GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN . Chương 2-PHẦN 2 .

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Chương 2-

PHẦN 2 .







Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính
hệ số hằng thuần nhất .
Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính
hệ số hằng không thuần nhất .

Phương pháp hệ số bất định ( Undetermined Coefficients ) 

Phương pháp biến thiên tham số ( Variation of Parameters )
Phương pháp giảm bậc  ( Reduction of Order )
Phương trình Euler-Cauchy .






Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  



Trần hồng Cơ .
10/11/2012 .


****************************************************************************


This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.



1. Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính hệ số hằng thuần nhất .

1.1  Dạng thuần nhất .

1.2  Cách giải .

1.3  Các ví dụ minh họa .
Ví dụ . Giải các phương trình vi phân sau 

Lời giải .

2. Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính hệ số hằng không thuần nhất .

2.1  Dạng không thuần nhất .

2.2    Phương pháp hệ số bất định  ( Undetermined Coefficients )   .
a. Cách giải .

+Bước 1 .  Tìm nghiệm thuần nhất  yTN
+Bước 2 .  Tìm nghiệm riêng yR  của phương trình .

(i)  Mũ - Đathức ( Expo-Poly ) . 
Nếu vế phải là dạng mũ - đa thức 

(ii)  Mũ - Đa thức - Lượng giác -  ( Expo-Poly-Trig ) . 

Nếu vế phải là   dạng mũ - đa thức - lượng giác .

+Bước 3 .  Tìm nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất  .
  yTQ   =  yR   +   yTN

b.   Các ví dụ minh họa .
Ví dụ . Giải các phương trình vi phân sau 

Lời giải .Trong phần sau ký hiệu (*) chỉ phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính hệ số hằng không thuần nhất trong từng ví dụ tương ứng .

Ví dụ . Giải các phương trình vi phân sau 


Lời giải .Trong phần sau ký hiệu (**) chỉ phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính hệ số hằng không thuần nhất trong từng ví dụ tương ứng .

2.3   Phương pháp biến thiên tham số  ( Variation of Parameters ) .
a. Cách giải .
Phương pháp này không cần các điều kiện đầu và phụ thuộc thuần túy vào phép tính tích phân .
Xét phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính hệ số hằng không thuần nhất 

Gọi  { y1(x) , y2(x) }  là hệ cơ sở của phương trình  cấp 2 tuyến tính hệ số hằng  thuần nhất . Khi đó

yTN   =  C1y1(x)   +  C2y2(x) 


Ý tưởng của phương pháp biến thiên tham số là tìm nghiệm riêng có dạng 
 
yR   =  u1(x)y1(x)   +  u2(x)y2(x) 


Đạo hàm cấp 1 và cấp 2 của nghiệm riêng  :

  Xem Chương 2 - Phần 1- 3.2 b. ta có định thức Wronski   

Tóm tắt .

b.   Các ví dụ minh họa .

Xem tiếp :

http://cohtran-toan-don-gian.blogspot.com/2012/12/gioi-thieu-ve-phuong-trinh-vi-phan_15.html


This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.


 -------------------------------------------------------------------------------------------
Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.
Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.

Albert Einstein .