GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN . Chương 6 - PHẦN 3 .

   

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Chương 6 -

PHẦN 3 . 

-Bài toán giá trị biên .
-Bài toán Sturm - Liouville 
-Các hàm đặc biệt .

GIẢI TRÍ - Đố vui: 6 con ếch

Kết quả

Một câu đố thú vị về 6 chú ếch, Rất đơn giản ! Bạn hãy cố gắng đưa được các con ếch nhảy đến bên kia bờ . .

» Luật chơi :

- Click vào các con ếch để chúng nhảy tới phía trước .

- Các con ếch không thể nhảy lùi về phía sau .

- Các con ếch hoặc nhảy tới hòn đá trống phía trước, hoặc nhảy qua đầu 1 con ếch khác màu khác và đáp xuống 1 hòn đá trống phía sau .
- Nhiệm vụ của các bạn là làm sao để các con ếch đến được phía đối diện là hoàn thành. 

Nguồn : http://namkna.blogspot.com/2011/12/o-vui-6-con-ech.html#.UrOZ_5G6P6R










Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  



Trần hồng Cơ .
12/12/2013 .



****************************************************************************
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.



8. Ứng dụng cho phương trình vi phân đạo hàm riêng .
8.1 Bài toán truyền nhiệt .
8.1.1 Phát biểu bài toán .
+Xét một thanh truyền nhiệt có chiều dài L , đồng chất một chiều , đặt nằm ngang . Tại 2 điểm đầu : x = 0 và x = L , nhiệt độ tại đó bằng 0 . Vấn đề đặt ra là cần tìm hiểu dòng nhiệt được truyền như thế nào ở những vị trí khác nhau tại từng thời điểm .  
Gọi u(x,t)  hàm là nhiệt độ đo được tại vị trí x và thời điểm t  .  
Điều kiện biên tại 2 điểm đầu là
 u(0,t) = u(L,t) = 0 , " t  . 
Nhiệt độ được phân bố tại thời điểm ban đầu là  u(x,0)  = f(x) , với  f(x) là hàm đủ trơn " x Î [ 0,L] . Giả sử rằng ở một điểm trên thanh ta có quan hệ 
$\frac{\partial u}{\partial t}=K\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

Trong đó K là hằng số dương mô tả tính chất nhiệt của nguyên liệu thanh . Tóm lại bài toán truyền nhiệt Fourier có thể phát biểu như sau :
Tìm hàm  u(x,t)  là nghiệm của phương trình 

$\frac{\partial u}{\partial t}-K\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0,x\in [0,L]$
 u(0,t) = u(L,t) = 0 , " t  . 
u(x,0)  = f(x) ,  " x Î [ 0,L] .

8.1.2 Nghiệm của bài toán truyền nhiệt .

+Trở lại với ví dụ ở Chương 6 - Phần 2 - 4.2 xét phương trình 
$\left\{\begin{matrix}y"+ky=0\\y(0)=y(\pi)=0 \end{matrix}\right.$
Dạng toán tử 
$\left\{\begin{matrix}L[y]=-ky\\y(0)=y(\pi)=0\end{matrix}\right.$ 
Với 
$n=\sqrt{k},n \in \mathbb{Z}^{+}$
Ta có { sinnx , n =1,2 ,... } là cơ sở trực giao . 
Khi thay $y(0)=y(L)=0$   cơ sở trực giao sẽ chuyển thành { sin(npx/L) , n =1,2 ,... } tương ứng với hàm trọng số  R(x) = 1 . Ở thời điểm t cố định ta biểu diễn nghiệm u(x,t)   theo dạng chuỗi hàm sin như sau :

$u(x,t)=\sum_{j=1}^{\infty}a_j(t) sin(j\pi x/L)$

Với $a_j(t)= 2/L.\int_{0}^{L}u(x,t)sin(j\pi x/L)dx$ 
Mục tiêu chính ở đây là cần tìm biểu thức của $a_j(t)$ .
-Tính đạo hàm của u(x,t)  theo biến t , ta có 
$\frac{\partial u}{\partial t}=\sum_{j=1}^{\infty }a_j'(t)sin(j\pi x/L)$
-Tính đạo hàm cấp 2  của u(x,t)  theo biến x , ta có $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=-\sum_{j=1}^{\infty }(j\pi /L)^2a_j(t)sin(j\pi x/L)$
Thay vào phương trình $\frac{\partial u}{\partial t}-K\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0,x\in [0,L]$ 
ta thu được 
$\sum_{j=1}^{\infty }a_j'(t)sin(j\pi x/L)+K\sum_{j=1}^{\infty }(j\pi /L)^2a_j(t)sin(j\pi x/L)=0$
 hay
$\sum_{j=1}^{\infty }[a_j'(t)+K(j\pi /L)^2a_j(t)]sin(j\pi x/L)=0$ 
Vì tập hợp các hàm $sin(j\pi x/L)$  là cơ sở trực giao nên  ta có
$a_j'(t)+K(\pi /L)^2 j^2 a_j(t)=0$ , " j = 1,2,...
Đặt
$\psi=K(\pi /L)^2$   khi đó hệ phương trình xác định $a_j(t)$ là 
$a_j'(t)+\psi j^2 a_j(t)=0$ , " j = 1,2,...
Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 , nghiệm tổng quát là
$a_j(t) = C_j e^{-\psi j^2 t}$
Thay vào biểu thức nghiệm
$u(x,t)=\sum_{j=1}^{\infty}C_j e^{-\psi j^2 t} sin(j\pi x/L)$
Từ điều kiện u(x,0)  = f(x) ,  " x Î [ 0,L] ta có 
$f(x) = u(x,0)=\sum_{j=1}^{\infty}C_j  sin(j\pi x/L)$ 
Điều này có nghĩa là hàm cho trước f(x) được khai triển theo chuỗi hàm sin , các hệ số $C_j$ được tính bởi công thức
$C_j=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)sin\left ( \frac{j\pi x}{L} \right )dx$
8.1.3 Điều kiện hội tụ .

*XEM TIẾP TRÊN BLOG CHUYÊN NGÀNH :


http://cohtran-toan-don-gian.blogspot.com/2013/12/gioi-thieu-ve-phuong-trinh-vi-phan.html

http://goo.gl/Gs2vhP

Trần hồng Cơ .
21/12/2013 .

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.
 
 -------------------------------------------------------------------------------------------

Hướng Chân Thiện Mỹ 
Độc lập tư duy 
Hoài nghi hợp lý 
Tự do sáng tạo .

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN . Chương 6 - PHẦN 2 .

   

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Chương 6 -

PHẦN 2 . 

-Bài toán giá trị biên .
-Bài toán Sturm - Liouville 
-Các hàm đặc biệt .










Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  



Trần hồng Cơ .
26/10/2013 .



****************************************************************************
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.



3. Toán tử tự liên hợp .
3.1 Chuyển bài toán Sturm-Liouville về dạng toán tử .
+Xét phương trình vi phân Sturm-Liouville  (1)

Với P(x) , Q(x) và R(x)  là các hàm cho trước , các hằng số  aj , bj ( j = 1,2 ) , m là trị đặc trưng ( xem Chương 6 - Phần 1- 2.1 ) . Phương trình (1) được viết lại thành 

Toán tử L được định nghĩa như (2) là tuyến tính và xác định trên các hàm đủ trơn thỏa mãn các điều kiện biên . Cần chú ý rằng điều kiện biên của bài toán Sturm-Liouville cũng cần phải được hiệu chỉnh để toán tử L là tự liên hợp .
3.2 Công thức Green - Điều kiện biên tương thích Sturm-Liouville - Phần thương Rayleigh .
+Giả sử P , Q đủ trơn và khả tích trên đoạn (a,b) và L là toán tử như (2) . Với hai hàm u , v đủ trơn và khả vi ta có 

+Điều kiện biên tương thích Sturm-Liouville đối với mọi hàm u , v <=>  
$P\left [ u^{*}\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x} -v\frac{\mathrm{d} u^{*}}{\mathrm{d} x}\right ]_{a}^{b}=0$
Như vậy nếu hàm u , v  thỏa mãn điều kiện biên tương thích thì  $\int_{a}^{b}u^{*}L[v]dx=\int_{a}^{b}L[u^{*}]vdx$ 
+Toán tử L  thỏa mãn điều kiện biên tương thích là toán tử tự liên hợp
 $L^\dagger =L\Leftrightarrow \left \langle L[u]|v \right \rangle=\left \langle u|L[v] \right \rangle$
+Giả sử m (thực)  và u là trị đặc trưng và hàm đặc trưng tương ứng của (2) trên khoảng (a,b)  , khi đó m được tính bởi công thức 

Phương trình này gọi là phần thương Rayleigh .
4. Bài toán Sturm-Liouville đầy đủ  .
4.1 Phát biểu .
+Bài toán Sturm-Liouville là bài toán giá trị biên gồm các điều kiện sau đây  
(i) Phương trình vi phân có dạng toán tử 
L[y]  =  -mRy (2)  , với  L = D[P.D] + Q  trong đó 
D = d/dx  ,  P , Q , R ( P, R > 0 ) là các hàm đủ trơn và khả tích trên đoạn (a,b)  
(ii) Điều kiện biên tương thích tại x = a và x = b  với mọi hàm u , v .  
 $P\left [ u^{*}\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x} -v\frac{\mathrm{d} u^{*}}{\mathrm{d} x}\right ]_{a}^{b}=0$
Một lớp các bài toán Sturm-Liouville quan trọng thường có những đặc trưng dưới đây và được gọi chung là các bài toán chuẩn .
(iii) P , Q , R ( P, R > 0 ) là các hàm thực liên tục trên [a,b]  , P khả tích trên đoạn (a,b) .
(iv) Các điều kiện biên là thuần nhất tại x = a và x = b , nghĩa là  
$\left\{\begin{matrix} a_{1}y(a)+a_{2}y'(a)=0\\b_{1}y(b)+b_{2}y'(b)=0 \end{matrix}\right. ,a_{1}^2+a_{2}^2>0,b_{1}^2+b_{2}^2>0$  
( xem Chương 6 - Phần 1 - 2.1 ).
4.2 Ví dụ minh họa .
+Bài toán đơn giản nhất là tìm nghiệm của phương trình 
$\left\{\begin{matrix}y"+ky=0\\y(0)=y(\pi)=0 \end{matrix}\right.$
Viết dưới dạng toán tử 
$\left\{\begin{matrix}L[y]=-ky\\y(0)=y(\pi)=0\end{matrix}\right.$ 

5. Cơ sở trực giao - Chuỗi Fourier .
5.1 Tích trong - chuẩn - cơ sở trực giao .
+Như đã nói đến ở Chương 6 - Phần 1 , tích trong theo hàm trọng lượng R(x) của 2 hàm trong không gian nghiệm của bài toán Sturm - Liouville được định nghĩa như sau :
$\left \langle u|v \right \rangle=\int_{a}^{b}u(x)^{*}v(x)R(x)dx$
Nếu hàm R(x) = 1 ta có tích trong tiêu chuẩn , khi đó 
$\left \langle u|v \right \rangle=\int_{a}^{b}u(x)^{*}v(x)dx$
+Tính chất của tích trong .
$\left \langle u|v \right \rangle=\left \langle v|u \right \rangle^{*}$
$\left \langle u|av+bw \right \rangle=a\left \langle u|v \right \rangle+b\left \langle u|w \right \rangle$
$\left \langle av+bw|u \right \rangle=a^{*}\left \langle v|u \right \rangle+b^{*}\left \langle w|u \right \rangle$
$\left \langle u|u \right \rangle=\left \| u \right \|^2$
+Chuẩn của hàm u(x) :   
$\left \| u \right \|=\sqrt{\left \langle u|u \right \rangle}$ 
$\left \| u \right \|\geq 0,\left \| u \right \|= 0\Leftrightarrow u=0,\forall x\in (a,b)$
+Hai hàm u , v gọi là trực giao <=> tích trong giữa u và v  bằng 0 . $\left \langle u|v \right \rangle=0$
- Cơ sở  { uj , j =1,2...,n } gọi là trực giao nếu $\left \langle u_k|u_h \right \rangle=0,\forall u_k,u_h,k\neq h,k,h=\overline{1,n}$
- Cơ sở  { uj , j =1,2...,n } gọi là trực chuẩn nếu các hàm trực giao và có chuẩn bằng 1 .
Ví dụ .

5.2  Chuỗi Fourier  .
+Xét cơ sở trực giao U = { uk(x) , k = 1,2,...,n,... } , gồm các hàm thực đủ trơn , khả tích trên (a,b) . Giả sử rằng hàm f(x) được khai triển thành chuỗi ( có thể vô hạn ) theo cơ sở U , khi đó 

Biểu thức viết dưới dạng chuỗi như vậy gọi là khai triển Fourier của hàm số f(x) , với Ck là hệ số tổng quát . Nếu uk(x) là các hàm đặc trưng , ta nói khai triển Fourier là khai triển hàm đặc trưng . 

Ví dụ . Khai triển Fourier của hàm số y = f(x) = x  trên (0 , p )  theo cơ sở  U = { uk(x) = sinkx , k = 1,2,...,n,... } như sau .
+

Các bạn có thể dùng đoạn Maple code sau đây tìm khai triển Fourier cho hàm số f(x)  trên đoạn 
(a,b) Í (-p,p) .
> fourier:=proc(f,a0,b0,k0)
> local A,B,F;print(" Ha`m sô' cho truoc :  f(x) = ", f);print(" Khai trien Fourier cua ham f(x) trên doan [a,b] = ",[a0,b0]);print(" Chi sô khai triên : k = ",k0);
> A:=[seq(evalf(int(f*cos(k*x),x=a0..b0)),k=0..k0)]:B:=[seq(evalf(int(f*sin(k*x),x=a0..b0)),k=0..k0)]:
> assume(j>0):F:=A[1]/(2*Pi)+sum(A[j]/Pi*cos((j-1)*x)+B[j]/Pi*sin((j-1)*x),j=2..k0):print(" Khai triên Fourier la ",f_[FOURIER](x)=F):F1:=A[1]/(2*Pi)+sum(evalf(A[j]/Pi)*cos((j-1)*x)+evalf(B[j]/Pi)*sin((j-1)*x),j=2..k0+1):print(" hay :",f_[FOURIER](x)=F1):
> plot([f,F],x=-Pi..Pi,color=[black,yellow],thickness=[1,4]);
> end;

Ví dụ .

6. Phương pháp khai triển hàm đặc trưng - Các ví dụ .
6.1 Khai triển hàm đặc trưng .
+ Bài toán trị đặc trưng Sturm-Liouville đòi hỏi phải có cơ sở trực giao U = { uk(x) , k = 1,2,...,n,... } với uk(x) là các hàm đặc trưng . Trong tiết này chúng ta sẽ vận dụng phương pháp khai triển hàm đặc trưng để giải một số bài toán biên không thuần nhất đặc biệt . 
Phương trình vi phân không thuần nhất viết dưới dạng toán tử   
                       L[y]  =  f             (3)  ,
 trong đó y(x) thỏa mãn các điều kiện biên thuần nhất . Với các hàm đặc trưng uk(x)  tương ứng với trị đặc trưng mk  , ta có  
                      L[uk]  = -mkRuk    (4)  
cũng thỏa mãn các điều kiện biên cho trước .

6.2 Ví dụ .
+ Khảo sát nghiệm của bài toán biên sau đây 

*XEM TIẾP TRÊN BLOG CHUYÊN NGÀNH :
http://cohtran-toan-don-gian.blogspot.com/2013/11/gioi-thieu-ve-phuong-trinh-vi-phan.html

Trần hồng Cơ .
10/11/2013 .

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.
 -------------------------------------------------------------------------------------------

 Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.
 Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.
 Albert Einstein .

5 chương đầu - GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  

Trần hồng Cơ .

10/11/2012 .

****************************************************************************

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

Click vào mũi tên để mở rộng màn hình 

Nhấn phím Esc trở về trang hiện hành .

GIOI THIEU VE PHƯƠNG TRINH VI PHÂN chương 1

Author : Co.H.Tran MMPC-VN 
Publish at Calameo or read more publications.

*******************************************

GIOI THIEU VE PHƯƠNG TRINH VI PHÂN chương 2

Author : Co.H.Tran MMPC-VN 
Publish at Calameo or read more publications.

*******************************************

GIOI THIEU VE PHƯƠNG TRINH VI PHÂN chương 3

Author : Co.H.Tran MMPC-VN
Publish at Calameo or read more publications.

*******************************************

GIOI THIEU VE PHƯƠNG TRINH VI PHÂN chuong 4 

Author : Co.H.Tran MMPC-VN
Publish at Calameo or read more publications.

*******************************************

GIOI THIEU VE PHƯƠNG TRINH VI PHÂN chuong 5

Author : Co.H.Tran MMPC-VN
Publish at Calameo or read more publications.

Xem bản đầy đủ của chương 5 tại ISSUU 

  
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

-------------------------------------------------------------------------------------------

Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.

Albert Einstein .


.

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN . Chương 6 - PHẦN 1 .

   

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Chương 6 -

PHẦN 1 . 

-Bài toán giá trị biên .
-Bài toán Sturm - Liouville 
-Các hàm đặc biệt .




 

Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  



Trần hồng Cơ .
19/10/2013 .



****************************************************************************
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.



1. Bài toán giá trị biên  .
1.1 Các bài toán giá trị biên cấp 2 cơ bản .
+Để đơn giản hóa vấn đề chúng ta xét phương trình vi phân cấp 2 với các điều kiện như sau 

Ràng buộc cho những phương trình vi phân trên đây đặt tại các điểm được gọi là giá trị biên hay điều kiện biên của phương trình . Bài toán tìm nghiệm của phương trình vi phân cấp 2 với các điều kiện biên được gọi là bài toán giá trị biên cấp 2 .
Phân loại .
+Điều kiện biên tại  x = x0  gọi là chuẩn <=> 
ay(x0)  +  by'(x0)  = c , với a , b , c là các hằng số không đồng thời bằng 0 .
+Điều kiện biên tại  x = x0  gọi là giới nội <=>
|y(x0)| < $\infty$  hay $\lim_{x\rightarrow xo}\left | y(x) \right |< \infty$ 
+Điều kiện biên tại  x = x0  gọi là tuần hoàn <=> có một giá trị x1   khác với  x0  sao cho    
y(x0)  = y(x1)  và  y'(x1)  =  y'(x1) 


1.2  Kiến thức bổ sung .
+Sau đây là phần bổ sung về đại số tuyến tính trước khi đi vào chi tiết bài toán Sturm - Liouville .
a. Số phức . 
Số phức   z = x + iy , x = Re(z) : phần thực của z , y = Im(z) phần ảo của z .
Modulo của z , ký hiệu là | z | 
$\left | z \right |=\sqrt{x^2+y^2}$
Số phức liên hợp  z* = x - iy
Ta có  $zz^{*}=\left | z \right |^2=x^2+y^2$
b. Vector trong Rn - Ma trận thực đối xứng . 
Vector trong Rn có dạng u = (u1,u2,...,un) với uj    ( j =1,2..,n  ) là số thực  .  
Chuẩn của u , ký hiệu  || u || 
$\left \| u \right \|=\sqrt{u_{1}^2+u_{2}^2+...+u_{n}^2}$
Tích vô hướng của u và v , ký hiệu u.v
u.v  =    u1v1 + u2v2  +...+ unvn
Ta có  $u.u=\left \| u \right \|^2$  .
Hai vector u , v  gọi là trực giao <=>  u.v = 0 ( tích vô hướng = 0 ) .
+Ma trận Anxn = [ aij ] với aij    ( i, j =1,2..,n  ) là số thực gọi là ma trận đối xứng <=> aij   =  aji  ( i, j =1,2..,n  )  .
Hay ta còn viết   $A=A^{T}$
Trị đặc trưng m của ma trận A là nghiệm của phương trình đặc trưng det( A - mI ) = 0 .
Vector u gọi là vector đặc trưng tương ứng với trị đặc trưng m của ma trận A  <=>  Au  =  mu .

+Tính chất của ma trận đối xứng .
Cho  A  là ma trận đối xứng , khi đó 
(i)  Các trị đặc trưng của A là thực .
(ii) Tồn tại cơ sở trực giao của Rn gồm các vector đặc trưng của A . 

c. Vector trong Cn - Ma trận phức tự-liên hợp . 
Vector trong Cn có dạng u = (u1,u2,...,un) với uj    ( j =1,2..,n  ) là số phức  .  
Chuẩn của u , ký hiệu  || u || 
$\left \| u \right \|=\sqrt{|u_{1}|^2+|u_{2}|^2+...+|u_{n}|^2}$
Tích trong của u và v , ký hiệu $\left \langle u|v \right \rangle$
$\left \langle u|v \right \rangle=\sum_{j=1}^{n}u_{j}^{*}v_{j}$
Trong đó uj* là phức liên hợp của uj  . Hai vector u , v  gọi là trực giao <=>   $\left \langle u|v \right \rangle$ = 0 ( Tích trong = 0 ).
+Tính chất của tích trong .
Giả sử a , b là hai số phức , u và v là vector thuộc Cn  .
$\left \langle u|v \right \rangle=\left \langle v|u \right \rangle^{*}$
$\left \langle u|av+bw \right \rangle=a\left \langle u|v \right \rangle+b\left \langle u|w \right \rangle$
$\left \langle av+bw|u \right \rangle=a^{*}\left \langle v|u \right \rangle+b^{*}\left \langle w|u \right \rangle$
$\left \langle u|u \right \rangle=\left \| u \right \|^2$
+Ma trận Anxn = [ aij ] với aij    ( i, j =1,2..,n  ) là số phức , $A^{\dagger }$ gọi là ma trận liên hợp <=> $A^{\dagger }=\left ( A^{*} \right )^{T}$ .
Ma trận A được gọi là tự liên hợp ( hay Hermite )<=> $A=A^{\dagger }$
Ví dụ . Tìm ma trận liên hợp 

Ví dụ . Xét tính tự liên hợp của ma trận 

+Tính chất của ma trận tự liên hợp ( Hermite ) .
-Ma trận A tự liên hợp thì A phải là ma trận vuông .
-Ma trận tự liên hợp có các phần tử trên đường chéo chính là thực .
-Ma trận tự liên hợp có các trị riêng là thực và có n vector riêng độc lập tuyến tính .
-Ma trận A tự liên hợp thì tồn tại một cơ sở trực giao trong  Cn  gồm các vector đặc trưng của A . 
-Ma trận vuông A có các phần tử là thực và $A=A^{\dagger }$ thì A là ma trận thực - đối xứng .
d. Khai triển một vector trong Cn theo cơ sở trực chuẩn . 
Mọi vector trong Cn có dạng u = (u1,u2,...,un) với uj    ( j =1,2..,n  ) là số phức đều có thể khai triển thành một tổ hợp tuyến tính của các vector cơ sở trực giao { bk , k = 1,2,...,n }  .  
$u=\sum_{k=1}^{n}C_k.\mathbf{b}_k,C_k\in \textbf{C}$
Các hệ số Ck   được tính bởi 
$C_k=\frac{\left \langle \mathbf{b}_{k}|u \right \rangle}{\left \|\mathbf{b}_{k}  \right \|^{2}}  , k=1,2,...,n$
+Cơ sở { bk , k = 1,2,...,n } được gọi là trực chuẩn khi $\left \| \mathbf{b}_{k} \right \|=1$  .  Từ cơ sở trực giao { bk , k = 1,2,...,n } ta có thể xây dựng cơ sở trực chuẩn bằng cách đặt $\mathbf{e}_k=\frac{\mathbf{b}_k}{\left \| \mathbf{b}_k \right \|}$
Khi đó  { ek , k = 1,2,...,n } sẽ là cơ sở trực chuẩn .
e. Tích trong và ma trận liên hợp . 
+Nhắc lại về ma trận chuyển vị và ma trận liên hợp . 
Ta có các công thức sau 
$(A^{T})^{T}=A , (AB)^{T}=B^{T}A^{T},(A^{*})^{*}=A , (AB)^{*}=A^{*}B^{*}$
$A^{\dagger }=\left ( A^{*} \right )^{T}$
+Đối với ma trận liên hợp .
$(A^{\dagger})^{\dagger}=A , (AB)^{\dagger }=B^{\dagger}A^{\dagger}$
Xét 2 vector u và v trong Cn , theo định nghĩa của liên hợp ta có 
$u^{\dagger }=\left ( u^{*} \right )^{T}$

Tích trong và tích ma trận liên hệ với nhau
$u^{\dagger}v=[u_1^{*},u_2^{*},u_3^{*},..,u_n^{*}]\begin{bmatrix} v_1\\v_2\\v_3\\...\\v_n\end{bmatrix}=\sum_{j=1}^{n}u_j^{*}v_j$

Mặt khác , $\left \langle u|v \right \rangle=\sum_{j=1}^{n}u_{j}^{*}v_{j}$
Nên $u^{\dagger}v=\left \langle u|v \right \rangle$
+Định lý .
Cho ma trận phức  Anxn = [ aij ] ,  $A^{\dagger }$  là ma trận liên hợp tương ứng của A .
(i) $\left \langle Au|v \right \rangle=\left \langle u|A^{\dagger} v \right \rangle$
(ii) $A^{\dagger}=B\Leftrightarrow \left \langle Au|v \right \rangle=\left \langle u|B v \right \rangle$
(iii) $A^{\dagger}=A\Leftrightarrow\left \langle Au|v \right \rangle=\left \langle u|A v \right \rangle$

*Sơ lược tiểu sử . 

Charles Hermite
Charles Hermite circa 1887
Sinh	December 24, 1822 Dieuze, Moselle
Mất	January 14, 1901 (aged 78) Paris
Quốc tịch	French
Lĩnh vực	Mathematics
Institutions	École Polytechnique Sorbonne
Alma mater	Collège Henri IV, Sorbonne Collège Louis-le-Grand,Sorbonne
Doctoral students	Léon Charve Henri Padé Mihailo Petrović Henri Poincaré Thomas Stieltjes Jules Tannery
Known for	Proof that e is transcendental Hermitian adjoint Hermitian form Hermitian function Hermitian matrix Hermitian metric Hermitian operator Hermite polynomials Hermitian transpose Hermitian wavelet

Nguồn :  http://en.wikipedia.org/wiki/Hermite
2. Bài toán Sturm - Liouville  .
2.1 Tổng quan .
+Trong lĩnh vực toán ứng dụng , phương trình cổ điển Sturm-Liouville - được đặt tên theo hai nhà toán học  Jacques Charles François Sturm (1803-1855) và Joseph Liouville (1809-1882) -  là  phương trình vi phân tuyến tính bậc hai có dạng (1)

Với P(x) > 0 , Q(x) và hàm trọng lượng R(x) > 0 là các hàm cho trước , aj , bj ( j = 1,2 ) là các hằng số cho bởi điều kiện biên , m là giá trị đặc trưng chưa xác định . 
+Trường hợp đơn giản nhất là tất cả các hàm số đều liên tục trên đoạn [ a, b ​​] , và P(x) có đạo hàm liên tục . Khi đó "y(x)" được gọi là nghiệm nếu nó khả vi liên tục trên khoảng (a, b) và thỏa mãn phương trình ( 1 ) tại tất cả các điểm thuộc (a, b) . Ngoài ra, ẩn hàm y(x) thường được yêu cầu phải đáp ứng một số điều kiện biên tại a và b. Hàm R(x) , được gọi là  hàm " trọng lượng " hay hàm " mật độ ".
+Giá trị m không được quy định trong phương trình, việc tìm kiếm các giá trị của m để tồn tại một nghiệm không tầm thường của (1) thỏa mãn các điều kiện biên là một phần của bài toán Sturm - Liouville ( S-L )  . Giá trị m như vậy khi chúng tồn tại , được gọi là các giá trị riêng của bài toán biên được xác định bởi (1) và tập hợp quy định của điều kiện biên. Các nghiệm tương ứng đối với m  gọi là hàm riêng của bài toán này . 
+Dưới các giả thiết bình thường về các hàm số P(x) , Q(x) và R(x) ở trên , sẽ dẫn đến việc tạo ra một toán tử vi phân Hermite trong không gian hàm nào đó được xác định bởi các điều kiện biên . Kết quả lý thuyết về sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của các giá trị riêng , lý thuyết định tính tương ứng về các hàm riêng và tính đầy đủ của chúng trong một không gian hàm phù hợp được gọi là lý thuyết Sturm - Liouville . Lý thuyết này có vai trò rất quan trọng trong toán ứng dụng , khi mà bài toán S -L xảy ra rất phổ biến , đặc biệt với các phương trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính khả tách .
+Bài toán (S-L) Sturm-Liouville được gọi là chuẩn nếu P(x), R(x)> 0 , các hàm P(x), P'(x), Q(x) và R(x) là các hàm liên tục trong đoạn
[a, b​​]  có các điều kiện biên được tách như trong (1) .

2.2  Một số tính chất của hàm riêng .
Dưới các giả thiết bài toán chuẩn S-L  , nguyên lý chính của lý thuyết Sturm-Liouville  phát biểu rằng:
1. Các giá trị riêng m1, m2, m3, ... của bài toán chuẩn Sturm-Liouville (1) là thực và có thể được sắp thứ tự như sau 
m1 < m2 < ... < mn  < ...
2. Tương ứng với mỗi giá trị đặc trưng mn là một hàm riêng yn(x) duy nhất có đúng (n - 1) không điểm trên khoảng (a, b) . Các hàm riêng  yn(x)  được gọi là nghiệm cơ sở thứ -n thỏa mãn bài toán chuẩn Sturm-Liouville  (1)
3. Các hàm riêng {yn(x) , n = 1,2,...} chuẩn hóa tạo thành một cơ sở trực chuẩn trong không gian Hilbert L2{[a,b],R(x)}  thỏa mãn 

Với hàm f(x) liên tục từng khúc ta có thể biểu diễn qua cơ sở trực chuẩn {yn(x) , n = 1,2,...} như sau 

Tính đầy đủ cho phép biểu diễn một hàm từng khúc thành chuỗi các hàm riêng và tính trực chuẩn là để bảo đảm sự duy nhất và compact .
+Lưu ý rằng, trừ khi P(x) là khả vi liên tục và các hàm  Q(x), R(x) là liên tục, các  phương trình không đáp ứng những điều kiện này được hiểu theo nghĩa yếu.
2.3 Các dạng đặc biệt của phương trình Sturm - Liouville .
a. Các hàm - đa thức dẫn xuất .
+ Phương trình vi phân Bessel là trường hợp đặc biệt của Sturm-Liouville - với 

Nghiệm của phương trình vi phân Bessel gọi là hàm Bessel loại 1 ,  Jn(x) xác định trên $(0,+\infty )$ .

+ Phương trình vi phân Chebyshev là trường hợp đặc biệt của Sturm-Liouville - với 

Nghiệm của phương trình vi phân Chebyshev gọi là đa thức Chebyshev ,  Tn(x) xác định trên (-1,1) .

+ Phương trình vi phân Laguerre là trường hợp đặc biệt của Sturm-Liouville - với 

Nghiệm của phương trình vi phân Laguerre gọi là đa thức Laguerre ,  Ln(x) xác định trên  $(0,+\infty )$ .

+ Phương trình vi phân Legendre là trường hợp đặc biệt của Sturm-Liouville - với 

Nghiệm của phương trình vi phân Legendre gọi là đa thức Legendre ,  Pn(x) xác định trên [-1,1] .
b. Thừa số tích phân IF  .
+ Đối với phương trình vi phân cấp 2 , khi nhân hai vế phương trình cho thừa số tích phân ta cũng quy về trường hợp đặc biệt của phương trình Sturm-Liouville .
Xét phương trình vi phân cấp 2 tổng quát 

Ví dụ . 

*Sơ lược tiểu sử . 

Jacques Charles François Sturm
Jacques Charles François Sturm
Sinh	29, tháng 9 , 1803 Geneva
Mất	15, tháng 12 1855 (aged 52) Paris
Quốc tịch	Pháp
Lĩnh vực	Toán học
Institutions	École Polytechnique
Công trình	Sturm–Liouville theory Sturm's theorem Speed of sound
Giải thưởng	Légion d'Honneur (1837) Copley Medal (1840)

Joseph Liouville
Joseph Liouville
Sinh	24 , tháng 3 , 1809 Saint-Omer
Mất	8 , tháng 9 , 1882                (73 tuổi ) Paris
Quốc tịch	Pháp
Lĩnh vực	Mathematics
Alma mater	École Polytechnique
Doctoral advisor	Siméon Poisson Louis Jacques Thénard
Doctoral students	Eugène Charles Catalan

Nguồn : 
http://en.wikipedia.org/wiki/Jacques_Charles_Sturm
http://en.wikipedia.org/wiki/Joseph_Liouville

 

Trần hồng Cơ .
25/10/2013 .

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.
 -------------------------------------------------------------------------------------------

 Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.
 Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.
 Albert Einstein .