Phần 14g . KHẢO SÁT HÀM SỐ - Đường tiệm cận .
DANH MỤC CÔNG CỤ GIẢI TOÁN TRỰC TUYẾN MATHEMATICA WOLFRAM | ALPHA .
Giới thiệu .
Bạn đọc truy cập vào đường dẫn http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen để sử dụng các widgets giải toán trực tuyến W|A Mathematica theo chỉ mục trong danh sách dưới đây .
Những widgets này đã được tác giả sắp xếp theo từng môn học và cấp lớp theo ký hiệu như sau :
D : Đại số . Ví dụ D8.1 widget dùng cho Đại số lớp 8 , mục 1 - Khai triển , rút gọn biểu thức đại số .
H : Hình học . Ví dụ H12.3 widget dùng cho Hình học lớp 12 , mục 3 - Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian .
G : Giải tích . Ví dụ : G11.7 widget dùng cho Giải tích lớp 11 , mục 7 - Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
GI : Giải tích cao cấp I . Ví dụ GI.15 widget dùng cho Giải tích cao cấp I , mục 15 - Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GII : Giải tích cao cấp II .
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
ĐẠI SỐ 8
D8.1 Khai triển , rút gọn biểu thức đại số
D8.2 Rút gọn phân thức
D8.3 Phân tích thừa số
D8.4 Nhân 2 đa thức
D8.5 Khai triển tích số ( có thể dùng để khai triển Newton )
D8.6 Phân tích thừa số
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
ĐẠI SỐ 10
D10.1 Giải phương trình nguyên Diophante
D10.2 Giải phương trình tuyệt đối
D10.3 Giải phương trình chứa tham số
D10.4 Giải phương trình đại số
D10.5 Giải phương trình từng bước
D10.6 Giải bất phương trình minh hoạ bằng đồ thị
D10.8 Tính giá trị biểu thức hàm số
D10.9 Giải bất phương trình đại số và minh hoạ bằng đồ thị
D10.10 Giải bất phương trình đại số - tìm miền nghiệm
D10.11 Giải phương trình đại số
D10.12 Giải phương trình vô tỷ
D10.13 Giải phương trình minh hoạ từng bước
D10.14 Giải phương trình dạng hàm ẩn
D10.15 Giải hệ thống phương trình tuyến tính , phi tuyến
D10.16 Giải hệ phương trình
D10.17 Vẽ miền nghiệm của bất phương trình đại số
D10.19 Tối ưu hoá hàm 2 biến với các ràng buộc
D10.20 Tìm giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành Ox , trục tung Oy
HÌNH HỌC 10
H10.1 Tính diện tích tam giác trong hệ toạ độ Oxy
H10.3 Khảo sát conic ( đường tròn , Ellipse , Parabola , Hyperbola )
H10.2 Tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng trong Oxy
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
ĐẠI SỐ 11
D11.1 Thuật chia Euclide dùng cho số và đa thức ( HORNER )
D11.2 Tính tổng nghịch đảo của n số tự nhiên
D11.6 Khai triển nhị thức Newton
GIẢI TÍCH 11
G11.1 Tính gíá trị một chuỗi số theo n
G11.2 Đa thức truy hồi
G11.3 Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số
G11.4 Tính giới hạn của chuỗi số khi $n \rightarrow \infty$
G11.5 Tìm hàm số ngược của hàm số cho trước
G11.6 Tìm đạo hàm của hàm số hợp - giải thích
G11.7 Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
G11.8 Tìm giới hạn của hàm số
G11.9 Tìm giới hạn của hàm số
G11.10 Tính đạo hàm hàm số có dạng U/V
G11.11 Tìm đạo hàm của hàm số cho trước
G11.12 Tìm đạo hàm của hàm số cho trước
G11+12.1 Tính đạo hàm ,tích phân , giới hạn , vẽ đồ thị
LƯỢNG GIÁC 11
L11.1 Giải phương trình lượng giác
L11.2 Giải phương trình lượng giác trên một đoạn
L11.3 Tìm chu kỳ của hàm số tuần hoàn
L11.4 Khai triển công thức lượng giác
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
ĐẠI SỐ 12
D12.1 Cấu trúc của số phức
D12.1 Giải phương trình mũ
D12.3 Giải phương trình chứa tham số
D12.4 Giải phương trình bất kỳ ( Bậc 2 , 3 , ... , mũ , log , căn thức )
D12.5 Giải phương trình mũ
GIẢI TÍCH 12
G12.1 Vẽ đồ thị biểu diễn phương trình
G12.2 Khảo sát hàm số hữu tỷ
G12.3 Vẽ đồ thị trong toạ độ cực (Polar)
G12.4 Tìm cực trị của hàm số
G12.5 Vẽ đồ thị hàm số 2D
G12.6 Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số
G12.7 Vẽ nhiều hàm số - Basic plot. To plot two or more functions, enter {f1(x), f2(x),...}
G12.8 Tìm điểm uốn của hàm số cho trước
G12.9 Tìm nghiệm của các phương trình y = 0 , y ' = 0 , y " = 0
G12.10 Tính tích phân bất định
G12.11 Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.12 Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.13 Tìm đường tiệm cận của hàm số
G12.14 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.15 Tìm giao điểm của hàm số đa thức và trục hoành Ox - Vẽ đồ thị .
G12.16 Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi (C1) , (C2)
G12.17 Vẽ đồ thị hàm số ( có đường tiệm cận )
G12.18 Vẽ đồ thị 2D , 3D
G12.19 Tìm hoành độ giao điểm giữa 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.20 Vẽ đường cong tham số 3D
G12.21 Tính diện tich mặt tròn xoay
G12.22 Tích thể tích vật tròn xoay (C) , trục Ox , x =a , x= b
G12.23 Thể tích vật tròn xoay
G12.24 Tích thể tích vật tròn xoay (C1) , (C2) , trục OX , x = a , x = b
G12.25 Khảo sát hàm số đơn giản
G12.26 Tìm cực trị của hàm số
G12.27 Tìm nguyên hàm của hàm số
G12.28 Tính tích phân xác định
HÌNH HỌC 12
H12.1 Tính khoảng cách 2 điểm trong 2D , 3D
H12.2 Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm trong không gian
H12.3 Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian
H12.4 Tìm công thức thể tích , diện tích hình không gian
H12.5 Vẽ đồ thị 2D , mặt 3D
H12.6 Tích có hướng 2 vector
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
GIẢI TÍCH CAO CẤP
GI.1 Vẽ đồ thị , mặt 3D
GI.2 Vẽ đồ thị , mặt 3D
GI.3 Tích phân 2 lớp
GI.5 Tích phân kép
GI.6 Tích phân bội 3
GI.7 Tích phân bội 3
GI.8 Tích phân suy rộng
GI.9 Chuỗi và dãy số
GI.10 Các bài toán cơ bản trong vi tích phân
GI.11 Vẽ hàm từng khúc ( piecewise ) - dùng để xét tính liên tục của hàm số
GI.12 Tính đạo hàm và tích phân một hàm số cho trước
GI.13 Vẽ đồ thị hàm số trong hệ toạ độ cực
GI.14 Tính đạo hàm riêng
GI.15 Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GI.16 Tính tổng chuỗi số n = 1...$\infty$
GI.17 Vẽ đồ thị 3 hàm số
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Bài viết sau đây mô tả các khái niệm toán học và hướng dẫn tính toán chi tiết bằng công cụ trực tuyến , bạn đọc có thể tham khảo những nội dung chính yếu được đề cập đến trong giáo trình toán phổ thông cùng với các ví dụ minh họa .
Một số website hữu ích phục vụ cho việc giảng dạy và học tập môn toán :
http://quickmath.com/
http://analyzemath.com/
http://www.intmath.com/
http://www.mathportal.org
https://www.mathway.com/
https://www.symbolab.com/
http://www.graphsketch.com/
http://www.meta-calculator.com/online/?home
http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen
https://www.geekandnerd.org/edu-courses/
14. KHẢO SÁT HÀM SỐ - Đường tiệm cận của hàm số .
14.10 Đường tiệm cận của hàm số .
14.10.1 Tìm đường tiệm cận của hàm số $y=f(x)$ .
a. Quy tắc chung .
*Đường tiệm cận đứng : $x= x_{0};lim_{x\rightarrow x_{0}}y(x)=\pm \infty $
*Đường tiệm cận ngang : $y= y_{0};lim_{x\rightarrow \pm \infty }y(x)=y_{0} $
*Đường tiệm cận xiên : $y= ax+b;lim_{x\rightarrow \pm \infty }y(x)=\pm \infty $
với $a=\lim_{x\rightarrow \pm \infty }\frac{f(x)}{x};b=\lim_{x\rightarrow \pm \infty}[f(x)-ax]$
TCĐ : Mẫu số = 0
TCN : Lấy tương đương bậc cao
TCX : Chia Horner - lấy phần thương ( Dư $\neq 0$ ; Dư $\rightarrow 0;x\rightarrow \pm \infty $ )
Ví dụ 1.
Tìm đường tiệm cận của hàm số $y =(x^2-x+1)/(x-1) $
Lời giải .
TCĐ : Mẫu số = 0 $ \Leftrightarrow x-1=0 $ hay $x=1$
Khi đó $lim_{x\rightarrow 1}y(x)=\pm \infty $
TCN : Lấy tương đương bậc cao , $lim_{x\rightarrow \pm \infty }y(x)=lim_{x\rightarrow \pm \infty }(x^2-x+1)/(x-1) =lim_{x\rightarrow \pm \infty }x^2/x = \pm \infty $
Như vậy hàm số không có TCN .
TCX : Chia Horner - lấy phần thương ( Dư $\neq 0$ ; Dư $\rightarrow 0;x\rightarrow \pm \infty $ )
Hàm số $y =(x^2-x+1)/(x-1) $ có thể viết lại $y=x+1/(x-1)$
Khi đó $lim_{x\rightarrow \pm \infty }1/(x-1) = 0 $
Phương trình TCX là $y=x$
$y = x + 1/(x - 1)$
Xem https://goo.gl/wVm5gs , https://goo.gl/E4kXb5
*Dùng widget G12.I.1 TIM DUONG TIEM CAN CUA HAM SO https://goo.gl/XXC4IJ
Tiệm cận đứng : $x=1$
Tiệm cận ngang : không có
Tiệm cận xiên : $y=x$
Ví dụ 2.
Tìm đường tiệm cận của hàm số $y =(x^2+3x+1)/(x^2-x-2)$
*Dùng widget G12.I.1 TIM DUONG TIEM CAN CUA HAM SO https://goo.gl/XXC4IJ
Tiệm cận đứng : $x=-1;x=2$
Tiệm cận ngang : $y=1$
Tiệm cận xiên : không có
Xem https://goo.gl/3Fqano
Ví dụ 3.
Tìm đường tiệm cận của hàm số $y =(1+cos(x))/(xsin(x))$
*Dùng widget G12.I.1 TIM DUONG TIEM CAN CUA HAM SO https://goo.gl/XXC4IJ
Tiệm cận đứng : $x=0;x=2n\pi$
Tiệm cận ngang : không có
Tiệm cận xiên : không có
Xem https://goo.gl/zrnXCX , https://goo.gl/78ueyJ
Ví dụ 4.
Hàm số $y = \frac{ \sqrt{3x^2+2x+1}}{\sqrt{2x+3}-x-1}$ có mấy đường tiệm cận ?
*Dùng widget G12.I.1 TIM DUONG TIEM CAN CUA HAM SO https://goo.gl/XXC4IJ
Kết luận :
Hàm số có 1 TCĐ : $x=\sqrt{2}$ và 2 TCN : $y= \pm \sqrt{3}$
Xem https://goo.gl/pBT6wP
14.10.2 Điều kiện tồn tại (ĐKTT) đường tiệm cận của hàm số .
a. Quy tắc chung .
***Điều kiện tồn tại (ĐKTT) đường tiệm cận của hàm số .
Như đã trinh bày ở trên
TCĐ : Mẫu số = 0 , ĐKTT phương trình : Mẫu số = 0 phải có nghiệm thực .
TCN : Lấy tương đương bậc cao , ĐKTT giới hạn của hàm số khi $x\rightarrow \pm \infty$ là hằng số thực .
TCX : Chia Horner - lấy phần thương ĐKTT phần Dư $\neq 0$ ; Lim Dư $\rightarrow 0;x\rightarrow \pm \infty $
b. Các ví dụ .
Ví dụ 1.
Tìm ĐKTT đường tiệm cận của hàm số $y=(x^2-3x+2m-1)/(2x - 1)$
Lời giải
*Dùng widget G12.I.1 TIM PHAN DU CUA HAM SO HUU TY https://goo.gl/vbqH0U
Khai triển tiệm cận Series[(x^2-3x+2m-1)/(2x - 1), {x, Infinity, 4}]
Cho phần dư $\neq 0$ , tìm được $m\neq 9/8$
Xem https://goo.gl/Ohl5vR
Ví dụ 2.
Tìm ĐKTT đường tiệm cận của hàm số $y=(x+2m-3)/(x + 1)$
Lời giải
Cách 1.
Tìm đạo hàm $y'=f'(x)=\frac{-2m+4}{(x + 1)^2}$
Cho $y' \neq 0 \Leftrightarrow -2m + 4 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq 2 $
Cách 2.
Chia tử cho mẫu bằng phương pháp Horner
$ y = (x+2m-3)/(x + 1 ) \Leftrightarrow y= 1 + (2 m - 4)/x $
Cho phần dư =/= 0 , vậy $2 m - 4 \neq 0 $ hay $ m \neq 2 $
*Dùng widget G12.I.1 TIM PHAN DU CUA HAM SO HUU TY https://goo.gl/vbqH0U
Cho phần dư =/= 0 , vậy $2 m - 4 \neq 0 $ hay $ m \neq 2 $
Ví dụ 3.
Tìm ĐKTT đường tiệm cận của hàm số $y=(mx^2+x+1) / (-mx+3)$ dạng phức tạp .
Lời giải.
+ Tìm phần dư bằng phép chia Horner ( hoặc chuỗi Laurent với cấp khai triển 3 ) [1].
+Tìm điều kiện của mẫu số ( Mẫu số = 0 phải có nghiệm thực ) [2].
Từ [1],[2] thu được ĐKTT đường tiệm cận .
Xem https://goo.gl/Xstw8L
*Dùng G12.I.1 TIM D.KIEN / HS CO TIEM CAN (bt17.2) https://goo.gl/yYh1xe
Nhập phần dư $m+12$ và mẫu số $-mx+3$
Xem https://goo.gl/VLM5FY
ĐKTT đường tiệm cận của hàm số : $m \neq 0 ; m \neq -12$
14.10.3 Tìm điều kiện để đường tiệm cận của hàm số đi qua điểm $M_0(x_0,y_0)$ .
a. Quy tắc chung .
***Tìm điều kiện tồn tại (ĐKTT) đường tiệm cận của hàm số .
Như đã trinh bày ở trên
TCĐ : Mẫu số = 0 , ĐKTT phương trình : Mẫu số = 0 phải có nghiệm thực .
TCN : Lấy tương đương bậc cao , ĐKTT giới hạn của hàm số khi $x\rightarrow \pm \infty$ là hằng số thực .
TCX : Chia Horner - lấy phần thương ĐKTT phần Dư $\neq 0$ ; Lim Dư $\rightarrow 0;x\rightarrow \pm \infty $
Thế tọa độ điểm $M_0(x_0,y_0)$ vào phương trình đường tiệm cận của hàm số , tìm được m .
b. Các ví dụ .
Ví dụ 1.
Tìm m để đường tiệm cận của hàm số $y=(x^2-2mx+3m-2)/(x+1)$ đi qua $M_0(-1,1)$
Lời giải
*Dùng widget G12.I.1 TIM PHAN DU CUA HAM SO HUU TY https://goo.gl/vbqH0U
ĐKTT đường tiệm cận của hàm số : $5m-1 \neq 0 ; m \neq 1/5$
Phương trình đường tiệm cận của hàm số là $y=x-2m-1$
Thế tọa độ điểm $M(-1,1)$ vào phương trình đường tiệm cận của hàm số
Vậy $m=-3/2$ ( so lại điều kiện $m \neq 1/5$ )
Phương trình DTC là $ y=x-2m-1= x +2$
Xem https://goo.gl/f8N6CZ
*Dùng widget G12.I.1 TIM D.KIEN / HS CO TIEM CAN (bt17.3) https://goo.gl/Mjnyf3
14.10.4 Tìm điều kiện để đường tiệm cận của hàm số song song với $(d) : y=kx+b$ .
a. Quy tắc chung .
***Tìm điều kiện tồn tại (ĐKTT) đường tiệm cận của hàm số .
Như đã trinh bày ở trên
TCĐ : Mẫu số = 0 , ĐKTT phương trình : Mẫu số = 0 phải có nghiệm thực .
TCN : Lấy tương đương bậc cao , ĐKTT giới hạn của hàm số khi $x\rightarrow \pm \infty$ là hằng số thực .
TCX : Chia Horner - lấy phần thương ĐKTT phần Dư $\neq 0$ ; Lim Dư $\rightarrow 0;x\rightarrow \pm \infty $
Đường tiệm cận của hàm số song song với $(d) : y=kx+b \Leftrightarrow a_{DTC}= k$.
Giải tìm được điều kiện .
b. Các ví dụ .
Ví dụ 1.
Tìm m để đường tiệm cận của hàm số $y=((m-2)x^2+2(m-1)x+1) / (-x+2)$ song song với $(d): y = -x+1$
Lời giải
*Dùng widget G12.I.1 TIM PHAN DU CUA HAM SO HUU TY https://goo.gl/vbqH0U
Xem https://goo.gl/nDbJ4B
ĐKTT đường tiệm cận của hàm số : $-8m -1 \neq 0 ; m \neq -1/8$
Đường tiệm cận của hàm số song song với $(d) : y=-x+1 \Leftrightarrow a_{DTC}= k \Leftrightarrow -m = -1$.
Vậy $ m = 1$ ( so lại điều kiện $m \neq -1/8$ )
Phương trình DTC là $ y=-mx-4m =-x-4$
14.10.5 Tìm điều kiện để đường tiệm cận của hàm số vuông góc với $(d) : y=kx+b$ .
a. Quy tắc chung .
***Tìm điều kiện tồn tại (ĐKTT) đường tiệm cận của hàm số .
Như đã trinh bày ở trên
TCĐ : Mẫu số = 0 , ĐKTT phương trình : Mẫu số = 0 phải có nghiệm thực .
TCN : Lấy tương đương bậc cao , ĐKTT giới hạn của hàm số khi $x\rightarrow \pm \infty$ là hằng số thực .
TCX : Chia Horner - lấy phần thương ĐKTT phần Dư $\neq 0$ ; Lim Dư $\rightarrow 0;x\rightarrow \pm \infty $
Đường tiệm cận của hàm số vuông góc với $(d) : y=kx+b \Leftrightarrow a_{DTC}= -1/k$.
Giải tìm được điều kiện .
b. Các ví dụ .
Ví dụ 1.
Tìm m để đường tiệm cận của hàm số $y=((2m+1)x^2+2(m+2)x+m-2) / (x-1)$ vuông góc với $(d): y =1/3 x-4$
Lời giải
*Dùng widget G12.I.1 TIM PHAN DU CUA HAM SO HUU TY https://goo.gl/vbqH0U
Xem https://goo.gl/vbqH0U
ĐKTT đường tiệm cận của hàm số : $5m +3 \neq 0 ; m \neq -3/5$
Đường tiệm cận của hàm số vuông góc với $(d) : y=1/3 x-4 \Leftrightarrow a_{DTC}= -1/k \Leftrightarrow 2m+1 = \frac{-1}{1/3}=-3$.
Vậy $ m = -2$ ( so lại điều kiện $m \neq -3/5$ )
Phương trình DTC là $ y=(2m+1)x+4m+5 =-3x-3$
14.10.5 Tìm điều kiện để đường tiệm cận của hàm số tạo với $(d) : y=kx+b$ một góc $\alpha$ .
a. Quy tắc chung .
Đường tiệm cận của hàm số tạo một góc $\alpha$ với $(d) : y=kx+b \Leftrightarrow tan\alpha = |a_{DTC}-k|/(1+ k.a_{DTC})$.
Giải tìm được điều kiện .
b. Các ví dụ .
Ví dụ 1.
Tìm m để đường tiệm cận của hàm số $y=((m-1)x^2+(2m+3)x+m+1) / (x+1)$ tạo với $(d): y = 2x+3$ một góc $\alpha=45$
Lời giải
*Dùng widget G12.I.1 TIM PHAN DU CUA HAM SO HUU TY https://goo.gl/vbqH0U
Xem https://goo.gl/vbqH0U
Đường tiệm cận của hàm số tạo một góc $\alpha=45$ với $(d) : y=2x+3 \Leftrightarrow tan45 = |a_{DTC}-2|/(1+ 2.a_{DTC})$ với $a_{DTC} = m-1$
Khi đó $tan45 = |(m-1)-2|/(1+ 2.(m-1))$
Giải phương trình này tìm được $m=4/3$
Xem https://goo.gl/aVov7N
Phương trình DTC là $ y=(m-1)x+m+4 = 1/3x+16/3$
Trần hồng CơĐường tiệm cận của hàm số vuông góc với $(d) : y=1/3 x-4 \Leftrightarrow a_{DTC}= -1/k \Leftrightarrow 2m+1 = \frac{-1}{1/3}=-3$.
Vậy $ m = -2$ ( so lại điều kiện $m \neq -3/5$ )
Phương trình DTC là $ y=(2m+1)x+4m+5 =-3x-3$
a. Quy tắc chung .
***Tìm điều kiện tồn tại (ĐKTT) đường tiệm cận của hàm số .
Như đã trinh bày ở trên
TCĐ : Mẫu số = 0 , ĐKTT phương trình : Mẫu số = 0 phải có nghiệm thực .
TCN : Lấy tương đương bậc cao , ĐKTT giới hạn của hàm số khi $x\rightarrow \pm \infty$ là hằng số thực .
TCX : Chia Horner - lấy phần thương ĐKTT phần Dư $\neq 0$ ; Lim Dư $\rightarrow 0;x\rightarrow \pm \infty $
Đường tiệm cận của hàm số tạo một góc $\alpha$ với $(d) : y=kx+b \Leftrightarrow tan\alpha = |a_{DTC}-k|/(1+ k.a_{DTC})$.
Giải tìm được điều kiện .
b. Các ví dụ .
Ví dụ 1.
Tìm m để đường tiệm cận của hàm số $y=((m-1)x^2+(2m+3)x+m+1) / (x+1)$ tạo với $(d): y = 2x+3$ một góc $\alpha=45$
Lời giải
*Dùng widget G12.I.1 TIM PHAN DU CUA HAM SO HUU TY https://goo.gl/vbqH0U
Xem https://goo.gl/vbqH0U
Đường tiệm cận của hàm số tạo một góc $\alpha=45$ với $(d) : y=2x+3 \Leftrightarrow tan45 = |a_{DTC}-2|/(1+ 2.a_{DTC})$ với $a_{DTC} = m-1$
Khi đó $tan45 = |(m-1)-2|/(1+ 2.(m-1))$
Giải phương trình này tìm được $m=4/3$
Xem https://goo.gl/aVov7N
Phương trình DTC là $ y=(m-1)x+m+4 = 1/3x+16/3$
Ngày 19/05/2016
-------------------------------------------------------------------------------------------
Love not the world, neither the things that are in the world. If any man love the world, the love of the Father is not in him. For all that is in the world, the lust of the flesh, and the lust of the eyes, and the pride of life, is not of the Father, but is of the world.
1 John 2:15-16 KJV
Chớ yêu thế gian cùng những gì trong thế gian. Nếu ai yêu thế gian thì sự kính yêu Thượng Đế không ở trong người ấy.
I Giăng 2:15
Register for MSRI's Fall 2017 Workshops in Berkeley
Trả lờiXóaEstablished researchers, postdoctoral fellows and graduate students are invited to apply for funding. It is the policy of MSRI to actively seek to achieve diversity in its workshops. Thus, a strong effort is made to remove barriers that hinder equal opportunity, particularly for those groups that have been historically underrepresented in the mathematical sciences. Women, minorities, mathematicians not located at research centers, recent PhDs, and graduate students are particularly encouraged to apply for funding.
We have received your feedback about Wolfram|Alpha. It can take some time for a newly created widget to appear in the gallery.
Trả lờiXóaClick on the "the real‐valued root" assuming link located directly below the input field to get your desired results.
See http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+(x%5E(1%2F3)%2Bx%5E2%2Bx%2B1)%2F(x%2B1)+,+x%3D-1
Please let us know if you have any other questions.
Best wishes,
Lindsay
The Wolfram|Alpha Team
www.wolframalpha.com