KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM CÁC ĐƯỜNG CONG 2D - Phần 6 . Ka-Pa (33-42)

KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM CÁC ĐƯỜNG CONG 2D - 
Phần 6 . Ka - Pa (33-42)

Lời nói đầu .

 Như chúng ta đã biết loạt bài " DANH MỤC CÁC ĐƯỜNG CONG "  được trình bày trước đây gồm có 3 phần . Nội dung của những phần này là liệt kê các phương trình , tên gọi  cùng các giai thoại và chú thích lịch sử của một số đường cong thường xuất hiện trong toán học , vật lý , thiên văn và nhiều ngành kỹ thuật khác .

Bạn đọc có thể theo dõi chi tiết trên các trang sau :

Phần 1 .  http://cohtran.blogspot.com/2012/04/danh-muc-cac-duong-cong-1  

Phần 2 . http://cohtran.blogspot.com/2012/04/danh-muc-cac-duong-cong-2.

Phần 3 . http://cohtran.blogspot.com/2012/09/danh-muc-cac-duong-cong-3.

Phiên bản mới nhất đăng trên
http://tusach.thuvienkhoahoc.com/wiki/Danh_mục_và_lịch_sử_các_đường_cong


Tiếp theo sau đây là chuyên mục " KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM CÁC ĐƯỜNG CONG 2D " ,
Mục đích của chuỗi bài viết này là khảo sát đồ thị các đường cong bằng các công cụ trực tuyến (online)  hoặc trình ứng dụng ( phần mềm offline ) .
Việc thực hành này là hết sức cần thiết và cũng mang lại nhiều kết quả lợi ích . Một mặt nó giúp chúng ta hiểu rõ hơn về các tính chất đặc trưng của các đường cong , mặt khác cũng là dịp làm quen với một số trình ứng dụng có quy mô lớn và tốc độ xử lý rất mạnh   . Từ đó chúng ta có thêm kiến thức về đồ họa phục vụ cho việc nghiên cứu hoặc giải quyết những bài toán cụ thể trong phạm vi chuyên môn của mình .

Xin trân trọng giới thiệu cùng bạn đọc .


Trần hồng Cơ 



Ngày 08 / 06 / 2014

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Chào các bạn , trong phần 5 chúng ta đã khảo sát và thực hành đồ họa các đường cong từ Fe đến Ka ( 22 - 32 ) bằng GP , GX và Maple V . Trong mục II của bài viết chúng ta đã làm quen một số lệnh và tùy chọn đồ họa 2D cho trình ứng dụng Maple V . Ở phần 6 này chúng ta sẽ tiếp tục với các khái niệm xây dựng đường cong , sử dụng các trình ứng dụng hoặc các công cụ trực tuyến vẽ đồ thị và tìm hiểu các lệnh đồ họa 3D của Maple V .
Tương tự như trước kia , phần lưu trữ ở cuối mỗi tiểu mục bao gồm những tài liệu ( dạng pdf , nb , ggb ,gsp ) , hình ảnh minh họa (jpg , png , gif )  và những tập tin multimedia (mov , flv ,swf ... ) về các đường cong để các bạn tiện tham khảo .

I . Vẽ đồ thị các đường cong từ  Ka - Pa  [33 - 42]  bằng trình ứng dụng và công cụ trực tuyến .

1.1   Kappa Curve (Đường cong Kappa)  [33]

A . Khái niệm .
- Cho điểm O và đường thẳng d , dựng OA _|_ d  . Từ O kẻ tia Ot  cắt d tại N , trên Ot lấy điểm M sao cho OM = AN .  Khi đó d là đường tiệm cận và quỹ tích điểm M là đường cong Kappa ( xem hình ) .


Chuyển động của điểm trên đường cong kappa được minh họa như sau
Từ điểm O dựng đường thẳng d1 song song với đường tiệm cận d . Từ O dựng tia Ot cắt đường cong kappa tại Z và M . Qua M dựng tia vuông góc với ZOM cắt d1 tại B . Khi M chạy trên đường cong kappa thì B chạy trên d1 và thỏa mãn   $\measuredangle OMB = 90^{\circ}$  ( xem hình )

Phương trình đường cong là  $a^2.x^2 =y^2.(x^2+y^2)$
Dạng tham số trong hệ tọa độ Descartes :
$ x = a. cos(t). cot(t) ,  y = a.cos(t) $

Trong hệ tọa độ cực
$r = a . cot θ$
+Chiều dài cung với  $\theta  \in  [\alpha,\beta]$
$L[\alpha , \beta]  \approx 0.3a.(\beta - \alpha) [\sqrt{cot^2\alpha+\frac{1}{sin^4 \alpha}}$ $+\sqrt{cot^2(0.3\beta+0.7\alpha)+ \frac{1}{sin^4(0.3\beta+0.7\alpha)}}$
$+ \sqrt{cot^2(0.7\beta+0.3\alpha)+ \frac{1}{sin^4(0.7\beta+0.3\alpha)}}]$

+Độ cong  $C(θ) = \frac{3csc^2θ - 1 }{a[cot^2θ+csc^4θ]^{3/2}}$
+Chu vi
+Diện tích giới hạn bởi đường cong và tiệm cận là
$S=4 . \int_{0}^{a}\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}=\pi a^2$

Các đường liên hợp
Xem   http://youtu.be/GYKdOsLVAt0

 B. Phương trình .
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$a^2.x^2 =y^2(x^2+y^2)$
a^2*x^2 =y^2*(x^2+y^2)

 Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes :
$ x = a. cost cot t ,  y = a.cost $
 x = a*cos(t)*cot(t) ,  y = a*cos(t)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
$r = a .cot(θ)$
r = a * cot(θ)

Nhập liệu bằng  DESMOS  với  r = a*cot(θ)

Xem hình động 

1.2   Lamé Curve (Đường cong Lamé)  [34]
Phương trình đường cong Lamé trong hệ tọa độ Descartes có dạng :
$(x/a)^n+(y/b)^n = 1$ , với a , b , n  là các hằng số .

A . Khái niệm .

- Lame đã nghiên cứu đường cong này với các trường hợp tổng quát cho n là số nguyên , cho một số kết quả như sau đây :

+ Nếu $n \in Q$  thì đường cong có tính chất đại số ,
+ Nếu $n \in  R - Q $ đường cong có tính chất vô tỷ .
+ Nếu $n \in N$  khi  $n \rightarrow \infty$  đồ thị đường cong tiệm cận với hình chữ nhật
+ Khi $n = 2/3$  đường cong thành astroid .
+ Khi $n = 2$  đường cong thành ellipse .
+ Khi $n = 5/2$  đường cong thành siêu ellipse .
+ Khi $n = 3 $ ta có đường cong phù thủy Agnesi ( xem hình )

Vài hình ảnh về đường cong Lame (đỏ) và đường đại số liên hợp tương ứng ( xanh cây )
Nguồn :   http://www.mathcurve.com/courbes2d/lame/lame.shtml

Xem hình động

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ef/Lame_anima.gif

Các đường liên hợp
Xem   http://youtu.be/G9XzU-xjqx4

 B. Phương trình .
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$(x/a)^n+(y/b)^n = 1$
(x/a)^n+(y/b)^n = 1

Nhập liệu bằng DESMOS với    $ a  , b  \in [ 1, 5] $  và  $n  \in  [-10,10]$
Xem trực tuyến    https://www.desmos.com/calculator/2aue9ls2i4

1.3   Lemniscate of Bernoulli (Đường cong Lemniscate Bernoulli)  [35]

A . Khái niệm .
-Cho hai điểm cố định F1 , F2 ( tiêu điểm ) và điểm M lưu động trong mặt phẳng . Quỹ tích những điểm M thỏa mãn tính chất :
Tích khoảng cách hai bán kính qua tiêu điểm F1 , F2 bằng bình phương nửa tiêu cự $(F1F2/2)^2$ là đường cong lemniscate Bernoulli  (xem hình ) .

Nếu F1(-c,0)  và  F2(c,0)  thì   $MF1.MF2 = c^2$  , khi đó :
+Phương trình trong hệ tọa độ Descartes là
$(x^2+y^2)^2 = a^2.(x^2-y^2)$  với  $a = c \sqrt{2}$
+ Đổi sang hệ tọa độ cực , đường cong có dạng
$ r^2 = a^2.cos(2θ)$  với  $\theta  \in  (- \pi/4 , \pi/4) $  và    $\theta  \in  (3 \pi/4 , 5 \pi/4) $
+ Trong hệ tọa độ Descartes phương trình tham số là
$x = \frac {a.sint}{1+cos^2t}$
$y = \frac {a.sint.cost}{1+cos^2t}$  với $t = arccos[tan(\theta)]$

+Chiều dài cung
$L=2a\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\sqrt{\frac{1}{cos2t}}dt=2a\sqrt{2}K\left ( \frac{1}{2} \right )$
hay $L=a \frac{\sqrt{2}\pi^{3/2}}{\Gamma \left ( 3/4 \right )^{2}}  $
( xem  http://www.wolframalpha.com/input/L )
công thức gần đúng
$L \approx  5.2441 a $  ( xem  http://www.wolframalpha.com/input/K )

+Độ cong  $C(t)=\frac{x'y''-x''y'}{(x'^2+y'^2)^{3/2}} $
$C(t)=\frac{3\sqrt{2}cost}{a\sqrt{3-cos2t}} $
+Chu vi  $L \approx  5.2441 a $
+Diện tích giới hạn
 $S=2\left ( \frac{1}{2}\int r^2 d\theta  \right )=a^2\int_{- \pi/4}^{\pi/4} cos2 \theta d\theta = a^2$

Xem chi tiết :    https://www.geogebratube.org/material/iframe/id/45239
                        http://www.geogebratube.org/material/show/id/89378

Các đường liên hợp
Xem   http://youtu.be/aQ1IP10O7_E

 B. Phương trình .

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$(x^2+y^2)^2 = a^2.(x^2-y^2)$
(x^2+y^2)^2 = a^2*(x^2-y^2)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
$r^2 = a^2cos2θ$
r^2 = a^2*cos(2*θ)

Nhập liệu bằng GP   r  =  a*sqrt(2*t)
Với  a = 1 , 2 , 3 , 4

Nhập liệu bằng FooPlot   với   r  =  a*sqrt(2*t)
Với  a = 1 , 2 , 3 , 4

Xem    http://fooplot.com/LEMNISCATE_OF_BERNOULLI_cohtran MMPC-VN

1.4   Limacon of Pascal (Đường hình ốc Limacon Pascal)  [36]

A . Khái niệm .
Limacon là đường cong thuộc họ anallagmatic, được định nghĩa như một đường roulette hình thành từ một đường tròn lăn không trượt bên ngoài một đường tròn có cùng bán kính .
-Trong hệ tọa độ Descartes đường cong có phương trình biểu diễn :
$b^2(x^2+y^2) = (x^2+y^2-2ax)$
-Hoặc trong hệ tọa độ cực :
$r = b +2acos(θ)$
-Dạng tham số đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$x = a+bcost + acos2t ; y = bsint + asin2t$

+Một vài trường hợp đặc biệt :
Khi  $b \geq  4a$  limacon là đường cong lồi .
Khi  $b > 4a > 2a$  limacon bị khuyết .
Khi  $b < 2a$ limacon có vòng lặp trong .
Khi  $b = 2a$  đường cong thành cardioid.
Khi  $b = a$  đường cong thành trisectrix.
Lưu ý rằng trisectrix này không phải là Trisectrix  Maclaurin.

Nếu $b ≥ 2a$ thì diện tích của limacon $S = (2a^2+k^2) \pi$
Nếu $b = a$  thì :
-Diện tích của vòng lặp bên trong là
$S_{innerloop}=(\pi - 3/2. \sqrt{3}).a^2$
-Diện tích miền giữa các vòng là
$S_{between} = (\pi+3 \sqrt{3}).a^2$

Dùng Maple V tính diện tích

Với dạng tham số đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$x = a+bcost + acos2t ; y = bsint + asin2t$
+Chiều dài cung
$L(t)=(4a+2b)E( \frac{t}{2},\frac{2 \sqrt{2ab}}{2a+b})$
Trong đó  $E(\phi ,k)$ là tích phân elliptic loại 2
+Chu vi
Khi $t = 2 \pi$  ta có  $C=(8a+4b)E(\frac{2 \sqrt{2ab}}{2a+b})$

Trong đó  $E(k)$ là tích phân elliptic đầy đủ loại 2
Các bạn xem chi tiết tại
HÀM ĐẶC BIỆT - Phần 2 .
http://tinyurl.com/k6gmpho

Chúng ta có thể thấy đường limacon Pascal được xem như là roulette bằng mô hình dưới đây .
Xem chi tiết :
https://www.geogebratube.org/material/iframe/id/104929



Xem: Limacon Pascal 1 với { a = 1, b = 1 }
http://youtu.be/4H3RaUccxXA


Xem: Limacon Pascal 2 với { a = 1, b = 2 }
http://youtu.be/e-lBxDFJv14


Xem: Limacon Pascal 3 với { a = 1, b = 3 }
http://youtu.be/PJXknWITw-4

Các đường liên hợp
Xem     http://youtu.be/GI_4NlUMmks

 B. Phương trình .
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$b^2(x^2+y^2) = (x^2+y^2-2ax)$
b^2*(x^2+y^2) = (x^2+y^2-2*a*x)

Phương trình tham số đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$x = a+bcost + acos2t$
$y = bsint + asin2t$

x = a+b*cos(t) + a*cos(2*t) ; y = b*sin(t) + a*sin(2*t)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
$r = b +2a.cosθ$
r = b +2*a*cos(θ)

Nhập liệu bằng FooPlot      r  = b+ 2*a*cos(theta)
Thực hành với  {a = 1 , b = 1}  ;   {a = 1 , b = 2}  ;   {a = 1 , b = 3}
Xem chi tiết  :    http://fooplot.com/LIMACON_OF _PASCAL

1.5   Lissajous Curve (Đường cong Lissajous)  [37]

A . Khái niệm .
- Đường cong Lissajous còn có tên gọi là đường Bowditch , phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes có dạng :
$x = asin(nt+c) ;  y = bsin(Nt)$  (1)
Đôi khi được viết là
$x = Asin(at+ \delta) ;  y = Bsinbt$  (2)
- Trong phần sau , ta sẽ chỉ đề cập đến (1) với  N =  1.
Các trường hợp cần lưu ý :
+ Khi  $n:= 1$   ta có đường ellipse . Ví dụ xét  $a:=5 ; b:= 2 ; n:= 1 ; c:=  \pi/2 $
+ Khi  $ a = b $  ta có đường tròn . Ví dụ xét $a:=3  ; b:= 3  ;  n:= 1  ; c:= \pi/2 $
+ Khi $c = m \pi $  với $ m \in  Z $ ta có đường thẳng .
Đồ thị hàm tăng nếu  $m = 2k (chẵn)$  và giảm nếu $m = ( 2k+1) \pi$
Ví dụ xét $a:=4 ; b:= 3 ; n:= 1 ; c:= 8 \pi $   và   $a:=4  ; b:= 3  ;  n:= 1  ; c:= -3 \pi $
+ Khi $n = 2$  và  $c = \pi/2$ ta có parabola . Ví dụ xét $a:=5  ; b:= 3  ;  n:= 2  ; c:= \pi/2 $
+ Khi  $n \in Q$ ta có đường cong Lissajous đóng và tĩnh .
Ví dụ xét $a:=5  ; b:= 3  ;  n:= 2  ; c:= \pi/3$
Chỉ số $n = \frac{p}{q} ; p,q \in Q$ cho chúng ta biết về số thùy theo phương ngang là $p$ và số thùy theo phương dọc là $q$ .
Xét ví dụ $a:=5  ; b:= 3  ;  n:= 3 ; c:= \pi/3$  vì $n= \frac{3}{1}$  nên đồ thị có 3 thùy ngang , 1 thùy dọc .
Xét ví dụ $a:=5  ; b:= 3  ;  n:= 5/4 ; c:= \pi/4$ vì $n= \frac{5}{4}$  nên đồ thị có 5 thùy ngang ,4 thùy dọc .

+Khi  $n \in  R-Q$ ta có đường cong Lissajous hở và động.
Ví dụ xét $a:=5  ; b:= 3  ;  n:= \sqrt{2} ; c:= \pi$ 

Dưới đây là một đoạn Maple code của tác giả về đồ họa đường cong Lissajous , bạn đọc có thể ghi lại và chạy chương trình bằng Maple V .

> lissa:=proc(a,b,c,n,N,k)
> local diemM,curve,anicurve;
> print(`a=`,a);print(`b=`,b);print(`c=`,c);
> print(`n=`,n);print(`N=`,N);
> diemM:=[a*sin(n*t+c),b*sin(N*t)];print(`M`=diemM); 
> print(`Phuong trinh tham so cua duong cong trong he toa do Descartes` );
> print(x=a*sin(n*t+c));
> print(y=b*sin(N*t));

> with(plottools):with(plots): 
>anicurve:=animate([a*sin(n*t/u+c),b*sin(N*t/u),u=1..25],t=-k*Pi..k*Pi,color=blue,thickness=2,color=red,style=point,symbol=box,frames=80,title=`Lissajous curve`):
> curve:=plot([a*sin(n*t+c),b*sin(N*t),t=-k*Pi..k*Pi],color=grey,thickness=1,style=line):
> display(anicurve,curve);
> end:

https://www.geogebratube.org/material/iframe/id/89142

Vài đường dẫn hữu ích
http://devadutta.net/lissajous
http://jsxgraph.uni-bayreuth.de/wiki/index.php/Lissajous_curves

Các đường liên hợp
Xem   http://youtu.be/fAvMCxCKB7w

 B. Phương trình .
Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes:
$x = asin(nt+c) ;  y = bsin(Nt)$
x = a*sin(n*t+c)
y = b*sin(t)

Nhập liệu bằng Maple V
Thực hành với lissa
lissa(5,3,Pi/4,5/4,1,10);

lissa(5,3,Pi/4,sqrt(3),1,2);

1.6   Lituus Curve (Đường cong Lituus)  [38]

A . Khái niệm .

- Các đường cong lituus có nguồn gốc với tác giả Cotes năm 1722. Maclaurin đã sử dụng thuật ngữ này trong cuốn sách của ông tựa đề Harmonia Mensurarumin 1722.

Trong hệ tọa độ cực như hình vẽ  , lituus là quỹ tích của những điểm M di chuyển sao cho diện tich của cung tròn OAM là một hằng số.

Xét hình quạt tròn OAM ,  ta có r  =  OM , $ θ  = \angle AOM$  với  $θ  \in [0, 2 \pi]$ . Diện tích của cung tròn OAM  là $S_{\frown OAM} =\frac{1}{2} r^2.θ $  khi đó  $r^2 =2S_{\frown OAM}/ θ $  .
Đặt  $a^2=2S_{\frown OAM}$  , phương trình của đường lituus có dạng
 $r^2 = a^2/ θ $  với  $ a > 0$ .
Như vậy có thể xem lituus là đường cong trong hệ tọa độ cực có tính chất : góc cực $θ$  tỉ lệ nghích với bình phương bán kính cực $ r$ .
Điểm uốn của lituus tại  $(θ,r)= (1/2, a \sqrt{2})$   và    $(θ,r)= (1/2, - a \sqrt{2})$
Đường xoắn ốc lituus có 2 nhánh , $r = + \frac{a}{\sqrt{\theta}}$  và  $r = - \frac{a}{\sqrt{\theta}}$
Tiệm cận ngang của lituus là trục Ox .

+Chiều dài cung
 $L(\theta)=\frac{a}{2}\int_{\theta_0}^{\theta}\sqrt{\frac{4}{t}+\frac{1}{t^3}}dt$
với $\theta_0$  là điểm đầu .
 Ví dụ tính chiều dài cung từ $\theta  \in  [\pi /6 , \pi /3]$
$L(\theta)=\frac{a}{2}\int_{\pi/6}^{\pi/3}\sqrt{\frac{4}{t}+\frac{1}{t^3}}dt$

Hay $L(\theta)=$

Trong đó hàm $_2F_1(a,b;c;z)$  là hàm siêu hình học .
Các bạn xem chi tiết tại
HÀM ĐẶC BIỆT - Phần 2 .
http://tinyurl.com/k6gmpho

Công thức gần đúng
$L \approx  0.7263 a$

Tính toán trực tuyến  http://goo.gl/14AnbJ

+Độ cong  $C(θ)= \frac{2 θ^{3/2}.(4 θ^2-1)}{a(4 θ^2+1)^{3/2}}$
+Chu vi
+Diện tích

Xem chi tiết :
https://www.geogebratube.org/material/iframe/id/47373
 


Các đường liên hợp
Xem   http://youtu.be/Z00w9ADM6CA

B. Phương trình .

Phương trình tham số của đường cong trong hệ tọa độ Descartes :
$x = a.cost / \sqrt{t} ; y = a.sint /  \sqrt{t}$

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
r^2 = a^2/θ




Nhập liệu bằng DESMOS  r = sqrt(a^2/θ)  chọn  $a \in [-5,5]$
Xem đồ thị trực tuyến ,
https://www.desmos.com/calculator/mgztfjzxcl

Nhập liệu bằng FooPlot  r = sqrt(a^2 / theta)  chọn $a^2 = 1 ,2,3$
Xem đồ thị trực tuyến
http://goo.gl/rVH71r

1.7   Neile‘s Semi-Cubical Parabola (Đường Parabola nửa-bậc-3 Neile)  [39]

A . Khái niệm .
- Năm 1687 Leibniz đưa ra bài toán đi tìm quỹ tích mô tả một chất điểm rơi xuống dưới tác dụng lực hấp dẫn sao cho có cùng khoảng cách dịch chuyển thẳng đứng trong khoảng thời gian bằng nhau. Sau đó Huygens đã chỉ ra rằng đường parabol bán lập phương có phương trình $x^3 = a.y^2$ (1)  thoả mãn tính chất này , vì đây là một đường cong đẳng thời.
Họ đường cong (1) với tham số $a$  được mô tả bằng Desmos như sau


Xem đồ thị trực tuyến .
https://www.desmos.com/calculator/8yxe2m9qcq

Thực hiện phép đổi trục x thành y ta có $y^3 = a.x^2$  (2)
Họ đường cong (2) với tham số $a$  được mô tả bằng Desmos như sau


Xem đồ thị trực tuyến
https://www.desmos.com/calculator/xkoezj8egi

Trong phần dưới đây chúng ta sẽ khảo sát dạng (1)  : $x^3 = a.y^2$
hay   $y^2= A^2.x^3$    với $ A^2=1/a $
- Phương trình tham số của đường cong trong hệ trục tọa độ Descartes
$x=t^2 ; y = At^3$
Trong hệ tọa độ cực đường cong có phương trình là $r= \frac{1}{A}tan^2 \theta .sec^2 \theta$

+Chiều dài cung $L(t)= \frac{1}{27} (9t^2+4)^{3/2}- \frac{8}{27}$
+Độ cong  $C(t)= \frac{6}{t(9t^2+4)^{3/2}}$
+Chu vi
+Diện tích

Các đường liên hợp
Xem   http://youtu.be/7TwsjDIe8s0

B. Phương trình .

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$y^3 = a.x^2$
hay
$x^3 = a.y^2$

Nhập liệu bằng DESMOS  x^3 = a*y^2 , chọn tham số a cho họ đường cong (1)
Tương tự cho (2)   y^3 = a.x^2 .

Nhập liệu bằng GP  với  r  = 1/a*tan(t)^2*sec(t)^2
Thực hành với  a = 1 , 2 , 4 , 6

1.8   Nephroid (Đường cong Nephroid)  [40]

A . Khái niệm .
- Nephroid ( đường hình thận ) là trường hợp đặc biệt của đường epicycloid được hình thành bởi một đường tròn bán kính a lăn không trượt bên ngoài một đường tròn cố định có bán kính 2a ( xem hình ) .


Từ phương trình tham số của epicycloid trong hệ tọa độ Descartes:
$x = (a+b)cost - b.cos(a/b+1)t$
$y = (a+b)sint - b.sin(a/b+1)t$
+Nếu $a = 2b$  epicycloid biến đổi thành  nephroid., nên phương trình tham số của nephroid là
$2x = a(3cost - cos3t)$
$2y = a(3sint - sin3t)$

Đổi trục  $2x \rightarrow   x , 2y  \rightarrow  y$
Phương trình tham số của đường nephroid trong hệ tọa độ Descartes :
$x = a(3cost - cos3t)$
$y = a(3sint -sin3t)$

+Với n = 2  , epicycloid biến đổi thành nephroi và có phương trình biểu diễn trong hệ tọa độ cực là :
 $r^2 = \frac{a^2}{2}.[5-3cos(2t)]$ .
Khử tham số t , ta có phương trình dạng ẩn của nephroid trong hệ tọa độ Descartes là
$(x^2+y^2-4a^2)^3=108a^4y^2$


+Chiều dài cung $L(t) = 6a.(1-cost)$
+Độ cong  $C(t) = \frac{1}{3a}. csc(t)$  với  $t  \in  [0,\pi]$
+Chu vi   $P=24a$
+Diện tích  $S= 12 \pi a^2$

Xem  http://www.geogebratube.org/student/m43533



Các đường liên hợp
Xem   http://youtu.be/tTI50fbR0FQ

 B. Phương trình .

Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes:
$x = a(3cost - cos3t)$
$y = a(3sint -sin3t)$

x = a*(3*cos(t) - cos(3*t))
y = a*(3*sin(t) -sin(3*t))

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes
$(x^2+y^2-4a^2)^3=108a^4y^2$

+Phương trình đường cong nephroid trong hệ tọa độ cực là :
 $r^2 = \frac{a^2}{2}.[5-3cos(2t)]$ .
r^2 = 1/2*a^2*(5- 3*cos(2*t))

Nhập liệu bằng http://www.flashandmath.com/mathlets/calc/implicit/implicit.html
Thực hành  với a = 1 , 2 , 0.5

1.9   Newton’s Diverging Parabolas (Đường parabola phân kỳ Newton)  [41]

A . Khái niệm .
- Đường parabola phân kỳ Newton có phương trình biểu diễn trong hệ tọa độ Descartes là :
$ ay^2 = x^3 - 2bx^2 + cx $  ( a> 0 )

Đây là phân lớp thứ ba trong 5 lớp đường cong bậc 3 của Newton dựa trên nghiệm của phương trình bậc 3 theo x ở vế phải .
(i) Ba nghiệm thực phân biệt : đồ thị là một Parabola phân kỳ có dạng chuông Bell, với hình Oval tại đỉnh của nó.
(ii) Hai nghiệm thực bằng nhau ( nghiệm kép thực , nghiệm bội cấp 2 ) : một Parabola sẽ được hình thành, hoặc là đường Nodated có liên quan đến hình Oval, hoặc là đường Punctate, tạo thành từ hình Oval vô cùng nhỏ .
(iii) Ba nghiệm thực bằng nhau ( nghiệm bội cấp 3):  đây là Parabola Neile, thường được gọi là parabola bán-lập phương.
(iv) Một nghiệm thực , hai nghiệm kia là phức:  đồ thị là một Parabola chính quy dạng hình chuông.
Trong hình trên :
- Màu đỏ : hình oval elliptic bậc 3 .
- Màu xanh cây : đường acnodal bậc 3 .
- Màu xanh dương : nhánh elliptic bậc 3 .
- Màu vàng : đường crunodal bậc 3 .
- Màu magneta : đường bậc 3 có điểm lùi  ( nhọn ) .

Chúng ta có bảng phân loại chi tiết như sau

Trường hợp đặc biệt
+ Khi đường cong là crunodal bậc 3 , nếu $a = 3m$ ta có đường cong Tschirnhausen bậc 3 ; nếu $a = m$  ta có đường cong lá parabolic ; nếu  $m = 3a$  ta có đường cong Lissajous 


Xem đồ thị trực tuyến
https://www.desmos.com/calculator/9bhe91iqfq
hay  https://www.desmos.com/calculator/fhynxveosa


 B. Phương trình .
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
x^3 - 2*b*x^2 + c*x = a*y^2  ( a> 0 )


Nhập liệu bằng  DESMOS  với   x^3 - 2*b*x^2 + c*x = a*y^2
Chọn giá trị cho các thanh trượt a , b , c .

2.0   Parabola (Đường parabola)  [42]

A . Khái niệm .
- Về mặt hình học parabola là quỹ tích các điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường chuẩn D bằng với khoảng cách từ M đến tiêu điểm F ,  $MF =  d[M, D]$

Từ  $MF =  d[M, D]$  ta có  $\sqrt{(x-a)^2+y^2}=|x+a|$
Bình phương , rút gọn ta sẽ thu được   $y^2= 4ax$  . Nếu đặt tham số tiêu p là khoảng cách từ tiêu điểm F đến đường chuẩn D , khi đó p = 2a và phương trình parabola thành  $y^2= 2px$ .

+ Trong hệ toa độ cực phương trình parabola có dạng $r= -a.(1+tan^2 \frac{\theta}{2})$

Bằng cách tham số hóa ta có 

$x=at^2$

$y= 2at$

+Chiều dài cung   $L(t)=a(t \sqrt{1+t^2}+sinh^{-1}t)$

+Độ cong  $C(t)= \frac{1}{2a(1+t^2)^{3/2}}$

+Chu vi  

+Diện tích 

+ Clip sau đây mô tả quỹ tích điểm M tạo thành parabola .

+Tính chất quang học của parabola .
Tia tới song song trục chính , tia ló hội tụ tại tiêu điểm của parabola .

+Xem hình động mô tả tính chất quang học của parabola 

+Cách dựng tiếp tuyến tại một điểm P trên parabola có tiêu điểm F và đường chuẩn d  .
Từ điểm P trên parabola dựng  b _|_  d . Ta có b  _|_  d  = B , nối FB  và từ P dựng đường trung trực t của FB . Đường thẳng t chính là tiếp tuyến với parabola tại điểm P .

+Chú thích lịch sử :
Menaechmus là học trò của Plato và Eudoxus , đã nghiên cứu về parabola khi giải quyết bài toán tìm cạnh của một khối lập phương có thể tích gấp đôi thể tích một khối lập phương cho trước. Bài toán này không thể giải được bằng các phương pháp hình học sử dụng com-pa và thước kẻ. Menaechmus đã giải quyết nó bằng cách tìm các giao điểm của hai parabol .
Gọi y là cạnh của hình lập phương cho trước và x là cạnh hình lập phương cần tìm , đẳng thức có được là  $x^3 = 2y^3$
Xét hai parabola sau $y^2 = x$ (P1) và  $x^2 = 2y$ (P2) , nhân vế với vế hai đằng thức này ta có
$x^3 = 2y^3$ .
Việc tìm cạnh x  tương đương với việc xác định tọa độ giao điểm của (P1) và (P2) như hình minh họa sau
 ( a = 2 , b = 1 )
+Giao điểm của các parabola  $x^2 = ay $  ,   $y^2 = bx$   và  hyperbola  $xy = ab$

  

Các đường liên hợp
Xem   http://youtu.be/TVRXUEVzdIE

 B. Phương trình .
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
x^2 = A*y  hoặc  y^2 = B*x

Nhập liệu bằng DESMOS .
Thực hành với
 x^2 = A*y  với  A = 1 , 2 , -3
y^2  =  B*x  với  B =  -1/2 , 1/4 , 2

II . Các lệnh đồ họa 3D trong trình ứng dụng Maple .

Dưới đây là nội dung tiếp theo mục II - phần 5 trình bày các thủ tục và các tùy chọn đồ họa 3D của trình ứng dụng Maple V . 

2.1  Đồ thị 3D .

2.1.1  Tọa độ điểm trong hệ tọa độ không gian  .

a. Cấu trúc lệnh .

> pointplot3d(L,options);
Các options 3D  gồm có
+axes (trục) = {boxed , normal , frame , none } mặc định là none .
+color (màu) = {  aquamarine , black,  blue,  coral , cyan  , brown  , gold , green , gray , grey  khaki , magenta , maroon , navy , orange , pink , plum , red  , sienna ,  tan , turquoise , violet , wheat  , white , yellow}
+coords (hệ trục ) =  {cartesian,spherical,cylindrical} mặc định là Cartesian.
+font=là một list gồm [family, style, size],
-family gồm { TIMES, COURIER, HELVETICA, SYMBOL}.
-Với TIMES, style có thể là {ROMAN, BOLD, ITALIC ,BOLDITALIC }.
-Với HELVETICA và COURIER style có thể là { BOLD, OBLIQUE, BOLDOBLIQUE }.
-Với SYMBOL không có tùy chọn style . Tuy nhiên có thể dùng chung với SYMBOL các size chỉ về kích thước của chữ .
+grid (lưới )=[m,n] chỉ số chiều của lưới hình chữ nhật trên đó các điểm được tạo ra .
+gridstyle (kiểu lưới ) = 'rectangular'  (chữ nhật)  hoặc   'triangular' (tam giác) .
+labelfont ( font nhãn) =l , quy định font cho nhãn trục .
+labels=[x,y,z] , có thể thay đổi theo yêu cầu , mặc định là không có nhãn .
light (ánh sáng) =[phi,theta,r,g,b]   quy định nguồn sáng trực tiếp từ hướng nhìn phi và theta trong hệ tọa độ cầu với cường độ màu được cho bởi r (red) , g (green) và b (blue) , các màu này có giá trị từ 0 đến 1 .
+lightmodel (mô hình màu) = {'none', 'light1', 'light2', 'light3',  'light4' } quy định mô hình màu nhằm mục đích chiếu sáng , tô bóng đồ thị .
+linestyle (dạng đường) = { dash , dashdot , dot , solid } chỉ về cách vẽ đường đứt , đường liền .

+numpoints (số điểm ) =n ,  quy định số điểm được vẽ cho đồ thị (mặc định là 625 = 25^2). Plot3d dùng lưới chữ nhật có chiều gần bằng căn bậc hai của n .
+orientation (định hướng)=[theta,phi]  , quy định góc theta và phi để quan sát đồ thị trong 3D .
+projection (chiếu) =r  , quy định phối cảnh để quan sát các mặt 3D với r là số thực thuộc (0,1) , r cũng có các giá trị {'FISHEYE', 'NORMAL',  'ORTHOGONAL' },  tương ứng với góc chiếu { 0, 0.5,  1} . Mặc định là projection = ORTHOGONAL.
+scaling (canh trục) =s = {UNCONSTRAINED ,CONSTRAINED }, quy định mức độ phù hợp các trục với màn hình .Mặc định là  UNCONSTRAINED .
+shading (tô bóng) =s = {XYZ, XY, Z, ZGREYSCALE, ZHUE, NONE} , quy định cách tô bóng cho các mặt 3D .
+style (dạng mặt) =s = {POINT, HIDDEN, PATCH, WIREFRAME, CONTOUR, PATCHNOGRID, PATCHCONTOUR, LINE} , quy định cách vẽ các mặt 3D .
Mặc định là  HIDDEN ( ẩn các đường mức ).
+symbol (dạng điểm)=s = {BOX, CROSS, CIRCLE, POINT, DIAMOND} , quy định cách vẽ các điểm trên đồ thị 2D hoặc 3D .
+thickness (độ dày,đậm) =n ={ 0, 1, 2, 3 } . Mặc định là 0 .
+tickmarks (định trục) =[l,n,m] , quy định cách chia đơn vị cho trục x , y và z , các chỉ số này không được nhỏ hơn 1 .
+title (đề tựa) =t , quy định tên gọi cho đồ thị , t phải ở dạng chuỗi . Mặc định là no title .
+titlefont (font của đề tựa) =l , tương tự như tùy chọn font .
+view (khoảng xuất hiện) =zmin..zmax  hay  [xmin..xmax,ymin..ymax,zmin..zmax] , quy định khoảng xuất hiện tối thiểu và tối đa của đồ thị .
Mặc định là toàn màn hình .

b. Ví dụ minh họa .

+ Chấm tọa độ các điểm  (0,1,1)  ;  (1,-1,2)  ;  (3,0,5)

with(plots):

> pointplot3d([[0,1,1],[1,-1,2],[3,0,5]],axes=normal,color=[red,blue,green],symbol=circle,labels=[x,y,z],view= [-1..5,-2..3,0..6] );

+ Vẽ các điểm $ M(cos (\pi t) , sin(\pi t) , t )$  với  $ t \in [0,1]$
Tạo các điểm > points:= { seq([cos(Pi*T/40),sin(Pi*T/40),T/40],T=0..40) }:

> pointplot3d(points,axes=normal,labels=[x,y,z],symbol=circle);

2.1.2  Đường cong trong hệ tọa độ không gian .
a. Cấu trúc lệnh .
> spacecurve(L,options);
L - là tập các đường cong 3D.
Mô tả :
Lệnh spacecurve dùng để vẽ một hay nhiều đường cong 3D . Biến thứ nhất của lệnh này có thể là danh sách các điểm hoặc một đường cong . Đường cong 3D là một danh sách có kích thước là 3 . Ba thành phần đầu là biểu diễn tham số của 3 tọa độ  x , y và z .

-Các biến bổ sung quy định khoảng cho các đường cong cụ thể thông qua tham số t = tmin .. tmax , hoặc số các điểm được dùng để vẽ thông qua numpoints=n (mặc định là 50) .
-Biến thứ nhất cũng có thể là một tập các danh sách gồm nhiều đường cong 3D cần vẽ .
-Lệnh spacecurve có thể xác định bằng with(plots): hoặc  with(plots,spacecurve) .

b. Ví dụ minh họa .
+Vẽ đường cong  $x = cost , y = sint , z = t $  với  $t \in [0, 4 \pi]$
with(plots):
> spacecurve([cos(t),sin(t),t],t=0..4*Pi,axes=normal,labels=[x,y,z],color=green,thickness=3);

+Vẽ đường cong  $x = sint , y = 0 , z = cost $  với  $t \in [0, 2 \pi]$

và  $ x= 1+cost , y = 3+ sint , z = 0 $ 

with(plots):
spacecurve({[sin(t),0,cos(t),t=0..2*Pi],[cos(t)+1,sin(t)+3,0,numpoints=50]},
> t=-Pi..Pi,axes=normal,labels=[x,y,z],view= [-2..3,-2..5,-2..4],color=[blue,green],thickness=3);

2.1.3  Đa giác trong hệ tọa độ không gian .

a. Cấu trúc lệnh .

> polygonplot3d(L,options);
L - đỉnh của đa giác hay tập ( danh sách ) các đỉnh của đa giác .
Mô tả :
Đối số còn lại được hiểu là các tùy chọn được quy định theo hình thức option = {giá trị} . Các tùy chọn này tương tự như những quy định cho lệnh plot3d.
-Kết quả của một lệnh polygonplot3d là một cấu trúc PLOT3D có thể được đưa ra bởi các thiết bị đồ họa. Các bạn có thể gán giá trị này cho một biến, lưu nó vào một tập tin .
polygonplot3d có thể được xác định từ gói công cụ with(plots ) hoặc with(plots, polygonplot3d).

b. Ví dụ minh họa .
+Vẽ đa giác gồm 4 đỉnh   (0,1,1) ; (1,-1,2) ; (3,0,5)  và  (1,1,1)
with(plots):
> polygonplot3d([[0,1,1],[1,-1,2],[3,0,5] ,[1,1,1]],axes=normal,view=[-0.5..4,-2..2,-2..6],labels=[x,y,z],color=blue,thickness=3);

+ Vẽ đa giác cong tạo bởi các điểm  $x =cos(\pi t), y = sin(\pi t) , z=t $  với $t \in  [0,1]$ 

dagiac_cong := [ seq([cos(Pi*T/40),sin(Pi*T/40),T/40],T=0..40) ]:

> polygonplot3d(dagiac_cong ,axes=normal,labels=[x,y,z],color=bgreen,thickness=3);

  :

III . Lời kết .

 Bạn đọc thân mến , chúng ta kết thúc phần khảo sát về cách xây dựng và những tính chất cơ bản của các đường cong từ Ka đến Pa (33-42) ở đây . Những điểm khá nổi bật trong bài viết này là phần minh họa đồ thị thực hành bằng các trình ứng dụng GP , MapleV và các công cụ trực tuyến DESMOS , Flashandmath , FooPlot . Phần II của bài viết tác giả cũng điểm qua vài nét sơ lược về các lệnh của trình Maple về đồ họa 3D cho các điểm , đường cong và đa giác .
 Trong bài viết sau chúng ta sẽ tiếp tục khảo sát các đường cong từ Pe đến Sp (43-53) , vẽ đồ thị bằng các  công cụ trực tuyến hoặc trình ứng dụng , và tìm hiểu thêm về các lệnh của trình Maple V cho việc đồ họa các mặt 3D .
Cám ơn  các bạn đã đọc bài viết này  , hẹn gặp lại .


Trần hồng Cơ 
Ngày  22 / 06/ 2014 .

 ------------------------------------------------------------------------------------------- 

 Khoa học là một điều tuyệt vời khi không phải dùng nó để kiếm sống. 

Albert Einstein .