Giải toán trực tuyến W | A




Vẽ đồ thị trong Oxyz plot3D(f(x,y),x=..,y=..)
Vẽ đồ thị trong Oxy plot(f(x),x=..,y=..)
Đạo hàm derivative(f(x))
Tích phân Integrate(f(x))


Giải toán trực tuyến W|A

MW

Thứ Hai, 21 tháng 10, 2013

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN . Chương 6 - PHẦN 1 .


   

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .









Chương 6 -


PHẦN 1 . 



-Bài toán giá trị biên .
-Bài toán Sturm - Liouville 
-Các hàm đặc biệt .




 

Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  



Trần hồng Cơ .

19/10/2013 .



****************************************************************************Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.



1. Bài toán giá trị biên  .
1.1 Các bài toán giá trị biên cấp 2 cơ bản .
+Để đơn giản hóa vấn đề chúng ta xét phương trình vi phân cấp 2 với các điều kiện như sau 
Ràng buộc cho những phương trình vi phân trên đây đặt tại các điểm được gọi là giá trị biên hay điều kiện biên của phương trình . Bài toán tìm nghiệm của phương trình vi phân cấp 2 với các điều kiện biên được gọi là bài toán giá trị biên cấp 2 .
Phân loại .
+Điều kiện biên tại  x = x0  gọi là chuẩn <=> 
ay(x0)  +  by'(x0)  = c , với a , b , c là các hằng số không đồng thời bằng 0 .
+Điều kiện biên tại  x = x0  gọi là giới nội <=>
|y(x0)| < $\infty$  hay $\lim_{x\rightarrow xo}\left | y(x) \right |< \infty$ 
+Điều kiện biên tại  x = x0  gọi là tuần hoàn <=> có một giá trị x  khác với  x0  sao cho    
y(x0)  = y(x1)  và  y'(x1)  =  y'(x1


1.2  Kiến thức bổ sung .
+Sau đây là phần bổ sung về đại số tuyến tính trước khi đi vào chi tiết bài toán Sturm - Liouville .
a. Số phức . 
Số phức   z =+ iy , x = Re(z) : phần thực của z , y = Im(z) phần ảo của z .
Modulo của z , ký hiệu là | z
$\left | z \right |=\sqrt{x^2+y^2}$
Số phức liên hợp  z* = x - iy
Ta có  $zz^{*}=\left | z \right |^2=x^2+y^2$
b. Vector trong Rn - Ma trận thực đối xứng . 
Vector trong Rn có dạng u = (u1,u2,...,un) với uj    ( j =1,2..,n  ) là số thực  .  
Chuẩn của u , ký hiệu  || u || 
$\left \| u \right \|=\sqrt{u_{1}^2+u_{2}^2+...+u_{n}^2}$
Tích vô hướng của u và v , ký hiệu u.v
u.v  =    u1v1 + u2v2  +...+ unvn
Ta có  $u.u=\left \| u \right \|^2$  .
Hai vector u , v  gọi là trực giao <=>  u.v = 0 ( tích vô hướng = 0 ) .
+Ma trận Anxn = [ aijvới aij    ( i, j =1,2..,n  ) là số thực gọi là ma trận đối xứng <=> aij   =  aji  i, j =1,2..,n  )  .
Hay ta còn viết   $A=A^{T}$
Trị đặc trưng m của ma trận A là nghiệm của phương trình đặc trưng det( A - mI ) = 0 .
Vector u gọi là vector đặc trưng tương ứng với trị đặc trưng m của ma trận A  <=>  Au  =  mu .

+Tính chất của ma trận đối xứng .
Cho  A  là ma trận đối xứng , khi đó 
(i)  Các trị đặc trưng của A là thực .
(ii) Tồn tại cơ sở trực giao của Rn gồm các vector đặc trưng của A

c. Vector trong Cn - Ma trận phức tự-liên hợp . 
Vector trong Cn có dạng u = (u1,u2,...,un) với uj    ( =1,2..,n  ) là số phức  .  
Chuẩn của u , ký hiệu  || u || 
$\left \| u \right \|=\sqrt{|u_{1}|^2+|u_{2}|^2+...+|u_{n}|^2}$
Tích trong của u và v , ký hiệu $\left \langle u|v \right \rangle$
$\left \langle u|v \right \rangle=\sum_{j=1}^{n}u_{j}^{*}v_{j}$
Trong đó uj* là phức liên hợp của uj  . Hai vector u , v  gọi là trực giao <=>   $\left \langle u|v \right \rangle$ = 0 ( Tích trong = 0 ).
+Tính chất của tích trong .
Giả sử a , b là hai số phức , uv là vector thuộc Cn  .
$\left \langle u|v \right \rangle=\left \langle v|u \right \rangle^{*}$
$\left \langle u|av+bw \right \rangle=a\left \langle u|v \right \rangle+b\left \langle u|w \right \rangle$
$\left \langle av+bw|u \right \rangle=a^{*}\left \langle v|u \right \rangle+b^{*}\left \langle w|u \right \rangle$
$\left \langle u|u \right \rangle=\left \| u \right \|^2$
+Ma trận Anxn = [ aij ] với aij    ( i, j =1,2..,n  ) là số phức , $A^{\dagger }$ gọi là ma trận liên hợp <=> $A^{\dagger }=\left ( A^{*} \right )^{T}$ .
Ma trận A được gọi là tự liên hợp ( hay Hermite )<=> $A=A^{\dagger }$
Ví dụ . Tìm ma trận liên hợp 
Ví dụ . Xét tính tự liên hợp của ma trận 
+Tính chất của ma trận tự liên hợp ( Hermite ) .
-Ma trận A tự liên hợp thì A phải là ma trận vuông .
-Ma trận tự liên hợp có các phần tử trên đường chéo chính là thực .
-Ma trận tự liên hợp có các trị riêng là thực và có n vector riêng độc lập tuyến tính .
-Ma trận A tự liên hợp thì tồn tại một cơ sở trực giao trong  Cn  gồm các vector đặc trưng của A . 
-Ma trận vuông A có các phần tử là thực và $A=A^{\dagger }$ thì A là ma trận thực - đối xứng .
d. Khai triển một vector trong Cn theo cơ sở trực chuẩn . 
Mọi vector trong Cn có dạng u = (u1,u2,...,un) với uj    ( =1,2..,n  ) là số phức đều có thể khai triển thành một tổ hợp tuyến tính của các vector cơ sở trực giao { bk , k = 1,2,...,n }  .  
$u=\sum_{k=1}^{n}C_k.\mathbf{b}_k,C_k\in \textbf{C}$
Các hệ số Ck   được tính bởi 
$C_k=\frac{\left \langle \mathbf{b}_{k}|u \right \rangle}{\left \|\mathbf{b}_{k}  \right \|^{2}}  , k=1,2,...,n$
+Cơ sở { bk , k = 1,2,...,n } được gọi là trực chuẩn khi $\left \| \mathbf{b}_{k} \right \|=1$  .  Từ cơ sở trực giao bk , k = 1,2,...,n } ta có thể xây dựng cơ sở trực chuẩn bằng cách đặt $\mathbf{e}_k=\frac{\mathbf{b}_k}{\left \| \mathbf{b}_k \right \|}$
Khi đó  { ek , k = 1,2,...,n } sẽ là cơ sở trực chuẩn .
e. Tích trong và ma trận liên hợp . 
+Nhắc lại về ma trận chuyển vị và ma trận liên hợp
Ta có các công thức sau 
$(A^{T})^{T}=A , (AB)^{T}=B^{T}A^{T},(A^{*})^{*}=A , (AB)^{*}=A^{*}B^{*}$
$A^{\dagger }=\left ( A^{*} \right )^{T}$
+Đối với ma trận liên hợp .
$(A^{\dagger})^{\dagger}=A , (AB)^{\dagger }=B^{\dagger}A^{\dagger}$
Xét 2 vector uv trong Cn , theo định nghĩa của liên hợp ta có 
$u^{\dagger }=\left ( u^{*} \right )^{T}$

Tích trong và tích ma trận liên hệ với nhau
$u^{\dagger}v=[u_1^{*},u_2^{*},u_3^{*},..,u_n^{*}]\begin{bmatrix} v_1\\v_2\\v_3\\...\\v_n\end{bmatrix}=\sum_{j=1}^{n}u_j^{*}v_j$

Mặt khác , $\left \langle u|v \right \rangle=\sum_{j=1}^{n}u_{j}^{*}v_{j}$
Nên $u^{\dagger}v=\left \langle u|v \right \rangle$
+Định lý .
Cho ma trận phức  Anxn = [ aij ] ,  $A^{\dagger }$  là ma trận liên hợp tương ứng của A .
(i) $\left \langle Au|v \right \rangle=\left \langle u|A^{\dagger} v \right \rangle$
(ii) $A^{\dagger}=B\Leftrightarrow \left \langle Au|v \right \rangle=\left \langle u|B v \right \rangle$
(iii) $A^{\dagger}=A\Leftrightarrow\left \langle Au|v \right \rangle=\left \langle u|A v \right \rangle$

*Sơ lược tiểu sử . 
Charles Hermite
Charles Hermite circa 1901 edit.jpg
Charles Hermite circa 1887
SinhDecember 24, 1822
DieuzeMoselle
Mất January 14, 1901 (aged 78)
Paris
Quốc tịchFrench
Lĩnh vựcMathematics
InstitutionsÉcole Polytechnique
Sorbonne
Alma mater
Collège Henri IVSorbonne
Collège Louis-le-Grand,Sorbonne
Doctoral studentsLéon Charve
Henri Padé
Mihailo Petrović
Henri Poincaré
Thomas Stieltjes
Jules Tannery
Known forProof that e is transcendental
Hermitian adjoint
Hermitian form
Hermitian function
Hermitian matrix
Hermitian metric
Hermitian operator
Hermite polynomials
Hermitian transpose
Hermitian wavelet
Nguồn :  http://en.wikipedia.org/wiki/Hermite
2. Bài toán Sturm - Liouville  .
2.1 Tổng quan .
+Trong lĩnh vực toán ứng dụng , phương trình cổ điển Sturm-Liouville - được đặt tên theo hai nhà toán học  Jacques Charles François Sturm (1803-1855) và Joseph Liouville (1809-1882) -  là  phương trình vi phân tuyến tính bậc hai có dạng (1)
Với P(x) > 0 , Q(x) và hàm trọng lượng R(x) > 0 là các hàm cho trước , aj , bj ( j = 1,2 ) là các hằng số cho bởi điều kiện biên , m là giá trị đặc trưng chưa xác định . 
+Trường hợp đơn giản nhất là tất cả các hàm số đều liên tục trên đoạn [ a, b ​​] , và P(x) có đạo hàm liên tục . Khi đó "y(x)" được gọi là nghiệm nếu nó khả vi liên tục trên khoảng (a, b) và thỏa mãn phương trình ( 1 ) tại tất cả các điểm thuộc (a, b) . Ngoài ra, ẩn hàm y(x) thường được yêu cầu phải đáp ứng một số điều kiện biên tại a và b. Hàm R(x) , được gọi là  hàm " trọng lượng " hay hàm " mật độ ".
+Giá trị m không được quy định trong phương trình, việc tìm kiếm các giá trị của m để tồn tại một nghiệm không tầm thường của (1) thỏa mãn các điều kiện biên là một phần của bài toán Sturm - Liouville ( S-L )  . Giá trị m như vậy khi chúng tồn tại , được gọi là các giá trị riêng của bài toán biên được xác định bởi (1) và tập hợp quy định của điều kiện biên. Các nghiệm tương ứng đối với m  gọi là hàm riêng của bài toán này . 
+Dưới các giả thiết bình thường về các hàm số P(x) , Q(x) và R(x) ở trên , sẽ dẫn đến việc tạo ra một toán tử vi phân Hermite trong không gian hàm nào đó được xác định bởi các điều kiện biên . Kết quả lý thuyết về sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của các giá trị riêng , lý thuyết định tính tương ứng về các hàm riêng và tính đầy đủ của chúng trong một không gian hàm phù hợp được gọi là lý thuyết Sturm - Liouville . Lý thuyết này có vai trò rất quan trọng trong toán ứng dụng , khi mà bài toán S -L xảy ra rất phổ biến , đặc biệt với các phương trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính khả tách .
+Bài toán (S-L) Sturm-Liouville được gọi là chuẩn nếu P(x), R(x)> 0 , các hàm P(x), P'(x), Q(x) và R(x) là các hàm liên tục trong đoạn
[a, b​​]  có các điều kiện biên được tách như trong (1) .

2.2  Một số tính chất của hàm riêng .
Dưới các giả thiết bài toán chuẩn S-L  , nguyên lý chính của lý thuyết Sturm-Liouville  phát biểu rằng:
1. Các giá trị riêng m1, m2, m3, ... của bài toán chuẩn Sturm-Liouville (1) là thực và có thể được sắp thứ tự như sau 
m1 < m2 < ... < mn  < ...
2. Tương ứng với mỗi giá trị đặc trưng mn là một hàm riêng yn(x) duy nhất có đúng (n - 1) không điểm trên khoảng (a, b) . Các hàm riêng  yn(x được gọi là nghiệm cơ sở thứ -n thỏa mãn bài toán chuẩn Sturm-Liouville  (1)
3. Các hàm riêng {yn(x) , n = 1,2,...} chuẩn hóa tạo thành một cơ sở trực chuẩn trong không gian Hilbert L2{[a,b],R(x)}  thỏa mãn 
Với hàm f(x) liên tục từng khúc ta có thể biểu diễn qua cơ sở trực chuẩn {yn(x) , n = 1,2,...} như sau 




Tính đầy đủ cho phép biểu diễn một hàm từng khúc thành chuỗi các hàm riêng và tính trực chuẩn là để bảo đảm sự duy nhất và compact .
+Lưu ý rằng, trừ khi P(x) là khả vi liên tục và các hàm  Q(x), R(x) là liên tục, các  phương trình không đáp ứng những điều kiện này được hiểu theo nghĩa yếu.
2.3 Các dạng đặc biệt của phương trình Sturm - Liouville .
a. Các hàm - đa thức dẫn xuất .
+ Phương trình vi phân Bessel là trường hợp đặc biệt của Sturm-Liouville - với 
Nghiệm của phương trình vi phân Bessel gọi là hàm Bessel loại 1 ,  Jn(x) xác định trên $(0,+\infty )$ .

+ Phương trình vi phân Chebyshev là trường hợp đặc biệt của Sturm-Liouville - với 
Nghiệm của phương trình vi phân Chebyshev gọi là đa thức Chebyshev ,  Tn(x) xác định trên (-1,1) .

+ Phương trình vi phân Laguerre là trường hợp đặc biệt của Sturm-Liouville - với 


Nghiệm của phương trình vi phân Laguerre gọi là đa thức Laguerre ,  Ln(x) xác định trên  $(0,+\infty )$ .

+ Phương trình vi phân Legendre là trường hợp đặc biệt của Sturm-Liouville - với 
Nghiệm của phương trình vi phân Legendre gọi là đa thức Legendre ,  Pn(x) xác định trên [-1,1] .
b. Thừa số tích phân IF  .
+ Đối với phương trình vi phân cấp 2 , khi nhân hai vế phương trình cho thừa số tích phân ta cũng quy về trường hợp đặc biệt của phương trình Sturm-Liouville .
Xét phương trình vi phân cấp 2 tổng quát 

Ví dụ . 

*Sơ lược tiểu sử . 
Jacques Charles François Sturm
Charles Sturm.jpeg
Jacques Charles François Sturm
Sinh 29, tháng 9 , 1803
Geneva
Mất15, tháng 12 1855 (aged 52)
Paris
Quốc tịchPháp
Lĩnh vựcToán học
InstitutionsÉcole Polytechnique
Công trìnhSturm–Liouville theory
Sturm's theorem
Speed of sound
Giải thưởngLégion d'Honneur (1837)
Copley Medal (1840)
Joseph Liouville
Joseph liouville.jpeg
Joseph Liouville
Sinh24 , tháng 3 , 1809
Saint-Omer
Mất8 , tháng 9 , 1882                (73 tuổi )
Paris
Quốc tịchPháp
Lĩnh vựcMathematics
Alma materÉcole Polytechnique
Doctoral advisorSiméon Poisson
Louis Jacques Thénard
Doctoral studentsEugène Charles Catalan
Nguồn : 
http://en.wikipedia.org/wiki/Jacques_Charles_Sturm
http://en.wikipedia.org/wiki/Joseph_Liouville

 











Trần hồng Cơ .
25/10/2013 .

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.
 -------------------------------------------------------------------------------------------

 Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.
 Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.
 Albert Einstein .

Thứ Năm, 17 tháng 10, 2013

Danh ngôn thế giới - Phần 2 .


Danh ngôn thế gii.


Danh ngôn thế giới - Phần 1 .

Phần 2 .


61.Đừng bao giờ quên đi những kỉ niệm đẹp vì nó là điểm tựa cho bạn hướng về phía trước.  
Khuyết danh
 62.Thời gian chờ đợi là thời gian khốn khổ nhất.  
S. Doudney
 63.Một dân tôc nô lệ, nghệ thuật làm cho nó tự do. Một dân tộc tự do, nghệ thuật làm cho nó vĩ đại.  
Victor Hugo


64.Người ta có thể quên được những sự phản bội, nhưng người ta không ai có thể tha thứ được.  
Lafayette
 65.Người nghệ sĩ chân chính thì không thể là kẻ hiếu danh vì anh ta hiểu rõ nghệ thuật là vô biên.  
L. Van . Beethoven
 66.Làm ra vẻ bạn biết một cái gì đó còn khó hơn cả việc thực sự biết về nó.  
Khuyết danh


67.Ở đời không có chỉ nên đứng nguyên một chổ và nghệ thuật sẽ tê liệt nếu không thay đổi. 
 Nữ Nam Tước De Sta'el
68.Xuất bản một tập thơ cũng giống như vứt những cánh hoa hồng xuống vực thẳm mịt mù và chờ đợi cái tiếng vang. 
 Don Marguis
69.Khi ta chỉ mặt trăng, người ngu xuẩn nhìn ngón tay. 
 Khuyết danh


70.Không bao giờ làm phiền người khác về những việc mình có thể làm được.  
Thomas Jefferson
 71.Giữa một người đàn ông và một người đàn bà, tình bạn chỉ có thể là nhịp cầu dẫn đến tình yêu.  
Jules Renard
 72.Chỉ những người sẵn sàng chết vì tự do mới biết được tự do là gì. 
 Khuyết danh


73.Người hay ít nói, người nông nỗi nhiều lời.  
Gia Ngữ
74.Hãy yêu nồng thắm nhưng trong sạch, yêu thiết tha nhưng khiết trinh. 
 Lord Byron
75.Ðàn bà chia của ta những lạc thú, bắt ta chịu gấp đôi sự ray rứt và hao tổn cho ta gấp ba lần. 
 Oscar Wilde


76.Cái giường là nơi nguy hiểm nhất: 80% người chết trên đó.  
Mark Twain
77.Ái tình là một căn bệnh gồm ba giai đoạn: Khao khát - chiếm đoạt - chán chường.  
Mei Khan
78.Khi tình yêu muốn lên tiếng thì lý trí phải lặng im.  
Regnard


79.Trang bị quý giá nhất của con người là khiêm tốn và giản dị.  
F. Engels 
80.Quyền lực của tình yêu giống như quyền lực của bậc quân vương, nó không chấp nhận sự chia sẻ.  
Ovid
81.Người đàn ông nào yêu nhiều nhất là người đàn ông chết sớm nhất.  
Khuyết danh


82.Phụ nữ cảm và ăn nói theo bản năng trìu mến của con tim là cái không thể sai lầm được. Không ai biết nói những lời ngọt ngào và sâu sắc cho bằng phụ nữ, đó là trọn vẹn Thiên đường.  
Victor Hugo
83.Người quân tử ghi nhớ rõ nhiều những câu nói hay, việc làm tốt của người đời trước để nuôi cái đức tính của mình.  
Dịch Kinh
84.Tình yêu đẹp nhất cũng cần có nước mắt. 
 Ngạn ngữ Indonesia


85.Từ những tranh luận giữa bằng hữu mà nảy sinh ra sự thật.  
David Hume
86.Người đàn bà như cánh hoa, chỉ nhả mùi thơm trong bóng tối. 
 Lammenaise
87.Hạnh phúc duy nhất lâu bền là lòng kiên nhẫn, nhiệt tình theo đuổi chân lý.  
Khuyết danh


88.Có ba cách đọc sách: đọc mà không hiểu, đọc và hiểu, đọc và hiểu cả những điều không viết trong sách.  
Konyajeunine 
89.Chỉ có một loại tình yêu nhưng có hàng ngàn bản sao khác nhau của tình yêu.  
La Rochefoucauld
90.Nhân nghĩa làm cao cả con người. Tiền tài danh vọng làm nhục trí con người.  
Euclide


91.Đừng hấp tấp kết bạn mới, cũng như đừng vội vã bỏ bạn cũ.  
Khuyết danh
92.Tướng tốt là cái đẹp duy nhất của người đàn ông.  
Montaigne
93.Nếu chẳng may bạn phạm phải lỗi lầm, kể cả những lỗi lầm lớn, hãy luôn nhớ rằng còn cơ may khác cho bạn chuộc lỗi. Thất bại không phải là vấp ngã, mà là cứ nằm lì sau khi ngã.  
Mary Stuart .


94.Người đàn ông nào thích nịnh đầm nhất là người đàn ông mau chán chê nhất và thường hay khinh khi đàn bà nhiều nhất.  
Mellhan
95.Dở nhất trong cái đạo xử thế là không thấy cái lỗi của mình.  
Khổng Tử
96.Một bông hoa không mùi thơm cũng chẳng được quí trọng gì hơn một người đàn bà đẹp mà vô duyên.  
A. V. Arnault


97.Muốn chiếm đoạt trái tim phải hy sinh đầu óc.  
Tục ngữ Thổ nhĩ Kỳ
98.Phụ nữ ví như những trái cam, trái đẹp nhất chẳng mấy khi ngon nhất.  
Adolphe Ricard
99.Sự ly biệt của những kẻ yêu nhau nồng thắm là cái thú đau thương tuyệt vời.  
Robert Burns


100.Tiêu diệt được mọi lo âu phiền toái trong tâm hồn, ấy là đã tìm được một nguồn hạnh phúc vĩ đại. 
 Kinh Udanavarga
101.Bao giờ cũng nên có nhiều trí tuệ hơn lòng tự ái.  
Epicure
102.Tôi chỉ là một mình, nhưng tôi vẫn là một. Tôi không thể làm tất cả, nhưng tôi vẫn có thể làm một vài thứ, và bởi vì tôi không thể làm tất cả, tôi sẽ không từ chối những gì tôi làm được. 
 Everett Hale


103.Đàn ông khen nịnh đàn bà là không hiểu đàn bà, mà mạt sát họ là càng không hiểu họ hơn.  
De Salm
104.Bản thể không phải là một cái gì đã được làm sẵn, mà là được đào tạo liên tục qua việc lựa chọn hành động.  
John Dewey
105.Ai yêu mãnh liệt, kẻ đó ít lời.  
Castillone


106.Đạo làm vua hãy biết xem đất nước là công chứ không phải của riêng mình. 
Hãy biết xem thiên hạ là nhà của mình.  
Trần Nhân Tông
107.Ở nhiều người, lời nói đi trước tư tưởng. Họ chỉ biết những gì họ suy nghĩ sau khi đã nghe những gì mình nói.  
Gustave Lebon
108.Trong đời sống và trong giao tiếp, người ta cần phải dùng dến trí, nhưng ta sẽ ít lầm lỗi hơn nếu biết lắng nghe tiếng nói của lòng ta. 
 Lecompte Du Nouy


109.Tình yêu là trái cây trong mùa tại tất cả thời gian, và trong vòng với tay của mọi người.  
Mother Theresa
110.Ta không sợ ước mơ không thành sự thật mà chỉ sợ không biết mơ ước. Hãy cứ thắp sáng ước mơ và nuôi dưỡng nó, rồi nó sẽ đưa ta đến bất cứ nơi đâu ta muốn. 
Khuyết danh
111.Người ta nghĩ rằng mình là khôn, nhưng người khôn tự biết mình là dại.  
W.Shakespeare


112.Sắc đẹp chỉ thu hút được ánh mắt, còn phẩm giá mới chinh phục được tâm hồn. 
A. Pote
 113.Để người hôn mình tức là mình đã thuận tình với người. Người con gái chẳng còn dè dặt sau cái hôn đầu.  
Khuyết danh
 114.Tôi vẫn còn một trái tim, một dòng máu nóng, một tấm lòng để yêu, để cảm thông và chia sẻ.  
F. Dostoyevski


115.Nếu anh có thể tưởng tượng nó, anh có thể đạt được mục đích. Nếu anh có thể mơ tới nó, nó có thể đến với anh.  
William Arthur Ward
116.Đừng bao giờ nói không còn yêu nữa nếu nước mắt của người kia vẫn có thể giữ chân bạn. 
 Khuyết danh
117.Bổn phận thứ nhất của chúng ta là công việc, thứ hai là lòng nhân từ.  
Francisque Sarcey


118.Đọc sách nhiều mà đụng đâu đọc đó là huỷ hoại tinh thần. Đọc ít nhưng đọc kỹ ta sẽ tìm ra được chân lý cho cuộc đời. 
 Munsch Roger
119.Những người bạn tốt nhất thường là những người thông hiểu nhu cầu biệt lập và yên lặng của ta. 
 Khuyết danh
120.Muốn cho người đàn bà nói, có hàng ngàn cách khác nhau, nhưng không có cách nào làm họ câm miệng hết.  
Guillaume Bouchet



Nguồn hình ảnh :

http://stanleymaxwellbrice.com/gallery1.php


http://www.chasrowe.com/paintings.html

------------------------------------------------------------------------------------------- 

 Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic. 
 Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas. 

 Albert Einstein .

*******

Blog Toán Cơ trích đăng các thông tin khoa học tự nhiên của tác giả và nhiều nguồn tham khảo trên Internet .
Blog cũng là nơi chia sẻ các suy nghĩ , ý tưởng về nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau .


Chia xẻ

Bài viết được xem nhiều trong tuần

CÁC BÀI VIẾT MỚI VỀ CHỦ ĐỀ TOÁN HỌC

Danh sách Blog

Gặp Cơ tại Researchgate.net

Co Tran