GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN . Chương 3- PHẦN 1 .

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Chương 3-

PHẦN 1 .

 

Trường hướng của phương trình vi phân .  
Trạng thái cân bằng và đường pha .
Ví dụ minh họa .

Bài tập thực hành . 






Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  



Trần hồng Cơ .
27/01/2013 .


****************************************************************************


This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.





1. Trường hướng ( trường độ dốc , trường vec tơ ) của phương trình vi phân .
1.1  Tiếp tuyến với đường cong .
Mỗi hàm khả vi là nghiệm của phương trình vi phân  đều có một tiếp tuyến tại một điểm trên đồ thị của hàm số đó và phương trình tiếp tuyến tại điểm 
M( xo , yo )  trên đồ thị có dạng  
y  -  yo  =  f ' (xo) ( x - xo )
Ví dụ . Khảo sát hàm số bậc 3 

 

Với những đoạn tiếp tuyến ngắn  tại các tiếp điểm ta phác họa được trường hướng của hàm số như sau đây 

1.2  Trường hướng của phương trình vi phân .
Xét phương trình vi phân  y ' = f ( x , y ) trong miền D  tại mỗi điểm  M( xo , yo )  thuộc  D ta tìm được giá trị   y ' ( xo ) và biểu diễn bởi các đoạn tiếp tuyến  ngắn . Việc giải phương trình vi phân thực chất là xác định  một  đường cong sao cho tiếp tuyến tại các điểm của nó trùng với hướng của trường tương ứng với điều kiện đầu cho trước .    
Để vẽ trường hướng của phương trình vi phân ta có thể sử dụng các công cụ sau .
a. Maple .
+ Dùng lệnh >DEplot với tùy chọn linecolor = white 

+ Dùng lệnh >dfieldplot với tùy chọn color = ...,thickness = ...  

Xem thêm Chương 2 - Phần 4 - 3.3 c.

b. wxMaxima .
+Dùng lệnh
plotdf(dydx,...options...)
plotdf(dvdu,[u,v],...options...)
plotdf([dxdt,dydt],...options...)
plotdf([dudt,dvdt],[u,v],...options...)
Vẽ trường hướng của phương trình vi phân 

Nếu cần có điều kiện đầu và phác họa đường cong tích phân ta thêm option
[trajectory_at,1,1],
[direction,forward],
[y,-5,5], [x,-5,5] vào lệnh plotdf như sau 

Để vẽ trường hướng của phương trình vi phân 

Khi m = 5 ta có hình sau 

c. GeoGebra .
+Bạn truy cập địa chỉ http://www.geogebra.org/cms/en/portable
hoặc http://geogebra.googlecode.com/files/GeoGebra-Windows-Portable-4-2-18-0.zip  tải về phần mềm GeoGebra dung lượng 40.6Mb . 
+Sau đó tải tập tin difeq_field.ggb (60.12Kb) và nhập liệu phương trình vi phân cần vẽ trường hướng . Ví dụ vẽ trường hướng của phương trình vi phân 
   y '  =  - 2 y / x   ,  y(1)  =  1

Kéo nút step ta sẽ có đường cong tích phân cần vẽ tương ứng với điều kiện đầu .

Dùng pointer di chuyển điểm M(1,1) .Tại điểm mới  M(4,12) đường cong tích phân có dạng .

d. DFIELD và PPLANE trực tuyến .
+Bạn truy cập địa chỉ http://math.rice.edu/~dfield/dfpp.html   nên dùng trình duyệt có tích hợp Java như Chrome hay Firefox .
Click vào DFIELD 2005.10

Ví dụ vẽ trường hướng của phương trình vi phân 
   y '  =  - 2 y / x   ,  y(1)  =  1
Nhập liệu như hình sau 

Click vào Graph Phase Plane .

Click vào điểm M(1,1) trên đồ thị ta nhận được đường cong tích phân như sau .

Xem tiếp : 
http://cohtran-toan-don-gian.blogspot.com/2013/01/gioi-thieu-ve-phuong-trinh-vi-phan_27.html




  
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.
-------------------------------------------------------------------------------------------
Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.
Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.
Albert Einstein .