Nghịch lý và tư duy mới trong toán học hiện đại - phần 2 ( tiếp theo )

Aristotle, 384–322 TCN.

 Nghịch lý và tư duy mới trong toán học hiện đại - phần 2 ( tiếp theo )

Về mặt tổng quát , quan điểm về cấu trúc đệ quy trong logic hiện đại và công cụ của nó là mạnh mẽ hơn khi giải quyết một số khó khăn trong suy luận . Các nhà lý luận  thời trung cổ đã phải chấp nhận nhiều vấn đề  khi  logic Aristotle  không thể  áp dụng  thỏa đáng cho các mệnh đề phức tạp . Ví dụ như mệnh đề "Một số kẻ có tất cả may mắn", bởi vì cả hai biến số lượng "tất cả" và "một số" lại cùng một lúc có liên quan đến suy luận, trong lúc các quy trình logic cổ điển mà Aristotle  sử dụng cho phép chỉ có một biến số lượng chi phối các suy luận mà thôi . Ngoài ra các nghiên cứu về ngôn ngữ học đều nhận thấy cấu trúc đệ quy trong ngôn ngữ tự nhiên, vì vậy điều này cũng đã chỉ ra rằng trong logic nhất thiết phải cần đến cấu trúc đệ quy.

(iii) Lý luận diễn dịch , quy nạp .

*Trong lý luận diễn dịch chúng ta thường quan tâm đến những gì có sau nhất thiết phải xuất phát từ cơ sở logic kéo theo ( còn gọi là suy ra , nếu P, ... , thì Q hay. P => Q ). Lý luận diễn dịch là phép suy luận theo một quy tắc nhất định sao cho tính hợp lý của kết luận được rút ra từ tính hợp lý của tiền đề . Suy luận diễn dịch còn được định nghĩa là kiểu suy luận từ trường hợp tổng quát hơn tới trường hợp cụ thể hơn, hay là suy luận mà trong đó kết luận có độ xác tín giống như các tiền đề.

Cần lưu ý rằng trong lý luận diễn dịch  P => Q thì mệnh đề tương đương với nó là ~Q => ~P. ( ký hiệu  ~  có nghĩa là " không Q " , phủ.định của Q ) và thể hiện chân trị theo quy tắc sau : " mệnh đề diễn dịch P => Q chỉ sai khi P đúng và Q sai " . Cụ thể như sau : 
( Quy ước Đ : đúng ; S : sai )

P.  =>   Q         Bảng chân trị của mệnh đề.

Đ.    =>    Đ                {Đ}    ví dụ :  Nếu có lửa thì ắt có khói .

Đ.    =>    S.               {S}    ví dụ :  Nếu có lửa thì ắt không có khói .

S.    =>   Đ                 {Đ}    ví dụ :  Nếu không có lửa thì vẫn có khói .

S.    =>    S.               {Đ}    ví dụ :  Nếu không có lửa thì ắt không có khói .

Khi đó mệnh đề tương đương với nó là : Nếu không có khói thì chắc chắn không có lửa  ( nghĩa là ~Q => ~P  )

Điểm thứ hai cũng cần xem xét kỹ trong các mệnh đề suy luận diễn dịch  P.  =>  Q  là khi chân trị của mệnh đề này đã đúng thì việc khảo sát chân trị của  Q => P có thể không luôn luôn đúng . Lấy ví dụ như trên  P.  =>  Q  : " Nếu có lửa thì ắt có khói {Đ}"

 nhưng mệnh đề Q => P  :  " Nếu có khói thì chắc chắn có lửa "  có thể mang 2 giá trị {Đ , S } .

Các suy luận diễn dịch có thể có  hoặc không có hiệu lực . Các suy luận hiệu lực tuân theo các quy tắc đã xác định trước. Đối với tính hiệu lực, việc các quy tắc định trước đúng hay sai không được xét đến . 
Do đó, các kết luận có hiệu lực không nhất thiết là kết luận đúng, và các kết luận không có hiệu lực có thể không sai.

Khi một suy luận vừa có hiệu lực vừa đúng, nó được coi là có cơ sở (sound). Khi suy luận có hiệu lực, nhưng không đúng, nó được coi là không có cơ sở. 

+ Lý luận diễn dịch có cơ sở :

Ví dụ :        

-Socrates là  người,

-Tất cả mọi người đều chết .

-Nên Socrates cũng phải chết . {Đ}

Suy diễn trên còn được coi là có cơ sở vì nó vừa đúng lại vừa hiệu lực ,  do hai tiền đề "Socrates là người" và "tất cả mọi người đều chết" là đúng.

+ Lý luận diễn dịch không có cơ sở :

Ví dụ : Trong cuộc tranh tài Achilles là người chiến thắng . Chúng ta hãy xét một luận cứ sau :

-Mọi lực sĩ yếu hơn Achilles trong thi đấu đều bị loại .

-Tất cả các lực sĩ phạm quy trong thi đấu đều bị loại .

-Do đó tất cả các lực sĩ phạm quy đều yếu hơn Achilles và Achilles là người chiến thắng .

  Suy diễn trên được coi là không có cơ sở vì nó có hiệu lực nhưng không chắc chắn đúng ,  do tiền đề "  Tất cả các lực sĩ phạm quy trong thi đấu đều bị loại " không nêu lên tính chất sức mạnh so với Achilles .    

 * Lý luận quy nạp, đôi khi còn được gọi là logic quy nạp, là quá trình suy luận mà trong đó tiên đề của lý lẽ có trước là những tri thức riêng biệt  được dẫn dắt đến thành những tri thức tổng quát có tính phổ biến cho kết luận ( nhưng có khi tính hợp lý không được đảm bảo . ) Kiểu lập luận này được dùng để gán tính chất hay quan hệ cho một phạm trù dựa trên các ví dụ của phạm trù đó; hoặc để phát triển định luật dựa trên một số giới hạn các quan sát của các hiện tượng lặp đi lặp lại. Suy luận quy nạp còn được định nghĩa là kiểu suy luận bắt đầu từ trường hợp cụ thể riêng biệt đi đến trường hợp tổng quát  hơn, hay là suy luận mà trong đó kết luận có độ xác tín phổ biến hơn các tiền đề .

Trong một số trường hợp khi áp dụng lý luận quy nạp lại có thể phát hiện ra một kết luận tổng quát tin cậy hoặc đáng tin cậy theo nghĩa xác suất ( không đảm bảo rằng tuyệt đối đúng ) từ những quan sát  các hiện tượng khách quan .Lý luận quy nạp cũng thường được ứng dụng trong việc tổng quát hóa các mệnh đề ,  ví dụ  như: 

A ( tiền đề ) . Thanh sắt có tính dẫn điện .

B ( tiền đề ) . Viên bi sau khi bị ném đi sẽ rơi xuống đất .

Sau khi dùng lý luận quy nạp ta sẽ thu được những mệnh đề tổng quát  :

A ( quy nạp )+Tất cả các thanh sắt đều dẫn điện .

B ( quy nạp )+Tất cả mọi viên bi sau khi bị ném đi đều rơi xuống đất .

- Lý luận quy nạp hoàn toàn :  trong đó khẳng định mọi đối tượng thuộc lớp khảo sát nào đó đều có tính chất p trên cơ sở mọi đối tượng trong lớp đó đều thỏa mãn tính chất p . Mô hình quy nạp hoàn toàn như sau :

x1 / p(x1)  ,  x2 / p(x2)  ,  ...  , xn / p(xn) 

x1 , x2 , ... , xn € S

=>  :   với mọi xm € S  /  p(xm) .

Ví dụ :

-Số 1,  3 , 5 , 7 , 9 là các số không chia hết cho 2 ,

-Số 1,  3 , 5 , 7 , 9 là các số tự nhiên lẻ ,

=>  Các số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 10 không chia hết cho 2 .

Trong lý luận quy nạp hoàn toàn, kết luận chỉ khái quát được những trường hợp cụ thể đã biết, không đề cập đến những trường hợp chưa biết. Vì thế, qui nạp hoàn toàn tuy đầy đủ, chắc chắn nhưng nó không đem lại những kết quả mới mẻ so với tiền đề.

- Lý luận quy nạp không hoàn toàn :  khẳng định tất cả các đối tượng của lớp đang xét có tính chất P trên cơ sở biết chắc chắn một số cho trước các đối tượng của lớp này có tính chất p .

Mô hình quy nạp không hoàn toàn như sau :

x1 / p(x1)  ,  x2 / p(x2)  ,  x3 / p(x3) 

x1 , x2 , x3 ... € S

=>  :   với mọi  xn € S  /  p(xn) .

Ví dụ :

-sắt , đồng , chì  ... có tính chất dẫn điện ,

-sắt , đồng , chì  ... là kim loại .

=>  mọi kim loại đều dẫn điện . 

Trong lý luận quy nạp không hoàn toàn có 2 loại : quy nạp không hoàn toàn -thông thường và quy nạp không hoàn toàn -khoa học .

* Quy nạp không hoàn toàn- thông thường : bằng cách liệt kê một số trường hợp bất kỳ các đối tượng của một lớp nào đó đang nghiên cứu và nếu thấy chúng thỏa mãn  tính chất p thì kết luận rằng : mọi đối tượng của lớp đó cũng có tính chất p . Quy nạp loại này chỉ dựa vào sự quan sát bề ngoài, quan sát những thuộc tính thường thấy của đối tượng để đưa ra kết luận . Quy nạp không hoàn toàn - thông thường bằng cách liệt kê đơn giản như vậy sẽ có độ tin cậy thấp , kết luận của nó rất có thể sai lầm .

Ví dụ :

-sắt, đồng, chì, … đều có thể rắn .

-sắt , đồng , chì  ... là kim loại .

=>  mọi kim loại đều có thể rắn . ( sai : vì thủy ngân là kim loại ở thể lỏng )

Những kinh nghiệm về thời tiết nông nghiệp , đời sống văn hóa của nhân dân ta được đúc kết từ hàng ngàn năm như :

+Trăng quầng thì hạn, trăng tán thì mưa .
 
+Tháng giêng là tháng ăn chơi

Tháng hai trồng đậu, trồng khoai, trồng cà.

hoặc :

+Mùng năm , mười bốn , hăm ba

Đi chơi cũng thiệt nữa là đi buôn .

< Tác giả bài viết này rất thường xuất hành vào những ngày nói trên nhưng vẫn thấy bình thường , không xẩy ra chuyện gì khó khăn phức tạp > 

Những kinh nghiệm đó chỉ là kết quả của phép qui nạp thông thường và độ chính xác thấp , không có giá trị khoa học .

* Quy nạp không hoàn toàn- khoa học : căn cứ trên sự phân tích, tổng hợp các thuộc tính bản chất, căn cứ trên sự nghiên cứu nguyên nhân sinh ra hiện tượng nào đó để đi đến kết luận chung đối với các hiện tượng cùng loại.

Qui nạp khoa học vì thế đáng tin cậy hơn qui nạp thông thường. Tuy vậy, qui nạp khoa học không phải là hoàn toàn chắc chắn . Giá trị của qui nạp khoa học tùy thuộc vào số lượng các trường hợp được xem xét nhiều hay ít ( tính xác suất ) ; các trường hợp được xem xét có mang tính chất ngẫu nhiên hay không, và mức độ phù hợp của kết luận với thực tiễn . 

Ví dụ : Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến hiện tượng cá biệt ở một số học sinh phổ thông , một quan sát cho thấy  :

- Loại học sinh I : Nhà giàu có , cha mẹ làm ăn xa, không quan tâm giáo dục con cái. (75%)

- Loại học sinh II : Nhà nghèo túng , đông con, cha mẹ lo làm ăn, không quan tâm đến con cái. ( 95%)

- Loại học sinh III : Nhà có nan đề , cha mẹ chia tay , không quan tâm đến con cái. (50%)

Sau khi so sánh,chúng ta có thể đưa ra kết luận : có thể nguyên nhân dẫn đến hiện tượng học sinh cá biệt chính là ở điểm chung nhất là không có sự quan tâm giáo dục của cha mẹ ( tính xác suất khoảng ( 75% + 95% + 50% ) : 3  ~ 73.3% ) . Kết luận cho vấn đề này chỉ có ý nghĩa trên khía cạnh xác suất chứ không hẳn hoàn toàn chính xác . 

Trần hồng Cơ

Tài liệu ham khảo :
<* theo Wikipedia ,
*  Logic học đại cương - Nguyễn văn Tuấn 
http://tailieu.vn/xem-tai-lieu/logic-hoc-dai-cuong.69772.html>