GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN . Chương 3- PHẦN 3 .

.

   

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Chương 3-

PHẦN 3 . 

Bức tranh pha của hệ phẳng .  
Phân loại các hệ phẳng  .
Hệ phi tuyến   .
Phân nhánh trong hệ phi tuyến . 

Bài tập thực hành .  






Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  



Trần hồng Cơ .
26/02/2013 .


****************************************************************************


This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.




1. Bức tranh pha của hệ phẳng .  

1.1  Hệ động lực phẳng tuyến tính .
Trong Chương 3 - Phần 2  chúng ta đã phần nào hiểu được sự phân nhánh trong phương trình vi phân , các tính chất của điểm cân bằng cùng với sự ổn định tuyến tính của quỹ đạo . Một lớp bài toán quan trọng đó là hệ động lực phẳng tuyến tính và việc giải quyết chúng đem lại khá nhiều ứng dụng trong thực tiễn . Trường hợp autonomous hệ động lực phẳng tuyến tính có dạng đơn giản như sau (1)

Ví dụ 1. Xét hệ động lực phẳng tuyến tính autonomous  

1.1.1  Điểm cân bằng của hệ động lực phẳng tuyến tính .
Tương tự như Chương 3 - Phần 2 - 2.1 , để tìm điểm cân bằng cho hệ phẳng tuyến tính autonomous (1) , ta giải phương trình ma trận    

                        V' =  AV  =  0 

a. Các tính chất của trạng thái cân bằng  .
Xét hệ phẳng tuyến tính autonomous (1)
+Nếu định thức của A khác 0  
( detA  =/=  0  hay  | A |  =/=  0  )  thì  hệ có điểm cân bằng duy nhất ( 0 , 0 ) .
+Nếu định thức của A bằng 0  
( detA  =  0 hay  | A |  =  0 )  thì hệ có một đường thẳng đi qua gốc ( 0 , 0 ) trên đó mỗi điểm đều là điểm cân bằng .

Ví dụ 2 . Như trên , detA  = (2).(-3) - (3).(6) = - 24 =/= 0  => hệ có điểm cân bằng duy nhất ( 0 , 0 ) .
Kiểm tra bằng Maple  

Ví dụ 3 .   Xét hệ 

Kiểm tra bằng Maple 

b. Trị đặc trưng - Vectơ đặc trưng - Nghiệm của hệ phẳng tuyến tính autonomous .
Xét hệ phẳng tuyến tính autonomous (1)
+Trị đặc trưng của hệ là nghiệm m của phương trình đặc trưng  | A  - m I |  =  0 .
+Vectơ đặc trưng của hệ ký hiệu Vdt là vectơ khác vectơ 0 sao cho   AVdt    =  mVdt    . 
+Nghiệm của hệ (1) có dạng   V  =  e^(mt)Vdt   .

Ví dụ 4. Xét hệ 

b. Nghiệm của hệ (1) có dạng   V  =  e^(mt)Vdt   .

Kiểm tra bằng Maple 

1.1.2  Trị đặc trưng và bức tranh pha của hệ động lực phẳng tuyến tính .

Xét hệ phẳng tuyến tính autonomous (1) với trị đặc trưng m . Những trường hợp sau đây có thể xảy ra .
a. Các trị đặc trưng là thực và riêng biệt .
+Trị đặc trưng của hệ  m1 , m2 là số thực thỏa 
  m1  < 0 < m2  ( trái dấu ) .
Điểm cân bằng của hệ gọi là điểm yên ngựa - saddle .

+Trị đặc trưng của hệ  m1 , m2 là số thực thỏa 
  m1 < m2  < 0   ( cùng âm ) .
Điểm cân bằng của hệ gọi là điểm chìm - sink .

+Trị đặc trưng của hệ  m1 , m2 là số thực thỏa 
   0  <  m1 < m2   ( cùng dương )  . 
Điểm cân bằng của hệ gọi là điểm nguồn - source .

b. Các trị đặc trưng là thực và trùng nhau .
+Trị đặc trưng của hệ  m1 , m2 là số thực thỏa 
  m1  =  m2   < 0  ( nghiệm kép âm ) .
Điểm cân bằng của hệ gọi là điểm chìm kép - sink .

+Trị đặc trưng của hệ  m1 , m2 là số thực thỏa 
  m1  =  m2   > 0  ( nghiệm kép dương ) .
Điểm cân bằng của hệ gọi là điểm nguồn kép - source .

c. Các trị đặc trưng là phức  .
+Trị đặc trưng của hệ  m1 , m2 là số phức 
  m1  =  a + ib ; m2  = a - ib    thỏa  a  <  0 ( phần thực âm ) .
Điểm cân bằng của hệ gọi là điểm chìm xoắn - spiral sink .

+Trị đặc trưng của hệ  m1 , m2 là số phức 
  m1  =  a + ib ; m2  = a - ib    thỏa  a  >  0 ( phần thực dương ) .
Điểm cân bằng của hệ gọi là điểm nguồn xoắn - spiral source .

+Trị đặc trưng của hệ  m1 , m2 là số phức 
  m1  =   + ib ; m2  =  - ib    thỏa  a  =  0 ( phần thực bằng 0  ) .
Điểm cân bằng của hệ gọi là  tâm điểm - center .

1.2  Các ví dụ minh họa bức tranh pha của hệ động lực phẳng tuyến tính .
1.2.1  Ví dụ minh họa .

a. Các trị đặc trưng là thực và riêng biệt .
+Trị đặc trưng của hệ  m1 , m2 là số thực thỏa 
  m1  < 0 < m2  ( trái dấu ) .


Điểm cân bằng của hệ gọi là điểm yên ngựa - saddle .
Ví dụ 1 . 

+Trị đặc trưng của hệ  m1 , m2 là số thực thỏa 
  m1 < m2  < 0   ( cùng âm ) .
Điểm cân bằng của hệ gọi là điểm chìm - sink .
Ví dụ 2 .

+Trị đặc trưng của hệ  m1 , m2 là số thực thỏa 
   0  <  m1 < m2   ( cùng dương )  . 
Điểm cân bằng của hệ gọi là điểm nguồn - source

Ví dụ 3 .

b. Các trị đặc trưng là thực và trùng nhau .
+Trị đặc trưng của hệ  m1 , m2 là số thực thỏa 
  m1  =  m2   < 0  ( nghiệm kép âm ) .
Điểm cân bằng của hệ gọi là điểm chìm kép - sink .

Ví dụ 4 .

+Trị đặc trưng của hệ  m1 , m2 là số thực thỏa 
  m1  =  m2   > 0  ( nghiệm kép dương ) .
Điểm cân bằng của hệ gọi là điểm nguồn kép - source .

Ví dụ 5 .

c. Các trị đặc trưng là phức  .
+Trị đặc trưng của hệ  m1 , m2 là số phức 
  m1  =  a + ib ; m2  = a - ib    thỏa  a  <  0 ( phần thực âm ) .
Điểm cân bằng của hệ gọi là điểm chìm xoắn - spiral sink .

Ví dụ 6 .

+Trị đặc trưng của hệ  m1 , m2 là số phức 
  m1  =  a + ib ; m2  = a - ib    thỏa  a  >  0 ( phần thực dương ) .
Điểm cân bằng của hệ gọi là điểm nguồn xoắn - spiral source .

Ví dụ 7 .

+Trị đặc trưng của hệ  m1 , m2 là số phức 
  m1  =   + ib ; m2  =  - ib    thỏa  a  =  0 ( phần thực bằng 0  ) .
Điểm cân bằng của hệ gọi là  tâm điểm - center .

Ví dụ 8 . 

1.2.2  Tóm tắt về bức tranh pha và biểu thức nghiệm của hệ động lực phẳng tuyến tính .

Bảng 1 . Tóm tắt bức tranh pha .

Bảng 2. Biểu thức nghiệm của hệ phẳng tuyến tính .

2. Phân loại các hệ phẳng  .
2.1  Phương trình đặc trưng của hệ phẳng tuyến tính .
Khi nghiên cứu tổng quát về hệ động lực phẳng tuyến tính autonomous (1) , ma trận của hệ có dạng 

Từ nghiệm đặc trưng m1 và m2 thu được như trên , ta có thể phân loại  các hệ phẳng theo trA ( tổng các số hạng trên đường chéo chính của ma trận A ) và detA ( định thức của ma trận A ). 

2.2  Phân loại hệ phẳng tuyến tính .

Xem tiếp trên

http://cohtran-toan-don-gian.blogspot.com/2013/02/gioi-thieu-ve-phuong-trinh-vi-phan_28.html



Trần hồng Cơ .
05/03/2013 .



This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

-------------------------------------------------------------------------------------------
Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.  
Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.

Albert Einstein .