08/02/2012
Nghịch lý và tư duy mới trong toán học hiện đại . Phần 1 .
Bài viết này sẽ trình bày những luận điểm mới về tư duy toán học xuất phát từ nhu cầu hoàn thiện hóa toán học vốn là một bộ môn khoa học cơ bản có lịch sử gắn liền với nền văn minh nhân loại , có liên quan đến các phát kiến quan trọng và ảnh hưởng đến tiến trình nghiên cứu của nhiều ngành khoa học khác . Tác giả sẽ cố gắng dùng những ví dụ đơn giản dễ hiểu để minh họa những khái niệm luận lý phức tạp , hy vọng rằng người đọc sẽ tìm thấy được nhiều điều bổ ích qua các bài viết này đồng thời cũng rất mong nhận được nhiều ý kiến xây dựng đóng góp .
1. Những câu chuyện vui về nghịch lý .
(i) Nhân vật đầu tiên mà chúng ta gặp là Epimenides .
Theo cổ sử Hy lạp ông được xưng tụng là á thần , sinh vào khoảng 600 trước Công nguyên . Tương truyền trong khi ông đang chăn bầy cừu cho cha mình trên núi thì được thần Zeus dắt vào một hang động kỳ bí xứ Crete và ở đó ông đã chìm vào giấc ngủ dài đến 57 năm. Khi Epimenides thức dậy thì ông chịu sự khải thị của thần linh và từ đó trở thành nhà tiên tri . Epimenides qua đời tại Crete lúc tuổi đã cao, theo đồng hương của ông, những người sau đó tôn vinh ông như một vị thần, ông sống gần 300 năm. Theo một câu chuyện khác, ông bị bắt làm tù binh trong một cuộc chiến tranh giữa người Sparta và Cnossians, và chịu chết bởi vì ông đã từ chối nói những lời tiên tri có lợi cho họ. Pausanias đã kể lại rằng khi Epimenides chết, da của ông đã được tìm thấy với nhiều hình xăm bằng các ký tự và văn bản. Điều này thật kỳ lạ, bởi vì người Hy Lạp thường chỉ hay xăm mình cho các nô lệ của họ chứ không tự xăm mình bao giờ . Một số học giả hiện đại đã nhìn thấy điều này là bằng chứng rằng Epimenides là người kế thừa các tôn giáo Shaman thuộc khu vực Trung Á, bởi vì tục lệ xăm mình thường gắn liền với tôn giáo nguyên khởi Shaman. Da của Epimenides được bảo quản tại các tòa án của các ephores ở Sparta, được xem như một thánh vật đem lại những điều tốt lành và may mắn. Epimenides cũng được cho là cùng với Melampus, Onomacritus là một trong những người sáng lập ra trường phái Orphism.
Nghịch lý Epimenides .
Có một điều không rõ ràng khi Epimenides trở nên gắn liền với nghịch lý Epimenides, được xem là một biến thể của nghịch lý về kẻ nói dối. Có lẽ Epimenides bản thân mình không có ý định mỉa mai hay nghịch lý trong tuyên bố của ông " Người Crete luôn luôn nói dối." Trong thời Trung cổ, nhiều hình thức về nghịch lý kẻ nói dối đã được nghiên cứu dưới của tiêu đề insolubilia ( bất khả tri , bất khả giải ) , nhưng chúng không liên quan gì đến Epimenides. Có thể xem nghịch lý Epimenides là một hiện tượng độc đáo trong logic. Nó được đặt tên sau khi Epimenides nhà triết học người dân đảo Crete , đã không đưa ra kết quả nhất quán của vấn đề : " Epimenides là một người dân đảo Crete đã thực hiện một tuyên bố bất hủ : "Tất cả dân Crete đều là kẻ nói dối" " .Để thấy rõ mâu thuẫn của lời tuyên bố trên chúng ta sẽ xem xét các bước lôgic sau :
1. Epimenides phát biểu : Tất cả dân Crete đều nói dối .
2. Epimenides là dân Crete .
3. Vậy Epimenides cũng là kẻ nói dối .
Diễn dịch tam đoạn luận Socrates trên đây sẽ cho chúng ta một kết luận hiển nhiên là mệnh đề 1 sẽ có giá trị không đúng ; vì khi Epimenides là kẻ nói dối thì câu 1 cũng sẽ là câu nói dối , như vậy " Tất cả dân Crete phải là dân nói thật " .
Trong quy luật diễn dịch này chúng ta thấy 3 kết quả đúng của 3 mệnh đề lại dẫn đến 1 kết quả có một giá trị sai hoàn toàn . Nhưng vấn đề vẫn chưa dừng ở đó nếu chúng ta lại tiếp tục các bước lập luận sau :
4. Nếu tất cả dân Crete đều nói thật .
5. Epimenides là dân Crete .
6. Vậy Epimenides là người nói thật .
Do đó mệnh đề 1 mà ông đã phát biểu là 1 câu nói thật vì thế " Tất cả dân Crete đều nói dối " lại có giá trị đúng . Một mệnh đề vừa có giá trị đúng vừa có giá trị sai được xem là nghịch lý về mặt lôgic hay có thể xem như là tự mâu thuẫn .
(ii) Nhân vật thứ hai mà chúng ta nhắc đến là Zenon .
Zeno Elea (/ zi no - əv liə /; Hy Lạp: Ζήνων λεάτης; 490 TCN - 430 TCN ) còn được gọi Zenon - là một triết gia Hy Lạp thời kỳ tiền-Socrates ở miền nam nước Ý ông là thành viên của Trường Eleatic do Parmenides sáng lập . Aristotle gọi Zeno là nhà phát minh của phép biện chứng. Ông được biết đến với việc đưa ra một nghịch lý có tên gọi là Nghịch lý Zenon , Bertrand Russell cũng đã mô tả ông như một nhân vật "vô cùng tinh tế và sâu sắc " .
Chúng ta có rất ít thông tin về cuộc sống của Zeno. Mặc dù được viết gần một thế kỷ sau cái chết của Zeno, nguồn tư liệu chính của các tiểu sử về Zeno là trong các cuộc đàm luận của Plato được gọi là Parmenides. Trong cuộc đối thoại, Plato mô tả một chuyến thăm Athens của Zeno và Parmenides, khi đó Parmenides là "khoảng 65", Zeno là "gần 40" (Parmenides 127b) và Socrates là "một người đàn ông rất trẻ" (Parmenides 127c). ). Các chi tiết khác có lẽ ít đáng tin cậy về cuộc sống của Zeno được Diogenes Laërtius viết trong tác phẩm " Cuộc sống và Ý kiến của các triết gia hệ phái Eminent " , cho rằng Zeno là con trai của Teleutagoras, nhưng là con trai nuôi của Parmenides, ông là một người "có tay nghề cao để tranh luận về cả hai khía cạnh của bất kỳ một câu hỏi nào , và đồng thời cũng là nhà phê bình phổ quát nhất " . Theo Plutarch, Zeno đã có mưu định ám sát bạo chúa Demylus, nhưng bất thành và bị xử tử .
Nghịch lý Zenon .
Những nghịch lý Zeno đã gây biết bao bối rối, đưa ra nhiều thách thức, tạo ra ảnh hưởng lớn nhưng cũng truyền cảm hứng cho những triết gia, nhà toán học, vật lý học niềm thích thú suốt hơn hai thiên niên kỷ. Những nghịch lý nổi tiếng nhất của Zeno là các "lập luận chống lại chuyển động" được Aristotle mô tả trong cuốn sách " Vật lý " của ông , một trong số đó chúng ta sẽ xét đến sau đây .Archilles và con rùa Zenon .
Trong thần thoại Hy Lạp, Achilles (Hy Lạp cổ đại: Aχιλλεύς, Akhilleus, phát âm là [ak illěus ] ) là một anh hùng Hy Lạp của cuộc chiến thành Troy, là một trong những nhân vật trung tâm và các chiến binh vĩ đại nhất trong sử thi Iliad của Homer. Sau đó rất nhiều truyền thuyết ( bắt đầu với một bài thơ của Statius vào thế kỷ 1 sau CN ) cho rằng Achilles là bất khả xâm phạm trong cơ thể của mình ngoại trừ gót chân . Khi ông qua đời vì một vết thương nhỏ trên gót chân, thành ngữ " gót chân Achilles " có ý nghĩa là điểm yếu chính của một người nào đó . Bài toán về cuộc đua giữa Archilles và con rùa được Zenon mô tả như sau :
Archilles và con rùa đứng cách nhau 10 m . Giả sử rằng khi Archilles chạy được 10m thì con rùa bò được một đoạn đường bằng 1/10 đoạn đường của Archilles nghĩa là 1m . Khi Archilles chạy được 1m thì con rùa bò được 1/10 nghĩa là 1dm . Cứ như vậy khi Archilles chạy được 1dm thì con rùa lại bò được 1cm ... điều đó dẫn đến kết luận rằng chẳng bao giờ Archilles có thể bắt kịp được con rùa . Đây là 1 điều vô lý về thực tế nhưng lại hợp lý về phương diện toán học vì phép chia cho 10 không bao giờ kết thúc .
Quá trình giải quyết nghịch lý Zenon đã dẫn đến sự phát triển các phép toán về cấp số , dãy số và một ý tưởng hết sức quan trọng là giới hạn trong giải tích học . Chúng ta sẽ tự hỏi khái niệm giới hạn xuất hiện trong toán học có ý nghĩa như thế nào ? Câu trả lời đơn giản nhất là các nhà toán học sẽ bắt đầu một chuyến du hành vào thế giới vi mô đầy mầu sắc : thế giới vi phân .
(iii) Nhân vật thứ ba chúng ta cũng cần lưu ý đến là trạng nguyên Lương thế Vinh .
Lương Thế Vinh (chữ Hán: 梁世榮, ; 1441–1496), còn gọi là Trạng Lường, tên tự là Cảnh Nghị, tên hiệu là Thụy Hiên, là một nhà toán học, Phật học, nhà thơ Việt Nam thời Hậu Lê. Ông đỗ trạng nguyên dưới triều Lê Thánh Tông và làm quan tại viện Hàn Lâm. Ông là một trong 28 nhà thơ của hội Tao Đàn do vua Lê Thánh Tông lập năm 1495.
Lương Thế Vinh sinh ngày 1 tháng 8 năm Tân Dậu (tức 17 tháng 8 năm 1442) tại làng Cao Hương, huyện Thiên Bản, trấn Sơn Nam (nay là thôn Cao Phương, xã Liên Bảo, huyện Vụ Bản, tỉnh Nam Định). Từ nhỏ Lương Thế Vinh đã nổi tiếng về khả năng học mau thuộc, nhanh hiểu, và khả năng sáng tạo trong các trò chơi như đá bóng, thả diều, câu cá, bẫy chim.
Năm 1463, Lương Thế Vinh đỗ Đệ nhất giáp tiến sĩ cập đệ đệ nhất danh (trạng nguyên) khoa Quý Mùi niên hiệu Quang Thuận thứ 4, đời Lê Thánh Tông. Về sự sáng tạo của Lương Thế Vinh hồi nhỏ, có giai thoại kể rằng một lần trong lúc đang chơi bóng với các bạn, quả bóng lăn xuống một hố hẹp và sâu, tưởng như không lấy lên được. Lương Thế Vinh đã nghĩ ra cách lấy bóng lên bằng việc đổ nước vào hố và lợi dụng việc bóng nổi trên nước để lấy lại quả bóng.Về toán học, Lương Thế Vinh đã để lại các tác phẩm :
Đại thành Toán pháp
Khải minh Toán học
Lương Thế Vinh nổi tiếng với tài năng toán học. Quyển Đại thành toán pháp của ông được đưa vào chương trình thi cử suốt 450 năm trong lịch sử giáo dục Việt Nam. Ông cũng được xem là người chế ra bàn tính gẩy cho người Việt, lúc đầu làm bằng đất rồi bằng trúc, bằng gỗ, sơn mầu khác nhau, đẹp và dễ tính, dễ nhớ. Các chuyện truyền miệng dân gian còn cho biết tài năng của ông được thể hiện từ khi nhỏ tuổi. Ông được nhân dân gọi tên là Trạng Lường sau khi đỗ trạng nguyên.
Nghịch lý trạng Lường .
Không ồn ào như các nghịch lý Epimenides hay Zenon , bài toán mà Lương thế Vinh đưa ra cũng hàm chứa sự mâu thuẫn giữa hiện thực và suy luận . Với những mặt hạn chế của toán học duy lý trong đời sống thực tại như vậy , liệu toán học có khả năng biện giải được thế giới khách quan hay không chúng ta sẽ tiếp tục tìm hiểu ở các phần tiếp theo . Trở lại với bài toán của trạng Lường nội dung của nghịch lý này được đưa ra như sau :Có một trái bưởi trên cành cao 1m , giả sử rằng mỗi lần rơi xuống đất sẽ nẩy lên với 1/2 chiều cao trước đó . Hỏi khi nào thì trái bưởi sẽ nằm im trên mặt đất . Theo cách tính toán thông thường sau lần chạm đất đầu tiên độ cao của trái bưởi sẽ là 0.5m , lần thứ hai sẽ là 0.25m và cứ giảm một nửa như vậy cho các lần kế tiếp . Việc chia cho 2 các kết quả này không bao giờ chấm dứt và đồng nghĩa với việc là độ cao trái bưởi luôn luôn dương , nói cách khác nó sẽ chẳng bao giờ nằm yên trên mặt đất ( khi đó độ cao bằng 0 ) . Điều này trái với hiện thực nhưng lại hợp lý về mặt toán học .
Để khắc phục được mâu thuẫn này như đã trình bày ở trên , chúng ta sẽ phải dựa vào khái niệm giới hạn trong toán học giải tích . Lúc này năng lực toán học cần phải có để giải thích được vấn đề là đặt bài toán trong không gian vi mô .
(iv) Nhân vật cuối cùng là Bertrand Russell
Bertrand Arthur William Russell (18/05/1872 - 02/02/1970) người Anh , vừa là triết gia , nhà lý luận , nhà toán học, sử học, và nhà phê bình xã hội. Ông sinh ra ở Monmouthshire, trong một gia đình quý tộc danh giá nhất ở Anh quốc. Russell cũng là nhà hoạt động chống chiến tranh nổi tiếng, ông tranh đấu cho tự do thương mại , chống chủ nghĩa đế quốc và bị bắt giam vì những hoạt động đòi hòa bình của mình trong Thế chiến thứ I. Russell đã từng vận động tranh cử chống lại Adolf Hitler, chỉ trích chế độ độc tài Stalin, phản đối sự tham chiến của Hoa Kỳ tại Việt Nam, đồng thời đề xuất thẳng thắn về hạn chế vũ khí hạt nhân và giải trừ quân bị. Một trong những hoạt động cuối cùng của ông là đưa ra một tuyên án về sự xâm lược của Israel ở Trung Đông. Russell cũng là một nhà bình luận sắc sảo về tôn giáo - cùng với những người khác như Karl Marx, Sigmund Freud, và Friedrich Nietzsche - ông đề xuất một "trường học mới của tư tưởng" mà Greg Epstein gọi là "chủ nghĩa vô thần đối kháng", với quan điểm rằng " tôn giáo là một điều của quá khứ và nên được giảm bớt đi ảnh hưởng của nó trong xã hội nhân văn " . Năm 1950, Russell đã được trao giải Nobel Văn học," để ghi nhận những tác phẩm của ông vì tính đa dạng và tầm quan trọng, trong đó ông được xem nhà hoạt động vô địch về lý tưởng nhân đạo và tự do tư tưởng " . Russell giành được một học bổng toán học Tripos tại Trinity College, Cambridge, và bắt đầu sự nghiệp nghiên cứu của mình vào năm 1890. Ông thường liên hệ với G.E. Moore và chịu ảnh hưởng của Alfred North Whitehead, người đã giới thiệu ông với các giáo sư Cambridge. Russell nhanh chóng tự phân định được 2 lĩnh vực toán học và triết học, ông tốt nghiệp xuất sắc năm 1893 và trở thành nghiên cứu sinh vào năm 1895.
Các lĩnh vực hoạt động và nghiên cứu của Bertrand Russell rất rộng . Riêng về toán học , Ông bắt đầu bằng một nghiên cứu chuyên sâu về cơ sở của toán học tại Trinity , trong đó ông phát hiện ra nghịch lý Russell được xem là một thách thức đối với nền tảng của lý thuyết tập hợp . Năm 1903 ông xuất bản cuốn sách đầu tiên quan trọng của ông về logic toán học, đề tựa là " Các nguyên lý Toán học ", cho thấy rằng toán học có thể được trích xuất từ một số lượng rất nhỏ các nguyên lý, và là một đóng góp đáng kể cho môn logic học. Năm 1905, ông đã viết bài luận "Về tính biểu thị", được xuất bản trong tạp chí triết học Tâm thức , Russell đã trở thành một hội viên của Hội Hoàng gia vào năm 1908.
Điểm nhấn đáng chú ý là cuốn sách đầu tiên trong tuyển tập ba cuốn " Principia Mathematica " chấp bút cùng với Whitehead, đã được xuất bản vào năm 1910, cùng với trước đó là cuốn " Các nguyên lý Toán học", đưa Russell nhanh chóng nổi tiếng trong lĩnh vực của mình . Năm 1910, ông trở thành giảng viên tại Đại học Cambridge, nơi đây ông sớm nhận được những ý tưởng mới mẻ từ một nghiên cứu sinh người Áo tên là Ludwig Wittgenstein, người ông xem như là một thiên tài và người kế nhiệm sẽ tiếp tục công việc của mình về logic học . Một số tác phẩm quan trọng của Russell về logic toán học :
1897. An Essay on the Foundations of Geometry. Cambridge: Cambridge University Press.
1900. A Critical Exposition of the Philosophy of Leibniz. Cambridge: Cambridge University Press.
1903. The Principles of Mathematics, Cambridge University Press.
1905. On Denoting, Mind, vol. 14. ISSN: 00264425. Basil Blackwell.
1910. Philosophical Essays. London: Longmans, Green.
1910–1913. Principia Mathematica (with Alfred North Whitehead). 3 vols. Cambridge: Cambridge University Press.
1912. The Problems of Philosophy. London: Williams and Norgate.
1914. Our Knowledge of the External World as a Field for Scientific Method in Philosophy. Chicago and London: Open Court Publishing.
1918. Mysticism and Logic and Other Essays. London: Longmans, Green.
1919. Introduction to Mathematical Philosophy. London: George Allen & Unwin. (ISBN 0-415-09604-9 for Routledge paperback) (Copy at Archive.org).
Nghịch lý Russell .
Nghịch lý Russell (Russell's paradox) được mô tả qua một mẩu chuyện vui về ông thợ cạo như sau: Một người khách vào tiệm hớt tóc và hỏi ông thợ rằng : " Ông sẽ cạo râu cho ai ?" Ông thợ cạo trả lời : ”Tôi chỉ cạo râu cho những người nào mà không tự cạo râu được cho mình". Vấn đề chỉ có vậy nhưng sẽ trở thành phức tạp khi chúng ta xét đến sự việc sau : bản thân ông thợ sẽ thuộc về đối tượng nào ? Ông là người có thể tự cạo hay không tự cạo được râu của mình ?1. Nếu ông là người không thể tự cạo thì ông sẽ phải cạo cho chính ông ( vì ông nói " Tôi chỉ cạo râu cho những người nào mà không tự cạo râu được cho mình " )
2. Nếu ông là người có thể tự cạo rồi thì ông lại không được cạo cho chính mình ( cũng chính vì ông nói " Tôi chỉ cạo râu cho những người nào mà không tự cạo râu được cho mình " )
Trong cơ sở toán học, nghịch lý Russell (cũng được biết đến như là nguyên lý song mâu thuẫn Russell), được ông phát hiện vào năm 1901, chỉ ra rằng lý thuyết tập hợp nguyên thủy do Georg Cantor đề xuất sẽ dẫn đến mâu thuẫn. Nghịch lý như vậy cũng đã được phát hiện ra một năm trước bởi Ernst Zermelo, nhưng ông đã không công bố các ý tưởng, nên cho đến nay vẫn chỉ được biết đến như là các nghịch lý Hilbert, Husserl và các thành viên khác của Đại học Göttingen.Theo lý thuyết tập hợp nguyên thủy, bất kỳ bộ sưu tập nào cũng được định nghĩa như là một tập hợp. Với khái niệm sơ khai này chúng ta hãy xét một trường hợp đặc biệt sau đây .
Gọi R là tập hợp của tất cả các bộ không phải là thành viên của mình .
1. Nếu R được coi là một thành viên của chính nó, điều này sẽ mâu thuẫn với định nghĩa riêng của nó vì R là một tập hợp chứa tất cả các bộ không phải là thành viên của mình.
2. Mặt khác, nếu xem R như một tập hợp không phải là một thành viên của chính nó, thì R sẽ hội đủ điều kiện như là một thành viên của chính nó vì cùng thỏa mãn định nghĩa ban đầu .
Vậy R có thuộc về R hay không ? Mâu thuẫn này là nghịch lý của Russell. Xét về mặt biểu thị ta có thể phát biểu dưới dạng một mệnh đề logic toán như sau :
R = { S / S ¢ S} : R ¢ R <=> R C R.
Đến năm 1908, các nhà toán học đề nghị hai phương pháp để tránh những nghịch lý ( song mâu thuẫn ) đó là lý thuyết tập hợp kiểu Russell và lý thuyết tập hợp Zermelo . Lý thuyết tập hợp kiểu Russell dựa vào việc xây dựng trên các tiên đề đầu tiên. Lý thuyết tập hợp Zermelo đặt cơ sở trên hệ tiên đề mở rộng của Frege và sự trừu tượng của tập hợp vô hạn , và phát triển thành các lý thuyết kinh điển hiện nay về tập hợp Zermelo-Fraenkel (ZF).Để kết thúc phần 1. và cũng để cho không khí bớt căng thẳng , mời các bạn xem một chú thích của người viết bài nghiên cứu này ( khá khôi hài về tính triết học ) khi liên hệ nghịch lý Russell với mối quan hệ giữa tư duy và hiện thực trong ví dụ sau đây :
***
Chúng ta hãy xây dựng một tập hợp TÔI = { tập hợp các bộ sưu tập gồm những sự vật, sự kiện , thuộc tính , v.v... không thuộc về tôi } . Có thể hình dung những bộ sưu tập như vậy chẳng hạn : xác thịt không phải tự của tôi mà nó xuất hiện là do bố mẹ tôi mà ra ; tư duy không phải tự của tôi mà đó là sản phẩm của thầy cô , bạn bè tôi ; năng khiếu cũng không phải tự của tôi có mà xuất phát từ sự tương tác với môi trường xã hội ; sở thích cũng không phải tôi tự có mà nó là do thực tại khách quan đem lại , v.v...
Như thế TÔI có thuộc về TÔI không ?
1. nếu TÔI không thuộc về TÔI thì theo định nghĩa " TÔI = { tập hợp các bộ sưu tập gồm những sự vật, sự kiện , thuộc tính , v.v... không thuộc về tôi } " , suy ra TÔI phải thuộc về TÔI .
2. nếu TÔI thuộc về TÔI , thì cũng căn cứ theo định nghĩa " TÔI = { tập hợp các bộ sưu tập gồm những sự vật, sự kiện , thuộc tính , v.v... không thuộc về tôi } " , do đó TÔI không thể thuộc về TÔI .
Vậy thì TÔi vừa thuộc về TÔI , vừa không thuộc về TÔI .
Trần hồng Cơ .
Tài liệu tham khảo
<* theo Wikipedia >
Cuộc sống thật lý thú... Thank you.
Trả lờiXóa