GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN . Chương 6 - PHẦN 2 .

   

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Chương 6 -

PHẦN 2 . 

-Bài toán giá trị biên .
-Bài toán Sturm - Liouville 
-Các hàm đặc biệt .










Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  



Trần hồng Cơ .
26/10/2013 .



****************************************************************************
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.



3. Toán tử tự liên hợp .
3.1 Chuyển bài toán Sturm-Liouville về dạng toán tử .
+Xét phương trình vi phân Sturm-Liouville  (1)

Với P(x) , Q(x) và R(x)  là các hàm cho trước , các hằng số  aj , bj ( j = 1,2 ) , m là trị đặc trưng ( xem Chương 6 - Phần 1- 2.1 ) . Phương trình (1) được viết lại thành 

Toán tử L được định nghĩa như (2) là tuyến tính và xác định trên các hàm đủ trơn thỏa mãn các điều kiện biên . Cần chú ý rằng điều kiện biên của bài toán Sturm-Liouville cũng cần phải được hiệu chỉnh để toán tử L là tự liên hợp .
3.2 Công thức Green - Điều kiện biên tương thích Sturm-Liouville - Phần thương Rayleigh .
+Giả sử P , Q đủ trơn và khả tích trên đoạn (a,b) và L là toán tử như (2) . Với hai hàm u , v đủ trơn và khả vi ta có 

+Điều kiện biên tương thích Sturm-Liouville đối với mọi hàm u , v <=>  
$P\left [ u^{*}\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x} -v\frac{\mathrm{d} u^{*}}{\mathrm{d} x}\right ]_{a}^{b}=0$
Như vậy nếu hàm u , v  thỏa mãn điều kiện biên tương thích thì  $\int_{a}^{b}u^{*}L[v]dx=\int_{a}^{b}L[u^{*}]vdx$ 
+Toán tử L  thỏa mãn điều kiện biên tương thích là toán tử tự liên hợp
 $L^\dagger =L\Leftrightarrow \left \langle L[u]|v \right \rangle=\left \langle u|L[v] \right \rangle$
+Giả sử m (thực)  và u là trị đặc trưng và hàm đặc trưng tương ứng của (2) trên khoảng (a,b)  , khi đó m được tính bởi công thức 

Phương trình này gọi là phần thương Rayleigh .
4. Bài toán Sturm-Liouville đầy đủ  .
4.1 Phát biểu .
+Bài toán Sturm-Liouville là bài toán giá trị biên gồm các điều kiện sau đây  
(i) Phương trình vi phân có dạng toán tử 
L[y]  =  -mRy (2)  , với  L = D[P.D] + Q  trong đó 
D = d/dx  ,  P , Q , R ( P, R > 0 ) là các hàm đủ trơn và khả tích trên đoạn (a,b)  
(ii) Điều kiện biên tương thích tại x = a và x = b  với mọi hàm u , v .  
 $P\left [ u^{*}\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x} -v\frac{\mathrm{d} u^{*}}{\mathrm{d} x}\right ]_{a}^{b}=0$
Một lớp các bài toán Sturm-Liouville quan trọng thường có những đặc trưng dưới đây và được gọi chung là các bài toán chuẩn .
(iii) P , Q , R ( P, R > 0 ) là các hàm thực liên tục trên [a,b]  , P khả tích trên đoạn (a,b) .
(iv) Các điều kiện biên là thuần nhất tại x = a và x = b , nghĩa là  
$\left\{\begin{matrix} a_{1}y(a)+a_{2}y'(a)=0\\b_{1}y(b)+b_{2}y'(b)=0 \end{matrix}\right. ,a_{1}^2+a_{2}^2>0,b_{1}^2+b_{2}^2>0$  
( xem Chương 6 - Phần 1 - 2.1 ).
4.2 Ví dụ minh họa .
+Bài toán đơn giản nhất là tìm nghiệm của phương trình 
$\left\{\begin{matrix}y"+ky=0\\y(0)=y(\pi)=0 \end{matrix}\right.$
Viết dưới dạng toán tử 
$\left\{\begin{matrix}L[y]=-ky\\y(0)=y(\pi)=0\end{matrix}\right.$ 

5. Cơ sở trực giao - Chuỗi Fourier .
5.1 Tích trong - chuẩn - cơ sở trực giao .
+Như đã nói đến ở Chương 6 - Phần 1 , tích trong theo hàm trọng lượng R(x) của 2 hàm trong không gian nghiệm của bài toán Sturm - Liouville được định nghĩa như sau :
$\left \langle u|v \right \rangle=\int_{a}^{b}u(x)^{*}v(x)R(x)dx$
Nếu hàm R(x) = 1 ta có tích trong tiêu chuẩn , khi đó 
$\left \langle u|v \right \rangle=\int_{a}^{b}u(x)^{*}v(x)dx$
+Tính chất của tích trong .
$\left \langle u|v \right \rangle=\left \langle v|u \right \rangle^{*}$
$\left \langle u|av+bw \right \rangle=a\left \langle u|v \right \rangle+b\left \langle u|w \right \rangle$
$\left \langle av+bw|u \right \rangle=a^{*}\left \langle v|u \right \rangle+b^{*}\left \langle w|u \right \rangle$
$\left \langle u|u \right \rangle=\left \| u \right \|^2$
+Chuẩn của hàm u(x) :   
$\left \| u \right \|=\sqrt{\left \langle u|u \right \rangle}$ 
$\left \| u \right \|\geq 0,\left \| u \right \|= 0\Leftrightarrow u=0,\forall x\in (a,b)$
+Hai hàm u , v gọi là trực giao <=> tích trong giữa u và v  bằng 0 . $\left \langle u|v \right \rangle=0$
- Cơ sở  { uj , j =1,2...,n } gọi là trực giao nếu $\left \langle u_k|u_h \right \rangle=0,\forall u_k,u_h,k\neq h,k,h=\overline{1,n}$
- Cơ sở  { uj , j =1,2...,n } gọi là trực chuẩn nếu các hàm trực giao và có chuẩn bằng 1 .
Ví dụ .

5.2  Chuỗi Fourier  .
+Xét cơ sở trực giao U = { uk(x) , k = 1,2,...,n,... } , gồm các hàm thực đủ trơn , khả tích trên (a,b) . Giả sử rằng hàm f(x) được khai triển thành chuỗi ( có thể vô hạn ) theo cơ sở U , khi đó 

Biểu thức viết dưới dạng chuỗi như vậy gọi là khai triển Fourier của hàm số f(x) , với Ck là hệ số tổng quát . Nếu uk(x) là các hàm đặc trưng , ta nói khai triển Fourier là khai triển hàm đặc trưng . 

Ví dụ . Khai triển Fourier của hàm số y = f(x) = x  trên (0 , p )  theo cơ sở  U = { uk(x) = sinkx , k = 1,2,...,n,... } như sau .
+

Các bạn có thể dùng đoạn Maple code sau đây tìm khai triển Fourier cho hàm số f(x)  trên đoạn 
(a,b) Í (-p,p) .
> fourier:=proc(f,a0,b0,k0)
> local A,B,F;print(" Ha`m sô' cho truoc :  f(x) = ", f);print(" Khai trien Fourier cua ham f(x) trên doan [a,b] = ",[a0,b0]);print(" Chi sô khai triên : k = ",k0);
> A:=[seq(evalf(int(f*cos(k*x),x=a0..b0)),k=0..k0)]:B:=[seq(evalf(int(f*sin(k*x),x=a0..b0)),k=0..k0)]:
> assume(j>0):F:=A[1]/(2*Pi)+sum(A[j]/Pi*cos((j-1)*x)+B[j]/Pi*sin((j-1)*x),j=2..k0):print(" Khai triên Fourier la ",f_[FOURIER](x)=F):F1:=A[1]/(2*Pi)+sum(evalf(A[j]/Pi)*cos((j-1)*x)+evalf(B[j]/Pi)*sin((j-1)*x),j=2..k0+1):print(" hay :",f_[FOURIER](x)=F1):
> plot([f,F],x=-Pi..Pi,color=[black,yellow],thickness=[1,4]);
> end;

Ví dụ .

6. Phương pháp khai triển hàm đặc trưng - Các ví dụ .
6.1 Khai triển hàm đặc trưng .
+ Bài toán trị đặc trưng Sturm-Liouville đòi hỏi phải có cơ sở trực giao U = { uk(x) , k = 1,2,...,n,... } với uk(x) là các hàm đặc trưng . Trong tiết này chúng ta sẽ vận dụng phương pháp khai triển hàm đặc trưng để giải một số bài toán biên không thuần nhất đặc biệt . 
Phương trình vi phân không thuần nhất viết dưới dạng toán tử   
                       L[y]  =  f             (3)  ,
 trong đó y(x) thỏa mãn các điều kiện biên thuần nhất . Với các hàm đặc trưng uk(x)  tương ứng với trị đặc trưng mk  , ta có  
                      L[uk]  = -mkRuk    (4)  
cũng thỏa mãn các điều kiện biên cho trước .

6.2 Ví dụ .
+ Khảo sát nghiệm của bài toán biên sau đây 

*XEM TIẾP TRÊN BLOG CHUYÊN NGÀNH :
http://cohtran-toan-don-gian.blogspot.com/2013/11/gioi-thieu-ve-phuong-trinh-vi-phan.html

Trần hồng Cơ .
10/11/2013 .

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.
 -------------------------------------------------------------------------------------------

 Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.
 Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.
 Albert Einstein .