Danh mục và lịch sử các đường cong - phần 2 .
Dưới đây là phương trình và tên gọi của một số đường cong thường xuất hiện trong vật lý , thiên văn và các ngành kỹ thuật khác . Cùng với công thức biểu diễn của các họ đường cong này là những chú thích lịch sử và giai thoại rất thú vị .
* Nguồn : http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Curves/Curves.html
* Cơ sở dữ liệu lưu trữ : http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/
Biên tập và trích dịch :
Trần hồng Cơ
30/04/2012 .
Bài viết này gồm 3 phần .
22 . Đường xoắn ốc Fermat .
Phương trình trong toạ độ cực :
 | ||||||
| ||||||
Đối với bất kỳ giá trị θ dương , hàm có hai giá trị tương ứng của r, một có giá trị dương và một mang những giá trị âm có cùng trị tuyệt đối . Do đó các đường xoắn ốc sẽ đối xứng qua đường phân giác thứ hai y =-x như có thể thấy từ những đường cong hiển thị ở trên.
Đường nghịch đảo của Spiral Fermat, khi chọn cực là tâm nghịch đảo cũng là một đường xoắn ốc có phương trình r^2= a^2 / θ.
Xem chi tiết tại http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Java/Fermats.html
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
23 . Đường hình lá ( folium ) .
Phương trình trong hệ toạ độ Descartes
Phương trình trong tọa độ cực
Dạng tổng quát của folium được cho bởi công thức trên. Folium có nghĩa là hình lá.
Có ba dạng đặc biệt của folium : folium đơn, folium đôi và folium ba. tương ứng với các trường hợp
b = 4a, b = 0, b = a
Các biểu đồ được vẽ ở mang là folium đơn giản.
Xem chi tiết tại http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Java/Folium.html
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
24 . Đường hình lá Descartes .
Phương trình trong hệ tọa độ Descartes
Phưong trình trong hệ tọa độ cực
Các phương trình tiếp tuyến tại điểm t = p
là p (p^3 - 2) x + (1 - 2p^3) y + 3ap^2 = 0.
Đường cong đi qua gốc O lần thứ nhất tại t = 0 và tiến về gốc O lần thứ hai khi t --> + oo .
Xen chi tiết http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Java/Foliumd.html
 | ||||
|
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
25 . Đường cong Nephroid Freeths .
Phương trình trong tọa độ cực
Đây là đường cong strophoid của một đường tròn với cực O là tâm và điểm P cố định trên chu vi của đường tròn.Trong hình ở trên, O là gốc và P là nút nơi đường cong đi qua ba lần.
Nếu đường thẳng qua P song song với trục y cắt nephroid tại A khi đó ^AOP = 3π / 7. Điều này có thể được sử dụng để dựng một đa giác đều 7 cạnh . T.J. Freeths (1819-1904) là một nhà toán học Anh. Trong bài báo được xuất bản bởi Hội Toán học London vào năm 1879 ông đã mô tả đặc điểm của những strophoids khác nhau, bao gồm cả strophoid trisectrix.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
26 . Đường cong tần số .
Phương trình trong hệ tọa độ Descartes
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
27 . Đường cong Hyperbole .
Phương trình trong hệ tọa độ Descartes
Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes
Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes
Euclid và Aristaeus viết về các hyperbola tổng quát nhưng chỉ tập trung nghiên cứu một nhánh của nó , trong khi các hyperbola có được tên gọi hiện nay là do Apollonius , người đầu tiên nghiên cứu hai nhánh của hyperbola. Pappus cũng khảo sát tiêu điểm và đường chuẩn của một hyperbola .
Đường pháp bao ngoài của hyperbola với phương trình ở trên là đường cong Lame
 | ||
| Hyperbola là đường cong 2 nhánh , | nó là giao tuyến của | mặt phẳng và hình nón đôi |
*Nếu tâm của một hyperbola hình chữ nhật là tâm của phép nghịch đảo , hyperbola hình chữ nhật sẽ đảo ngược thành đường cong lemniscate.
*Nếu đỉnh của một hyperbola hình chữ nhật là tâm của phép nghịch đảo, hyperbola hình chữ nhật đảo ngược thành đường cong strophoid bên phải.
*Nếu tiêu điểm của hyperbola là tâm của phép nghịch đảo, hyperbola đảo ngược thành đường cong limacon.
*Trường hợp cuối cùng nếu các tiệm cận của hyperbola hợp một góc π / 3 với trục cắt hyperbola thì phép nghịch đảo ngược sẽ tạo ra một đường cong Trisectrix Maclaurin .
 |
| Hyperbola đơn vị ( a = b = 1 ) và hyperbola liên hợp |
 |
| Các đường conic Parabola , đường tròn , Ellipse và Hyperbola |
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
28 . Đường xoắn ốc Hyperbolic .
Phương trình trong hệ tọa độ cực
Pierre Varignon (1654-1722) là giáo sư toán học tại Collège Mazarin và sau đó là tại Collège Hoàng gia . Con đường đưa Pierre Varignon đến toán học là khi ông đọc tác phẩm Euclid , ông cũng đọc Géométrie Descartes ' , và sau đó ông quyết định cống hiến sự nghiệp mình cho khoa học và toán học. Ông là một trong những học giả người Pháp đầu tiên nhận ra giá trị của bộ môn giải tích. Những đóng góp chính của ông là trong lĩnh vực cơ học .
Nếu điểm cực là tâm của phép nghịch đảo , thì đường xoắn ốc hyperbolic r = a / θ đảo ngược thành đường xoắn ốc Archimedes r = aθ.
 |
| Pierre Varignon (Caen 1654 – December 23, 1722 Paris) |
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
29 . Đường cong Hypocycloid .
Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes
Những đường cong này đã được nghiên cứu bởi Dürer (1525), Desargues (1640), Huygens (1679), Leibniz, Newton (1686), de L'Hôpital (năm 1690), Jacob Bernoulli (1690), la Hire (1694), Johann Bernoulli (1695), Daniel Bernoulli (1725), Euler (1745, 1781).
Trường hợp đặc biệt là 3b = a khi đó ta thu được tricuspoid và khi 4b = a ta có đường astroid .
Đặt k = a / b khi đó đồ thị hypocycloid có dạng
Dưới đây là một trình Java minh họa Epicycloid và Hypocycloid . Di chuyển các thanh màu vang , tím , xanh và xanh cây để xem đồ thị các đường cong tương ứng .
===========================================
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
30 . Đường cong Hypotrochoid .
Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes
Những đường cong này được nghiên cứu bởi La Hire , Desargues, Leibniz, Newton và nhiều người khác.
Có bốn đường cong liên quan chặt chẽ với nhau . Đó là epicycloid , epitrochoid, hypocycloid và hypotrochoid và đều được vẽ từ một điểm P trên một vòng tròn bán kính b cuộn quanh một vòng tròn bán kính a cố định .
Đối với hypotrochoid, là một ví dụ trong số đó được hiển thị ở trên, vòng tròn bán kính b cuộn vào bên trong vòng tròn bán kính a. P là điểm có khoảng cách c tính từ tâm của vòng tròn bán kính b. Trong ví dụ này a = 5, b = 7 và c = 2,2.
Một số đồ thị và clip mô tả chuyển động hypotrochoid
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
31 . Đường pháp bao trong của đường tròn .
Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes
Phát minh ra một chiếc đồng hồ giữ thời gian chính xác trên biển là một vấn đề lớn và việc tìm một giải pháp đã được đặt ra trong nhiều năm . Vấn đề này có tầm quan trọng sống còn vì nếu biết được giờ GMT thì sau đó, giờ địa phương và kinh độ có thể dễ dàng tính được từ mặt trời .
 |
| Đường pháp bao trong của đường tròn |
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
32 . Đường cong Kampyle Eudoxus .
Phương trình trong hệ tọa độ Descartes
Phương trình trong tọa độ cực
Eudoxus là một học trò của Plato. Công trình chính của ông là trong lĩnh vực thiên văn học. Ông là người đầu tiên mô tả các chòm sao và đã phát minh ra thiên văn kế . Ông cũng giới thiệu các đề tài nghiên cứu về thiên văn-toán học vào Hy Lạp.
Eudoxus tìm thấy công thức để đo kim tự tháp hình nón và hình trụ. Tác phẩm của ông chứa các cơ sờ về tính toán cùng với nhiều nghiên cứu rất chặt chẽ về phương pháp khử ( vét cạn ) .
( Chú thích : Không nên nhầm lẫn với Eudoxus Cyzicus.
Eudoxus Cnidus (410 hoặc 408 BC - 355 hoặc 347 TCN) là một nhà thiên văn Hy Lạp, nhà toán học, học giả và học trò của Plato )
Clip mô tả đồ thị đường cong Kampyle , thay đổi theo a , b
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
33 . Đường cong Kappa .
Phương trình trong hệ tọa độ Descartes
Phương trình trong tọa độ cực
Các đường cong kappa cũng gọi là đường cong Gutschoven. Lần đầu tiên được nghiên cứu bởi G. van Gutschoven khoảng 1662. Các đường cong này cũng được Newton nghiên cứu và một số năm sau đó bởi Johann Bernoulli.
 | ||||
|
34 . Đường cong Lamé .
Phương trình trong hệ tọa độ Descartes
*Các đường cong được vẽ ở trên là trường hợp n = 4. Đối với số mũ nguyên n đường cong tiệm cận với một hình chữ nhật khi n --> oo .
*Các trường hợp đặc biệt khi n = 2/3 đường cong là Astroid, khi n = 3 ta có đường cong thường được gọi là đường phù thuỷ Agnesi.
 |
| Gabriel Léon Jean Baptiste Lamé (July 22, 1795 – May 1, 1870) was a French mathematician. |
 |
| The Witch of Agnesi with labeled points |
 |
| An animation showing the construction of the Witch of Agnesi |
35 . Đường cong Lemniscate Bernoulli .
Phương trình trong hệ tọa độ Descartes
Phương trình trong tọa độ cực
có hình dạng giống như số 8 ( hình một nút, hoặc cái nơ của một ruy băng ) mà ông gọi là lemniscus xuất phát từ tiếng Latin (một mặt dây ruy băng ').
 | ||||
|
Jacob Bernoulli đã không nhận thức rằng đường cong được mô tả này chỉ là một trường hợp đặc biệt của một đường Oval Cassinian đã được Cassini mô tả vào năm 1680.
Các tính chất chung của lemniscate được phát hiện bởi của Giovanni Fagnano vào năm 1750. Các công trình khảo sát của Euler về độ dài của vòng cung của đường cong (1751) sau này đã dẫn đến việc nghiên cứu các hàm số elliptic .
Phương trình lưỡng cực của lemniscate có dạng
rr '= a^2 / 2.
 |
 |
| Mô hình 3D đường số 8 |
Ông đã hoàn thành nghiên cứu đầu tiên tại trường Cao đẳng Clementine thành phố Rome. Mặc dù tự học toán , nhưng ông đã đạt được tầm cỡ quốc tế , nổi tiếng nhờ những đóng góp đáng kể về nhiều chủ đề khác nhau. Ông là người đề xuất phương pháp mới giải các phương trình II, III và IV và phát hiện ra công thức để tính toán trọng tâm tam giác . Trong số các nghiên cứu của ông về lemniscate , Fagnano giới thiệu các phép biến đổi giải tích từ đó đã có những đóng góp vào việc phát triển các hàm elliptic . Năm 1750 ông viết hai tuyển tập kết quả các công trình nghiên cứu có tựa đề "Sản xuất toán học" ( Production Mathematics ) . Trong đó quan trọng nhất là những nghiên cứu về tổ hợp, đặc biệt về xổ số.
Giulio Fagnano rất có công trong việc hỗ trợ cho một số nhà toán học trẻ đương thời , trong đó có Joseph Lagrange. Ông có 12 người con , John con ông , cũng là người đã theo bước chân của cha mình trong các lĩnh vực Toán học. Ông là thành viên của Hội Hoàng gia London và Viện Hàn lâm Khoa học Berlin. Fagnano mất tại thành phố quê hương của mình ngày 26 tháng 9 năm 1766 trước khi được bầu vào Académie des Sciences ở Paris .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
36 . Đường hình ốc Limacon Pascal .
Phương trình trong hệ tọa độ Descartes
Phương trình trong tọa độ cực
 |
| Étienne Pascal (Clermont, May 2, 1588 - Paris, September 24, 1651) |
Thực ra Dürer mới chính là người phát hiện các đường cong trên khi ông đưa ra một phương pháp dựng hình , mặc dù ông không gọi nó là một limacon, trong tác phẩm Underweysung der Messung công bố năm 1525.
*Khi b = 2a sau đó limacon biến đổi thành cardioid .
*Nếu b = a thì có dạng một trisectrix. Chú ý rằng trisectrix này không phải là Trisectrix của Maclaurin.
*Nếu b ≥ 2a thì diện tích của limacon bằng (2a^2 + k^2) π.
*Nếu b = a (trường hợp được vẽ ở trên với a = b = 1) thì diện tích của vòng lặp bên trong là a^2 (π - 3 √ 3/2) và diện tích miền giữa các vòng là a^2 (π + 3 √ 3).
Một số clips về limacon với { a = 1 , b = 1 } ; { a = 1 , b = 2 } ;{ a = 1 , b = 3 } ;
37 . Đường cong Lissajous .
Phương trình trong hệ tọa độ Descartes
 |
| Jules Antoine Lissajous (March 4, 1822, Versailles – June 24, 1880 ) |
Các đường cong Lissajous có ứng dụng trong vật lý, thiên văn học và khoa học khácc.
Nathaniel Bowditch (1773-1838) là người Mỹ. Ông đã học tiếng Latin để đọc tác phẩm Newton's Principia và sau đó tự học các ngôn ngữ khác để nghiên cứu toán học . Tác phẩm New Practical Navigator (1802) và bản dịch Mécanique Celeste Laplace của ông là một công trình nổi tiếng tầm cỡ quốc tế.
,_American_mathematician_and_actuary.jpeg) | ||||
|
38 . Đường cong Lituus .
Phương trình trong tọa độ cực
 |
| Roger Cotes (10 July 1682 — 5 June 1716) |
Roger Cotes cũng là người đã biên tập các ấn bản thứ hai tác phẩm Principia của Newton. Ông đã có những đóng góp tiến bộ trong lý thuyết về logarit, tích phân và phương pháp số, đặc biệt là nội suy.
Ông cũng phát minh ra công thức cầu phương được gọi là công thức Newton-Cotes và lần đầu tiên giới thiệu những chi tiết được biết đến sau này là công thức Euler. Ông cũng là Giáo sư Plumian đầu tiên tại Đại học Cambridge từ năm 1707 cho đến khi mất 1716 .
39 . Đường Parabola nửa-bậc-3 Neile .
Phương trình trong hệ tọa độ Descartes
Đường cong này , đôi khi được gọi là parabol bán lập phương, được William Neile phát hiện vào năm 1657. Đó là đường cong đại số đầu tiên mà chiều dài của nó đã được các nhà toán học nghiên cứu và tìm được . Wallis công bố phương pháp này vào năm 1659 cho đường cong Neile . Van Heuraet ( người Hà Lan ) cũng đã sử dụng các đường cong này cho các công trình tổng quát hơn.
William Neile sinh tại Bishopsthrope năm 1637. Ông là học trò của Wallis và đã tỏ ra có rất nhiều tiềm năng . Đường cong đại số parabol Neile là đường cong đại số đầu tiên mà các nhà toán học tính được chiều dài của nó , trước đó chỉ có chiều dài cung của các đường cong siêu việt như cycloid và đường xoắn ốc logarit là đã được tính toán . Thật không may , năm 1670 Neile qua đời lúc còn trẻ trước khi ông có thể còn đạt được nhiều thành tựu khác nữa.
Năm 1687 Leibniz đặt vấn đề đi tìm đường cong mô tả một chất điểm rơi xuống dưới tác dụng lực hấp dẫn sao cho nó có thể di chuyển những khoảng cách thẳng đứng bằng nhau trong một khoảng thời gian bằng nhau. Huygens cho thấy rằng parabol bán lập phương $ x^3 = a.y^2 $thoả mãn tính chất này. Bởi vì đây là một đường cong đẳng thời. Parabol bán lập phương là đường pháp bao ngoài của một parabol .
Clip về Neile Parabola : http://ia601206.us.archive.org/13/items/NeilesParabola/NeileParabola.swf
 |
| Parabola nửa bậc 3 là đường cong tiếp xúc với các pháp tuyến của parabol |
40 . Đường cong Nephroid .
Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes
Nephroid có chiều dài là 24a và diện tích là $12π.a^2 $ .
Năm 1678, Huygens chỉ ra rằng nephroid là catacaustic của một đường tròn khi các nguồn ánh sáng ở vô cực. Ông đã chứng tỏ điều này trong tác phẩm Traité de la lumièrein 1690. Đây cũng là lời giải thích tại sao điều này đã không được phát hiện ra mãi cho đến khi lý thuyết sóng ánh sáng được ứng dụng. Airy đã đưa ra luận chứng lý thuyết về điều này năm 1838.
 |
| Richard Anthony Proctor (1837-1888). English astronomer and writer. Founded the scientific magazine 'Knowledge' 1881, drew maps of Mars, Venus and the Galaxy, wrote many books on astronomy including 'Saturn and His System' 1865 and 'Other Worlds than Ours' 1870. (Photo by Hulton Archive/Getty Images) Richard Anthony Proctor |
R .A. Proctor là một nhà toán học người Anh. Ông sinh năm 1837 và qua đời vào năm 1888. Năm 1878, ông xuất bản cuốn " hình học các đường cycloid " tại London . Đường bao trong của nephroid là đường sextic - Cayley hoặc là một nephroid khác vì chúng là những đường cong song song nhau .
Nephroid cũng được xem là một đường Roulette
41 . Đường parabola phân kỳ Newton .
Phương trình trong hệ tọa độ Descartes
Newton đã phân loại các đường cong bậc 3 trong cuốn " Curves by Sir Isaac Newton in Technicum Lexicon " , NXB John Harris xuất bản ở London năm 1710. Trong phân loại các đường cong bậc 3 , Newton đưa ra bốn lớp phương trình . Lớp thứ ba của phương trình là một trong những đường cong ở trên mà Newton chia thành năm loại . Trong đó ở trường hợp thứ ba , Newton phát biểu :
Trong trường hợp thứ ba phương trình là yy = axxx + bxx + cx + d và định nghĩa một Parabola có nhánh phân ra từ một nhánh khác, và chạy ra vô hạn theo chiều ngược lại .
Trong trường hợp thứ ba phương trình là yy = axxx + bxx + cx + d và định nghĩa một Parabola có nhánh phân ra từ một nhánh khác, và chạy ra vô hạn theo chiều ngược lại .
Trường hợp phân chia thành năm loại này Newton đưa ra đồ thị điển hình cho từng loại . Năm loại này phụ thuộc vào nghiệm của biểu thức bậc 3 ở vế phải của phương trình.
 | ||||||
| ||||||
(i) Tất cả các nghiệm là thực và khác nhau : đồ thị là một Parabola phân kỳ có dạng chuông Bell, với hình Oval tại đỉnh của nó . Đây là trường hợp cho ta đồ thị đường cong như trên.
(ii) Hai nghiệm thực bằng nhau: một Parabola sẽ được hình thành , hoặc là đường cong Nodated có liên quan đến hình Oval, hoặc là đường Punctate , có được từ hình Oval vô cùng nhỏ.
(iii) Ba nghiệm thực bằng nhau: đây là Parabola Neile , thường được gọi là parabola bán-lập phương.
(iv) Chỉ có một nghiệm thực : Nếu hai nghiệm kia là phức , sẽ có một Parabola chính quy dạng hình chuông .
(ii) Hai nghiệm thực bằng nhau: một Parabola sẽ được hình thành , hoặc là đường cong Nodated có liên quan đến hình Oval, hoặc là đường Punctate , có được từ hình Oval vô cùng nhỏ.
(iii) Ba nghiệm thực bằng nhau: đây là Parabola Neile , thường được gọi là parabola bán-lập phương.
(iv) Chỉ có một nghiệm thực : Nếu hai nghiệm kia là phức , sẽ có một Parabola chính quy dạng hình chuông .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
42 . Đường parabola .
Phương trình trong hệ tọa độ Descartes
Trong thực tế , (nhưng Menaechmus đã không biết rằng) bài toán này không thể giải được bằng các phương pháp hình học sử dụng com-pa và thước kẻ . Menaechmus đã giải quyết nó bằng cách tìm các giao điểm của hai parabol x^2 = y và y^2 = 2x .
 |
| Apollonius of Perga (c.262–c.190 BC) |
Pascal khảo sát parabol là hình chiếu của một đường tròn và Galileo chứng tỏ rằng đạn đạo là đường cong parabol.
Gregory và Newton đã nghiên cứu các tính chất của parabol khi các tia sáng song song đều hội tụ tại tiêu điểm .
 |
| Tia tới song song trục chính tia ló hội tụ tại tiêu điểm của parabola . |
Xem chuyển động của các tiếp tuyến của parabola .
Biên tập và trích dịch :
Trần hồng Cơ
09/05/2012 .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Chúng ta phải biết và chúng ta sẽ biết .
Please join me, Dr. Robert Lopez, as I present my new webinar: "A Tale of Two Involutes". What will I be dicussing? Good question...
Trả lờiXóaThe evolute of a curve is a well-defined geometric object. The involute of a curve is described more colloquially in terms of a piece of string unwinding tautly from around the curve.
The evolute is unique. The involute is actually a member of a family of curves that turn out to be curves parallel to the original curve.
So in this webinar, we investigate the question "Is the involute of the evolute the original curve?" and we prosecute the investigation for the evolute and involutes of an ellipse. This means we have to find the evolute of the ellipse, then its involute, and finally decide whether or not the involute of the evolute is the original ellipse.
I hope to see you there, register here!
Sincerely,
Dr. Robert Lopez