 961/320, x + y + 1 =0,x - 2y + 3 = 0, 4x + 2y - 5 = 0
Xem   http://goo.gl/wSc3oW
Xem   http://goo.gl/VX3ryC
Xem   http://goo.gl/IIb2Nc

*Dùng  widget  H10.II.2 DTRON TAM THUOC (d) ,TXUC (d1) (d2)

Vậy   (x+17/4)^2+(y-13/4)^2 = 961/80  ,  (x+3/8)^2+(y+5/8)^2 = 961/320
Kiểm tra
*Dùng   widget  H10.II.2 KHAO SAT DUONG TRON
Nhập  (x+17/4)^2+(y-13/4)^2 = 961/80, (x+3/8)^2+(y+5/8)^2 = 961/320,x + y + 1 =0,x - 2y + 3 = 0, 4x + 2y - 5 = 0

Ví dụ .  (Tương tự)
+Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc (d)  2x - y + 1 =0 và  tiếp xúc 2 đường thẳng
(d1)  3x + y + 2 = 0  ,  (d2)  -x - 3y + 4 = 0
++Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc (d)  x + 2y + 3 =0 và  tiếp xúc 2 đường thẳng
(d1)  2x - y + 1 = 0  ,  (d2)  -2x - y + 3 = 0


m. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với 3 đường thẳng  .  
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .  Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với
(d1)  $3x + 4y  - 1=0$  ; (d2)  $5x - 12y + 3 = 0$  ; (d3)  $4x + 3y +1 = 0$

Bước 1.  Gọi I(a,b)  là tâm đường tròn (C) 

Tìm  $d[I,(d1)]= |A_1a+B_1b+C_1|/ \sqrt{A_1^2+B_1^2}$

Tìm  $d[I,(d2)]= |A_2a+B_2b+C_2|/ \sqrt{A_2^2+B_2^2}$

Tìm  $d[I,(d1)]= |A_3a+B_3b+C_3|/ \sqrt{A_3^2+B_3^2}$

Cụ thể với  (d1)  $3x + 4y  - 1=0$  ; (d2)  $5x - 12y + 3 = 0$  ; (d3)  $4x + 3y +1 = 0$
Nhập  distance from (a,b) to 3x + 4y  - 1=0   ta có   (3a+4b-1)/5  
Nhập  distance from (a,b) to 5x - 12y + 3 = 0  ta có   1/13 (5 a-12 b+3)
Nhập  distance from (a,b) to 4x + 3y +1 = 0  ta có   1/5 (4 a+3 b+1)
Xem   http://goo.gl/p2mCNd
Xem   http://goo.gl/fhIAHd
Xem   http://goo.gl/oriJQq

Bước 2.  Vì (C) tiếp xúc với (d1) , (d2) và (d3)  nên xét hệ

$ (A_1a+B_1b+C_1)^2/ (A_1^2+B_1^2) =  (A_2a+B_2b+C_2)^2/ (A_2^2+B_2^2) $

$ (A_1a+B_1b+C_1)^2/ (A_1^2+B_1^2) =  (A_3a+B_3b+C_3)^2/ (A_3^2+B_3^2) $

Tìm được a , b 

Nhập  solve   ((3a+4b-1)/5)^2=(1/13 (5 a-12 b+3))^2 ,  ((3a+4b-1)/5)^2=(1/5 (4 a+3 b+1))^2
Xem   http://goo.gl/xXkcms
Ta có
{a = -14/9 ,b = 4/9}  với  R = 7/9        Xem   http://goo.gl/pnHpjo
{a = -2/7,b = 2/7}  với  R = 1/7           Xem   http://goo.gl/kPvUUm
{a = -1/36 ,b = 1/36}  với  R = 7/36    Xem   http://goo.gl/0txuZ8
{a = 1/4,b = 9/4}  với  R = 7/4            Xem   http://goo.gl/2zpEqj

Bước 3.  Viết phương trình đường tròn (C)

Nhập  circle center  (-14/9 ,4/9)  r = 7/9        Xem   http://goo.gl/fX2p77
Nhập  circle center  (-2/7 ,2/7)  r = 1/7          Xem   http://goo.gl/0kRU9I

Nhập  circle center  (-1/36 ,1/36)  r = 7/36    Xem   http://goo.gl/KIaO8P
Nhập  circle center  (1/4 ,9/4)  r = 7/4           Xem   http://goo.gl/XJDGw8

Kiểm tra
Nhập
(x+14/9)^2+(y-4/9)^2=49/81,(x+2/7)^2+(y-2/7)^2=1/49,(x+1/36)^2+(y-1/36)^2 =49/1296,(x-1/4)^2+(y-9/4)^2 =49/16,3x+4y-1=0,5x-12y+3=0,4x+3y+1=0

Xem   http://goo.gl/4GxpyU

*Dùng  widget   H10.II.2 DTRON TXUC 3 DTHANG (d1) (d2) (d3)

Vậy  (x+14/9)^2+(y-4/9)^2=49/81,(x+2/7)^2+(y-2/7)^2=1/49,(x+1/36)^2+(y-1/36)^2 =49/1296,(x-1/4)^2+(y-9/4)^2 =49/16
Kiểm tra
*Dùng   widget  H10.II.2 KHAO SAT DUONG TRON
Nhập
(x+14/9)^2+(y-4/9)^2=49/81,(x+2/7)^2+(y-2/7)^2=1/49,(x+1/36)^2+(y-1/36)^2 =49/1296,(x-1/4)^2+(y-9/4)^2 =49/16,3x+4y-1=0,5x-12y+3=0,4x+3y+1=0

Ví dụ .  (Tương tự)
+Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với

(d1)  $4x - 3y =0$  ; (d2)  $6x + 8y + 1 = 0$  ; (d3)  $12x + 5y = 0$

+++Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với

(d1)  $2x - y +1=0$  ; (d2)  $x - 2y = 0$  ; (d3)  $x + 2y +3= 0$


n. Viết phương trình đường tròn tâm thuộc đường thẳng và tiếp xúc với 2 đường thẳng song song .  
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .  Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc (d) $2x - y + 3 =0$  tiếp xúc với

(d1)  $3x - 4y -10=0$  ; (d2)  $6x - 8y + 25 = 0$ 

Bước 1.  Kiểm tra tính chất song song của (d1) và (d2)

Nhập   2x - y + 3 =0 , 3x - 4y - 10 =0 , 6x - 8y + 25 = 0   Xem   http://goo.gl/aB1Jhz 

Ta có  (d1) // (d2)

Tìm giao điểm A của (d) và (d1)  

Nhập   2x - y + 3 =0 ,  3x - 4y - 10 =0   ta có  {x = -22/5,   y = -29/5}   Xem   http://goo.gl/ZqyNDS

Tìm giao điểm B của (d) và (d2)
Nhập   2x - y + 3 =0 ,  6x - 8y + 25 = 0   ta có  {x = 1/10,   y = 16/5}   Xem   http://goo.gl/7aBwgj

Bước 2.  Gọi  I(a,b)  là tâm đường tròn (C) , I là trung điểm của AB

$<I>= \frac{<A>+<B>}{2}$  và tính $d[I,(d1)]=d[I,(d2)]=R$

Nhập  ((1/10,16/5)+(-22/5,-29/5))/2   ta có  I(-43/20, -13/10)    Xem   http://goo.gl/g5JwY8

Nhập   distance from (-43/20, -13/10)  to 3x - 4y - 10 =0  ta  có  R =  9/4    Xem   http://goo.gl/FJo9pG

Bước 3.  Viết phương trình đường tròn (C)

Nhập   circle center (-43/20, -13/10) r = 9/4   thu được  $(x+43/20)^2+(y+13/10)^2 = 81/16$

Xem   http://goo.gl/RA1ftz

Kiểm tra 

Nhập  (x+43/20)^2+(y+13/10)^2 = 81/16, 2x - y + 3 =0 , 3x - 4y - 10 =0 , 6x - 8y + 25 = 0 

Xem   http://goo.gl/Ejw6VB

*Dùng  widget  H10.II.2 DTRON TAM THUOC (d) ,TXUC (d1) (d2) 

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



Trần hồng Cơ
03/05/2015

------------------------------------------------------------------------------------------- 

 Mục đích cuộc sống càng cao thì đời người càng giá trị.

 Geothe