Phần 12d . XÁC SUẤT THỐNG KÊ - Biểu diễn dữ liệu .
DANH MỤC CÔNG CỤ GIẢI TOÁN TRỰC TUYẾN MATHEMATICA WOLFRAM | ALPHA .
Giới thiệu .
Bạn đọc truy cập vào đường dẫn http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen để sử dụng các widgets giải toán trực tuyến W|A Mathematica theo chỉ mục trong danh sách dưới đây .
Những widgets này đã được tác giả sắp xếp theo từng môn học và cấp lớp theo ký hiệu như sau :
D : Đại số . Ví dụ D8.1 widget dùng cho Đại số lớp 8 , mục 1 - Khai triển , rút gọn biểu thức đại số .
H : Hình học . Ví dụ H12.3 widget dùng cho Hình học lớp 12 , mục 3 - Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian .
G : Giải tích . Ví dụ : G11.7 widget dùng cho Giải tích lớp 11 , mục 7 - Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
GI : Giải tích cao cấp I . Ví dụ GI.15 widget dùng cho Giải tích cao cấp I , mục 15 - Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GII : Giải tích cao cấp II .
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
ĐẠI SỐ 8
D8.1 Khai triển , rút gọn biểu thức đại số
D8.2 Rút gọn phân thức
D8.3 Phân tích thừa số
D8.4 Nhân 2 đa thức
D8.5 Khai triển tích số ( có thể dùng để khai triển Newton )
D8.6 Phân tích thừa số
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
ĐẠI SỐ 10
D10.1 Giải phương trình nguyên Diophante
D10.2 Giải phương trình tuyệt đối
D10.3 Giải phương trình chứa tham số
D10.4 Giải phương trình đại số
D10.5 Giải phương trình từng bước
D10.6 Giải bất phương trình minh hoạ bằng đồ thị
D10.8 Tính giá trị biểu thức hàm số
D10.9 Giải bất phương trình đại số và minh hoạ bằng đồ thị
D10.10 Giải bất phương trình đại số - tìm miền nghiệm
D10.11 Giải phương trình đại số
D10.12 Giải phương trình vô tỷ
D10.13 Giải phương trình minh hoạ từng bước
D10.14 Giải phương trình dạng hàm ẩn
D10.15 Giải hệ thống phương trình tuyến tính , phi tuyến
D10.16 Giải hệ phương trình
D10.17 Vẽ miền nghiệm của bất phương trình đại số
D10.19 Tối ưu hoá hàm 2 biến với các ràng buộc
D10.20 Tìm giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành Ox , trục tung Oy
HÌNH HỌC 10
H10.1 Tính diện tích tam giác trong hệ toạ độ Oxy
H10.3 Khảo sát conic ( đường tròn , Ellipse , Parabola , Hyperbola )
H10.2 Tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng trong Oxy
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
ĐẠI SỐ 11
D11.1 Thuật chia Euclide dùng cho số và đa thức ( HORNER )
D11.2 Tính tổng nghịch đảo của n số tự nhiên
D11.6 Khai triển nhị thức Newton
GIẢI TÍCH 11
G11.1 Tính gíá trị một chuỗi số theo n
G11.2 Đa thức truy hồi
G11.3 Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số
G11.4 Tính giới hạn của chuỗi số khi $n \rightarrow \infty$
G11.5 Tìm hàm số ngược của hàm số cho trước
G11.6 Tìm đạo hàm của hàm số hợp - giải thích
G11.7 Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
G11.8 Tìm giới hạn của hàm số
G11.9 Tìm giới hạn của hàm số
G11.10 Tính đạo hàm hàm số có dạng U/V
G11.11 Tìm đạo hàm của hàm số cho trước
G11.12 Tìm đạo hàm của hàm số cho trước
G11+12.1 Tính đạo hàm ,tích phân , giới hạn , vẽ đồ thị
LƯỢNG GIÁC 11
L11.1 Giải phương trình lượng giác
L11.2 Giải phương trình lượng giác trên một đoạn
L11.3 Tìm chu kỳ của hàm số tuần hoàn
L11.4 Khai triển công thức lượng giác
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
ĐẠI SỐ 12
D12.1 Cấu trúc của số phức
D12.1 Giải phương trình mũ
D12.3 Giải phương trình chứa tham số
D12.4 Giải phương trình bất kỳ ( Bậc 2 , 3 , ... , mũ , log , căn thức )
D12.5 Giải phương trình mũ
GIẢI TÍCH 12
G12.1 Vẽ đồ thị biểu diễn phương trình
G12.2 Khảo sát hàm số hữu tỷ
G12.3 Vẽ đồ thị trong toạ độ cực (Polar)
G12.4 Tìm cực trị của hàm số
G12.5 Vẽ đồ thị hàm số 2D
G12.6 Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số
G12.7 Vẽ nhiều hàm số - Basic plot. To plot two or more functions, enter {f1(x), f2(x),...}
G12.8 Tìm điểm uốn của hàm số cho trước
G12.9 Tìm nghiệm của các phương trình y = 0 , y ' = 0 , y " = 0
G12.10 Tính tích phân bất định
G12.11 Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.12 Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.13 Tìm đường tiệm cận của hàm số
G12.14 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.15 Tìm giao điểm của hàm số đa thức và trục hoành Ox - Vẽ đồ thị .
G12.16 Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi (C1) , (C2)
G12.17 Vẽ đồ thị hàm số ( có đường tiệm cận )
G12.18 Vẽ đồ thị 2D , 3D
G12.19 Tìm hoành độ giao điểm giữa 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.20 Vẽ đường cong tham số 3D
G12.21 Tính diện tich mặt tròn xoay
G12.22 Tích thể tích vật tròn xoay (C) , trục Ox , x =a , x= b
G12.23 Thể tích vật tròn xoay
G12.24 Tích thể tích vật tròn xoay (C1) , (C2) , trục OX , x = a , x = b
G12.25 Khảo sát hàm số đơn giản
G12.26 Tìm cực trị của hàm số
G12.27 Tìm nguyên hàm của hàm số
G12.28 Tính tích phân xác định
HÌNH HỌC 12
H12.1 Tính khoảng cách 2 điểm trong 2D , 3D
H12.2 Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm trong không gian
H12.3 Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian
H12.4 Tìm công thức thể tích , diện tích hình không gian
H12.5 Vẽ đồ thị 2D , mặt 3D
H12.6 Tích có hướng 2 vector
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
GIẢI TÍCH CAO CẤP
GI.1 Vẽ đồ thị , mặt 3D
GI.2 Vẽ đồ thị , mặt 3D
GI.3 Tích phân 2 lớp
GI.5 Tích phân kép
GI.6 Tích phân bội 3
GI.7 Tích phân bội 3
GI.8 Tích phân suy rộng
GI.9 Chuỗi và dãy số
GI.10 Các bài toán cơ bản trong vi tích phân
GI.11 Vẽ hàm từng khúc ( piecewise ) - dùng để xét tính liên tục của hàm số
GI.12 Tính đạo hàm và tích phân một hàm số cho trước
GI.13 Vẽ đồ thị hàm số trong hệ toạ độ cực
GI.14 Tính đạo hàm riêng
GI.15 Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GI.16 Tính tổng chuỗi số n = 1...$\infty$
GI.17 Vẽ đồ thị 3 hàm số
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Bài viết sau đây mô tả các khái niệm toán học và hướng dẫn tính toán chi tiết bằng công cụ trực tuyến , bạn đọc có thể tham khảo những nội dung chính yếu được đề cập đến trong giáo trình toán phổ thông cùng với các ví dụ minh họa .
Một số website hữu ích phục vụ cho việc giảng dạy và học tập môn toán :
http://quickmath.com/
http://analyzemath.com/
http://www.intmath.com/
http://www.mathportal.org
https://www.mathway.com/
https://www.symbolab.com/
http://www.graphsketch.com/
http://www.meta-calculator.com/online/?home
http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen
12. XÁC SUẤT - THỐNG KÊ - Biểu diễn dữ liệu .
12.4 Cách biểu diễn dữ liệu .
12.4.1 Khái niệm về sự chính xác .
a. Độ chính xác - Tính chính xác .
*Độ chính xác (accuracy) và sự chính xác (precision)
Là những điều hơi khác nhau!
+Độ chính xác là mức độ gần như thế nào của một giá trị đo được so với giá trị thực sự .
+Tính chính xác là tính chất gần như thế nào của các giá trị đo được với nhau.
Xem hình vẽ mô tả sự khác biệt sau đây
Ở ô thứ nhất các vị trí trên bia xa so với hồng tâm nên ta nói độ chính xác là thấp , nhưng các vị trí này lại rất gần nhau do đó có tính chính xác cao .
Ở ô thứ hai các vị trí trên bia khá gần so với hồng tâm nên ta nói độ chính xác là cao , nhưng các vị trí này lại ở xa nhau do đó có tính chính xác thấp .
Ở ô thứ ba các vị trí trên bia xa rất gần so với hồng tâm nên ta nói độ chính xác là cao , và các vị trí này lại rất gần nhau do đó có tính chính xác cao .
Vì vậy, nếu bạn đang chơi bóng đá và bạn luôn đá trúng mục tiêu bên trái khung thành nhưng không ghi bàn , thì bạn không có độ chính xác, nhưng bạn lại có tính chính xác!
Làm thế nào để nhớ về sự khác biệt này ?
-Độ chính xác là sự đúng với kết quả thực .
-Tính chính xác là sự lặp đi lặp lại (gần cùng một chỗ, nhưng có lẽ không phải là vị trí đúng)
*Xu hướng (đừng để tính chính xác đánh lừa bạn!)
Khi chúng ta đo một cái gì đó nhiều lần và tất cả các giá trị là gần nhau , có thể tất cả đều là sai lầm nếu có một "Xu hướng" . Xu hướng là một lỗi hệ thống làm cho tất cả các phép đo sai lệch bởi một đại lượng nhất định.
Ví dụ 1. Về các xu hướng
Vạch cân hiển thị "20g" khi không có vật gì trên cân .
Bạn luôn luôn đo chiều cao của bạn khi đi giầy có đế cao 2.5cm .
Một đồng hồ bấm giờ mất 0.5 giây để dừng lại khi nhấp .
Trong mỗi trường hợp tất cả các phép đo là sai lệch bởi một đại lượng nhất định (20g , 2.5cm , 0.5 giây ... ) Đó là xu hướng .
b. Đo mức độ chính xác .
*Mức độ chính xác
Độ chính xác phụ thuộc vào các công cụ chúng ta sử dụng để đo . Tuy nhiên, như một quy luật chung :
Mức độ chính xác là một nửa đơn vị mỗi bên của đơn vị đo lường
Ví dụ 2. Về mức độ chính xác
-Khi một dụng cụ đo trong khoảng "1" bất kỳ giá trị nào giữa 6½ và 7½ được đo xem như là "7"
-Khi một dụng cụ đo trong khoảng "2" bất kỳ giá trị từ 7 đến 9 được đo xem như là "8"
12.4.2 Biểu diễn dữ liệu .
a. Biểu đồ cột .
Là một dạng hiển thị đồ họa của dữ liệu bằng cách sử dụng thanh độ cao khác nhau .
*Biểu đồ lịch sử nhóm và biểu đồ cột
Biểu đồ cột là cách biểu diễn tốt nhất khi dữ liệu của bạn là theo các chuyên mục khác nhau với các số liệu rời rạc (ví dụ như "Bóng đá", "Bóng bàn", "Bơi lội" ... vv). Nhưng nếu bạn có dữ liệu liên tục (chẳng hạn như chiều cao của cây lúa , thời gian xe chạy , trọng lượng người ...) thì bạn phải sử dụng một biểu đồ lịch sử nhóm (histogram) với các tần suất của nhóm chuyên mục (khoảng liên tục) . Biểu đồ cột có những khoảng trống giữa các thanh , không giống như một histogram.
b. Biểu đồ quạt .
Là một dạng hiển thị bằng biểu đồ đặc biệt có sử dụng hình quạt để hiển thị kích thước tương đối của dữ liệu.
Ví dụ 3. Điều tra về môi trường có câu hỏi "Bạn có thường xuyên đi thăm khu phố mình đang ở không ?" , với các tùy chọn :
A. Gần như mỗi ngày
B. Có ít nhất 10 lần một năm
C. Từ 1 - 5 lần một năm
D. Hầu như không bao giờ
E. Mỗi tuần một lần
Số liệu thu được sau khi khảo sát 20 người là A (5) B(1) C(4) D(6) E(4)
Bạn có thể trình bày dữ liệu này trong một biểu đồ quạt
c. Biểu đồ chấm .
Là một dạng hiển thị bằng biểu đồ sử dụng các chấm để hiển thị kích thước (có thể là tương đối) của dữ liệu.
Ví dụ 4. Như ví dụ 3
Số liệu thu được sau khi khảo sát 20 người là A (5) B(1) C(4) D(6) E(4)
Bạn có thể trình bày dữ liệu này trong một biểu đồ chấm
d. Biểu đồ đoạn .
Là một dạng hiển thị bằng đồ thị cho thấy các thông tin được kết nối một cách thức nào đó (chẳng hạn như thay đổi theo thời gian , nhiệt độ , số lượng ... ) các điểm dữ liệu được nối bằng các đoạn thẳng .
Ví dụ 5. Điều tra về doanh số bán hàng của Siêu thị Digicom trong 6 tháng đầu năm ( đơn vị : triệu đồng).
Số liệu thu được sau khi khảo sát
Tháng 1 Tháng 2 Tháng 3 Tháng 4 Tháng 5 Tháng 6
410.50 440.62 550.49 420.78 610.27 790.14
Bạn có thể trình bày dữ liệu này trong một biểu đồ đoạn .
Là một dạng hiển thị bằng đồ thị cho thấy mối quan hệ giữa hai bộ dữ liệu.(chẳng hạn như {vận tốc , thời gian} , {thời gian , nhiệt độ} , {chiều cao ,số tuổi} , {trọng lượng , chiều cao} ... )
Dữ liệu được vẽ trên hệ trục tọa độ Descartes Oxy .
Ví dụ 6. Điều tra về chiều cao (cm) và trọng lượng (kg) của 30 học sinh thường xuyên tham gia rèn luyện thể dục ta có bảng số liệu và biểu đồ điểm rời rạc.
f. Bảng phân phối tần số .
Là một dạng hiển thị bằng bảng cho thấy số lần xuất hiện một dữ liệu nào đó .
Ví dụ 7. Điều tra về số kilowatt giờ (kwh) của 30 hộ gia đình thuộc khu chung cư ta có bảng số liệu
g. Bảng tích lũy và đồ thị .
Là một dạng hiển thị bằng bảng cho thấy số lần xuất hiện một dữ liệu nào đó và được tích lũy .
Tích lũy có nghĩa là thu gom lại từ những dữ liệu trước đó và tìm hiểu xem "có được bao nhiêu tính đến nay". Để có tổng tích lũy, chỉ cần cộng thêm các giá trị trước vào giá trị hiện tại .
Ví dụ 7. Điều tra về chiều dài của trái dưa leo (đơn vị : cm ) sau khi thu hoạch 4 đợt , được cho ở bảng dưới đây
Lập bảng tần số tích lũy
12.4.3 Các ví dụ về biểu diễn dữ liệu .
a. Biểu đồ cột .
Ví dụ 8. Điều tra về điểm thi của học sinh A trong kỳ thi cuối năm học có số liệu sau
Toán 55 , Anh ngữ 60 , Khoa học 45 , Lịch sử 50 , Địa lý 25 , Tin học 45
-Vẽ biểu đồ cột điểm thi các môn của học sinh A
-Học sinh B có môn Lịch sử , Địa lý và Anh ngữ cao hơn học sinh A lần lượt là 20% , 20% và 15% . Vẽ biểu đồ cột điểm thi các môn của học sinh B .
*Truy cập http://www.mathsisfun.com/data/data-graph.php
Ví dụ 9. Điều tra về chiều cao (cm) của học sinh trung học tham gia rèn luyện thể dục
162.9,175.4,180.3,166.7,174.0,172.1,165.9,168.5,171.0,169.7,177.4,174.0,168.5,181.0,175.2,
165.4,174.3,169.9,170.1,172.5,180.1,166,170.5,175.8,169.5,182.0,173.2,174.6,169.7,175.4
-Vẽ biểu đồ nhóm lịch sử histogram .
*Truy cập https://www.easycalculation.com/graphs/create-histogram.php
Nhập dữ liệu click Calculate
*Truy cập http://www.socscistatistics.com/descriptive/histograms/Default.aspx
Nhập dữ liệu
162.9,175.4,180.3,166.7,174.0,172.1,165.9,168.5,171.0,169.7,177.4,174.0,168.5,181.0,175.2,
165.4,174.3,169.9,170.1,172.5,180.1,166,170.5,175.8,169.5,182.0,173.2,174.6,169.7,175.4
Click vào Generate
Trong phần Edit Tool , chọn các tham số như hình sau , sau đó click vào Edit Histogram
b. Biểu đồ quạt .
Ví dụ 10. Điều tra về số lượng laptop được bán ra tại 6 cửa hàng điện toán trong 3 tháng cuối năm (đơn vị : chiếc) :
A. 458 B. 522 C. 601 D. 413 E. 359 F. 406
-Vẽ biểu đồ quạt , tính % thị phần của mỗi cửa hàng .
*Truy cập http://www.mathsisfun.com/data/data-graph.php
c. Biểu đồ đoạn .
Ví dụ 11. Doanh số bán hàng của Siêu thị Digicom trong 6 tháng đầu năm ( đơn vị : triệu đồng).
Tháng 1 Tháng 2 Tháng 3 Tháng 4 Tháng 5 Tháng 6
410.50 440.62 550.49 420.78 610.27 790.14
-Trình bày dữ liệu này bằng biểu đồ đoạn .
*Truy cập https://www.easycalculation.com/graphs/line-graph.php
Nhập dữ liệu click Calculate
*Truy cập http://www.mathsisfun.com/data/data-graph.php
Ví dụ 12. Điều tra về chiều cao (cm) và trọng lượng (kg) của 30 học sinh thường xuyên tham gia rèn luyện thể dục ta có bảng số liệu .
-Vẽ biểu đồ điểm rời rạc.
Nhập số liệu như hình vẽ , click SUBMIT DATA
Một số tính năng khác như tìm hệ số tương quan , phương trình hồi quy tuyến tính
Correlation coefficient (r): 0.91167345194731 ( hệ số tương quan )
Mean x (x̄): 172 ( trung bình x )
Mean y (ȳ): 67.966666666667 ( trung bình y )
Intercept (a): -69.117801998183 ( tung độ gốc )
Slope (b): 0.79700272479564 (độ dốc-hệ số góc)
Regression line equation: y=0.79700272479564x-69.117801998183 (phương trình hồi quy tuyến tính )
e. Bảng phân phối tần số .
Ví dụ 13. Điều tra về số kilowatt giờ (kwh) của 30 hộ gia đình thuộc khu chung cư số liệu thu được
190,190,165,165,170,190,175,175,185,190,175,175,180,180,185,
180,165,180,175,180,180,165,170,180,185,185,190,190,165,170
-Lập bảng phân phối tần số theo lượng điện tiêu thụ theo chỉ số
-Lập bảng phân phối tần số theo lượng điện tiêu thụ theo nhóm chỉ số (5 nhóm) .
*Truy cập https://www.easycalculation.com/statistics/frequency-distribution.php
Nhập dữ liệu vào Data Set , click Calculate
-Chọn Individual lập bảng phân phối tần số theo dữ liệu rời rạc .
-Chọn Group , Number of Group (số nhóm) lập bảng phân phối tần số theo dữ liệu nhóm .
Click Frequency Distribution
f. Bảng tích lũy và đồ thị .
Ví dụ 14. Điều tra về chiều dài của trái dưa leo (đơn vị : cm ) sau khi thu hoạch 4 đợt có số liệu dưới đây
44,16,17,20,37,21,22,24,28,25,
25,28,27,36,11,26,29,30,26,41,
28,26,28,19,30,27,31,33,27,25,
32,34,24,33,22,38,14,40,26,35
-Lập bảng tần số tích lũy .
*Truy cập https://www.easycalculation.com/statistics/cumulative-relative-frequency.php
Nhập dữ liệu vào Data Set , click Calculate
-Chọn Individual lập bảng phân phối tần suất theo dữ liệu rời rạc .
-Chọn Group , Number of Group (số nhóm) lập bảng phân phối tần suất theo dữ liệu nhóm .
Click Frequency Distribution
*Truy cập http://www.rapidtables.com/tools/line-graph.htm
Dựa vào bảng phân phối tần số tích lũy trên bạn thực hành theo các bước sau
Graph title: Chiều dài trái - tần số tích lũy
Horizontal axis label: Chiều dài trái dưa leo (cm)
Vertical axis label: Tần số tích lũy - số lượng trái
Line1 data values: 2 6 14 28 34 38 40 (mỗi số cách 1 khoảng trắng )
Data labels: 11-15 16-20 21-25 25-30 31-35 36-40 41-45 (mỗi nhãn cách 1 khoảng trắng )
Line 1 Đồ thị tần số tích lũy
Click vào Draw Graph
Trần hồng Cơ
Ngày 03/01/2016
------------------------------------------------------------------------------------------- -
Bậc thềm tiến vào thánh đường của trí tuệ là biết sự ngu dốt của chính mình.
The doorstep to the temple of wisdom is a knowledge of our own ignorance.
Benjamin Franklin
