GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN . Chương 3- PHẦN 3 .

.

   

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Chương 3-

PHẦN 3 . 

Bức tranh pha của hệ phẳng .  
Phân loại các hệ phẳng  .
Hệ phi tuyến   .
Phân nhánh trong hệ phi tuyến . 

Bài tập thực hành .  






Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  



Trần hồng Cơ .
26/02/2013 .


****************************************************************************


This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.




1. Bức tranh pha của hệ phẳng .  

1.1  Hệ động lực phẳng tuyến tính .
Trong Chương 3 - Phần 2  chúng ta đã phần nào hiểu được sự phân nhánh trong phương trình vi phân , các tính chất của điểm cân bằng cùng với sự ổn định tuyến tính của quỹ đạo . Một lớp bài toán quan trọng đó là hệ động lực phẳng tuyến tính và việc giải quyết chúng đem lại khá nhiều ứng dụng trong thực tiễn . Trường hợp autonomous hệ động lực phẳng tuyến tính có dạng đơn giản như sau (1)

Ví dụ 1. Xét hệ động lực phẳng tuyến tính autonomous  

1.1.1  Điểm cân bằng của hệ động lực phẳng tuyến tính .
Tương tự như Chương 3 - Phần 2 - 2.1 , để tìm điểm cân bằng cho hệ phẳng tuyến tính autonomous (1) , ta giải phương trình ma trận    

                        V' =  AV  =  0 

a. Các tính chất của trạng thái cân bằng  .
Xét hệ phẳng tuyến tính autonomous (1)
+Nếu định thức của A khác 0  
( detA  =/=  0  hay  | A |  =/=  0  )  thì  hệ có điểm cân bằng duy nhất ( 0 , 0 ) .
+Nếu định thức của A bằng 0  
( detA  =  0 hay  | A |  =  0 )  thì hệ có một đường thẳng đi qua gốc ( 0 , 0 ) trên đó mỗi điểm đều là điểm cân bằng .

Ví dụ 2 . Như trên , detA  = (2).(-3) - (3).(6) = - 24 =/= 0  => hệ có điểm cân bằng duy nhất ( 0 , 0 ) .
Kiểm tra bằng Maple  

Ví dụ 3 .   Xét hệ 

Kiểm tra bằng Maple 

b. Trị đặc trưng - Vectơ đặc trưng - Nghiệm của hệ phẳng tuyến tính autonomous .
Xét hệ phẳng tuyến tính autonomous (1)
+Trị đặc trưng của hệ là nghiệm m của phương trình đặc trưng  | A  - m I |  =  0 .
+Vectơ đặc trưng của hệ ký hiệu Vdt là vectơ khác vectơ 0 sao cho   AVdt    =  mVdt    . 
+Nghiệm của hệ (1) có dạng   V  =  e^(mt)Vdt   .

Ví dụ 4. Xét hệ 

b. Nghiệm của hệ (1) có dạng   V  =  e^(mt)Vdt   .

Kiểm tra bằng Maple 

1.1.2  Trị đặc trưng và bức tranh pha của hệ động lực phẳng tuyến tính .

Xét hệ phẳng tuyến tính autonomous (1) với trị đặc trưng m . Những trường hợp sau đây có thể xảy ra .
a. Các trị đặc trưng là thực và riêng biệt .
+Trị đặc trưng của hệ  m1 , m2 là số thực thỏa 
  m1  < 0 < m2  ( trái dấu ) .
Điểm cân bằng của hệ gọi là điểm yên ngựa - saddle .

+Trị đặc trưng của hệ  m1 , m2 là số thực thỏa 
  m1 < m2  < 0   ( cùng âm ) .
Điểm cân bằng của hệ gọi là điểm chìm - sink .

+Trị đặc trưng của hệ  m1 , m2 là số thực thỏa 
   0  <  m1 < m2   ( cùng dương )  . 
Điểm cân bằng của hệ gọi là điểm nguồn - source .

b. Các trị đặc trưng là thực và trùng nhau .
+Trị đặc trưng của hệ  m1 , m2 là số thực thỏa 
  m1  =  m2   < 0  ( nghiệm kép âm ) .
Điểm cân bằng của hệ gọi là điểm chìm kép - sink .

+Trị đặc trưng của hệ  m1 , m2 là số thực thỏa 
  m1  =  m2   > 0  ( nghiệm kép dương ) .
Điểm cân bằng của hệ gọi là điểm nguồn kép - source .

c. Các trị đặc trưng là phức  .
+Trị đặc trưng của hệ  m1 , m2 là số phức 
  m1  =  a + ib ; m2  = a - ib    thỏa  a  <  0 ( phần thực âm ) .
Điểm cân bằng của hệ gọi là điểm chìm xoắn - spiral sink .

+Trị đặc trưng của hệ  m1 , m2 là số phức 
  m1  =  a + ib ; m2  = a - ib    thỏa  a  >  0 ( phần thực dương ) .
Điểm cân bằng của hệ gọi là điểm nguồn xoắn - spiral source .

+Trị đặc trưng của hệ  m1 , m2 là số phức 
  m1  =   + ib ; m2  =  - ib    thỏa  a  =  0 ( phần thực bằng 0  ) .
Điểm cân bằng của hệ gọi là  tâm điểm - center .

1.2  Các ví dụ minh họa bức tranh pha của hệ động lực phẳng tuyến tính .
1.2.1  Ví dụ minh họa .

a. Các trị đặc trưng là thực và riêng biệt .
+Trị đặc trưng của hệ  m1 , m2 là số thực thỏa 
  m1  < 0 < m2  ( trái dấu ) .


Điểm cân bằng của hệ gọi là điểm yên ngựa - saddle .
Ví dụ 1 . 

+Trị đặc trưng của hệ  m1 , m2 là số thực thỏa 
  m1 < m2  < 0   ( cùng âm ) .
Điểm cân bằng của hệ gọi là điểm chìm - sink .
Ví dụ 2 .

+Trị đặc trưng của hệ  m1 , m2 là số thực thỏa 
   0  <  m1 < m2   ( cùng dương )  . 
Điểm cân bằng của hệ gọi là điểm nguồn - source

Ví dụ 3 .

b. Các trị đặc trưng là thực và trùng nhau .
+Trị đặc trưng của hệ  m1 , m2 là số thực thỏa 
  m1  =  m2   < 0  ( nghiệm kép âm ) .
Điểm cân bằng của hệ gọi là điểm chìm kép - sink .

Ví dụ 4 .

+Trị đặc trưng của hệ  m1 , m2 là số thực thỏa 
  m1  =  m2   > 0  ( nghiệm kép dương ) .
Điểm cân bằng của hệ gọi là điểm nguồn kép - source .

Ví dụ 5 .

c. Các trị đặc trưng là phức  .
+Trị đặc trưng của hệ  m1 , m2 là số phức 
  m1  =  a + ib ; m2  = a - ib    thỏa  a  <  0 ( phần thực âm ) .
Điểm cân bằng của hệ gọi là điểm chìm xoắn - spiral sink .

Ví dụ 6 .

+Trị đặc trưng của hệ  m1 , m2 là số phức 
  m1  =  a + ib ; m2  = a - ib    thỏa  a  >  0 ( phần thực dương ) .
Điểm cân bằng của hệ gọi là điểm nguồn xoắn - spiral source .

Ví dụ 7 .

+Trị đặc trưng của hệ  m1 , m2 là số phức 
  m1  =   + ib ; m2  =  - ib    thỏa  a  =  0 ( phần thực bằng 0  ) .
Điểm cân bằng của hệ gọi là  tâm điểm - center .

Ví dụ 8 . 

1.2.2  Tóm tắt về bức tranh pha và biểu thức nghiệm của hệ động lực phẳng tuyến tính .

Bảng 1 . Tóm tắt bức tranh pha .

Bảng 2. Biểu thức nghiệm của hệ phẳng tuyến tính .

2. Phân loại các hệ phẳng  .
2.1  Phương trình đặc trưng của hệ phẳng tuyến tính .
Khi nghiên cứu tổng quát về hệ động lực phẳng tuyến tính autonomous (1) , ma trận của hệ có dạng 

Từ nghiệm đặc trưng m1 và m2 thu được như trên , ta có thể phân loại  các hệ phẳng theo trA ( tổng các số hạng trên đường chéo chính của ma trận A ) và detA ( định thức của ma trận A ). 

2.2  Phân loại hệ phẳng tuyến tính .

Xem tiếp trên

http://cohtran-toan-don-gian.blogspot.com/2013/02/gioi-thieu-ve-phuong-trinh-vi-phan_28.html



Trần hồng Cơ .
05/03/2013 .



This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

-------------------------------------------------------------------------------------------
Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.  
Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.

Albert Einstein .

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN . Chương 3- PHẦN 2 .

   

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Chương 3-

PHẦN 2 . 

Sơ lược về phân nhánh trong phương trình vi phân cấp 1 .  
Mô hình logistic - Hằng số thu hoạch và phân nhánh .
Nghiệm tuần hoàn - Hệ thời gian rời rạc  .
Ánh xạ Poincaré - Tính ổn định của quỹ đạo . 

Bài tập thực hành .  






Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  



Trần hồng Cơ .
27/01/2013 .


****************************************************************************


This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.





1. Sơ lược về phân nhánh trong phương trình vi phân cấp 1 .  
1.1  Giới thiệu .
Khảo sát phương trình vi phân có chứa tham số , khi ta thay đổi tham số này động lực học của phương trình cũng sẽ biến đổi theo . Những hiện tượng có thể  xẩy ra như sau  
+Nghiệm cân bằng ( ta đã xét trong Chương 3 Phần 1 )  sẽ mất tính ổn định .
+Nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân có thể sẽ xuất hiện .
+Trạng thái cân bằng mới được tạo ra làm cho tính cân bằng ban đầu trở nên không ổn định .  
Giá trị của tham số tạo ra những sự thay đổi đó gọi là giá trị phân nhánh và tham số chính gây ra sự phân nhánh gọi là tham số phân nhánh .

http://www.elmer.unibas.ch/pendulum/bif.htm

1.2  Phân loại .
Có 2 lớp phân nhánh cơ bản 
1.2.1 Phân nhánh cục bộ ( Local bifurcation ) .
Xảy ra khi với một sự thay đổi tham số sẽ làm cho điểm cân bằng ( hay điểm bất động , điểm cố định  - fixed point ) thay đổi . 
a.Trong những hệ liên tục , điều này tương ứng với phần thực  ( Re ) của một trị đặc trưng của điểm cân bằng đi qua điểm 0 . 

Cho phương trình  vi phân liên tục autonomous chứa tham số m  
   
                          x '  =  f(m, x) .

phân nhánh cục bộ tại điểm (mo,xo) khi định thức Jacobi df(mo,xo) có một trị đặc trưng với phần thực bằng 0 .
-Nếu  một trị đặc trưng bằng 0 thì phân nhánh là trạng thái ổn định .

-Nếu  một trị đặc trưng khác 0 và thuần ảo thì phân nhánh là trạng thái Hopf . 


b. Trong những hệ rời rạc ( thường được mô tả bằng ánh xạ hơn là phương trình vi phân ) ,  điều này tương ứng với một điểm bất động (cố định) chứa nhân tử Floquet có module bằng 1 .

Cho phương trình  vi phân rời rạc autonomous chứa tham số m  
   
                          xn+1   =  f(m, xn) .

phân nhánh cục bộ tại điểm (mo, x o) khi định thức Jacobi  df(mo,xo) có một trị đặc trưng với module bằng 1 .

-Nếu  một trị đặc trưng bằng 1 thì phân nhánh hoặc là nút yên ngựa ( saddle-node ) , hoặc là chuyển tới hạn ( transcritical ) hoặc là dạng chĩa ( pitchfork ) .
-Nếu  một trị đặc trưng bằng -1 thì phân nhánh là chu kỳ kép ( period-doubling ) , các trường hợp khác là phân nhánh Poincaré-Andronov-Hopf . 



Trong cả hai hệ trên , trạng thái cân bằng là phi-hyperbolic tại điểm phân nhánh . 
Những thay đổi vị tướng ( topologic ) trong bức tranh pha ( phase portrait ) của hệ có thể được giới hạn trong lân cận nhỏ tùy ý của các điểm bất động (cố định) phân nhánh bằng cách dịch chuyển tham số gần sát đến điểm phân nhánh ( vì vậy ta gọi là phân nhánh cục bộ ).  
Một số phân nhánh cục bộ như 
+Phân nhánh điểm yên ngựa ( saddle-node)

http://wikis.swarthmore.edu/mathbio/index.php/Bifurcation

http://www.egwald.ca/nonlineardynamics/bifurcations.php

+ Phân nhánh chuyển tới hạn ( transcritical ) 

+ Phân nhánh dạng chĩa ( pitchfork)

+ Phân nhánh chu kỳ kép ( period-doubling )

+Phân nhánh Hopf .

1.2.2  Phân nhánh toàn cục ( Global bifurcation ) .
Xảy ra khi các tập bất biến lớn như quỹ đạo tuần hoàn va chạm với điểm cân bằng . Điều này tạo ra sự thay đổi vị tướng của các quỹ đạo trong không gian pha không bị giới hạn trong một lân cận nhỏ .

Nói cách khác sự thay đổi vị tướng có thể mở rộng đến một khoảng cách lớn tùy ý không bị giới hạn  ( vì vậy ta gọi là phân nhánh toàn cục ) . 
Một số phân nhánh toàn cục như
+Phân nhánh Homoclinic ( đường tròn giới hạn va chạm với điểm yên ngựa ) 

+Phân nhánh Heteroclinic ( đường tròn giới hạn va chạm với một hay nhiều điểm yên ngựa )

http://www.egwald.ca/nonlineardynamics/mathappendix.php

+Phân nhánh vô hạn tuần hoàn ( điểm nút ổn định và điểm yên ngựa cùng xuất hiện đồng thời trênđường tròn giới hạn  )

+Phân nhánh Blue Sky Catastrophe  ( đường tròn giới hạn va chạm với một đường tròn phi-hyperbolic  ) 

2. Mô hình logistic - Hằng số thu hoạch và phân nhánh . 

2.1 Mô hình logistic . 

Để tiếp cận với khái niệm về phân nhánh một cách đơn giản nhất chúng ta sẽ khảo sát mô hình logistic , điều mà trước đây trong Chương 1- Phần 2.  2.6 ( Mô hình nguồn thủy sản ) đã đề cập đến . Ta có thể đưa ra các giả thiết sau đây cho mô hình :
+Nếu quy mô tổng thể bầy đàn là nhỏ thì tốc độ tăng trưởng gần như tỷ lệ thuận với quy mô tổng thể .
+Nếu  quy mô tổng thể bầy đàn  là lớn thì tốc độ tăng trưởng bắt đầu giảm dần về số âm .
a. Phương trình vi phân mô phỏng có dạng 

b.  Tìm các điểm cân bằng và phác họa đường pha cho phương trình vi phân này ( Xem Chương 3 - Phần 1.  2.3 ). 
*Trường hợp m > 0 .
+Tìm điểm cân bằng . Giải phương trình 
f(m,x) = 0 <=>  x = 0  V  x = 1 .  
+Xác định tính chất điểm cân bằng . Tính đạo hàm  f ' (m,x) = m( 1 - 2 x )  
- Thế các điểm cân bằng vào 
Tại  x = 0  => f ' (m,0) = m > 0   : điểm nguồn .
Tại  x = 1  =>  f ' (m,1) = - m < 0   : điểm chìm .   
+Lập bảng xét dấu f(m,x) = mx( 1 - x )

**Trường hợp m < 0 .
+Tìm điểm cân bằng . Giải phương trình 
f(m,x) = 0 <=>  x = 0  V  x = 1 .  
+Xác định tính chất điểm cân bằng . Tính đạo hàm  f ' (m,x) = m( 1 - 2 x )  
- Thế các điểm cân bằng vào 
Tại  x = 0  => f ' (m,0) = m < 0   : điểm chìm .
Tại  x = 1  =>  f ' (m,1) = - m > 0  : điểm nguồn .  
+Lập bảng xét dấu f(m,x) = mx( 1 - x )

c.  Từ phác họa trường hướng trên đây cho chúng ta hình dung về phân nhánh các đồ thị nghiệm tại điểm cân bằng như nguồn , chìm và nút .   

2.2  Hằng số thu hoạch và phân nhánh . 

a. Trong 2.1 ta đã khảo sát hàm logistic , tính chất các điểm cân bằng , đường pha và trường hướng của phương trình vi phân này để có một cái nhìn sơ lược về phân nhánh .  Tiếp sau đây ta sẽ thay đổi mô hình logistic bằng cách thêm vào hằng số h ( không mất tính tổng quát ta có thể giả sử h > 0 ) khi nghiên cứu về việc  thu hoạch đối với tổng thể bầy đàn x(t)  cho trước .  
x' =  f (m,x,h) = mx (1 - x ) - h  .
Hằng số h biểu thị cho sự thu hoạch không đổi từ tổng thể tương ứng với tham số m .
+Tìm điểm cân bằng . Giải phương trình 
f (m,x,h)  = 0 <=>  

b. Việc khảo sát các tính chất của điểm cân bằng và sự phân nhánh phương trình vi phân tùy thuộc vào m và h . Ví dụ ta chọn m =1 khi đó 
+Trường hợp 1 .   1  >  4h  hay  h  <  1/4  , có 2 điểm cân bằng : một điểm chìm -sink ở  x1  , một điểm nguồn -source  ở  x2 
+Trường hợp 2 .   1  <  4h  hay  h  >  1/4  , không có  điểm cân bằng . 

+Trường hợp 3 .   1  =  4h  hay  h  =  1/4  , có 1 điểm cân bằng : một điểm nút -node ở  x1 =  x2 .

Về mặt sinh thái học sự phân nhánh trong phương trình vi phân mô phỏng cho phép chúng ta có thể dự báo về sự khủng hoảng ( hoặc mất cân bằng ) của   tổng thể  . Ở trường hợp trên đây khi hằng số thu hoạch h < 1/4  hay h = 1/4 thì tổng thể bầy đàn còn được duy trì với điều kiện đầu  x(0) > x1 , khi h = 1/4  thì chỉ cần một sự thay đổi nhỏ về tỷ lệ thu hoạch sẽ dẫn đến ảnh hưởng lớn đến quy mô bầy đàn . Đặc biệt nếu  h > 1/4  đưa đến nguy cơ tuyệt chủng .

3. Nghiệm tuần hoàn - Hệ thời gian rời rạc   . 
3.1  Nghiệm tuần hoàn . 
 Trong thực tế việc đánh bắt không luôn tuân theo hằng số thu hoạch mà thường diễn tiến theo mùa . Ví dụ về mùa ấm nguồn trữ lượng dồi dào hơn và do đó khối lượng thu hoạch sẽ nhiều hơn mùa đông  , như vậy ta có thể giả thiết thêm là việc đánh bắt có tính chất tuần hoàn theo một chu kỳ nào đó . Mô hình này sẽ có dạng phương trình không autonomous (2)

với  m , h là các số dương .
 Tỷ lệ thu hoạch đạt lớn nhất là  - 2h tương ứng với t = n + 1/4  với n chỉ về số năm và đạt nhỏ nhất là 0 khi t = n + 3/4  ( sai biệt nửa năm ) Nhận xét rằng (2) không phải dạng tách biến nên việc tìm nghiệm giải tích rất khó thực hiện và phương pháp định tính được sử dụng khá tốt trong trường hợp này . 
Với các giá trị m và h và các điều kiện đầu x(0) cụ thể ta nhận được nghiệm tuần hoàn của (2) mô tả như hình sau .

Để có thể nhận biết được dáng vẻ đồ thị nghiệm tuần hoàn và tính ổn định ta dựa vào ý tưởng điểm bất động và ánh xạ Poincaré sẽ trình bày dưới đây .

3.2  Hệ thời gian rời rạc - Điểm bất động - Tính ổn định của điểm bất động  . 
3.2.1  Hệ thời gian rời rạc ( discrete time system ) .  
 Được xác định bởi phương trình sai phân  
                         xk+1   =  f(xk) .

hệ được gọi là cấp n khi f là ánh xạ từ Rn  -> Rn .
+Quỹ đạo là một dãy các nghiệm lặp  x(k,xo) với k nguyên dương , với điều kiện đầu xo   . 
Ví dụ 1 .  Lãi ngân hàng định kỳ năm lãi suất 5% chịu phí $20 có phương trình 
                     xk+1   =  1.05xk  -  20 . 

 -Tìm biểu thức  xk  với điều kiện đầu xo  = 200 , 
xo  = 600  .
- Vẽ đồ thị trong 2 trường hợp trên và có nhận xét gì  ?   
Lời giải .
Dùng lệnh >rsolve  tìm biểu thức truy hồi .

Nhận xét :
- với điều kiện đầu  xo  = 200 , lãi âm .
- với điều kiện đầu  xo  = 600 , lãi dương .
- với điều kiện đầu  xo  = 400 , xk  = 400 , không lời . Hình dạng và tính chất  của mỗi  quỹ đạo tùy thuộc vào các điều kiện đầu .
Biểu diễn Cobweb cho n200 tương ứng với  điều kiện đầu  xo  = 200 , đồ thị phân kỳ – 00  .
 

Biểu diễn Cobweb cho n600 tương ứng với  điều kiện đầu  xo  = 600 , đồ thị phân kỳ  + 00  .




Ví dụ 2 .  Hệ thời gian rời rạc được biểu diễn bởi  phương trình 
                     xk+1   =  2  -  xk^2 . 

 -Tìm biểu thức  xk  với điều kiện đầu xo  = 0.25 , 
xo  = 3  .
- Vẽ đồ thị Cobweb trong 2 trường hợp trên và có nhận xét gì  ?   
Lời giải .
Về mặt kỹ thuật không phải lúc nào lệnh >rsolve  cũng cho ta biểu thức truy hồi dạng hiển . 

Vì thế biểu diễn Cobweb sẽ cho ta nhận định về hình dạng và tính chất của mỗi  quỹ đạo tương ứng với các điều kiện đầu . 

Biểu diễn Cobweb cho n025 tương ứng với  điều kiện đầu  xo  = 0.25 , đồ thị hội tụ trong hình vuông [-2,2]x[-2,2] .

Biểu diễn Cobweb cho n3 tương ứng với  điều kiện đầu  xo  = 3 , đồ thị phân kỳ - 00 . 

Biểu diễn quỹ đạo n025 và n3 bằng Maple . Để ý rằng với n3 số lần lặp N = 6 thì đồ thị hàm đã trôi về  -00 

3.2.2   Điểm bất động ( fixed point ) - Tuyến tính hóa hệ thời gian rời rạc phi tuyến .  

+Điểm bất động của hệ thời gian rời rạc 

                            xk+1   =  f(xk) .
 là điểm  x*  thuộc Rn   sao cho    x0  = x*    thì  
xk  = x*    với mọi k . 


XEM TIẾP :

http://cohtran-toan-don-gian.blogspot.com/2013/02/gioi-thieu-ve-phuong-trinh-vi-phan.html




  This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

-------------------------------------------------------------------------------------------
Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.  
Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.

Albert Einstein .