Câu chuyện hấp dẫn về giả thuyết Poincare .
Đây là bài viết trên http://tusach.thuvienkhoahoc.com
Xin phép tác giả được đăng tải lại trên Blog Toán - Cơ học ứng dụng
Trân trọng cám ơn
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Đã hơn 10 năm kể từ ngày Wiles chứng minh định lý lớn Fermat, toán học mới lại có một câu chuyện lí thú xuất hiện rộng rãi trên các phương tiện truyền thông. Đầu tiên là sự phức tạp của Poincare conjecture, sau đó là tính tình cổ quái của Perelman, rồi tiếp nữa là đầu óc "đại hán" của "thừa tướng" Yau, và cuối cùng là giới luật sư vào cuộc. Tất cả những yếu tố trên khiến cho toán học trở thành một vấn đề thời sự, một điều rất hiếm đối với môn khoa học mà đa số vẫn cho là "ăn hại, tự sướng".
Tối ngày 20 tháng 6 (năm 2006), hàng trăm nhà vật lý, trong đó có 1 người đọat giải Nobel, tập trung tại một thính phòng cùa Friendship Hotel (FH) ở Bắc Kinh để nghe bài giảng của một nhà toán học TQ là Shing-Tung Yau. Vào cuối những năm 1970s, ở độ tuổi 20, Yau đã có một loạt các phát minh đột phá, mở đầu cuộc cách mạng của lý thuyết dây trong vật lý. Những thành tựu này đã mang lại cho Yau huy chương Fields – giải thưởng cao quý nhất trong Toán học – cùng với danh tiếng của một nhà toán học vô song.
Yau trở thành giáo sư toán học tại Đại học Havard, viện trưởng viện toán học tại Bắc Kinh và Hồng Kông, và thường xuyên đi lại giữa Mĩ và TQ. Bài giảng của Yau tại FH là 1 phần của một hội nghị quốc tế về lý thuyết dây do chính Yau tổ chức với sự hỗ trợ của chính phủ Trung Quốc. Một trong những mục đích của hội thảo là quảng bá những khám phá gần đây trong lĩnh vực vật lý lý thuyết của TQ. (Hơn 6000 sinh viên đã đến nghe bài giảng chính của hội nghị do người bạn thân của Yau, Stephan Hawking, trình bày tại Great Hall of the People). Chỉ một vài người tham dự có thể hiểu được nội dung bài giảng của Yau: Giả thuyết Poincare (Poincare Conjecture – PC). Đây là một bài toán 100 tuổi cực kì phức tạp, liên quan đến đặc điểm của những mặt cầu 3 chiều. PC được các nhà toán học xem như “ chén thánh” (Holy Grail) (muốn biết chén thánh là gì có thể đọc Tân ước hoặc Da Vinci Code – ND) vì tầm quan trọng của nó trong toán học và vũ trụ học; và cũng bởi vì mọi nỗ lực chứng minh PC trong quá khứ đều thất bại.
Yau, một người đàn ông nhỏ bé 57 tuổi, đứng trên bục giảng với 1 tay bỏ trong túi quần cùng với cặp kính gọng đen giản dị, trình bày với các thính giả một cách chứng minh PC do hai học trò của ông là Xi-Ping Zhu và Huai-Dong Cao hoàn thành cách đây vài tuần. “Tôi rất hài lòng về công trình của Zhu và Cao”, Yau nói, “Các nhà toán học Trung Quốc có lý do để tự hào về thành tựu lớn lao trong việc giải quyết trọn vẹn siêu bài toán này”. Yau nói rằng Zhu và Cao mắc nợ người đồng sự lâu năm của ông là Hamilton, cũng là người có công lớn nhất nhất trong việc giải quyết PC. Yau cũng nhắc đến Grigory Perelman, một nhà toán học Nga, người mà Yau thừa nhận là có những đóng góp quan trọng. Tuy nhiên, Yau nói: “trong công trình tuyệt diệu của Perelman, rất nhiều ý tưởng chìa khoá của chứng minh chỉ được phác thảo và trình bày sơ lược. Chúng chưa hoàn thiện”. Yau cũng nói thêm: “Chúng tôi mong muốn Perelman sẽ bình luận về chứng minh này. Nhưng Perelman đang ở St. Petersburg và từ chối giao tiếp với mọi người”
Trong 90 phút, Yau thảo luận về những chi tiết kĩ thuật trong chứng minh của các học trò. Khi ông kết thúc, không ai đưa ra câu hỏi nào. Tuy nhiên, trong tối hôm đó, một nhà vật lý Brazil đã viết thông báo về bài giảng của Yau lên blog của mình. “Có thể chẳng bao lâu nữa, Trung Quốc sẽ đứng đầu cả trong toán học” anh viết.
Grigory Perelman một ẩn sĩ thực sự. Cuối tháng 12 năm 2005, anh đã bỏ công việc nghiên cứu của mình tại Viện Toán Steklov, St. Petersburg. Anh chỉ có vài người bạn và sống với mẹ trong một khu chung cư ở ngoại ô thành phố. Dù chưa bao giờ đồng ý phỏng vấn trước đây, nhưng anh đã cư xử thân thiện và thẳng thắn khi chúng tôi đến thăm anh vào cuối tháng 6 ngay sau cuộc hội thảo của Yau. Anh đưa chúng tôi đi bộ dạo quanh thành phố. “Tôi đang tìm kiếm một vài người bạn, và họ không cần phải là những nhà toán học” anh nóí. Trước hội nghị của Yau một tuần, Perelman đã dành nhiều thời gian để thảo luận về PC với ngài John M. Ball, vị chủ tịch 58 tuổi của hội toán học thế giới (I.M.U), một tổ chức có nhiều ảnh hưởng trong cộng đồng toán học. Cuộc gặp tại một trung tâm hội thảo trong một lâu đài trang nghiêm nhìn ra sông Neva, đã diễn ra không bình thường. Vào cuối tháng 5, một hội đồng gồm 9 nhà toán học kiệt xuất đã bỏ phiếu chọn Perelman là người được nhận huy chương Fields vì công trình của anh về PC; và Chủ tịch Ball đã đến St. Petersburg để thuyết phục Perelman đến nhận giải thưởng trong lễ trao giải tại Đại hội Toán học thế giới (cứ 4 năm lại tổ chức 1 lần) vào ngày 22 tháng 8 tại Madrid.
Một ý nghĩa của huy chương Fields, cũng như giải Nobel, là mong muốn đưa khoa học vượt lên trên những cuộc đối đầu giữa các quốc gia. Các nhà toán học Đức bị cấm cửa trong đại hội lần đầu tiên của I.M.U tổ chức vào năm 1924. Cho dù việc cấm này đã bị bãi bỏ trong các đại hội lần sau, những tổn thương do nó gây ra đã đưa đến việc đặt ra giải thưởng Fields - năm 1936 - với tiêu chí "mang tính quốc tế và khách quan ở mức tối đa có thể được".
Tuy vậy, huy chương Fields chỉ được trao 4 năm một lần cho 2 đến 4 nhà toán học, không chỉ để tôn vinh những thành tựu trong quá khứ, mà còn để khuyến khích các nghiên cứu trong tương lai. Vì thế, chỉ những nhà toán học không quá 40 tuổi mới được nhận huy chương cao quý này. Trong những thập niên gần đây, khi số lượng các nhà toán học chuyên nghiệp càng ngày càng nhiều, uy tín của huy chương Fields ngày càng tăng. Trong gần 70 năm, chỉ có 44 huy chương được trao, trong đó có 3 huy chương dành cho các công trình liên quan mật thiết với PC, và không có nhà toán học nào từ chối giải thưởng. Vậy mà trong buổi gặp gỡ kể trên, Perelman đã nói với Ball rằng anh không có ý muốn nhận giải thưởng này. “Tôi từ chối”, anh nói một cách đơn giản.
Trong vòng 8 tháng bắt đầu từ tháng 11 năm 2002, Perelman đã post chứng minh cho PC – gồm 3 phần - lên Internet. Cũng giống như một bản sonnet hay aria, một chứng minh toán học được trình bày rõ ràng trong khuôn khổ các quy ước. Nó được bắt đầu với những tiên đề, hoặc các chân lý được thừa nhận, và sử dụng một loạt các suy luận logic để đưa ra kết luận cuối cùng. Nếu những suy luận logic là chặt chẽ thì kết quả sẽ trở thành định lý. Không giống như các chứng minh trong luật hay khoa học, vì dựa trên các chứng cứ nên luôn cần phải thẩm định và tu chỉnh, một chứng minh toán học chính xác cần phải mang tính hoàn hảo. Sự chính xác của chứng minh được quyết định bởi các tạp chí có phản biện. Để đảm bảo công bằng, những người phản biện được người chủ biên lựa chọn rất cẩn thận, và tên tác giả bài báo được giữ kín. Nếu được đăng, chứng minh này sẽ được coi là hoàn thiện, chính xác và mới mẻ.
Theo những tiêu chuẩn trên, bài chứng minh của Perelman là khó chấp nhận. Nó sơ lược một cách đáng ngạc nhiên so tham vọng của nó; các lập luận logic thường quá cô đọng trong khi chúng cần phải được khai triển chi tiết trên nhiều trang viết. Hơn nữa, bài chứng minh không hề nhắc đến PC (và bao gồm nhiều kết quả lí thú nhưng ít liên quan đến chủ đề trung tâm - tối nghĩa -> bỏ qua). Tuy vậy, trong vòng bốn năm sau đó, ít nhất 2 nhóm các chuyên gia đã kiểm tra chứng minh của Perelman và họ không tìm thấy sai sót nào nghiêm trọng. Cộng đồng toán học nhất trí công nhận: Perelman đã chứng minh thành công PC. Đáng tiếc, sự phức tạp của chứng minh và các lập luận cô đọng ở những vị trí nhạy cảm của chứng minh làm cho bài báo dễ bị tấn công. Chỉ có một vài nhà toán học có trình độ cao để đánh giá và bảo vệ nó.
Sau khi qua Mỹ thực hiện một loạt bài giảng về chứng minh của mình trong năm 2003, Perelman trở về St. Petersburg. Từ đó, mặc dù vẫn tiếp tục trả lời các câu hỏi về chứng minh của mình bằng e-mail, anh hầu như không liên lạc với các đồng nghiệp. Không ai biết lý do tại sao. Perelman không hề có ý muốn gửi chứng minh của mình đến các tạp chí. Tuy nhiên, ít ai nghi ngờ việc Perelman, tròn 40 tuổi vào ngày 13 tháng 6, xứng đáng được nhận một Huy chương Fields. Khi Ball lập kế hoạch tổ chức đại hội I.M.U 2006, ông bắt đầu nhận ra rằng đây sẽ là một sự kiện lịch sử. Hơn 3000 toán học gia sẽ tham dự, và nhà Vua Tây Ban Nha là Juan Carlos đã đồng ý chủ trì lễ trao giải. Bản tin của I.M.U dự báo rằng Đại hội này sẽ được ghi nhớ đến như là “ cột mốc đánh dấu việc PC trở thành định lý ”. Để chắc chắn Perelman sẽ có mặt tại Đại hội, Chủ tịch Ball quyết định bay đến St. Petersburg.
Ball muốn giữ kín chuyến đi của mình bởi lẽ tên tuổi những người được giành huy chương Fields sẽ chỉ được công bố chính thức tại lễ trao giải. Trung tâm hội thảo, nơi ông gặp Perelman, là một nơi vắng vẻ. Bỏ ra 10 tiếng đồng hồ trong 2 ngày, Ball đã cố gắng thuyết phục Perelman đồng ý nhận giải thưởng. Perelman - một người đàn ông mảnh khảnh, hói đầu với bộ râu quai nón, lông mày rậm cùng với đôi mắt xanh lơ – đã lịch sự lắng nghe Ball. Dù đã 3 năm Perelman không sử dụng tiếng Anh, nhưng anh vẫn né tránh một cách trôi chảy lời nài nỉ của Ball. Perelmal cũng đi cùng Ball một quãng đường dài - đi bộ là một sở thích của anh. Và như anh đã tóm tắt lại cuộc hội thoại với Ball với chúng tôi hai tuần sau đó: “ Ông ấy đưa ra 3 lựa chọn: đồng ý nhận giải và dự đại hội; đồng ý nhận giải nhưng không dự đại hội, và sau đó chúng tôi sẽ gửi tấm huy chương cho anh; và thứ 3 là không đồng ý nhận giải thưởng. Ngay từ đầu, tôi đã nói với ông ấy là tôi lựa chọn cách thứ 3 ”. Perelman giải thích rằng anh không quan tâm đến huy chương Fields. “ Nó hoàn toàn không phù hợp với tôi ” anh nói. “ Nếu mọi người đều đồng ý chứng minh đúng thì tôi không cần một sự thừa nhận nào nữa ”.
Các chứng minh cho PC xuất hiện hàng năm gần đây kể từ khi Poincare thiết lập PC cách đây hơn 100 năm. Poincare là em họ của Raymond Poincare, tổng thống Pháp thời đại chiến I, và là một trong những nhà toán học sáng tạo nhất của thế kỷ 19. Dáng người thanh mảnh, bị cận thị, và nổi tiếng với tật đãng trí, ông đã thiết lập bài toán trứ danh của mình vào năm 1904, tám năm trước khi ông qua đời. PC được ông đặt trong một bài báo dài 65 trang như là một câu hỏi xuất thần (offhand question).
Poincare đã không thể tạo ra tiến bộ nào để chứng minh giả thuyết của mình. Ông dự đoán: “Cette question nous entraînerait trop loin” (“Câu hỏi này sẽ đưa chúng ta đi rất xa”). Ông là người sáng lập ra ngành topo, còn được biết đến dưới tên "hình học của màng cao su ", do nội dung của topo là những tính chất nội tại của không gian. Đối với một nhà topo thì không có sự khác nhau giữa một cái nhẫn và một cốc cà phê có quai cầm. Cả hai đều có một cái lỗ và có thể được biến đổi sao cho cái này trở nên giống cái kia mà không cần phải cắt rời chúng ra. Poincare sử dụng thuật ngữ đa tạp để mô tả một không gian topo trừu tượng có kiểu như cái nhẫn hay tách cafe. Đa tạp 2 chiều đơn giản nhất là bề mặt của một trái bóng, và đối với các nhà topo thì nó vẫn là 1 mặt cầu ngay cả khi nó bị dẫm bẹp, bị căng ra hay xoắn lại. Một vật thể như vậy là còn gọi là một song cầu, gọi như vậy vì nó có thể mang bất cứ hình thù gì. Có được sự đồng nhất này là do vật thể đó " đơn liên ", có nghĩa là không có một lỗ hổng nào trên nó. Không giống như một trái bóng, một cái nhẫn (mặt xuyến) hoàn toàn không phải là một mặt cầu. Nếu bạn buộc một thòng lọng quanh một quả bóng, bạn có thể dễ dàng thắt nó thành 1 nút bằng cách trượt trên bề mặt của quả bóng (và điều đó chẳng phá vỡ mặt quả bóng – ND). Nhưng nếu bạn buộc dây thòng lọng quanh một cái nhẫn xuyên qua cái lỗ ở giữa thì bạn không thể thắt lại thành nút mà không cắt cái nhẫn ra.
Những đa tạp hai chiều đã được hiểu rõ từ giữa thế kỉ 19. Nhưng vấn đề đặt ra là những gì đúng trong trường hợp hai chiều có đúng trong trường hợp ba chiều không thì người ta chưa rõ. Poincare đưa ra giả thuyết rằng tất cả những đa tạp 3 chiều, đóng, đơn liên - những khối không có lỗ và có kích thước hữu hạn - đều là mặt cầu. Tầm quan trọng ẩn chưa trong giả thuyết này là nó giúp các nhà khoa học hiểu biết về vũ trụ. Tuy vậy, chứng minh giả thuyết này bằng toán học hoàn toàn không dễ dàng. Phần lớn các cố gắng đều trắng tay, nhưng một vài nỗ lực cũng đã dẫn đến những phát minh toán học quan trọng bao gồm bổ đề Dehn, định lý mặt cầu, và định lý khuyên.
Trong những năm 1960, topo đã trở thành một trong những lĩnh vực sôi động nhất của toán học, và các nhà topo trẻ tuổi liên tục tấn công PC. Một phát hiện quan trọng làm cho đa số các nhà toán học phải kinh ngạc là chứng minh PC trong trường hợp các đa tạp có số chiều lớn hơn có 3 dễ hơn là với các đa tạp 3 chiều. Đến năm 1982, PC đã được chứng minh trong với mọi đa tạp có số chiều khác 3. Vào năm 2000, Viện Toán Clay, một quỹ tư nhân hỗ trợ nghiên cứu toán học, đã đưa PC vào danh sách 7 bài toán mở quan trọng nhất trong toán học và đã đưa ra giải thưởng 1m USD ai chứng minh được nó.
“ Cả cuộc đời làm toán của tôi bị giả thuyết Poincare ám ảnh ”, John Morgan, trưởng khoa toán đại học Columbia thừa nhận, “ Tôi không nghĩ là sẽ có lúc tôi được nhìn thấy một lời giải. Tôi đã nghĩ chẳng có ai có thể làm gì được nó ”.
Thủa ấu thơ, Grigory Perelman không mơ ước trở thành nhà tóan
học. “ Tôi không bao giờ quyết định,” anh nói với chúng tôi trong cuộc
gặp. Chúng tôi gặp nhau bên ngoài khu chung cư tại Kupchino, nơi anh
sống. Xung quanh khu chung cư này có những tòa nhà cao tầng buồn tẻ. Cha
của Perelman là một kỹ sư điện và ông thường xuyên kích thích sự hứng
thú của anh với toán học. “ Cha tôi thường giao những bài toán logic và
những loại toán khác cho tôi làm,” anh nói. “ Ông cũng mua nhiều sách
cho tôi đọc, dạy tôi chơi cờ vua. Cha tôi rất tự hào về tôi. ”. Trong số
những cuốn sách do cha mình mua cho, có quyển “ Vật lý giải trí ”, một
best-seller tại Liên Xô trong những năm 1930. Trong lời mở đầu, tác giả
cuốn sách đã mô tả nội dung của nó là “ những câu hỏi hóc búa, nát óc,
những giai thoại thú vị và những so sánh bất ngờ ”, và ông ta cũng nói
thêm, “ tôi đã trích dẫn nhiều từ Jules Verne, H. G. Wells, Mark Twain
và các nhà văn khác, bởi lẽ ngoài tính giải trí, những thí nghiệm kỳ lạ
mà các nhà văn này mô tả còn có thể được sử dụng làm tài liệu minh họa
rất tốt trong các lớp vật lý ”. 2 trong số các chủ đề trong cuốn sách
bao là: làm thế nào có thể nhảy xuống từ một chiếc xe đang chạy, và tại
sao “ theo định luật của sự nổi, chúng ta không bao giờ bị chìm trong
Biển Chết.”
Một điều đáng lưu ý là trong khi xã hội Nga khá coi trọng toán học, thì đối với Perelman - thật ngạc nhiên - làm toán chỉ là một niềm vui. Khi 14 tuổi, anh là một ngôi sao sáng trong câu lạc bộ Toán ở địa phương. Năm 1982, thời điểm Shing-Tung Yau nhận huy chương Fields, thì Perelman đoạt huy chương vàng IMO tổ chức tại Budapest với số điểm tuyệt đối (Ngoài Perelman, cuộc thi năm đó chỉ còn 2 người có số điểm tuyệt đối, 1 trong 2 người là GS Lê Tự Quốc Thắng – ND). Anh là một người bạn tốt trong đội tuyển nhưng không tỏ ra thân thiện – “ [Khi đó] Tôi không có bạn thân,” Perelman nói. Anh là một trong hai hay ba học sinh gốc Do Thái trong lớp học, và anh có rất thích nghe opera, một điểm khác biệt so với các bạn cùng trang lứa. Mẹ anh, một giáo viên toán tại một trường cao đẳng kỹ thuật và là một người biết chơi violon, bắt đầu đưa Perelman đến nhà hát opera khi anh 6 tuổi. Khi 15 tuổi, anh thường tiết kiệm tiền để mua các băng đĩa. Anh đã run lên vì xúc động khi có được đĩa nhạc buổi trình diễn nổi tiếng tác phẩm “ La Traviata ” trong năm 1946, với Licia Albanese trong vai Violetta. “ Giọng hát của cô ấy thật là tuyệt vời ”, anh nói.
Perelman trở thành sinh viên trường đại học Leningrad năm 1982, khi mới 16 tuổi. Anh vàp học trong các lớp cao cấp về hình học, và giải quyết một bài toán được đặt ra bởi Yuri Burago, một nhà toán học làm việc tại Viện Steklov, người hướng dẫn Perelman làm luận án tiến sĩ sau này. “ Có rất nhiều sinh viên có khả năng tốt, nhưng họ thường trả lời mà không suy nghĩ kĩ ”, Burago nói. “ Nhưng Grisha thì khác. Anh ta suy nghĩ rất sâu sắc và luôn có câu trả lời chính xác. Anh ta luôn kiểm tra hết sức cẩn thận ”. Burago nói thêm, “ Anh ấy học không nhanh. Tốc độ là vô nghĩa. Toán học không phụ thuộc vào tốc độ. Toán học là phải sâu sắc.”
Đầu thập niên 1990 tại viện Steklov, Perelman trở thành chuyên gia về hình học của các không gian Riemanian – Alexandrov, sự mở rộng của hình học Euclide cổ điển, và anh bắt đầu đăng bài tại các tạp chí toán học hàng đầu của Nga và Mỹ. Năm 1992, Perelman được mời đến làm việc trong một học kì tại đại học New York và một học kì tại đại học Stony Brook. Mùa thu năm đó, thời điểm Perelman lên đường sang Mỹ, kinh tế Nga lâm vào tình trạng khủng hoảng. Dan Stroock, một nhà toán học ở M.I.T nhắc lại việc đã kẹp một ít đôla trong những chiếc bánh ngọt rồi lén lút gửi cho một nhà toán học đã về hưu tại Viện Steklov và đang sống trong cảnh nghèo khổ, một tình trạng phổ biến đối với các nhà toán học Nga thời kì đó.
Perelman cảm thấy hài lòng khi đến nước Mỹ, trung tâm của cộng đồng các nhà toán học thế giới. Anh chỉ mặc duy nhất một chiếc áo khoác nhung hằng ngày và nói với các bạn tại Đại học New York là anh đang ăn kiêng, thực đơn gồm bánh mì, pho mát và sữa. Anh thích đi dạo ở Brooklyn, nơi anh có thể thăm một vài người họ hàng và có thể mua bánh mì đen truyền thống của Nga. Một vài người bạn cùng trường với Perelman rất ngạc nhiên về các móng tay dài đến vài phân của anh. “ Nếu chúng đang mọc, thì tại sao tôi lại không để chúng tiếp tục mọc ?” anh trả lời mỗi khi được hỏi tại sao lại không cắt móng tay. Mỗi tuần một lần, Perelman cùng với Gang Tian, một nhà toán học trẻ tuổi ngưòi Trung Quốc, lái xe đến Princeton để tham dự một seminar tại Viện Nghiên cứu Cao Cấp (I.A.S).
Trong vòng nhiều thập niên, I.A.S và đại học Princeton ở gần đó là các trung tâm nghiên cứu topo. William Thurston, một nhà toán học ở Princeton, người thích kiểm chứng các ý tưởng của mình bằng cách dùng kéo cắt những tờ giấy rồi xếp chúng lại, đã đưa ra một nguyên tắc phân loại các đa tạp 3 chiều vào cuối những năm 1970s. Ông lý luận: mặc dù các đa tạp có thể được tạo ra mang nhiều hình dạng khác nhau, chúng có những hình dạng “ yêu thích ”, cũng giống như một tấm lụa khoác vào một hình nhân mẫu để nó có hình dáng của hình nhân mẫu đó.
Thurston đề xuất rằng có thể cắt mọi đa tạp 3 chiều ra thành các phần, mỗi phần mang một 1 trong 8 loại dạng hình dạng, trong đó có hình dạng mặt cầu. Lý thuyết của Thurston – còn được biết đến với tên gọi là Giả thuyết hình học hóa (Geometrization Conjecture – GC)mô tả tất cả các đa tạp 3 chiều có thể có, và do đó là một sự tổng quát hóa tuyệt vời của PC. Việc giải quyết GC dĩ nhiên sẽ kéo theo việc giải quyết PC. Chứng minh được GC (nói riêng là PC) sẽ “ mở ra các cánh cửa ” như nhà toán học ở Đại học Havard là Barry Mazur đã nói. Trong nhiều năm, những mối liên hệ của hai giả thuyết này với các lĩnh vực khác có thể không được nhận ra một cách rõ ràng, nhưng đối với toán học thì 2 bài toán này có vai trò rất quan trọng. “ Nó giống như định lý Pytago của thế kỷ 20,” Mazur nói thêm. “Nó sẽ làm thay đổi mỹ quan toán học ”.
Năm 1982, Thurston được trao huy chương Fields vào năm 1982 vì những đóng góp quan trọng của ông cho topo. Cùng năm đó, một nhà toán học ở đại học Cornell là Hamilton đăng một bài báo xoay quanh một phương trình, cái còn gọi là dòng Ricci, và Hamilton cảm thấy phương trình này có thể hữu ích cho việc giải quyết GC và PC. Giống như phương trình truyền nhiệt mô tả cách thức nhiệt độ phân bố đồng đều xuyên suốt một mẫu vật chất: ví dụ như nhiệt truyền từ phần nóng hơn sang phần lạnh hơn trong một tấm thép tạo nên một nhiệt độ đồng đều hơn. Dòng Ricci, bằng sự làm trơn các điểm không chính quy, sẽ gắn vào các đa tạp loại hình học đồng đều hơn.
Hamilton, con trai của một bác sĩ ở Cincinnati, là một hình ảnh khá kì cục với trong giới toán học vốn bị quy ước bởi các khuôn mẫu. Dáng vẻ bặm trợn, ông cưỡi ngựa, chơi lướt ván, và có rất nhiều bạn gái. Ông coi Toán học chỉ là một niềm vui trong cuộc sống. Ở tuổi 49, ông được đánh giá là một giảng viên kì diệu, nhưng ông có rất ít công trình đăng trên các tạp chí, ngoại trừ một loạt bài seminar về dòng Ricci, và ông cũng chỉ hướng dẫn một vài nghiên cứu sinh. Perelman đã đọc các bài báo của Hamilton và đã đến nghe buổi nói chuyện của Hamilton tại I.A.S. Vào cuối buổi nói chuyện, Perelman rụt rè đến bắt chuyện với Hamilton.
“Tôi rất muốn hỏi ông ấy một vài điều,” Perelman nhớ lại. “Ông ấy mỉm cười và rất kiên nhẫn. Ông thậm chí còn nói với tôi một vài điều, những cái mà vài năm sau ông mới đăng báo. Ông không ngần ngại khi nói với tôi về những điều đó. Sự cởi mở và hào phóng của Hamilton đã thực sự cuốn hút tôi. Tôi không thể nói rằng hầu hết các nhà toán học đều “dễ dãi” như Hamilton”.
“Khi đó tôi đang làm việc với những đối tượng khác, dù đôi khi tôi cũng suy nghĩ về dòng Ricci”, Perelman nói thêm. “Bạn không cần phải là một nhà toán học vĩ đại để nhận thấy rằng dòng chảy Ricci có thể hữu ích cho sự hình học hóa. Tôi cảm thấy mình không hiểu nhiều về nó và, do đó tôi hỏi ông ấy rất nhiều”.
Nguồn :
------------------------------------------------------------------------------------------------------Những hình dạng của không gian
Các đa tạp (manifold) là những cấu trúc toán học. Các nhà toán học biết nhiều về các 3-đa tạp (đa tạp ba chiều), nhưng những vấn đề cơ bản nhất của chúng lại luôn là những vấn đề khó nhất.Có một lĩnh vực nghiên cứu các đa tạp được gọi là topology (topo học). Đối với những 3-đa tạp, các nhà topo có thể đặt ra ba câu hỏi căn bản:
*Dạng nào là dạng đơn giản nhất của 3-đa tạp?,
*Dạng đơn giản đó có duy nhất hay không?
*Có những dạng 3-đa tạp nào?
Câu trả lời cho câu hỏi đầu tiên đã được biết từ lâu: hình cầu ba chiều là 3-đa tạp đóng đơn giản nhất.
Hai câu hỏi còn lại đã được để ngỏ trong cả một thế kỷ. Mãi đến năm 2002 chúng mới được giải đáp bởi Grigori ("Grisha") Perelman. Nhà toán học người Nga này hiện được coi là đã thành công trong việc chứng minh một định lý mang tầm thế kỷ.
Được phỏng đoán bởi Henri Poincaré 100 năm về trước, định lý này phát biểu rằng, hình cầu ba chiều là duy nhất, không hề có 3-đa tạp nào khác có cùng tính chất đơn giản như nó. Những 3-đa tạp mà phức tạp hơn hình cầu ba chiều thì sẽ có các biên hoặc những liên thông tổ hợp từ vùng này sang vùng khác. Tiên đoán của Poincaré cho rằng, hình cầu ba chiều là 3-đa tạp đóng duy nhất mà không hề có những tính chất phức tạp đó. Bất cứ vật thể ba chiều nào mà có cùng tính chất với hình cầu thì đều có thể đưa về cùng hình dạng với hình cầu. Và theo các nhà topo, vật thể đó chẳng qua chỉ là một bản sao khác của hình cầu ba chiều. Chứng minh của Perelman cũng đã trả lời cho câu hỏi thứ ba: nó đã phân loại toàn bộ các loại 3-đa tạp có thể tồn tại.
Mục lục |
Chứng minh phỏng đoán
Cho đến tháng 11/2002, người mới có thể nghĩ đến việc khép lại bài toán ba chiều hóc búa khi Perelman, một nhà toán học ở Viện Toán học Steklov, St. Petersburg đăng một bài báo trên www.arxiv.com (một trang web được sử dụng rộng rãi bởi các nhà vật lý và toán học trên toàn thế giới). Bài báo không hề nhắc đến cái tên Poincaré nhưng các chuyên gia topo đã ngay lập tức nhận ra được sự liên quan của nó đến bài toán này. Perelman đăng tiếp một bài báo thứ hai vào tháng 3/2003. Và từ tháng 4 đến tháng 5 năm đó, ông đến Mỹ để thực hiện một loạt các bài seminar về kết quả của mình ở Viện Công nghệ Massachusetts và Đai học Stony Brook. Các nhóm toán học ở hàng chục viện nghiên cứu bắt đầu chú ý đặc biệt đến kết quả của ông, xăm soi đến từng chi tiết nhằm tìm ra các lỗi.
Ở Stony Brook, Perelman dành hai tuần để thực hiện các bài giảng chính thức và không chính thức, nói từ 3 đến 6 tiếng đồng hồ mỗi ngày. "Ông đã trả lời mọi câu hỏi một cách cực kỳ rõ ràng và tường minh", nhà toán học Michael Anderson ở Stony Brook nói", chưa ai có thể đưa ra bất cứ sự nghi ngờ đáng kể nào". Có thêm một bổ đề nhỏ được chứng minh để hoàn tất kết quả, Anderson nói, "nhưng không có nghi ngờ nào về giá trị của công trình này". Bài báo thứ nhất của Perelman là những ý tưởng cơ bản, và đã được chấp nhận vì tính thuyết phục. Bài báo thứ hai là những áp dụng và những lập luận mang tính kỹ thuật hơn.
Có một giải thưởng 1 triệu đôla cho ai chứng minh được phỏng đoán của Poincaré. Đây là một trong bảy "Bài toán Thiên niên kỷ", được chọn ra vào năm 2000 bởi Viện Toán học Clay ở Cambridge. Chứng minh của Perelman cần phải trụ vững được trong hai năm trước sự xem xét kiểm tra của toàn bộ giới toán học để có thể xứng đáng được nhận giải.
Công trình của Perelman đã mở rộng và hoàn tât một chương trình nghiên cứu mà Richard S. Hamilton ở Đại học Columbia đã bắt đầu khai phá từ những năm 1990. Viện Clay đã ghi nhận thành quả của Hamilton với một giải thưởng nghiên cứu vào cuối năm 2003. Những tính toán và phân tích của Perelman đã vượt qua được những chướng ngại mà trước đây Hamilton không thể vượt qua.
Những chiếc bánh rán bằng cao su
Để hiểu hơn phỏng đoán Poincaré và chứng minh Perelman, bạn cần phải biết một chút gì đó về topology. Trong lĩnh vực toán học này, hình dạng chính xác của một vật thể là không có giá trị, bởi vì bạn có thể nhào nặn, kéo căng hoặc nén nó lại như một cục bột làm bánh dẻo. Nhưng tại sao chúng ta lại quan tâm đến không gian được làm từ cục bột tưởng tượng này? Lý do liên quan đến một thực tế là, hình dạng chính xác của một vật thể - khoảng cách giữa hai điểm của nó – là một mức của cấu trúc. Và cái đó được gọi là hình học của vật thể. Bằng việc xem xét một cục bột làm báng dẻo, các nhà topo đã khám phá ra rằng, những tính chất của vật thể là cơ bản đến mức chúng tồn tại độc lập với cấu trúc hình học của nó. Nghiên cứu topo cũng giống như sự tìm hiểu các đặc điểm chung của loài người qua việc xem xét “một mẫu người bằng đất nặn”, và cái mẫu người ấy có thể được biến hóa theo nhiều cách khác nhau để trở thành những cá nhân cụ thể.Nếu bạn đã đọc bất cứ một tài liệu liệu phổ biến nào về topology, bạn có lẽ sẽ biết đến một ví dụ kinh điển là, đối với một nhà topo, một cái chén và một cục đất nặn là không thể phân biệt được. Vấn đề là bạn có thể dễ dàng biến một cái chén bằng đất nặn thành một cái bánh rán (mỗi tội là không ăn được). Nói theo kiểu tinh thần của Tết Trung Thu thì đối với một nhà topo, cái bánh dẻo hình con cá và cái bánh dẻo hình hộp chẳng có gì khác nhau cả.
Điều mà các nhà topo quan tâm chủ yếu chính là bề mặt của những quả bóng và những cái bánh rán. Thực ra, topology vẫn cho thấy một sự khác biệt, vật thể hình cầu không thể biến dạng thành hình vòng xuyến được, tức là quả bóng không thể biến thành cái bánh vừng vòng được. Tức là, một quả cầu và một vòng xuyến là những thực thể riêng biệt. Các nhà topo trước đây đã quyết định tìm xem các bao nhiêu thực thể khác biệt về mặt topo như vậy có thể tồn tại, và chúng được đặc trưng hóa như thế nào. Đối với các bề mặt hai chiều, câu hỏi sẽ được rút về một cách gọn ghẽ là: bề mặt đó có bao nhiêu cái “tay cầm”.
Đến cuối thế kỷ 19, các nhà toán học đã biết cách để phân loại các bề mặt. Và một cách tự nhiên, họ đã bắt đầu quan tâm đến những đa tạp ba chiều. Câu hỏi đầu tiên được đặt ra là, những hình cầu ba chiều có tương tự như hình cầu hai chiều, tức là sẽ duy nhất về tính đơn giản hay không? Một lịch sử dài cả thế kỷ trong toán học đã theo đuổi câu hỏi cơ bản đó với đầy rẫy những nỗ lực chỉ đem lại thất bại.
Chính Henri Poincaré đã trả lời câu hỏi này bằng trực cảm. Ông là một trong hai nhà toán học xuất chúng nhất đầu thế kỷ 20 (người kia là David Hilbert). Poincaré đã thể hiện tài năng của mình trong tất cả các lĩnh vực toán học, cả thuần túy lẫn ứng dụng. Ngoài việc phát triển một số lớn các lĩnh vực toán học, ông còn đóng góp cho các lý thuyết về cơ học thiên thể, điện từ học, và cả triết học về khoa học.
Poincaré đã phát triển trên phạm vi rộng một lĩnh vực toán học được gọi là topo đại số. Vào khoảng năm 1900, ông đã xây dựng được một phép đo topo cho vật thể, gọi là homotopy. Để xác định homotopy của một đa tạp, hãy tưởng tượng bạn có một vòng kín trong đa tạp đó. Vòng kín có thể được uốn vòng quanh đa tạp theo bất cứ kiểu khả dĩ nào. Khi ấy, chúng ta sẽ hỏi, liệu cái vòng kín có thể luôn luôn co lại thành một điểm chỉ bằng việc di chuyển vòng quanh mà luôn luôn tiếp xúc với đa tạp hay không? Đối với trường hợp hình xuyến, câu trả lời là không. Nếu vòng kín chạy xung quanh chu vi của hình xuyến, nó sẽ co lại theo đường tròn trong của cái bánh vừng vòng, và không thể trở thành một điểm.
Trong một hình cầu n chiều, bất kể bị xoắn lại thế nào thì vòng kín luôn luôn có thể được gỡ rối và co lại thành một điểm. Poincaré đã nhận định rằng, 3-đa tạp duy nhất mà trên đó mọi vòng kín khả dĩ đều có thể co về một điểm chính là một hình cầu ba chiều. Tuy nhiên, ông đã không thể chứng minh được điều này. Đây chính là phỏng đoán Poincaré mà qua nhiều thập kỷ, nhiều người đã cố gắng chứng minh là nó sai bởi vì đơn giản là họ đã không thể chứng minh là nó đúng.
Hình học hóa
Chứng minh của Perelman là thành công đầu tiên có tính thuyết phục cao. Phương pháp của ông là phân tích các đa tạp ba chiều được liên hệ với một thủ tục gọi là sự hình học hóa. Hình học liên hệ với hình dạng thực tế của một vật thể hay đa tạp: đối với hình học, một vật thể là “được làm bằng gốm” chứ không phải “bột bánh dẻo”.Để biết được Perelman đã sử dụng sự hình học hóa như thế nào, hãy xét cách mà hình học được sử dụng để phân loại các 2-đa tạp, hay các bề mặt Mỗi bề mặt topo được gắn với một hình học đặc biệt duy nhất: theo đó, đường cong của bề mặt được trải ra một cách đồng đẳng trên đa tạp, tức là chỗ nào nó cũng có độ cong như nhau. Đối với hình cầu, hình học duy nhất đó là một mặt cầu hoàn hảo. Dạng quả trứng là một hình học khả dĩ khác, tuy nhiên nó không thỏa mãn điều kiện trên, bởi vì đầu nhỏ của quả trứng sẽ cong hơn đầu to.
Các 2-đa tạp tạo nên ba kiểu hình học.
-Hình cầu được coi là có độ cong dương,
 |
| Hình xuyến |
-Tât cả các 2-đa tạp khác mà có từ hai “tay cầm” trở lên thì đều có độ cong âm, ví dụ như cái yên ngựa. Poincaré cùng với Paul Koebe và Felix Klein đã đóng góp cho sự hình học hóa này. Đó là sự hình học hóa của các 2-đa tạp.
 |
| Điểm yên ngựa z=x2−y2 ( màu đỏ ) |
Hóa ra là, các 3-đa tạp rắc rối hơn các 2-đa tạp rất nhiều. Hầu hết các 3-đa tạp đều không thể được gắn với một hình học đồng nhất. Thay vào đó, chúng phải bị cắt thành những mẩu nhỏ, mỗi mẩu có một hình học chính tắc riêng biệt. Hơn nữa, thay vì chỉ có ba hình học cơ bản như trường hợp các 2-đa tạp, các 3-đa tạp có thể có tới tám hình học chính tắc.
Kiểu phân loại này lần đầu tiên được phỏng đoán bởi Thurston vào cuối những năm 1970. Ông và các cộng sự đã chứng minh được một số khía cạnh của nó, nhưng điểm mấu chốt, là toàn bộ hệ phụ thuộc vào phần còn lại vẫn chưa thể nắm bắt được, bao gồm cả phần chứa đựng phỏng đoán Poincaré. Các hình cầu ba chiều có duy nhất hay không? Các công trình của Perelman đã trả lời cho câu hỏi đó, đồng thời đã hoàn thành chương trình Thurston.
Hamilton đã bắt đầu một chương trình phân tích các 3-đa tạp vào đầu những năm 1990, sử dụng một phương trình gọi là dòng Ricci (lấy theo tên nhà toán học Gregorio Ricci-Curbastro), tương tự như phương trình của dòng nhiệt. Trong một vật có sự chênh lệch nhiệt độ, nhiệt lương sẽ truyền một cách tự nhiên từ nơi nóng hơn sang nơi lạnh hơn cho đến khi nhiệt độ tại moi nơi là như nhau. Phương trình dòng Ricci có một hiệu ứng tương tự như vậy xảy ra với độ cong, nó sẽ làm mất dần đi những lồi lõm, tức là làm mất dần đi sự chênh lệch độ cong. Nếu bạn bắt đầu với một hình quả trứng, nó sẽ dần dần trở thành một hình cầu hoàn hảo.
Phép phân tích của Hamilton đã gặp phải một chướng ngại: trong một số trường hợp nhất định, dòng Ricci sẽ khiến một đa tạp bị co thành một điểm. Một ví dụ là khi đa tạp có hình quả tạ tay, tức là hai hình cầu được nối với nhau bằng một trục. Các quả cầu sẽ thu hút vật chất từ cái trục và khiến cho phần giữa trục trở thành một điểm. Một ví dụ khác là khi một que nhỏ được gắn vào một đa tạp, dòng Ricci có thể gây ra một rắc rối được gọi là kỳ dị hình điếu xì-gà. Khi các đa tạp bị biến dạng như thế này, nó sẽ được gọi là kỳ dị và không còn là một đa tạp ba chiều thực sự nữa. Để vượt qua được trở ngại này, người ta đã phải trông cậy vào tài năng của Perelman.
Sau khi về St. Petersburg, Perelman gần như biến mất trong làng toán học quốc tế. Sau nhiều năm, ông đã chỉ xuất hiện khi gửi e-mail cho các đồng nghiệp cũ để chỉ ra những sai sót trong các công trình mà họ đã đăng trên internet. Những e-mail gửi lại cho ông để hỏi về tình hình công việc thì đều không nhận được trả lời.
Cuối cùng, vào cuối năm 2002, một vài người đã nhận được e-mail của Perelman rằng, ông đã đăng công trình của mình trên mạng, và họ có lẽ sẽ tìm thấy điều gì đó đáng quan tâm trong công trình này. Đó là cuộc tấn công đầu tiên của Perelman đối với phỏng đoán Poincaré. Trong bài báo của mình, ngoài việc nhắc đến Viện Steklov của mình, Perelman tỏ ra biết ơn về số tiền hỗ trợ mà ông đã dành dụm được khi còn làm tiến sỹ ở Mỹ.
Trong công trình của mình, Perelman đã đưa vào một số hạng mới cho phương trình dòng Ricci. Phương trình thu được tuy không loại bỏ những rắc rối về kỳ dị nhưng nó đã cho phép Perelman thực hiện sự phân tích sâu sắc hơn. Với những kỳ dị cho trường hợp đa tạp quả tạ, ông đã chỉ ra rằng, cách “điều trị” có thể được tiến hành như sau: cắt đi sự biến dạng của mỗi bên và hàn lại chỗ hở trên mỗi quả tạ bằng một chỏm cầu. Khi ấy dòng Ricci có thể tiếp tục làm biến đổi đa tạp song song với thủ tục “phẫu thuật” như vậy. Ông cũng chỉ ra rằng, các kỳ dị xì-gà là không thể xảy ra. Theo cách này, một 3-đa tạp bất kỳ có thể được đưa về một tập hợp các mẩu nhỏ, mỗi mẩu có một hình học đồng nhất.
Khi dòng Ricci và phép phẫu thuật được áp dụng cho tất cả các 3-đa tạp khả dĩ, bất cứ đa tạp nào mà cũng “đơn giản” như hình cầu ba chiều thì cuối cùng nhất thiết phải có cùng hình học đồng nhất như hình cầu ba chiều. Điều đó có nghĩa là về mặt topo, đa tạp cần tìm chính là hình cầu ba chiều và nó là duy nhất.
Ngoài việc chứng minh phỏng đoán Poincaré, nghiên cứu của Perelman còn rất quan trọng cho những kỹ thuật phân tích mới, các nhà toán học cũng đang áp dụng công trình của ông để đi tìm lời giải cho những bài toán khác. Thêm vào đó, toán học cũng có những mối liên hệ kỳ lạ với vật lý. Dòng Ricci thực ra là có liên quan đến cái gọi là nhóm tái chuẩn hóa, xác định sự thay đổi cường độ của các tương tác phụ thuộc vào năng lượng lượng va chạm. Chẳng hạn, ở những năng lượng thấp, tương tác điện từ có cường độ được đặc trưng bởi con số 0,0073 (khoảng 1/137). Nếu hai electron va vào nhau ở tốc độ gần với ánh sáng, cường độ khi ấy sẽ là xấp xỉ 0,0078.
Tăng năng lượng va chạm là tương đương với nghiên cứu lực ở khoảng cách gần hơn. Do dó, nhóm tái chuẩn hóa giống như một chiếc kính hiển vi với độ phóng đại có thể thay đổi để khảo sát một quá trình ở những mức độ tinh tế khác nhau. Tương tự như vậy, dòng Ricci là chiếc kính hiển vi dùng để quan sát các đa tạp ở một độ phóng đại được chọn. Những lồi lõm nhìn thấy được ở một độ phóng đại này có thể biến mất ở một độ phóng đại khác. Các nhà vật lý mong đợi rằng, ở thang chiều dài Planck (khoảng 10-35m), không gian mà chúng ta đang sống sẽ trông hoàn toàn khác, nó sẽ lổn nhổn với những vòng kín, “tay cầm” và các cấu trúc topo khác. Toán học mô tả sự thay đổi các lực vật lý là rất giống với toán học mô tả sự hình học hóa của một đa tạp.
Một mối liên hệ khác với vật lý là ở chỗ các phương trình thuyết
tương đối tổng quát. Chúng mô tả lực hấp dẫn và cấu trúc trên phạm vi
lớn của vũ trụ, được liên hệ gần gũi với phương trình dòng Ricci. Hơn
nữa, số hạng mà Perelman đã thêm vào thực ra là nảy sinh trong lý thuyết
dây, một lý thuyết lượng tử về hấp dẫn. Chúng ta hãy chờ xem những khám
phá của Perelman có đem lại điều gì mới cho lý thuyết tương đối tổng
quát và lý thuyết dây hay không.
Nguồn :
Những hình dạng của không gian .http://tusach.thuvienkhoahoc.com/wiki/Nh%E1%BB%AFng_h%C3%ACnh_d%E1%BA%A1ng_c%E1%BB%A7a_kh%C3%B4ng_gian
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Chúng ta phải biết và chúng ta sẽ biết .
Không có nhận xét nào :
Đăng nhận xét
Cám ơn lời bình luận của các bạn .
Tôi sẽ xem và trả lời ngay khi có thể .
I will review and respond to your comments as soon as possible.,
Thank you .
Trần hồng Cơ .
Co.H.Tran
MMPC-VN
cohtran@mail.com
https://plus.google.com/+HongCoTranMMPC-VN/about