GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .
Chương 2-
PHẦN 3 .
Sơ lược về chuỗi hình học .
Tiêu chuẩn hội tụ - Chuỗi lũy thừa - Bán kính hội tụ .
Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân .
Ứng dụng nghiệm chuỗi cho phương trình Airy và phương trình Hermite .
Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .
Trần hồng Cơ .
30/12/2012 .
****************************************************************************
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.
1. Sơ lược về chuỗi hình học .
1.1 Chuỗi hữu hạn - chuỗi vô hạn .
+ Chuỗi hữu hạn được xác định bởi
Một vấn đề đặt ra là tìm số hạng tổng quát an của chuỗi với một số giả thiết .
Ví dụ . Tìm số hạng tổng quát an của dãy số sau
6 + 3 + 3/2 + 3/4 + 3/8 + ...
* Dùng Maple .
Bạn dùng lệnh >rsolve(eq,a(n)) tìm biểu thức an của chuỗi số .
** Dùng công cụ trực tuyến WA .
Bạn truy cập địa chỉ http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-trực-tuyến.php
Tìm chỉ mục G11.2 Đa thức truy hồi
nhập liệu như hình vẽ , click Submit .
http://cohtran.blogspot.com/2012/04/cac-vi-du-minh-hoa-cach-su-dung-cong-cu_21.html
1.2 Chuỗi hình học - Geometry Series .
+Xét cấp số nhân - geometry sequence
Tổng n số hạng đầu tiên là một chuỗi hữu hạn ký hiệu Sn và được tính bởi
*Chuỗi hình học phân kỳ khi |q| >= 1 .
*Chuỗi hình học hội tụ khi |q| < 1 .
Ta có thể xem chuỗi hình học hội tụ thỏa mãn
+Thay q = x , ta có
+Thay q = - x , ta có
+Tương tự cho các biểu thức theo biến x , ta thu được
1.3 Một vài ứng dụng của chuỗi hình học -
+ Khai triển chuỗi của hàm y = ln(x +1)
Nguồn : http://www.sosmath.com/calculus/powser/powser01.html
2. Tiêu chuẩn hội tụ - Chuỗi lũy thừa - Bán kính hội tụ .
2.1 Tiêu chuẩn hội tụ .
+Chuỗi hội tụ : khi tổng riêng hữu hạn thứ n của nó tiến đến giá trị hữu hạn
là chuỗi hội tụ .
+Chuỗi phân kỳ : khi tổng riêng hữu hạn thứ n của nó không tiến đến giá trị hữu hạn
là chuỗi phân kỳ .
a. Điều kiện cần của chuỗi hội tụ .
1. Cho 2 chuỗi dương
2. Ít nhất một trong các đại lượng sau
Cho chuỗi đan dấu
a1 - a2 + a3 - a4 + a5 - ... - an-1 + an ... > 0
Với { an } là dãy dương giảm , lim an = 0
Khi đó chuỗi đan dấu hội tụ .
e. Định lý hội tụ cho chuỗi dấu bất kỳ .
Cho chuỗi dấu bất kỳ
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ... + an-1 + an + ... (A)
Nếu chuỗi
|a1| + |a2| + |a3| + |a4| + |a5| + ... + |an-1| + |an | + ...
hội tụ thì chuỗi (A) hội tụ .
2.2 Định nghĩa chuỗi lũy thừa .
Chuỗi lũy thừa theo biến x tại lân cận điểm xo có dạng (1)
2.3 Bán kính hội tụ .
a. Định lý Abel .
Cho chuỗi lũy thừa
b. Bán kính hội tụ .
+ Xét chuỗi (1) do định lý Abel , (1) sẽ có khoảng hội tụ L với tâm là điểm xo là
L = { x / | x - xo | < R }
hay L = { x / xo - R < x < xo + R } .
Trường hợp đặc biệt đối với chuỗi (2) thì xo = 0 .
Số R được gọi là bán kính hội tụ .
Nếu R = 0 thì (1) chỉ hội tụ tại điểm xo .
Nếu R = oo thì (1) hội tụ trên toàn trục Ox
(-oo , +oo )
+ Để tìm khoảng hội tụ ta tìm bán kính hội tụ R và giải bất phương trình
| x - xo | < R <=> - R < x - xo < R
<=> xo - R < x < xo + R .
Từ đó tìm ra khoảng hội tụ L . + Công thức tính bán kính hội tụ .
Ví dụ : Xét sự hội tụ , tính bán kính hội tụ và tìm khoảng hội tụ L của các chuỗi sau
Lời giải .
>Raabe:=n*(((n+2)/(n+1))^5*((2*n+1)/(2*n+3))-1)+2;
>A:=expand((n+2)^5*(2*n+1)):
>B:=expand((n+1)^5*(2*n+3)):
>T:=simplify(A/B-1):
>R:=n*T+2:
> Raabe:= simplify(R);
kết quả ta thu được
Dễ thấy rằng Raabe > 1 nên chuỗi đã cho là phân kỳ .
Lưu ý : Nếu dùng tiêu chuẩn D'Alembert bạn đọc có thể kiểm tra bằng đồ thị với các lệnh sau
>D_Alembert:=((x+2)/(x+1))^5*((2*x+1)/(2*x+3));
>plot([D_Alembert,1],x=0..50,y=-2..10,
thickness=[3,1]);
3. Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân .
3.1 Đạo hàm chuỗi .
Xét chuỗi lũy thừa (2) , giả sử rằng (2) liên tục và hội tụ đều trên khoảng hội tụ L . Khi đó đạo hàm chuỗi (2) được cho bởi
** Muốn thay chỉ số k chạy từ n thành 0 , ta cộng thêm n vào tất cả các thành phần nào có chứa chỉ số k trong chuỗi ban đầu ( thay k = k+n )
3.2 Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân hệ số hằng thuần nhất .
Với công thức đạo hàm chuỗi ở 3.1 , khi thay vào phương trình vi phân hệ số hằng thuần nhất , ta có thể rút gọn và đưa về phương trình truy hồi theo ẩn số an . Việc giải và tìm ra các hệ số an sẽ cho ta biểu thức nghiệm của phương trình vi phân .
Xét các ví dụ sau đây
>restart;eq:={(k+1)*(k+2)*a(k+2)+9*a(k)=0,a(0)=C_1,a(1)=C_2};
>reeq[k]:=rsolve(eq,a(k));
>y:=sum(reeq[k]*x^k,k=0..10);
Kết quả thu được như sau
Xem tiếp :
http://cohtran-toan-don-gian.blogspot.com/2012/12/gioi-thieu-ve-phuong-trinh-vi-phan_29.html
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.
-------------------------------------------------------------------------------------------
Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.
Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.
Albert Einstein .
