GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN . Chương 4- PHẦN 3 .

   

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Chương 4-

PHẦN 3 . 

Phép biến đổi Laplace .
Phép biến đổi ngược Laplace .
Giải phương trình vi phân bằng phép biến đổi Laplace .
Bài tập thực hành .  

Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  



Trần hồng Cơ .
14/05/2013 .


****************************************************************************


This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

1. Phép biến đổi Laplace .
Phép biến đổi Laplace là một trong số những phép biến đổi tích phân quan trọng nhất áp dụng cho việc giải các phương trình vi phân tuyến tính . Nhờ phép biến đổi Laplace ta có thể đưa phương trình vi phân tuyến tính cấp cao hệ số hằng về một phương trình đại số , đặc biệt hơn nữa nó rất hữu dụng khi tìm nghiệm cho các phương trình vi phân tuyến tính có vế phải là những hàm xung , hàm trơn từng khúc hoặc hàm gián đoạn .  Trong phần này chúng ta sẽ tìm hiểu về phép biến đổi Laplace , các tính chất và ứng dụng cho việc giải phương trình vi phân tuyến tính cấp cao .
1.1 Định nghĩa - ký hiệu .
Cho hàm số f(t)  xác định với mọi t > 0 , phép biến đổi tích phân 

Tích phân trong ký hiệu trên hiểu theo nghĩa suy rộng , 

1.1.1  Hàm gốc - định lý cơ bản .
a. Hàm gốc . 

Cho f(t) là hàm với biến thực t , ta nói f(t) là hàm gốc nếu :

( i )  f(t) liên tục từng đoạn khi t  ³  0

( ii )  " t > 0  , $ M > 0 , so  ³  0  : 

| f(t) |  £  M exp(sot )   so  gọi là chỉ số tăng .

( iii )  f(t)  =  0  khi  t  <  0 . 
 Định lý sau trong trường hợp tổng quát đúng với biến phức  p = s + is  .

b. Định lý cơ bản . 

  Cho 

Ví dụ 1 .
Tìm ảnh của các hàm sau 

Lời giải .

1.1.2  Các tính chất - định lý Mellin .

a. Tính chất . 

(i) Tuyến tính . 
Cho f(t) , g(t) là 2 hàm gốc ,  A , B là 2 hằng số thực ( hoặc phức )  

(ii) Đồng dạng .
Cho f(t) là hàm gốc ,  l   là hằng số thực dương

(iii) Dời ảnh .
Cho f(t) là hàm gốc , z là số phức tùy ý 

(iv)  Trễ .
Cho f(t) là hàm gốc 

b. Định lý Mellin . 

  Cho f(t) là hàm gốc có chỉ số tăng so  và F(p) là ảnh của nó tại mọi điểm f(t) liên tục , ta có 

Định lý Mellin cho phép ta tìm được hàm gốc  f(t) dựa trên ảnh F(p) của nó qua phép biến đổi Laplace . Đây chính là cơ sở của phép tính Laplace ngược tìm hàm gốc sau khi đã thực hiện các tính toán trên hàm ảnh F(p) .




1.2  Bảng công thức Laplace - thực hành .
1.2.1  Bảng công thức Laplace .
Dưới đây là bảng công thức Laplace áp dụng cho hàm gốc có biến thực t và biến của ảnh là số thực s .   

Bảng Laplace  .

Hàm hyperbolic và hàm Gamma .

Hàm Dirac .

1.2.2  Thực hành .
Ví dụ 2 .

Dựa vào bảng Laplace tìm ảnh của các hàm gốc sau

 Lời giải .

Các bạn dùng các công thức bảng Laplace , kết hợp với Maple tìm ảnh của các hàm gốc e. và f.  còn lại trong ví dụ 2.  trên .
Xem bảng Laplace 

http://www.slideshare.net/cohtran/laplace1-8merged

Laplace1 8merged from cohtran

XEM TIẾP 

http://cohtran-toan-don-gian.blogspot.com/2013/05/gioi-thieu-ve-phuong-trinh-vi-phan.html

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.
------------------------------------------------------------------------------------------- 
Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic. 
Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.
 Albert Einstein .

NGÔ TẤT TỐ - Lều chõng - Phần 2 .

NGÔ TẤT TỐ - Lều chõng .

Phần 2 .

NGÔ TẤT TỐ - Lều chõng - Phần 1 .

NGÔ TẤT TỐ - Lều chõng .

Phần 1 .

Ngo Tat To - Leu chong

NHỮNG NÉT KỲ VĨ CỦA ĐỒNG BẰNG CHÂU THỔ .

 NHỮNG NÉT  KỲ VĨ CỦA ĐỒNG BẰNG CHÂU THỔ .

Châu thổ là một địa mạo được hình thành ở nơi dòng sông chảy vào một đại dương, biển, cửa biển, hồ, hồ chứa, khu vực khô cằn bằng phẳng, hoặc sông khác. Châu thổ được hình thành từ sự lắng đọng của các trầm tích mà khi dòng nước thoát khỏi cửa sông. Qua những thời gian dài, sự lắng đọng này tạo nên một kiểu địa lý đặc trưng gọi là châu thổ sông.

Đồng bằng sông Khatanga ở Siberia, Nga Ảnh: Daily Mail .

Đồng bằng sông Lena ở Nga  Ảnh Daily Mail .

Quá trình hình thành

Châu thổ sông hình thành khi một con sông mang theo trầm tích tiếp xúc với một vùng nước đứng, như một đại dương, hồ, hoặc hồ chứa. Khi dòng chảy đi vào vùng nước đứng, nó không còn bị giới hạn bởi bờ sông nữa và sẽ tỏa rộng. Điều này làm giảm vận tốc dòng chảy, cũng có nghĩa là làm giảm khả năng vận chuyển trầm tích. Kết quả là, trầm tích giảm di chuyển và lắng xuống. Theo thời gian, lòng sông duy nhất này sẽ biến thành thùy châu thổ (một vùng với nhiều phân lưu có dạng như chân chim mà người ta có thể quan sát ở châu thổ sông Mississippi hoặc châu thổ sông Ural), đẩy miệng sông đi xa hơn nữa vào trong vùng nước đứng. Khi thùy châu thổ phát triển, các gradien của lòng sông giảm đi do dòng sông dài thêm nhưng độ dốc không thay đổi. Đến khi độ dốc của lòng sông giảm đi, nó trở nên không ổn định vì hai lý do.
Thứ nhất, nước dưới lực hấp dẫn sẽ có xu hướng chảy thẳng theo hướng dốc nhất. Nếu dòng sông có thể vi phạm đê tự nhiên của nó (tức là, trong khi lũ lụt), nó sẽ tràn ra theo một dòng chảy mới và ngắn nhất đến đại dương, do đó có được một độ dốc dốc hơn và ổn định hơn.^[1]
Thứ hai, khi độ dốc của lòng sông giảm, lượng biến dạng nén xuống đáy sẽ giảm, làm cho trầm tích lắng xuống ngay tại lòng sông, dẫn tới đáy lòng sông trở nên cao thêm tương đối so với mặt vùng lũ. Điều này sẽ làm cho sông càng dễ vi phạm đê tự nhiên và mở ra một dòng chảy mới vào vùng nước đứng với độ dốc lớn hơn. Thường thì những khi như thế, một phần nước sông có thể vẫn chảy qua dòng chảy đã bị bỏ. Khi có sự thay đổi dòng chảy ở một châu thổ đã trưởng thành, một mạng lưới phân lưu sẽ được tạo ra.

Đồng bằng trên quần đảo Bijagos, Tây Phi,  Ảnh: Daily Mail

Danh sách vùng châu thổ nổi tiếng

Vùng châu thổ sông Hằng ở Ấn Độ và Bangladesh, một trong những khu vực đồng bằng màu mỡ nhất trên thế giới

• Châu thổ sông Ayeyarwady
• Châu thổ sông Ấn
• Camargue (châu thổ sông Rhône)
• Châu thổ Châu Giang
• Châu thổ sông Colorado
• Châu thổ sông Donau
• Châu thổ sông Dương Tử
• Hố Eberswalde tại sao Hỏa (châu thổ cổ đại)
• Châu thổ sông Ebro
• Châu thổ sông Fraser
• Châu thổ sông Hằng
• Châu thổ sông Chao Phraya
• Châu thổ sông Lena
• Châu thổ sông Mackenzie
• Châu thổ sông Mekong
• Châu thổ sông Hồng
• Châu thổ sông Mississippi
• Châu thổ nội địa sông Niger (nội địa)
• Châu thổ sông Niger
• Châu thổ sông Nil
• Châu thổ sông Ogooué
• Châu thổ sông Okavango (nội địa)
• Châu thổ sông Orinoco
• Châu thổ sông Paraná
• Châu thổ Peace-Athabasca (nội địa)
• Châu thổ sông Po
• Thung lũng Rio Grande
• Châu thổ Rhine-Meuse-Scheldt
• Châu thổ sông Sacramento-San Joaquin (ngược hình)
• Châu thổ sông Volga
• Châu thổ sông Yukon
• Châu thổ Tanjore, sông Kaveri

Tham khảo

1. ^ Slingerland, R. and N. D. Smith (1998), Necessary conditions for a meandering-river avulsion, Geology (Boulder), 26, 435-438.

Cửa sông Betsiboka ở Madagascar , màu đỏ là phù sa trôi về phía biển Ảnh: Daily Mail .

Đồng bằng sông Yukon, Alaska Ảnh: Daily Mail .

 Nguồn : http://vi.wikipedia.org/wiki/Châu thổ



****************************************************************************

MỘT SỐ HÌNH ẢNH VỀ TRÁI ĐẤT . 

Dưới đây là bài viết của tác giả Hiền Thảo trên kienthuc.net.vn , xin phép tác giả được đăng lại trên Blog này . 
Trân trọng cám ơn .

• 
   Lực hấp dẫn trên bề mặt Trái đất không đồng đều. Ở nhiều nơi trên Trái đất, bạn cảm thấy mình nặng nề hơn ở những nơi khác. Khu vực có lực hấp dẫn thấp là dọc bờ biển Ấn Độ, khu vực có lực hấp dẫn cao là khu vực phía nam Thái Bình Dương. Nguyên nhân của hiện tượng này vẫn chưa được giải thích.
• 
   Không khí đang “biến mất dần”. Nhờ có nhiệt năng, một số phân tử, nằm ở tầng ngoài, di chuyển với tốc độ lớn hơn, khiến nó vượt qua ngoài ranh giới của lực hấp dẫn. Điều này khiến một lớp không khí cứ dần “biến” vào không gian.
• 
   Trái đất đang quay chậm dần. Do sự thay đổi của lực hấp dẫn, dưới tác động của mặt trăng, Mặt trời và các hành tinh khác thuộc hệ mặt trời, sự thay đổi vật liệu trong các phần khác nhau của hành tinh và ngay trong nội tại của Trái đất, tốc độ của Trái đất khi quay quanh trục có sự khác nhau. Thời gian gần đây, thời gian ngày đã bị giảm xuống 100 phần giây. Chúng ta cũng chưa nắm được những nhân tố gây ra của hiện tượng này.
• 
   Cực bức xạ Vann Allen là một hình xuyến, được tạo thành từ các hạt từ tính, chuyển động quanh Trái đất và giữ Trái đất trong trường từ tính. Cực từ tính này rất có hại với các nhà khoa học, nó có thể khiến họ mắc bệnh ung thư.
• 
   Mặt trăng đang xa rời Trái đất. Theo những đo đạc đã được tiến hành từ cách đây 25 năm, Mặt trăng đang dần rời xa Trái đất, với tốc độ khoảng 4cm/năm. Tuy nhiên, các nhà du hành cho rằng khi Mặt trời bước vào giai đoạn của một hành tinh đỏ khổng lồ, khoảng 5 tỉ năm nữa, Trái đất và Mặt trăng, dưới tác động của khí quyển, sẽ lại xích lại gần nhau. Thậm chí chúng chỉ cách nhau 18.470 km.
• 
   Mặt trăng tạo ra hiện tượng thủy triều lên trong khí quyển. Theo lý thuyết, những dao động lớn của khí quyển dưới tác động của Mặt trăng diễn ra ở chí tuyến, tuy nhiên xung lực không mấy khi vượt quá 100 microbar.
• 
   Dao động Chandler của 2 cực. Đây là những thay đổi không lớn trên trục quay của Trái đất. Nó chiếm khoảng 0,7 giây/433 ngày. Nói cách khác, các cực đang di chuyển theo một vòng tròn với đường kính từ 3-15 m. Nguyên nhân của việc này cũng chưa được xác định.
• 
   Điện tích Trái đất. Từ năm 1917 các nhà khoa học đã biết rằng trên bề mặt Trái đất có các hạt điện tích dương, nhưng mọi người không biết cái gì đã giữ chúng lại. Vào những ngày đẹp trời, điện tích này “chảy” giữa mặt đất và không khí. Tuy nhiên dòng điện tích này là khá yếu, chỉ khoảng 1.500 ampe.

 Hiền Thảo (theo LI)

Nguồn : http://kienthuc.net.vn/gallery/kham-pha/201306/Nhung-su-that-kho-tin-ve-Trai-dat-910567/





-------------------------------------------------------------------------------------
 Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic. 
 Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas. 

Albert Einstein .

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN . Chương 4 - PHẦN 4 .

   

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Chương 4-

PHẦN 4 . 

Lý thuyết tổng quát 
-Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao .
-Phương trình vi phân cấp cao tổng quát .
-Các dạng phương trình vi phân giảm cấp .












Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  



Trần hồng Cơ .
28/05/2013 .



****************************************************************************
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.



1 . Lý thuyết tổng quát 
-Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao .
1.1  Khái niệm .
Như đã trình bày ở Chương 4-Phần 1 - 1.1 , phương trình vi phân tuyến tính cấp cao có dạng  (1) 

*Dạng tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính theo toán tử như sau 

xét  P(x, t) là đa thức theo biến t  với các hệ số là hàm ak (x) , có dạng  

thay biến  t  bằng toán tử vi phân D ta có

**Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp n là  G(x,v(x)) = 0  trong đó 

1.2 Bài toán Cauchy và điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm .

Bài toán Cauchy đặt ra là tìm nghiệm của G(x,v(x)) = 0 thỏa mãn các điều kiện :

Nhờ định lý hàm ẩn dưới một số điều kiện có thể viết lại dưới dạng (2) :

Lưu ý :
+Dạng (1) biểu diễn phương trình tuyến tính cấp cao theo toán tử vi phân  D .
+Dạng (2)  biểu diễn phương trình vi phân hiển cấp n theo biến ( x , u(x)) .
+Dạng (3) gọi là dạng ẩn , biểu diễn phương trình vi phân tuyến tính cấp cao  G(x,v(x)) = 0  với 

+Định lý Péano về sự tồn tại nghiệm .

+Định lý Picard-Lindelof . 
Đưa ra một tiêu chuẩn để phương trình vi phân (2) có nghiệm duy nhất 
*Liên tục Lipschitz . 

Hàm F( x , u(x)) có tính chất trên gọi là liên tục đối với biến u theo nghĩa Lipschitz  .

** Định lý Picard - Lindelof .

Nếu phương trình vi phân (2) thỏa mãn định lý Péano và hơn nữa nếu F liên tục Lipschitz theo u thì   tồn tại nghiệm y = y(x) và nghiệm này là duy nhất .

1.3 Các dạng biểu thức nghiệm của phương trình vi phân cấp cao .
+Nghiệm y = y(x,C1,C2,...,Cn) xác định trên DxU  khả vi liên tục đến cấp n , gọi là nghiệm tổng quát dạng hiển của (2) <=>
(i) 

(ii) 
Nghiệm y = y(x,C1,C2,...,Cn)  thỏa mãn (2) với các  Ck   ( k = 1,2,...,n )  tìm được ở (i) .
 Để tìm nghiệm tổng quát dạng hiển của (2) ta thay thế  x0 và u0 vào hệ , giải hệ này tìm các giá trị Ck   ( k = 1,2,...,n ) .
+Nghiệm F = F (x,y,C1,C2,...,Cn) = 0 , xác định trên DxU    , gọi là nghiệm tổng quát dạng ẩn của (2) .
+Nghiệm { x = c(t,Ck )  ,  y = x(t,Ck ) với ( k = 1,2,...,n ) } , gọi là nghiệm tổng quát dạng tham số của (2).
+Nghiệm riêng là nghiệm thỏa mãn tính duy nhất nghiệm theo định lý Picard Lindelof  với các hằng số Ck   ( k = 1,2,...,n )  tìm được khi giải các điều kiện cho trước .

+Nghiệm kỳ dị là nghiệm không thỏa mãn tính duy nhất nghiệm theo định lý Picard Lindelof ( không bị chặn theo biến u  ) , có thể hiểu tại điểm (x0,u0)  nào đó có nhiều nghiệm của phương trình cùng đi qua  ( Các bạn có thể xem ở Chương 1-Phần 3 từ 1.1 đến 1.3 về tính duy nhất nghiệm của phương trình vi phân ) .
1.3 Nghiệm kỳ dị của phương trình vi phân cấp cao .