Danh mục các đường cong - phần 1 .

Danh mục và lịch sử các đường cong - phần 1 .

Dưới đây là  phương trình và tên gọi của một số đường cong thường xuất hiện trong vật lý , thiên văn và các ngành kỹ thuật khác . Cùng với công thức biểu diễn của các họ đường cong này là những chú thích lịch sử và  giai thoại rất thú vị .

* Nguồn : http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Curves/Curves.html

* Cơ sở dữ liệu lưu trữ : http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/

Biên tập và trích dịch :

Trần hồng Cơ
29/03/2012 .

 Bài viết này gồm 3 phần .

Phần 1 .  http://cohtran.blogspot.com/2012/04/danh-muc-cac-duong-cong-1  

Phần 2 . http://cohtran.blogspot.com/2012/04/danh-muc-cac-duong-cong-2.

Phần 3 . http://cohtran.blogspot.com/2012/09/danh-muc-cac-duong-cong-3.

 1.   Astroid   
 
   Phương trình trong hệ tọa độ Descartes :

   hoặc dạng tham số  :

 Astroid lần đầu tiên được Johann Bernoulli đề cập đến vào khoảng 1691-1692. Nó cũng xuất hiện trong các công trình của Leibniz của năm 1715. Đôi khi được gọi là tetracuspid vì lý do nó có 4 chỏm.
Astroid chỉ chính thức với tên gọi vào năm 1836 trong một cuốn sách xuất bản ở Vienna. Astroid được biết đến dưới các tên gọi khác nhau bao gồm cả cubocycloid và paracycle.
vào sau năm 1836 .
 

Chu vi của astroid là   6a   và diện tích của nó là  3πa^2 / 8.
Gradient của tiếp tuyến (T)  từ  một điểm với tham số p  là  : -tan (p) .

 Phương trình tiếp tuyến  (T)   :    x sin (p) + y cos (p) = sin (2p) / 2

(T) cắt trục Ox và Oy tại  X và Y tương ứng. Sau đó, các XY = a
Astroid được hình thành bằng cách lăn một vòng tròn bán kính a / 4 bên trong một vòng tròn có bán kính a  .
 

Astroid là điểm tụ quang của hình delta với tia song song theo hướng bất kỳ .

 2.  Bicorn ( đường mào gà )

   Phương trình trong hệ tọa độ Descartes :

 

Bicorn (còn gọi là đường mào gà ) là tên của một tập hợp các đường cong bậc 4 ( quartic ) nghiên cứu của Sylvester năm 1864. Các đường cong tương tự đã được Cayley nghiên cứu vào năm 1867.

Các bicorn đặc biệt khác được Sylvester và Cayley đưa ra từ phương trình bậc 4  ( quartic  ) khác nhau , nhưng dạng phương trình và đồ thị trên đây có dạng đơn giản hơn và chủ yếu là đồng dạng về đồ thị .

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

3.  Cardioid ( đường hình tim )

   Phương trình trong hệ tọa độ Descartes :

   Phương trình trong tọa độ cực :

r = 2a  ( 1 + cos θ )

 

 Cardioid là tên gọi đầu tiên của một đường cong được de Castillon viết trong một bài báo đăng ở tuyển tập  Philosophical Transactions of the Royal Society 1741 . Đó là quỹ tích của một điểm trên chu vi của đường tròn lăn không trượt trên chu vi của một đường tròn khác có cùng bán kính . Tên của phương trình này còn có nghĩa là "hình trái tim.

Năm 1708 La Hire  đã tìm ra công thức tính chu vi của nó , và do đó ông tuyên bố  là người đầu tiên phát hiện ra các đường cong Cardioid . Theo công thức nêu trên chu vi của nó  là 16a  . Cardioid  thật ra là một trường hợp đặc biệt của đường cong Limacon Pascal (Etienne Pascal) và như vậy, nếu nói một cách hợp lý , những nghiên cứu về đường cong này đã có từ rất lâu trước khi Castillon La Hire công bố .

Với bất kỳ gradient nào cho trước trên cardioid  luôn luôn có chính xác ba tiếp tuyến song song với nhau  . 

 Chiều dài của bất kỳ dây nhau thông qua các điểm đỉnh là 4a và diện tích của cardioid 6πa^2.

   Phương trình tham số cho cardioid, cụ thể là

    x = a ( 2cos t - cos 2t ), y = a (2sin t - sin 2t ).

Cardioid hình thành từ các tiếp tuyên của nó

Có một số đường cong khác, hình trái tim được do Kurt Eisemann (San
Diego State University, USA) cung cấp :

*     phương trình đường cong trong hệ Cartesian  :  

**  phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực :

 

Đường pháp bao của cardioid

Cardioid như là điểm tụ quang của đường tròn

======================+++++++++++++++++++++++++==========================

Generating a Cardioid I: One Circle Rolling around Another from the Wolfram Demonstrations Project by Jaime Rangel-Mondragon

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

4.  Cartesian Oval ( đường oval Descartes )

   Phương trình trong hệ tọa độ Descartes :

Đường cong này bao gồm 2 đường oval lồng nhau ,  là quỹ tích của một điểm P có khoảng cách là s và t từ hai điểm cố định S và T thỏa mãn :  s + mt = a. Khi  c  là khoảng cách giữa S và T phương trình đường cong có thể được biểu diễn  như trên.

Các đường cong này lần đầu tiên được Descartes nghiên cứu vào năm 1637 và đôi khi được gọi là "Hình bầu dục Descartes " .Đường cong cũng được nghiên cứu bởi Newton khi phân loại các đường cong bậc 3 ( cubic ) .

Oval Cartesian có phương trình lưỡng cực  :   r + mr '= a.

Nếu     thì  Oval Descartes ( C ) là một hình nón trung tâm  

Nếu    m = a / c   thì  đường cong là dạng đặc biệt thuộc họ Limacon Pascal (Étienne Pascal). Trong trường hợp này, hình bầu dục bên trong tiếp xúc với bên ngoài.
Hình bầu dục Cartesian là những đường cong anallagmatic. 

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

5.  Cassinian Ovals ( đường oval Cassini )

  Phương trình trong hệ tọa độ Descartes :

Các hình bầu dục Cassinian là quỹ tích của một điểm P di chuyển sao cho tích của 2 khoảng cách từ P đến  hai điểm cố định S và T [ trong trường hợp này điểm ]   là một hằng số $c^2$  . Hình dạng của đường cong phụ thuộc vào tỷ số  c / a  .  
* Nếu c > a  thì đường cong bao gồm hai vòng. 
* Nếu c < a  đường cong bao gồm một vòng đơn.  
* Nếu c = a đường cong có dạng Lemniscate Bernoulli ( là một trong tám đường cong kiểu mẫu giới thiệu bởi Jacob Bernoulli  ).
Cassinian ovals lần đầu tiên được Giovanni Cassini khảo sát vào năm 1680 khi ông đang nghiên cứu các chuyển động tương đối của Trái đất và Mặt trời. Cassini tin rằng mặt trời đi vòng quanh trái đất trên một trong các hình bầu dục, với Trái đất tại một tiêu điểm của hình bầu dục đó . Cassini đã giới thiệu các đường cong của mình 14 năm trước khi Jacob Bernoulli mô tả các lemniscate của mình .
Hình bầu dục Cassinian là đường cong anallagmatic . Họ đường cong này được xác định bởi phương trình lưỡng cực  :      .

Cassinian Oval vẽ ở dạng mặt 3D

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

6.  Catenary ( đường dây xích )

   Phương trình trong hệ tọa độ Descartes :

Dây xích có  hình dạng hoàn hảo của một chuỗi  , cố định ở 2 đầu và chịu tác động bởi lực hấp dẫn. Phương trình của nó do Leibniz, Huygens và Johann Bernoulli  đưa ra năm 1691, nhằm giải quyết các thách thức của vần đề đặt ra bởi Jacob Bernoulli  với mục đích là đi tìm phương trình của chuỗi đường cong '.

Huygens là người đầu tiên sử dụng tên gọi dây xích trong một bức thư cho Leibniz năm 1690 và David Gregory đã trình bày luận lý thuyết về dây xích vào năm 1690. Năm 1669  Jungius  đã bác bỏ ý tưởng của Galileo cho rằng đường cong của một chuỗi treo dưới tác dụng  lực hấp dẫn sẽ là một parabol.
Dây xích là quỹ tích của tiêu điểm thuộc một parabol lăn không trượt dọc theo một đường thẳng.
Năm 1744  Euler chỉ ra  rằng , một dây xích khi quay quanh  tiệm cận của nó sẽ  tạo ra mặt cực tiểu duy nhất .


-----------------------------------------------------------------------------------------------------
7.  Cayley's sextic  ( đường bậc 6 Cayley )

   Phương trình trong hệ tọa độ Descartes :

 Phương trình trong tọa độ cực :

Đường cong này do Maclaurin phát hiện đầu tiên , nhưng công trình nghiên cứu chi tiết thuộc về Cayley  .  Cayley's sextic do RC Archibald đặt tên để phân loại các đường cong trong một bài báo xuất bản ở Strasbourg vào năm 1900.  Đường pháp bao của Sextic Cayley là một đường cong nephroid.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------
8.  Circle  ( đường tròn )

   Phương trình trong hệ tọa độ Descartes :

 Phương trình tham số

Phương trình trong tọa độ cực :

  r  = a      

Các nghiên cứu về đường tròn được lịch sử ghi lại từ rất lâu . Việc phát minh ra bánh xe là một phát hiện cơ bản và có giá trị nhất về đường tròn. Người Hy Lạp vẫn xem người Ai Cập như là những người tiên phong phát minh về hình học. Ahmes tác giả của bản văn papyrus  Rhind, đã đưa ra một quy tắc để xác định diện tích của một vòng tròn tương ứng với  số  π = 256/81 hoặc khoảng 3,16.

Các định lý đầu tiên liên quan đến vòng tròn do Thales khoảng năm 650 trước Công nguyên. Sách III về các yếu tố của hình học Euclid đã đề cập đến tính chất của đường tròn và các bài toán liên quan đến đa giác.

Một trong những bài toán cổ Hy Lạp là  tìm kiếm một hình vuông có diện tích bằng với một đường tròn cho trước và Anaxagoras ( 450 BC )  được ghi nhận là nhà toán học đầu tiên nghiên cứu vấn đề này. 
Diện tích của đường tròn  là  π.a^2 và chu vi  là 2πa .




-----------------------------------------------------------------------------------------------------

9.  Cissoid of Diocles ( đường cissoid Diocles )

   Phương trình trong hệ tọa độ Descartes :

 $ y^2 =  x^3/(2a-x) $

Phương trình trong tọa độ cực :

   

Đường cong này (có nghĩa là " hình ivy ") được Diocles phát hiện khoảng 180 trước Công nguyên khi ông giải quyết bài toán nhân đôi một khối lập phương bằng phương pháp hình học.
Tên gọi đầu tiên của nó xuất hiện trong công trình của Geminus khoảng 100 năm sau , Fermat và Roberval giải quyết bài toán tiếp tuyến vào năm 1634. Đến năm 1658, Huygens và Wallis tìm thấy diện tích giới hạn bởi đường cong và tiệm cận của nó là 3πa^2. Từ một điểm bất kỳ cho trước có thể có một hoặc ba tiếp tuyến với các cissoid.

Cissoid của Diocles là đường quay của đỉnh của một parabol trên một parabol bằng với chính nó .Newton đã đưa ra một phương pháp vẽ các Cissoid Diocles bằng cách sử dụng hai đoạn thẳng vuông góc bằng nhau  . Nếu di chuyển cặp đoạn thẳng này sao cho một đoạn luôn luôn đi qua một điểm cố định và điểm cuối của đoạn kia trượt dọc theo một đường thẳng thì quỹ tích trung điểm của đoạn thẳng trượt này tạo ra Cissoid  Diocles .Diocles là nhân vật cùng thời với  Nicomedes. Ông đã nghiên cứu cissoid trong khi giải quyết bài toán tìm cạnh của một khối lập phương có thể tích gấp đôi của một khối lập phương cho trước . Ông cũng nghiên cứu các vấn đề của Archimedes khi cắt một hình cầu bằng một mặt phẳng thành hai phần theo một tỷ lệ nhất định . Trong bài bình luận về công trình của Archimedes về hình cầu và hình trụ , khái niệm vê cissoid xuất hiện và được cho là của Diocles đề xuất .

Tác phẩm nghệ thuật "Landing Fly". Các đường cong màu tím là Cissoid của Diocles.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

10.  Cochleoid ( đường ốc sên Cochleoid )

   Phương trình trong tọa độ cực :

  

Cochleoid có nguồn gốc vào năm 1884 do các tác giả  Benthan và Falkenburg đề xuất có nghĩa là đường cong hình  ốc sên. J Peck đã thảo luận các vấn đề về đường cong này vào năm 1700. Các hình dạng đưa ra ở đây là do một  người Bỉ tên Joseph Neuberg  . 

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

11.  Conchoid ( đường vỏ sò Conchoid )

   Phương trình trong hệ tọa độ Descartes :

  Phương trình trong tọa độ cực :

  

Tên gọi này có nghĩa là dạng vỏ sò  do Nicomedes và các nhà toán học Hy Lạp  nghiên khoảng 200 trước Công nguyên ,  liên quan đến bài toán gấp đôi thể tích của khối lập phương . Nicomedes đã xác định được ba dạng khác biệt  trong họ đường cong  này.

Nicomedes là một nhà hình học trẻ tuổi , khoảng 180 trước Công nguyên .  Đường cong vỏ sò do là Pappus đặt tên và xem như là phát minh chính của Nicomedes . Như Nicomedes đã tiên đoán , vào thế kỷ 17  các nhà toán học rất quan tâm đến đường vỏ sò Conchoid  và có nhiều ứng dụng vào việc giải quyết các bài toán về nhân đôi khối lập phương và chia một góc làm 3 phần  .

Newton đã từng nói rằng nó phải là một đường cong 'chính tắc'. Conchoid có  x = b là một tiệm cận đứng và diện tích giới hạn bởi nhánh và tiệm cận là vô hạn . Diện tích của vòng lặp là :

 Đường conchoid có nhiều ứng dụng  trong việc xây dựng các tòa nhà thời cổ , phần  thân của các cột thẳng đứng thường  được thực hiện theo hình dạng của các vòng lặp của đường cong này .

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

12.  Conchoid of de Sluze ( đường vỏ sò Conchoid Sluze )

   Phương trình trong hệ tọa độ Descartes :

  Phương trình trong tọa độ cực :

  

Đường cong này lần đầu tiên được René de Sluze xây dựng vào năm 1662.

René Francois Walter Baron de Sluze vốn  là một nhà toán học nhưng có tầm ảnh hưởng rất quan trọng đối với giáo hội . Ông đã góp phần vào việc xác định tính chất  hình học của đường xoắn ốc ( spiral ) và phát minh ra phương pháp chung để xác định điểm uốn của đường cong.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

13.  Cycloid ( đường bánh xe cycloid )

   Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes : 

    x = at - h.sin t  ,   y = a - h.cos t  

Lấy một đường tròn bán kính = 1, đặt nó lên trục Ox . Lấy một điểm A cố định trên đường tròn đó. Khi đường tròn lăn (không trượt) trên trục Ox ,  điểm A quay/lăn theo và sẽ vẽ một hình cung, mang tên đường cycloid.
Nếu thay vì lấy một điểm trên đường tròn mà lấy một điểm bên trong đường tròn, sẽ được đường gọi tên là curtate cycloid.

Năm 1658 Christopher Wren chứng minh rằng nếu đường tròn có chu vi là C thì một chu kỳ đường cycloid có chiều dài 4 C

Đường cycloid sinh ra do sự lăn không trượt đường tròn trên đường thẳng

Cycloid là quỹ tích của một điểm có  khoảng cách  h từ  tâm của một đường tròn bán kính a  có thể lăn không trượt dọc theo một đường thẳng.  

Nếu h < a  nó là một cycloid curtate .
Nếu h > a  nó là một cycloid prolate .  
Nếu h = a  nó là một cycloid được vẽ ở trên . Cusa lần đầu tiên nghiên cứu cycloid khi ông đã cố gắng để tìm diện tích của một vòng tròn bằng cách tích phân. Mersenne đã đưa ra định nghĩa thích hợp của cycloid và nêu các tính chất rõ ràng chẳng hạn như độ dài của các cơ sở tương đương với chu vi của vòng tròn lăn . Mersenne đã cố gắng để tìm diện tích giới hạn bởi đường cong cycloid nhưng không thành công. Ông đặt ra các câu hỏi để các nhà toán học khác.
Galileo  đặt tên cho đường cong này vào năm 1599. Năm 1639, ông đã viết cho Torricelli về cycloid, nói rằng ông đã nghiên cứu các thuộc tính của nó trong suốt 40 năm. Galileo đã cố gắng để tìm diện tích bằng cách so sánh diện tích của vòng tròn tạo ra nhưng ông thất bại. Mersenne đưa ra bài toán diện tích cycloid  cho Roberval năm 1628, và mặc dù ông đã thất bại lúc đầu, bài toán này đã được  Roberval giải quyết năm 1634. Nếu h = a  diện tích giới hạn bởi một cung cycloid là 3πa^2. Năm 1658 Pascal, sau một thời kỳ dành cho nghiên cứu tôn giáo ,  ông bắt đầu suy nghĩ về các vấn đề trong lĩnh vực toán học. Ông đã giải quyết bài toán diện tích và trọng tâm của một cung cycloid bất kỳ ,các bài toán về diện tích và thể tích vật thể tròn xoay khi quay cycloid quanh trục Ox .
Năm 1696 Johann Bernoulli, trong Acta eruditorum, đã đưa ra bài toán xét xem những đường cong nào  đáp ứng các tính chất brachistochrone. Ông tìm được các tính chất brachistochrone của cycloid và công bố lời giải của mình vào năm 1697.  Leibniz, Newton, Bernoulli và de L'Hôpital cũng tập trung nghiên cứu về vấn đề này . Đây là một trong những bài toán biến phân đầu tiên và việc khảo sát này là  khởi điểm cho sự phát triển phép tính  biến phân ( the calculus of variations ) .Cả hai đường pháp bao ngoài  (evolute)  và trong (involute) của cycloid đều là một cycloid đồng dạng . Trong thực tế bài toán về đường pháp bao ngoài (evolute)  được nghiên cứu bởi Huygens , và cũng từ công trình về cycloid Huygens đã phát triển  lý thuyết chung của đường pháp bao ngoài  (evolute)  của các đường cong.

Tính chất tụ quang của cycloid

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

14.  Devil's curve ( đường cong quỷ )

   Phương trình trong hệ tọa độ Descartes :

  Phương trình trong tọa độ cực :

 

Đường cong  quỷ đã  được Gabriel Cramer nghiên cứu  năm 1750 và Lacroix vào năm 1810. Tên gọi này  xuất hiện trong Nouvelles Annalesin năm 1858.

Cramer (1704-1752) là một nhà toán học Thụy Sĩ. Ông trở thành giáo sư toán học tại Giơ-ne-vơ và đã có nhiều công trình  liên quan đến vật lý, hình học và lịch sử của toán học. Ông được biết đến với nghiên cứu của mình về định thức (determinants) (1750) nhưng cũng có những đóng góp cho công trình về các đường cong đại số (1750).
-----------------------------------------------------------------------------------------------------

15.  Double Folium ( đường cong lá đôi )

   Phương trình trong hệ tọa độ Descartes :

  Phương trình trong tọa độ cực :

 

Phương trình tổng quát đường hình lá  được cho bởi công thức

    (x^2 + y^2) .(  x^2 + b.x + y^2 )= 4a.x.y^2

hoặc, trong tọa độ cực

    r = -b. cosθ + 4a .cosθ. (sinθ)^2 .

Folium có nghĩa là hình lá. Có ba dạng đặc biệt của hình lá  , lá đơn , lá đôi và lá ba , tương ứng với các trường hợp  :   b = 4a  ,   b = 0  ,   b = a      trong phương trình tổng quát  đường hình lá  .

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

16.  Durer's shell curve ( đường vỏ sò Durer )

   Phương trình trong hệ tọa độ Descartes : 

     

Những đường cong xuất hiện trong công trình của  Dürer - Instruction in measurement with compasses and straight edge(1525). ( Những kiến thức về đo lường bằng compa và thước kẻ ) .

Dürer gọi đường cong đó là  " ein muschellini  "có nghĩa là  vỏ sò, nhưng vì nó không giống với  đường vỏ sò thực ( conchoid ) nên ta gọi đó là đường cong vỏ Dürer   ( muschellini = giống vỏ sò = shell ). Có một số trường hợp đặc biệt thú vị:
Trong công thức trên, chúng ta có:

b = 0     ;  đường cong  trở thành hai đường thẳng trùng nhau  x^2 = 0.

a = 0     ;  đường cong trở thành cặp đường thẳng x = b / √ 2  ,   x = - b / √ 2
cùng với đường tròn    x^2 + y^2 = b^2.

a = b / 2 ;  đường cong có đỉnh tại (-2a, a).

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

17. Figure Eight Curve ( đường cong hình số 8 )

   Phương trình trong hệ tọa độ Descartes :

  Phương trình trong tọa độ cực :

 

Đường cong này cũng được biết đến như các đường Lemniscate Gerono. Đây là công trình nghiên cứu của Camille-Christophe Gerono (1799 ~ 1891).

Lemniscate của Gerono còn được gọi là đường cong hình số 8 . Nó có thể được xây dựng như sau : cho đường tròn bán kính 1 tâm ở gốc O . P là một điểm trên vòng tròn. M là giao điểm của đường thẳng x = 1 và một đường nằm ngang đi qua P.  Gọi Q là giao điểm của OM và đường thẳng đứng qua P. Khi P di chuyển trên đường tròn  thì Q vẽ thành đường cong hình số  8 .

-----------------------------------------------------------------------------------------------------
18.  Ellipse   ( đường Ellipse )

   Phương trình trong hệ tọa độ Descartes :

 Phương trình tham số

Ellipse lần đầu tiên được nghiên cứu bởi Menaechmus. Euclid cũng đã viết về hình elip và Apollonius  đặt tên cho đường cong này như hiện tại . Pappus cũng có những đóng góp về tiêu điểm  và đường chuẩn của Ellipse .Năm 1602  Kepler cho biết ông tin rằng quỹ đạo của sao Hỏa là hình bầu dục, sau đó ông mới phát hiện ra rằng đó là một hình elip với mặt trời là một trong những tiêu điểm . Thực ra,  chính Kepler đã giới thiệu từ "tiêu điểm" và công bố phát hiện của ông vào năm 1609. Độ lệch tâm ( còn gọi là tâm sai ) của quỹ đạo hành tinh khá nhỏ (tức là chúng gần với vòng tròn).  Tâm sai của sao Hỏa là 1/11 và của Trái đất là 1/60. Năm 1705, Halley đã cho thấy rằng các sao chổi, mà bây giờ được đặt tên của  ông ,  di chuyển trong một quỹ đạo hình elip mặt trời. Tâm saicủa sao chổi Halley là 0,9675 do đó, nó gần giống  một parabol (có tâm sai là 1). Diện tích của hình elip là  πab.  Không có công thức chính xác cho chu vi của một hình elip biểu diễn theo các hàm số sơ cấp và điều này đã dẫn đến việc nghiên cứu các hàm số eliptic . Ramanujan, trong năm 1914, đưa ra chu vi  xấp xỉ là   π { 3(a + b) - √[(a + 3b)(3a + b)] }

Đường pháp bao ngoài của ellipse với phương trình ở trên là đường cong Lamé .

 

Ellipse là đường cắt giữa hình trụ và mặt phẳng nghiêng

-----------------------------------------------------------------------------------------------------
19.  Epicycloid   ( đường Epicycloid )

   Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes :

Có bốn đường cong liên quan chặt chẽ đến Epicycloid gồm có   Epicycloid, Epitrochoid, Hypocycloid và Hypotrochoid  là quỹ tích một điểm P trên đường tròn bán kính b lăn không trượt trên một đường tròn bán kính  a  cố định. Đối với Epicycloid , một  trong số ví dụ được hiển thị ở trên, đường tròn bán kính b lăn bên ngoài của đường tròn bán kính a  . P là điểm trên chu vi của đường tròn bán kính b. Đối với ví dụ ở đây ta có  a = 8 và b = 5  . 
Một số nhà toán học đã quan tâm nghiên cứu đến epicycloid như  Dürer (1525), Desargues (1640), Huygens (1679), Leibniz, Newton (1686), de L'Hôpital (năm 1690), Jacob Bernoulli (1690), la Hire (1694), Johann Bernoulli (1695), Daniel Bernoulli (1725), Euler (1745, 1781) .

Trường hợp đặc biệt a = b ta có đường cardioid . Nếu a = 2b  ta thu được đường cong nephroid  .
Nếu a = (m - 1) b với  m   là một số nguyên  , chu vi của epicycloid là  8bm  và diện tích của nó là πb^2 (m^2 + m) .

Đường pháp bao liên tục của epicycloid 6 đỉnh .

Đường pháp bao của epicycloid 4 đỉnh

-----------------------------------------------------------------------------------------------------
20.  Epitrochoid   ( đường Epitrochoid )

   Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes :

Có bốn đường cong liên quan chặt chẽ với Epitrochoid gồm Epicycloid , Epitrochoid, Hypocycloid và Hypotrochoid . Epitrochoid  là quỹ tích điểm P trên một đường tròn bán kính b lăn không trượt trên một đường tròn bán kính a  cố định .

Đối với epitrochoid, một trong số ví dụ nêu trên , đường tròn bán kính b lăn không trượt bên ngoài đường tròn bán kính a . P là điểm có khoảng cách là c tính từ tâm của đường tròn bán kính b. Đối với ví dụ này ta có  a = 5, b = 3 và c = 5 (P chuyển động bên trong vòng tròn bán kính a  ).

Một ví dụ về epitrochoid xuất hiện trong công trình của  Dürer - Những kiến thức về đo lường bằng compa và thước kẻ  (năm 1525). Ông gọi chúng là đường cong nhện .

Những đường cong epitrochoid cũng được nghiên cứu bởi la Hire , Desargues, Leibniz, Newton và nhiều người khác .

Epitrochoid là một họ đường cong cycloid , cũng là trường hợp đặc biệt về đường Roullete.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

21.  Equiangular Spiral ( đường xoắn ốc đẳng giác )

   Phương trình trong tọa độ cực :

  

Đường xoắn ốc đẳng giác và cát tuyến của nó

Đường xoắn ốc đẳng giác được phát minh bởi Descartes năm 1638.  Trong công trình nghiên cứu độc lập của Torricelli ông cũng đã tìm thấy chiều dài của đường cong này.





Nếu P là điểm bất kỳ trên đường xoắn ốc thì chiều dài của đường xoắn ốc từ P đến tâm đường cong là hữu hạn , khoảng cách từ P đến cực là  d.sec(b) với d là khoảng cách của vector bán kính OP  . Jacob Bernoulli vào năm 1692 đã gọi tên đường cong  là Spira mirabilis  và nó được khắc trên ngôi mộ của ông ở Basel. Hiện tượng tự nhiên này thường xảy ra ở nhiều nơi như vỏ sò , vỏ ốc biển , khi sự phát triển của sinh vật là tỷ lệ thuận với kích thước của sinh vật ấy . Trong cuốn sách " Sự  tăng trưởng và hình dạng " của mình , Thompson D'Arcy đã dành cả một chương để đường cong này và mô tả điều xảy ra trong thiên nhiên như là kết quả của cuộn tròn một hình nón trên chính nó, hình ảnh này tương phản với các hình xoắn ốc của Archimedes được hình thành bằng cách cuộn một hình trụ .
Đường xoắn ốc tạo ra một góc không đổi b với bất kỳ vector bán kính nào . Trong trường hợp đặc biệt, khi b = π / 2  ta có được một đường tròn. Đối với các đường cong được hiển thị ở trên thì  b = 7π/16. Vì vậy chiều dài của đường cong từ một điểm ở khoảng cách d tính từ điểm gốc cùng một vector bán kính là khoảng 5,126 d.
Johann Bernoulli cũng đã chứng minh rằng đường pháp bao ngoài  ( evolute )  và trong ( involute) của đường xoắn ốc đẳng giác là một đường xoắn ốc đẳng giác đồng dạng .

Đường xoắn ốc đẳng giác với góc 80 o

Đường pháp bao ngoài của đường xoắn ốc đẳng giác .

Biên tập và trích dịch :

Trần hồng Cơ
05/04/2012 .