GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN . Chương 4- PHẦN 3 .

   

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Chương 4-

PHẦN 3 . 

Phép biến đổi Laplace .
Phép biến đổi ngược Laplace .
Giải phương trình vi phân bằng phép biến đổi Laplace .
Bài tập thực hành .  

Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  



Trần hồng Cơ .
14/05/2013 .


****************************************************************************


This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

1. Phép biến đổi Laplace .
Phép biến đổi Laplace là một trong số những phép biến đổi tích phân quan trọng nhất áp dụng cho việc giải các phương trình vi phân tuyến tính . Nhờ phép biến đổi Laplace ta có thể đưa phương trình vi phân tuyến tính cấp cao hệ số hằng về một phương trình đại số , đặc biệt hơn nữa nó rất hữu dụng khi tìm nghiệm cho các phương trình vi phân tuyến tính có vế phải là những hàm xung , hàm trơn từng khúc hoặc hàm gián đoạn .  Trong phần này chúng ta sẽ tìm hiểu về phép biến đổi Laplace , các tính chất và ứng dụng cho việc giải phương trình vi phân tuyến tính cấp cao .
1.1 Định nghĩa - ký hiệu .
Cho hàm số f(t)  xác định với mọi t > 0 , phép biến đổi tích phân 

Tích phân trong ký hiệu trên hiểu theo nghĩa suy rộng , 

1.1.1  Hàm gốc - định lý cơ bản .
a. Hàm gốc . 

Cho f(t) là hàm với biến thực t , ta nói f(t) là hàm gốc nếu :

( i )  f(t) liên tục từng đoạn khi t  ³  0

( ii )  " t > 0  , $ M > 0 , so  ³  0  : 

| f(t) |  £  M exp(sot )   so  gọi là chỉ số tăng .

( iii )  f(t)  =  0  khi  t  <  0 . 
 Định lý sau trong trường hợp tổng quát đúng với biến phức  p = s + is  .

b. Định lý cơ bản . 

  Cho 

Ví dụ 1 .
Tìm ảnh của các hàm sau 

Lời giải .

1.1.2  Các tính chất - định lý Mellin .

a. Tính chất . 

(i) Tuyến tính . 
Cho f(t) , g(t) là 2 hàm gốc ,  A , B là 2 hằng số thực ( hoặc phức )  

(ii) Đồng dạng .
Cho f(t) là hàm gốc ,  l   là hằng số thực dương

(iii) Dời ảnh .
Cho f(t) là hàm gốc , z là số phức tùy ý 

(iv)  Trễ .
Cho f(t) là hàm gốc 

b. Định lý Mellin . 

  Cho f(t) là hàm gốc có chỉ số tăng so  và F(p) là ảnh của nó tại mọi điểm f(t) liên tục , ta có 

Định lý Mellin cho phép ta tìm được hàm gốc  f(t) dựa trên ảnh F(p) của nó qua phép biến đổi Laplace . Đây chính là cơ sở của phép tính Laplace ngược tìm hàm gốc sau khi đã thực hiện các tính toán trên hàm ảnh F(p) .




1.2  Bảng công thức Laplace - thực hành .
1.2.1  Bảng công thức Laplace .
Dưới đây là bảng công thức Laplace áp dụng cho hàm gốc có biến thực t và biến của ảnh là số thực s .   

Bảng Laplace  .

Hàm hyperbolic và hàm Gamma .

Hàm Dirac .

1.2.2  Thực hành .
Ví dụ 2 .

Dựa vào bảng Laplace tìm ảnh của các hàm gốc sau

 Lời giải .

Các bạn dùng các công thức bảng Laplace , kết hợp với Maple tìm ảnh của các hàm gốc e. và f.  còn lại trong ví dụ 2.  trên .
Xem bảng Laplace 

http://www.slideshare.net/cohtran/laplace1-8merged

Laplace1 8merged from cohtran

XEM TIẾP 

http://cohtran-toan-don-gian.blogspot.com/2013/05/gioi-thieu-ve-phuong-trinh-vi-phan.html

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.
------------------------------------------------------------------------------------------- 
Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic. 
Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.
 Albert Einstein .

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN . Chương 4 - PHẦN 4 .

   

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Chương 4-

PHẦN 4 . 

Lý thuyết tổng quát 
-Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao .
-Phương trình vi phân cấp cao tổng quát .
-Các dạng phương trình vi phân giảm cấp .












Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  



Trần hồng Cơ .
28/05/2013 .



****************************************************************************
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.



1 . Lý thuyết tổng quát 
-Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao .
1.1  Khái niệm .
Như đã trình bày ở Chương 4-Phần 1 - 1.1 , phương trình vi phân tuyến tính cấp cao có dạng  (1) 

*Dạng tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính theo toán tử như sau 

xét  P(x, t) là đa thức theo biến t  với các hệ số là hàm ak (x) , có dạng  

thay biến  t  bằng toán tử vi phân D ta có

**Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp n là  G(x,v(x)) = 0  trong đó 

1.2 Bài toán Cauchy và điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm .

Bài toán Cauchy đặt ra là tìm nghiệm của G(x,v(x)) = 0 thỏa mãn các điều kiện :

Nhờ định lý hàm ẩn dưới một số điều kiện có thể viết lại dưới dạng (2) :

Lưu ý :
+Dạng (1) biểu diễn phương trình tuyến tính cấp cao theo toán tử vi phân  D .
+Dạng (2)  biểu diễn phương trình vi phân hiển cấp n theo biến ( x , u(x)) .
+Dạng (3) gọi là dạng ẩn , biểu diễn phương trình vi phân tuyến tính cấp cao  G(x,v(x)) = 0  với 

+Định lý Péano về sự tồn tại nghiệm .

+Định lý Picard-Lindelof . 
Đưa ra một tiêu chuẩn để phương trình vi phân (2) có nghiệm duy nhất 
*Liên tục Lipschitz . 

Hàm F( x , u(x)) có tính chất trên gọi là liên tục đối với biến u theo nghĩa Lipschitz  .

** Định lý Picard - Lindelof .

Nếu phương trình vi phân (2) thỏa mãn định lý Péano và hơn nữa nếu F liên tục Lipschitz theo u thì   tồn tại nghiệm y = y(x) và nghiệm này là duy nhất .

1.3 Các dạng biểu thức nghiệm của phương trình vi phân cấp cao .
+Nghiệm y = y(x,C1,C2,...,Cn) xác định trên DxU  khả vi liên tục đến cấp n , gọi là nghiệm tổng quát dạng hiển của (2) <=>
(i) 

(ii) 
Nghiệm y = y(x,C1,C2,...,Cn)  thỏa mãn (2) với các  Ck   ( k = 1,2,...,n )  tìm được ở (i) .
 Để tìm nghiệm tổng quát dạng hiển của (2) ta thay thế  x0 và u0 vào hệ , giải hệ này tìm các giá trị Ck   ( k = 1,2,...,n ) .
+Nghiệm F = F (x,y,C1,C2,...,Cn) = 0 , xác định trên DxU    , gọi là nghiệm tổng quát dạng ẩn của (2) .
+Nghiệm { x = c(t,Ck )  ,  y = x(t,Ck ) với ( k = 1,2,...,n ) } , gọi là nghiệm tổng quát dạng tham số của (2).
+Nghiệm riêng là nghiệm thỏa mãn tính duy nhất nghiệm theo định lý Picard Lindelof  với các hằng số Ck   ( k = 1,2,...,n )  tìm được khi giải các điều kiện cho trước .

+Nghiệm kỳ dị là nghiệm không thỏa mãn tính duy nhất nghiệm theo định lý Picard Lindelof ( không bị chặn theo biến u  ) , có thể hiểu tại điểm (x0,u0)  nào đó có nhiều nghiệm của phương trình cùng đi qua  ( Các bạn có thể xem ở Chương 1-Phần 3 từ 1.1 đến 1.3 về tính duy nhất nghiệm của phương trình vi phân ) .
1.3 Nghiệm kỳ dị của phương trình vi phân cấp cao .

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN . Chương 4- PHẦN 2 .

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

   

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Chương 4-

PHẦN 2 . 

Toán tử vi phân ngược .  
Phương pháp toán tử vi phân ngược .
Mô hình ứng dụng .
Bài tập thực hành .  

Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  



Trần hồng Cơ .
01/05/2013 .


****************************************************************************


This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

1. Toán tử vi phân ngược .
1.1 Định nghĩa - Các công thức  .

Trong Chương 2-Phần 4 chúng ta đã đề cập đến toán tử vi phân ngược và ứng dụng của nó tìm nghiệm riêng cho phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng . 
Phần nội dung sau đây sẽ bổ sung các công thức , mô tả cách tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính cấp cao hệ số hằng bằng phương pháp này qua các ví dụ chi tiết .

1.1.1 Định nghĩa .

*Xem Chương 2-Phần 4  . 1.3.2 
 Xét phương trình vi phân viết dạng toán tử 

** Toán tử vi phân ngược cấp k

1.1.2  Các công thức . 


* Xét phương trình vi phân viết dạng toán tử  

1.2   Định lý bổ sung . 


* Xét phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng dạng 
                          P(D)(y)  =  f    (1)
Với đa thức toán tử 


1.2.1   Định lý  . 

Các tính chất phân phối và giao hoán của toán tử vi phân ngược 

Lưu ý :
+Trong phương trình (1) đa thức toán tử  P(D) và hàm f(x) đã cho là duy nhất , nhưng giá trị của toán tử vi phân ngược trên  f(x) có thể là không duy nhất . 
+ Sự sai khác giữa 2 kết quả chính là nghiệm  của phương trình thuần nhất   P(D)(y)  =  0  (2)  .   

1.2.2   Định lý  . 

Tính chất thay thế và nâng toán tử vi phân bằng một hằng số . 
** Liên hệ giữa toán tử vi phân ngược và hàm mũ .




1.3  Phép tính trên toán tử vi phân và toán tử vi phân ngược  .

Các bài tập sau mô tả phép tính toán tử vi phân và vi phân ngược .


Ví dụ 1 . xem Chương 2-Phần 4 . 2  - 2.1 

Lời giải .
1.

2.

Ví dụ 2 .
Tìm kết quả của các phép tính vi phân ngược sau đây 

Lời giải .

Lấy phần thực của K , ta có Re(K)  

đặt theta = 3x , dùng Maple tính toán , rút gọn và lấy phần ảo , ta có 

Xem tiếp :
http://cohtran-toan-don-gian.blogspot.com/2013/04/gioi-thieu-ve-phuong-trinh-vi-phan_30.html


This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

 -------------------------------------------------------------------------------------------
 Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic. 
 Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas. 
 Albert Einstein .