GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN . Phần 10d . LƯỢNG GIÁC - Phương trình lượng giác

GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN .

Phần 10d . LƯỢNG GIÁC - Phương trình lượng giác  

DANH MỤC CÔNG CỤ GIẢI TOÁN TRỰC TUYẾN  MATHEMATICA  WOLFRAM | ALPHA .

Giới thiệu .

Bạn đọc truy cập vào đường dẫn  http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen  để sử dụng các widgets giải toán trực tuyến W|A Mathematica theo chỉ mục trong danh sách dưới đây .

Những widgets này đã được tác giả sắp xếp theo từng môn học và cấp lớp theo ký hiệu như sau :

D : Đại số . Ví dụ  D8.1 widget dùng cho Đại số lớp 8 , mục 1 - Khai triển , rút gọn biểu thức đại số .
H : Hình học . Ví dụ  H12.3  widget dùng cho Hình học lớp 12 , mục 3 - Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian .
G : Giải tích . Ví dụ : G11.7  widget dùng cho Giải tích lớp 11 , mục 7 - Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
GI : Giải tích cao cấp I . Ví dụ GI.15  widget dùng cho Giải tích cao cấp I , mục 15 - Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GII : Giải tích cao cấp II .


++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++


 ĐẠI SỐ 8

D8.1  Khai triển , rút gọn biểu thức đại số
D8.2  Rút gọn phân thức
D8.3  Phân tích thừa số
D8.4  Nhân 2 đa thức
D8.5  Khai triển tích số ( có thể dùng để khai triển Newton )
D8.6  Phân tích thừa số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 10

D10.1 Giải phương trình nguyên Diophante
D10.2 Giải phương trình tuyệt đối
D10.3 Giải phương trình chứa tham số
D10.4  Giải phương trình đại số
D10.5  Giải phương trình từng bước
D10.6  Giải bất phương trình minh hoạ bằng đồ thị

D10.8  Tính giá trị biểu thức hàm số
D10.9  Giải bất phương trình đại số và minh hoạ bằng đồ thị
D10.10  Giải bất phương trình đại số - tìm miền nghiệm
D10.11  Giải phương trình đại số
D10.12  Giải phương trình vô tỷ
D10.13  Giải phương trình minh hoạ từng bước
D10.14  Giải phương trình dạng hàm ẩn
D10.15  Giải hệ thống phương trình tuyến tính , phi tuyến
D10.16  Giải hệ phương trình
D10.17  Vẽ miền nghiệm của bất phương trình đại số
D10.19  Tối ưu hoá hàm 2 biến với các ràng buộc
D10.20  Tìm giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành Ox , trục tung Oy

HÌNH HỌC 10

H10.1  Tính diện tích tam giác trong hệ toạ độ Oxy
H10.3  Khảo sát conic ( đường tròn , Ellipse , Parabola , Hyperbola )
H10.2  Tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng trong Oxy



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 11

D11.1 Thuật chia Euclide dùng cho số và đa thức  ( HORNER )
D11.2  Tính tổng nghịch đảo của n số tự nhiên




D11.6  Khai triển nhị thức Newton


GIẢI TÍCH 11


G11.1  Tính gíá trị một chuỗi số  theo n
G11.2  Đa thức truy hồi
G11.3  Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số
G11.4  Tính giới hạn của chuỗi số khi  $n \rightarrow  \infty$
G11.5  Tìm hàm số ngược của hàm số cho trước
G11.6  Tìm đạo hàm của hàm số hợp - giải thích
G11.7   Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
G11.8   Tìm giới hạn của hàm số
G11.9   Tìm giới hạn của hàm số
G11.10  Tính đạo hàm hàm số có dạng U/V
G11.11  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước
G11.12  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước

G11+12.1   Tính đạo hàm ,tích phân , giới hạn , vẽ đồ thị


LƯỢNG GIÁC 11

L11.1   Giải phương trình lượng giác
L11.2   Giải phương trình lượng giác trên một đoạn
L11.3   Tìm chu kỳ của hàm số tuần hoàn
L11.4   Khai triển công thức lượng giác



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 12

D12.1   Cấu trúc của số phức
D12.1   Giải phương trình mũ
D12.3   Giải  phương trình chứa tham số
D12.4   Giải  phương trình  bất kỳ  ( Bậc 2 , 3 , ... , mũ  , log , căn thức )
D12.5   Giải phương trình mũ



GIẢI TÍCH 12


G12.1  Vẽ đồ thị biểu diễn phương trình
G12.2    Khảo sát hàm số hữu tỷ
G12.3   Vẽ đồ thị trong toạ độ cực (Polar)
G12.4    Tìm cực trị của hàm số
G12.5    Vẽ đồ thị hàm số 2D
G12.6   Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số
G12.7    Vẽ nhiều hàm số - Basic plot. To plot two or more functions, enter {f1(x), f2(x),...}
G12.8    Tìm điểm uốn của hàm số cho trước
G12.9    Tìm nghiệm của các phương trình  y = 0 , y ' = 0 ,  y " = 0
G12.10    Tính tích phân bất định
G12.11    Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.12   Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.13   Tìm đường tiệm cận của hàm số
G12.14   Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.15  Tìm giao điểm của hàm số đa thức và trục hoành Ox - Vẽ đồ thị .
G12.16    Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi (C1) , (C2)
G12.17    Vẽ đồ thị hàm số ( có đường tiệm cận )
G12.18   Vẽ đồ thị 2D , 3D
G12.19   Tìm hoành độ giao điểm giữa 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.20    Vẽ đường cong tham số 3D
G12.21    Tính diện tich mặt tròn xoay
G12.22    Tích thể tích vật tròn xoay  (C) , trục  Ox , x =a , x= b
G12.23    Thể tích vật tròn xoay
G12.24    Tích thể tích vật tròn xoay (C1) , (C2) , trục OX , x = a , x = b
G12.25    Khảo sát hàm số đơn giản
G12.26    Tìm cực trị của hàm số
G12.27    Tìm nguyên hàm của hàm số
G12.28    Tính tích phân xác định


HÌNH HỌC 12

H12.1  Tính khoảng cách 2 điểm trong 2D , 3D
H12.2   Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm trong không gian
H12.3  Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian
H12.4   Tìm công thức thể tích , diện tích hình không gian
H12.5   Vẽ đồ thị 2D , mặt 3D
H12.6    Tích có hướng 2 vector



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

GIẢI TÍCH CAO CẤP

GI.1    Vẽ đồ thị , mặt 3D
GI.2   Vẽ đồ thị , mặt  3D
GI.3    Tích phân 2 lớp
GI.5    Tích phân kép
GI.6    Tích phân bội 3
GI.7    Tích phân bội 3
GI.8    Tích phân suy rộng
GI.9    Chuỗi và dãy số
GI.10    Các bài toán cơ bản trong vi  tích phân
GI.11     Vẽ hàm từng khúc ( piecewise ) - dùng để xét tính liên tục của hàm số
GI.12    Tính đạo hàm và tích phân một hàm số cho trước
GI.13     Vẽ đồ thị hàm số trong hệ toạ độ cực
GI.14     Tính đạo hàm riêng
GI.15    Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GI.16    Tính tổng chuỗi số  n = 1...$\infty$
GI.17     Vẽ  đồ thị  3 hàm số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Bài viết sau đây mô tả các khái niệm toán học và hướng dẫn tính toán chi tiết bằng công cụ trực tuyến , bạn đọc có thể tham khảo những nội dung chính yếu được đề cập đến trong giáo trình toán phổ thông  cùng với các ví dụ minh họa  .

Một số website hữu ích phục vụ cho việc giảng dạy và học tập môn toán :

http://quickmath.com/
http://analyzemath.com/
http://www.intmath.com/
http://www.mathportal.org
https://www.mathway.com/
https://www.symbolab.com/
http://www.graphsketch.com/
http://www.meta-calculator.com/online/?home
http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen

10.  LƯỢNG GIÁC - Công thức - hàm số - phương trình và bất phương trình lượng giác

10.6  Phương trình lượng giác .

10.6.1  Các dạng phương trình lượng giác .

1. Phương trình lượng giác cơ bản .
 

Ví dụ 1 .    Giải các phương trình sau

a. $2cosx+1=0$   ( Cơ bản - Giải bt )
b. $sin3x=cosx$   ( Khác hàm - Dùng cung phụ )
c. $sinx+sin(x-pi/4)=0$   ( Đưa dấu - vào cung )

Ví dụ 2 .    Giải các phương trình sau

d. $sin^2x + cos^23x =1$   ( Công thức cơ bản )
    $tan2x.tan5x+1=0$   ( Công thức cơ bản )
    $tan^24x=1/cos^2x-1$   ( Công thức cơ bản )
e. $sin3xcosx=cos3xsinx+cos7x$   ( Công thức cộng )
   $\frac{sin5x}{sinx} + \frac{cos5x}{cosx}+2=0$   ( Công thức cộng )
f. $2sin^23x+sin2x=1$   ( Công thức nhân )
   $cos^22x = sin6x + sin^22x$   ( Công thức nhân )

Ví dụ 3 .    Giải các phương trình sau

g. $sinx - sin3x + sin5x =0$   ( Công thức biến đổi )
    $1+cosx+cos2x+cos3x = 0$   ( Công thức biến đổi )
    $\frac{cos2x+cos3x+cos4x}{sin2x+sin3x+sin4x}=1$   ( Công thức cơ bản )
h. $sin^23x+sin^24x=0$   ( Tổng bình phương )
   $1+sin^25x=cos^23x$   ( Tổng bình phương )
i. $cos3x+cos5x+cos4x(1+cos^2x)=0$   ( Tích số )
   $(1+sinx)sin3x-cosx.cos^2x=0$   ( Tích số )


2. Phương trình lượng giác bậc 2 , 3 .

Giải phương trình tìm t , xem lại điều kiện (nếu có ) , giải tiếp ra x .

Ví dụ 1 .    Giải các phương trình sau

a. $cos^2x-3cosx+2=0$   ( Cơ bản - Giải bt )
    $sin^3x=2sin^2x+3sinx$   ( Cơ bản - Giải bt )
b. $sin^2x + 3cosx =3$   ( Công thức cơ bản )
    $tanx+3cotx=4$   ( Công thức cơ bản )
    $2tanx=1/cos^2x-1$   ( Công thức cơ bản )

Ví dụ 2 .    Giải các phương trình sau

c. $cos3xsinx+cos2x^2=sin3xcosx-1$   ( Công thức cộng )
    $sin5xsinx +2sin^26x = cos5xcosx+1$    ( Công thức cộng )
d. $2sin^23x+cos3x=1$   ( Công thức nhân )
   $cos^22x+2= cos^24x + sin^22x$   ( Công thức nhân )
e. $cos3x +3(cosx^2+1)=7cosx$   ( Công thức nhân )
   $sin3x - 8sin2x = 0$   ( Công thức nhân )



3. Phương trình lượng giác cổ điển .

Ví dụ 1 .

a.  $\sqrt{3}sinx+cosx=1$   ( Cơ bản - Giải bt )
     $sin3x-\sqrt{3}cos3x=\sqrt{2}$   ( Cơ bản - Giải bt )
b.  $sinxcos3x + \sqrt{3}cos4x=sin3x(2-cosx)$    ( Công thức cộng )
     $cosxcos4x - sin5x = sin4xsinx + \sqrt{2}$   ( Công thức cộng )
c.  $2cos^2x- \sqrt{3}sin2x =1 - 2cos5x$    ( Công thức nhân )
     $cos^23x-sin6x = 1 + sin^23x $    ( Công thức nhân )

Ví dụ 2 .

d.  $sinx - 4 \sqrt{3}cosxsin^2x = 2\sqrt{3}sin2x - sin3x$    ( Công thức biến đổi )
     $2cos^3x- \sqrt{2}cos2x = \sqrt{3}sinxcos2x+cosx $    ( Công thức biến đổi )
e.  $\sqrt{3}(cosx-sin4x)-cos4x=sinx$    ( Giả cổ điển )
    $sinx +2cosx+ \sqrt{3}sin3x=4cos^3x$   ( Giả cổ điển )



4. Phương trình lượng giác đẳng cấp .

Ví dụ  .

a.  $2sin^2x-3sinxcosx+cos^2x=0$
     $2(cos^2x+1)-5sinxcosx=0$

b.  $sin^2x - 3sin2x + 4cos^2x - 1 =0$
     $cos^23x + sin6x + sin^23x = 1$



5. Phương trình lượng giác đối xứng .

Ví dụ  .

$sinx+sinxcosx-1=cosx$
$2(sinx-cosx)+sin2x+2=0$



10.6.2  Minh họa cách giải phương trình lượng giác  .

1. Phương trình lượng giác cơ bản .

Ví dụ 1 .    Giải các phương trình sau

a. $2cosx+1=0$   ( Cơ bản - Giải bt )
b. $sin3x=cosx$   ( Khác hàm - Dùng cung phụ )
c. $sinx+sin(x-pi/4)=0$   ( Đưa dấu - vào cung )

Lời giải .

a. $2cosx+1=0$   ( Cơ bản - Giải bt )

$\Leftrightarrow cosx=-1/2=cos2\pi/3\Leftrightarrow x=\pm 2\pi/3+k2\pi$

*Dùng  widget  L11.I.1 GIAI PT L.GIAC / TIM NGHIEM TONG QUAT    http://goo.gl/zjdBYf

 

b. $sin3x=cosx$   ( Khác hàm - Dùng cung phụ )

$\Leftrightarrow cosx=sin3x\Leftrightarrow cosx=cos(\pi/2-3x)\Leftrightarrow x=\pm(\pi/2-3x)+k2\pi$

*Dùng  widget  L11.I.1 GIAI PT L.GIAC / TIM NGHIEM TONG QUAT    http://goo.gl/zjdBYf

 

c. $sinx+sin(x-pi/4)=0$   ( Đưa dấu - vào cung )

$\Leftrightarrow sinx=-sin(x-\pi/4)=sin(\pi/4-x)\Leftrightarrow x=\pi/4-x+k2\pi\vee x=\pi-(\pi/4-x)+k2\pi$

Ví dụ 2 .    Giải các phương trình sau

d. $sin^2x + cos^23x =1$   ( Công thức cơ bản )
    $tan2x.tan5x+1=0$   ( Công thức cơ bản )
    $tan^24x=1/cos^2x-1$   ( Công thức cơ bản )
e. $sin3xcosx=cos3xsinx+cos7x$   ( Công thức cộng )
   $\frac{sin5x}{sinx} + \frac{cos5x}{cosx}+2=0$   ( Công thức cộng )
f. $2sin^23x+sin2x=1$   ( Công thức nhân )
   $cos^22x = sin6x + sin^22x$   ( Công thức nhân )

Lời giải .

d. $sin^2x + cos^23x =1$   ( Công thức cơ bản )
$\Leftrightarrow  cos^23x =1 -sin^2x =cos^2x\Leftrightarrow cos3x=\pm cosx$
TH1.  $cos3x=cosx\Leftrightarrow 3x=\pm x+k2\pi$
TH2.  $cos3x=-cosx\Leftrightarrow cos3x=cos(\pi-x) \Leftrightarrow  3x=\pm (\pi-x)+k2\pi$

*Dùng  widget  L11.I.1 GIAI PT L.GIAC / TIM NGHIEM TONG QUAT    http://goo.gl/zjdBYf

$tan2x.tan5x+1=0$   ( Công thức cơ bản )
Điều kiện :  $2x\neq \pi/2+k\pi , 5x \neq \pi/2+k\pi$
$ \Leftrightarrow  tan5x = -1/tan2x = -cot2x=cot(-2x)=tan(\pi/2+2x)$
$ \Leftrightarrow  5x = (\pi/2+2x)+k\pi$

$tan^24x=1/cos^2x-1$   ( Công thức cơ bản )
Điều kiện :  $x\neq \pi/2+k\pi , 4x \neq \pi/2+k\pi$
$\Leftrightarrow tan^24x=1+ tan^2x -1 = tan^2x \Leftrightarrow  tan4x=\pm  tanx$
TH1.  $tan4x=tanx \Leftrightarrow 4x=x+k\pi$
TH2.  $tan4x=-tanx \Leftrightarrow 4x=-x+k\pi$

*Dùng  widget  L11.I.1 GIAI PT L.GIAC / TIM NGHIEM TONG QUAT    http://goo.gl/zjdBYf

e. $sin3xcosx=cos3xsinx+cos7x$   ( Công thức cộng )
$\Leftrightarrow sin3xcosx-cos3xsinx=cos7x \Leftrightarrow sin(3x-x)=cos7x $
$\Leftrightarrow cos7x=cos(\pi/2-2x) \Leftrightarrow 7x=\pm (\pi/2-2x)+k2\pi$

 

   $\frac{sin5x}{sinx} + \frac{cos5x}{cosx}+2=0$   ( Công thức cộng )
 Điều kiện :  $x \neq k\pi ; x \neq \pi/2+k\pi$
$\Leftrightarrow sin5xcosx+cos5xsinx+2sinxcosx=0 \Leftrightarrow sin(5x+x)+sin2x=0$
$\Leftrightarrow sin6x=-sin2x=sin(-2x)\Leftrightarrow 6x=-2x+k2\pi\vee 6x=\pi+2x+k2\pi$

*Dùng  widget  L11.I.1 GIAI PT L.GIAC / TIM NGHIEM TONG QUAT    http://goo.gl/zjdBYf

f. $2sin^23x+sin2x=1$   ( Công thức nhân )
$\Leftrightarrow sin2x=1-2sin^23x=cos6x\Leftrightarrow cos6x=cos(\pi/2-2x)$
$\Leftrightarrow 6x=\pm(\pi/2-2x)+k2\pi$
TH1.  $ 6x=(\pi/2-2x)+k2\pi$
TH2.  $ 6x=- \pi/+2x+k2\pi$

   $cos^22x = sin6x + sin^22x$   ( Công thức nhân )
$ \Leftrightarrow cos^22x - sin^22x=sin6x \Leftrightarrow cos4x=sin6x=cos(\pi/2-6x)$
$\Leftrightarrow 4x=\pm (\pi/2-6x)+k2\pi$
TH1 .  $ 4x= \pi/2-6x+k2\pi$
TH2 .  $ 4x=- \pi/2 +6x+k2\pi$

2. Phương trình lượng giác bậc 2 , 3 .

Ví dụ 1 .    Giải các phương trình sau

a. $cos^2x-3cosx+2=0$   ( Cơ bản - Giải bt )
    $sin^3x=2sin^2x+3sinx$   ( Cơ bản - Giải bt )
b. $sin^2x + 3cosx =3$   ( Công thức cơ bản )
    $tanx+3cotx=4$   ( Công thức cơ bản )
    $2tanx=1/cos^2x-1$   ( Công thức cơ bản )

Lời giải
a. $cos^2x-3cosx+2=0$   ( Cơ bản - Giải bt )
Đặt  $t=cosx; -1\leq t\leq 1$
$pt \Leftrightarrow t^2-3t+2=0\Leftrightarrow t=1 (nhan)  \vee t=2 (loai)$
$t=1\Leftrightarrow cosx=1=cos0 \Leftrightarrow x = k2\pi$

*Dùng  widget  L11.I.1 GIAI BIEN LUAN P.T LUONG GIAC BAC 2.1    http://goo.gl/5sFnvc
nhập a = -1 , b = -3 , c  = 2  vào các ô , giải theo biến x .

$sin^3x=2sin^2x+3sinx$
$ \Leftrightarrow sin^3x-2sin^2x-3sinx=0\Leftrightarrow sinx(sin^2x-2sinx-3)=0$
$\Leftrightarrow sinx=0  \vee sin^2x-2sinx-3 =0$
TH1.  $sinx=0  \Leftrightarrow  x = k\pi$
TH2.  $sin^2x-2sinx-3 =0 \Leftrightarrow sinx=-1 (nhan) \vee sinx=3(loai)$

*Dùng  widget  L11.I.1 GIAI PT L.GIAC / TIM NGHIEM TONG QUAT    http://goo.gl/zjdBYf

b. $sin^2x + 3cosx =3$   ( Công thức cơ bản )
$\Leftrightarrow  1-cos^2x+3cosx=3\Leftrightarrow -cos^2x+3cosx-2=0$
Đặt  $t=cosx; -1\leq t\leq 1$
$pt \Leftrightarrow -t^2+3t-2=0\Leftrightarrow t=1 (nhan)  \vee t=2 (loai)$
$t=1\Leftrightarrow cosx=1=cos0 \Leftrightarrow x = k2\pi$

    $tanx+3cotx=4$   ( Công thức cơ bản )
Điều kiện :  $x \neq k\pi ; x \neq \pi/2 + k\pi$
$ \Leftrightarrow tanx+3/tanx=4  \Leftrightarrow tan^2x-4tanx+3=0 \Leftrightarrow tanx=1 \vee tanx=3$
TH1.  $tanx=1=tan (\pi/4)$
TH2.  $tanx=3 \Leftrightarrow x = arctan3 + k\pi$

    $2tanx=1/cos^2x-1$   ( Công thức cơ bản )
Điều kiện  $x \neq \pi/2 + k\pi$
$\Leftrightarrow 2tanx=1+tan^2x-1  \Leftrightarrow tan^2x-2tanx=0 \Leftrightarrow tanx = 0 \vee tanx =2$
TH1.  $tanx=0 \Leftrightarrow x = k\pi$
TH2.  $tanx=2 \Leftrightarrow x = arctan2+k\pi $

3. Phương trình lượng giác cổ điển .

Ví dụ 1 .

a.  $\sqrt{3}sinx+cosx=1$   ( Cơ bản - Giải bt )
$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}sinx+ \frac{1}{2}cosx=1/2 \Leftrightarrow sinxcos(\pi/6)+cosxsin(\pi/6)=sin(\pi/6)$
$\Leftrightarrow sin(x+\pi/6)=sin(\pi/6)$
$\Leftrightarrow x+\pi/6=\pi/6 +k2\pi   \vee  x+\pi/6=\pi-\pi/6 +k2\pi$


*Dùng  widget   L11.I.1 GIAI B.LUAN P.T L.GIAC CO DIEN cd.1    http://goo.gl/0u13hB

     $sin3x-\sqrt{3}cos3x=\sqrt{2}$   ( Cơ bản - Giải bt )
$\Leftrightarrow \frac{1}{2}sin3x-\frac{\sqrt{3}}{2}cos3x=\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow sin3xcos(\pi/3)-cos3xsin(\pi/3)=sin(\pi/4)$
$\Leftrightarrow sin(3x-\pi/3)=sin(\pi/4)$
$\Leftrightarrow 3x-\pi/3=\pi/4+k2\pi \vee 3x-\pi/3=\pi-\pi/4+k2\pi $

*Dùng  widget  L11.I.1 GIAI PT L.GIAC / TIM NGHIEM TONG QUAT    http://goo.gl/zjdBYf

b.  $sinxcos3x + \sqrt{3}cos4x=sin3x(2-cosx)$    ( Công thức cộng )
$\Leftrightarrow  sinxcos3x + sin3xcosx + \sqrt{3}cos4x=2sin3x\Leftrightarrow sin(x+3x)+ \sqrt{3}cos4x=2sin3x$
$\Leftrightarrow  \frac{1}{2}sin4x+ \frac{\sqrt{3}}{2}cos4x=sin3x\Leftrightarrow sin(4x+\pi/3)=sin3x$
$\Leftrightarrow 4x+\pi/3=3x+k2\pi  \vee 4x+\pi/3=\pi -3x+k2\pi$

     $cosxcos4x - sin5x = sin4xsinx + \sqrt{2}$   ( Công thức cộng )
$\Leftrightarrow cosxcos4x - sin4xsinx-sin5x =\sqrt{2}\Leftrightarrow cos5x-sin5x=\sqrt{2}\Leftrightarrow \sqrt{2}sin(5x-\pi/4) = \sqrt{2}$
$\Leftrightarrow 5x-\pi/4 = \pi/2 +k2\pi$
 

c.  $2cos^2x- \sqrt{3}sin2x =1 - 2cos5x$    ( Công thức nhân )
$\Leftrightarrow 2cos^2x- 1 -\sqrt{3}sin2x = -2cos5x\Leftrightarrow cos2x-\sqrt{3}sin2x=- 2cos5x$
$\Leftrightarrow \frac{1}{2}cos2x-\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x=-cos5x$
$\Leftrightarrow cos5x = -cos(2x+\pi/3)=cos(\pi-2x-\pi/3) \Leftrightarrow 5x = \pm (2\pi/3-2x)+k2\pi$

 

     $cos^23x-sin6x = 1 + sin^23x $    ( Công thức nhân )
$\Leftrightarrow cos^23x -sin^23x-sin6x = 1 \Leftrightarrow cos6x-sin6x = 1\Leftrightarrow \sqrt{2}sin(6x-\pi/4)=-1$
$\Leftrightarrow sin(6x-\pi/4)=-sin(\pi/4)=sin(-\pi/4)$
$\Leftrightarrow 6x-\pi/4=-\pi/4+k2\pi  \vee 6x-\pi/4=\pi+\pi/4+k2\pi$

4. Phương trình lượng giác đẳng cấp .

Ví dụ  .

a.  $2sin^2x-3sinxcosx+cos^2x=0$
TH1.  $cosx=0\Leftrightarrow 2=0(sai)$      
TH2.  $cosx \neq 0\Leftrightarrow 2\frac{sin^2x}{cos^2x}-3\frac{sinxcosx}{cos^2x}+1=0\Leftrightarrow 2tan^2x-3tanx+1=0$  
$\Leftrightarrow tanx=1=tan(\pi/4) \vee tanx=1/2=tan\alpha $   

*Dùng  widget  L11.I.1 GIAI B.L P.T L.GIAC DANG CAP dc1     http://goo.gl/TT9M1a

    
     $2(cos^2x+1)-5sinxcosx=0$
$\Leftrightarrow 2cos^2x-5sinxcosx+2=0$
 Chia 2 vế cho  $cos^2x$  đưa về phương trình bậc 2 theo  $tanx$  - phương trình vô nghiệm .

    
b.  $sin^2x - 3sin2x + 4cos^2x - 1 =0$   (Công thức nhân)
$\Leftrightarrow sin^2x - 6sinxcosx + 4cos^2x - 1 =0$
TH1.  $cosx=0\Leftrightarrow sin^2x-1 =0 (dung)$ vậy nghiệm phương trình là  $x=\pi/2 +k2\pi$
TH2.  $cosx=0\Leftrightarrow \frac{sin^2x}{cos^2x} - \frac{6sinxcosx}{cos^2x}+4- \frac{1}{cos^2x}=0$
$\Leftrightarrow tan^2x-6tanx+4-tan^2x-1=0\Leftrightarrow tanx=1/2 tan \alpha$

  $cos^23x + sin6x + sin^23x = 1$
$\Leftrightarrow cos^23x + 2sin3xcos3x + sin^23x = 1\Leftrightarrow (cos3x+sin3x)^2=1$
$\Leftrightarrow sin3x+cos3x= \pm 1\Leftrightarrow sin(3x+\pi/4)=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}=sin(\pm \frac{\pi}{4})$

5. Phương trình lượng giác đối xứng .

Ví dụ  .

$sinx+sinxcosx-1=cosx$
Cách 1. Đưa về tích số
$\Leftrightarrow sinx-cosx+sinxcosx-1=0\Leftrightarrow sinx-1+cosx(sinx-1)=0\Leftrightarrow (sinx-1)(1+cosx)=0$
Cách 2.
$\Leftrightarrow sinx-cosx+sinxcosx-1=0$  đặt  $t=sinx-cosx;-\sqrt{2}\leq t\leq \sqrt{2}$
khi đó $t^2=1-2sinxcosx\Leftrightarrow sinxcosx=\frac{1-t^2}{2}$
Phương trình thành $t+\frac{1-t^2}{2}-1=0\Leftrightarrow t^2-2t+1=0\Leftrightarrow t=1$
Với $t=sinx-cosx=1\Leftrightarrow sin(x-\pi/4)=1/\sqrt{2}=sin(\pi/4)$

*Dùng  widget  L11.I.1 GIAI B.LUAN P.T L.GIAC DOI XUNG dx.1     http://goo.gl/hGqIEx

$2(sinx-cosx)+sin2x+2=0$
$\Leftrightarrow 2(sinx-cosx)+2sinxcosx+2=0$
đặt  $t=sinx-cosx;-\sqrt{2}\leq t\leq \sqrt{2}$ khi đó  $t^2=1-2sinxcosx\Leftrightarrow 2sinxcosx=1-t^2$
Phương trình thành $2t+1-t^2+2=0\Leftrightarrow t^2-2t-3=0\Leftrightarrow t=-1(nhan) \vee t=3(loai)$
Với $t=sinx-cosx=-1\Leftrightarrow sin(x-\pi/4)=-1/\sqrt{2}=sin(- \pi/4)$

Trần hồng Cơ
Ngày 17/11/2015



-------------------------------------------------------------------------------------------

Trên đời không gì vĩ đại bằng con người.

Trong con người không gì vĩ đại bằng trí tuệ.

A.Hamillton