Nghịch lý và tư duy mới trong toán học hiện đại . Phần 2 .

Nghịch lý và tư duy mới trong toán học hiện đại . Phần 2 .

Trần hồng Cơ
04/03/2012

2. Logic và vai trò của nó trong toán học và thực tiễn .

(i) Một số khái niệm và phân loại logic .

Trong triết học, Logic (từ tiếng Hy Lạp λογική logikē) chỉ về sự nghiên cứu hệ thống chính thức của các nguyên tắc suy luận hợp lệ và lý luận chính xác. Logic được sử dụng trong hầu hết các hoạt động trí tuệ, nhưng được nghiên cứu chủ yếu trong các lĩnh vực triết học, toán học, ngữ nghĩa, và khoa học máy tính. Logic khảo sát các hình thức chung nhất mà trong đó các đối số , các tham biến có thể không xuất hiện , mà thay vào đó là các dạng thức hợp lệ, kể cả đó là những nguỵ biện. Trong triết học , logic được áp dụng trong lĩnh vực chính: siêu hình học, bản thể luận, nhận thức luận và đạo đức học . Trong toán học, logic được xét như là suy luận hợp lệ trong một số hình thức tư duy dưới dạng mệnh đề chứa các ngôn ngữ ký tự . Bản thân logic cũng là đối tượng nghiên cứu trong lý thuyết lập luận. Logic đã được biết đến trong nhiều nền văn minh cổ đại, bao gồm Ấn Độ, Trung Quốc và Hy Lạp. Logic cũng được xem như là một ngành toán học theo tư tưởng của Aristotle, người đã có công đặt logic ở một vị trí cơ bản trong triết học.


Nghiên cứu logic là một phần của các trường phái cổ điển, nó cũng bao gồm toán học , ngữ pháp và hùng biện. Logic thường được chia thành hai phần, lý luận diễn dịch và lý luận quy nạp .
Các khái niệm về dạng logic là cốt lõi để xây dựng logic, nó được tổ chức và qui định rằng giá trị của một luận cứ được xác định theo hình thức hợp lý của nó, không phải bởi nội dung của nó. Tam đoạn luận logic truyền thống của Aristotle và logic biểu tượng hiện đại là những ví dụ về logic hình thức .
+Logic phi hình thức ( informal logic ) nghiên cứu các luận cứ của ngôn ngữ tự nhiên. Nghiên cứu về nguỵ biện là một ngành đặc biệt quan trọng của logic phi hình thức. Các cuộc đối thoại của Plato cũng được xem là những ví dụ minh họa về logic phi hình thức.
+Logic hình thức ( formal logic ) là những suy luận với nội dung hoàn toàn hình thức. Mọi suy luận hàm chứa một nội dung hoàn toàn hình thức nếu nó có thể được biểu thị như là một ứng dụng cụ thể của một quy tắc hoàn toàn trừu tượng, nghĩa là một quy tắc không dành ưu tiên cho bất cứ điều gì cụ thể hoặc riêng biệt . Các tác phẩm của Aristotle đã đề cập đến nhiều nghiên cứu sớm nhất về logic hình thức . Các hình thái logic hiện đại đều được dẫn xuất và mở rộng từ cơ sở nghiên cứu về logic của Aristotle.
+Logic biểu tượng ( Symbolic logic ) là nhũng nghiên cứu về ký hiệu trừu tượng để nắm bắt các tính năng về hình thức của suy luận hợp lý. Logic biểu tượng thường được chia thành hai nhánh: logic mệnh đề và logic thuộc tính .
+Logic toán học ( mathematical logic ) có thể xem như là phần mở rộng của logic biểu tượng vào các lĩnh vực khác, đặc biệt là việc nghiên cứu các mô hình lý thuyết, lý thuyết chứng minh, lý thuyết tập hợp, lý thuyết đệ quy.





(ii) Sơ lược về dạng logic .
Theo quan điểm thông thường , logic được xem như là hình thức, mục tiêu của logic là phân tích và đại diện cho các hình thức (hoặc hình thức hợp lý) của bất kỳ loại luận cứ hợp lệ nào . Các hình thức của một luận cứ được hiển thị bằng cách đại diện cho một câu trong ngữ pháp và biểu tượng của một ngôn ngữ hợp lý sao cho nội dung của nó có thể sử dụng được trong suy luận hình thức. Nếu xem xét khái niệm về hình thức theo quan điểm triết học , có thể nói rằng hình thức hóa là không có gì khác hơn so với việc dịch một mệnh đề sang ngôn ngữ của logic. Điều này được gọi là sự biểu thị các hình thức hợp lý của luận cứ và đó là việc hết sức cần thiết , bởi vì trong các mệnh đề ngôn ngữ thường hàm chứa rất nhiều hình thức phức tạp làm cho việc sử dụng ngôn ngữ của chúng ta trong suy luận trở nên không rõ ràng và thiếu thực tế.
Sự biểu thị này đòi hỏi các yêu cầu sau :
+Thứ nhất là bỏ qua những tính năng ngữ pháp mà không liên quan đến logic (như giới tính và biến cách , thời , thể ), thay thế các liên từ là không liên quan đến logic (chẳng hạn như 'nhưng') với liên từ hợp lý như 'và' . Cũng có thể thay thế các biểu thức mơ hồ ( như 'bất kỳ', 'với mọi ', ' tùy ý ' .v.v ...) hoặc thay thế hợp lý bằng các biểu thức loại tiêu chuẩn (chẳng hạn như 'tất cả', hoặc định lượng phổ biến " ∀ " còn gọi là " với mọi ", " bất kỳ " , " Tùy ý " ; định lượng hạn chế " " còn gọi là " tồn tại" , " có" , " ít nhất"  ).

Để minh họa cho sự việc này chúng ta xét hai ví dụ sau :
Ví dụ 1.
Mệnh đề ngôn ngữ : " Hai bạn An , Bình cùng nhau đến trường nhưng Dũng thì không " .
Mệnh đề logic : " An ,Bình đến trường và Dũng thì không "
Logic hình thức : " { A , B } C T ^ { D } ¢ T " .
Ví dụ 2 .
Mệnh đề ngôn ngữ : " Dũng sẽ không đến trường khi nó thấy An , Bình có mặt ở đó " .
Mệnh đề logic : " Nếu An hoặc Bình hoặc cả hai bạn này ở trường thì Dũng sẽ không đến đó " .
Logic hình thức : " {A} U {B} C T => {D} ¢ T " .
+Thứ hai, một số phần của câu phải được thay thế bằng các ký tự giản lược . Ví dụ : các biểu thị 'tất cả P thì ( thì, là , phải , đều ) Q ' cho thấy hình thức hợp lý rất phổ biến như các mệnh đề "tất cả mọi người đều phải chết', 'tất cả các súc vật có móng nhọn và răng nanh sắc đều là loài ăn thịt' v.v...  Vì vậy khi viết mệnh đề này dưới dạng logic toán học chúng ta sẽ có biểu thị sau :

" P C Q " hay " ∀ x € P  =>  x € Q " .



Đó là các khái niệm về hình thức và là nền tảng để logic được các trường phái triết học công nhận trong thời cổ đại. Thời kỳ đó Aristotle đã biết sử dụng biến ký tự để đại diện cho các suy luận hợp lệ trong Analytics . Để minh chứng cho điều này trước khi trích dẫn , Jan Łukasiewicz đã nói rằng việc giới thiệu của các biến ký tự là "một phát minh vĩ đại nhất của Aristotle " . Đối với những người theo trường phái Aristotle (chẳng hạn như Ammonius), chỉ có các nguyên tắc hợp lý đã được quy định trong các điều khoản giản lược thuộc về logic chứ không phải là những người , vật thể hay bất kỳ một.đối tượng nào được đưa ra trong các điều kiện cụ thể. Những giả thiết rõ ràng như. ' con người ',' chết', ' ăn thịt' , v.v... , tương tự với các giá trị thay thế của các biến ký tự như. ' A ',' B ',' P ', ' Q ' và chúng được gọi là' vấn đề ' suy luận. Sự khác biệt cơ bản giữa logic hình thức hiện đại và truyền thống hoặc logic Aristotle nằm trong chỗ phân tích sự khác nhau giữa các logic hình thức của mệnh đề mà chúng ta xem xét đến .
Kết cấu hình thức của mệnh đề theo quan điểm truyền thống bao gồm 3 phần :
(1) đề luận ( subject ) : chỉ về đối tượng cần khảo sát (ví dụ như " con người ' , thú ăn thịt ' , v.v...) cùng với một dấu hiệu chỉ về số lượng (' tất cả 'hay' một số 'hoặc' không thuộc ' , ' ít nhất ' , v.v... );
(2) dẫn luận ( copula ) : ( được hiểu là phần dẫn nối ) gồm các hình thái liên kết đối tượng và tính chất như 'là' hoặc 'không phải là' , ' thuộc ' hay ' không thuộc ' ..v.v...
(3) kết luận ( predicate ) : chỉ về thuộc tính của đối tượng hoặc kết quả của lập luận dành cho đối tượng (ví dụ như 'chết', 'ăn thịt' , v.v...) .
Các biến ký tự hằng số logic như 'tất cả', ' một số ', 'không có ' , ' ít nhất ' , cùng với quan hệ liên kết như 'và' , 'hay' , được gọi là  phạm trù đồng tính chất ( syncategorematic ) . Đây là một hệ thống lập luận vững chắc , khi đó mỗi sự phán quyết hợp lý đều có một biến ký tự số lượng xác định được kèm theo dẫn luận thông qua mối quan hệ liên kết , thiết lập nên dạng logic của mệnh đề .
Chúng ta hãy xét một ví dụ về logic hình thức sau :
(1) đề luận : " tất cả mọi người đều phải chết ".
(2)dẫn luận. : " Socrates là người " .
(3) kết luận : " vậy Socrates cũng phải chết " .

Thực ra kết luận về thuộc tính của Socrates không có giá trị gì mới và cũng không khác với thuộc tính của đối tượng " mọi người " đã nêu ra ở phần đề luận , nó chỉ mang tính nhấn mạnh cho đối tượng nêu ra ở phần dẫn luận và khẳng định lại một nguyên lý đúng đắn đã được thực tại kiểm chứng qua những quá trình nhận thức trước đó mà thôi . Theo quan điểm hiện đại về logic , một phán quyết hợp lý cơ bản được dẫn xuất từ một giản đồ đệ quy bao hàm những liên kết logic , cũng như đã định lượng hóa bằng những biến logic giới hạn , tham gia vào cấu trúc bằng cách xếp đặt những mệnh đề khác nhau lần lượt theo thứ tự nào đó để có thể có một cơ cấu hợp lý nhất . Logic theo cách nhìn hiện đại như đã nói sẽ trở nên phức tạp hơn, vì xuất phát từ một phán quyết hợp lý duy nhất của hệ thống Aristotle ,  mệnh đề được đề cập đến sẽ có những quan hệ đến hai hoặc nhiều liên kết hợp lý hoặc các thành phần phi logic khác .

Ví dụ, câu "Tất cả mọi người đều phải chết " có sự liên quan về mặt logic giữa 2 thành phần phi logic là " người "(ở đây là M) và "chết" (ở đây D): câu được cho bởi phán quyết I(M, D). Trong logic thuộc tính , mệnh đề này liên quan đến hai khái niệm phi logic , theo phân tích này là m(x) và d(x) , và câu phán quyết này được đưa ra dưới dạng : " ∀ x , m(x) => d(x) " , chúng được kết nối hợp lý mang tính chất định lượng và ý nghĩa phổ quát. Như vậy với ví dụ về logic hình thức đã xét ở trên :

(1) đề luận : " tất cả mọi người đều phải chết ".

(2)dẫn luận. : " Socrates là người " .

(3) kết luận : " vậy Socrates cũng phải chết " .

Theo cách viết của logic hiện đại , ta có thể biểu diễn như sau :

(1) I(M,D) : ∀ x , m(x) => d(x) ( I : INPUT )

(2) L(S ,M ) : s(x) C m(x) ( L. : LINK )

(3) O(S,D) : s(x) => d(x) ( O: OUTPUT )


Trần hồng Cơ
Tài liệu tham khảo 

<* theo Wikipedia ,
*  Logic học đại cương - Nguyễn văn Tuấn 
http://tailieu.vn/xem-tai-lieu/logic-hoc-dai-cuong.69772.html>