GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN . Chương 1- PHẦN 3 .

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Chương 1-

PHẦN 3 .

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm -
Giải số phương trình vi phân .






Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  

Trần hồng Cơ .
10/11/2012 .

****************************************************************************


This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

1. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm  .


1.1   Định lý .


Định lý  tồn tại và duy nhất nghiệm là công cụ mà nhờ nó chúng ta có thể  kết luận rằng chỉ tồn tại một nghiệm cho phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện ban đầu nào đó . Nội dung và ý nghĩa thực sự của định lý này như thế nào và tại sao chúng ta phải nghiên cứu những tính chất đặc biệt này ? Trước tiên ta sẽ đưa ra phát biểu của định lý .

Khi đó nghiệm của phương trình vi phân này có dạng 

Picard là người đã phát hiện ra biểu thức nghiệm của phương trình vi phân , từ đó ông đưa ra phương pháp xấp xỉ liên tiếp sẽ được trình bày dưới đây . 

1.2   Ý nghĩa  .


- Sự tồn tại nghiệm phương trình vi phân được cho trên một miền đóng ( hình chữ nhật trong mặt phẳng ) 

trên đó hàm 2 biến f(x,y) và đạo hàm df(x,y) /dy liên tục  .
- Trên miền con đóng I 

phương trình vi phân này sẽ có nghiệm duy nhất đi qua điểm ( xo , yo ) .
- Lưu ý :
*Tính chất đạo hàm  df(x,y) /dy   liên tục là để phương trình có nghiệm duy nhất . Nếu không thỏa mãn điều kiện này tính duy nhất sẽ bị phá vỡ .
Xét ví dụ phương trình vi phân sau .

*Có thể thay thế điều kiện đạo hàm  df(x,y) /dy   liên tục bằng điều kiện liên tục Lipschitz trên miền 

Định lý Picard-Lindelof cho ta một tiêu chuẩn nhẹ hơn để phương trình vi phân có nghiệm duy nhất .

1.3   Ví dụ minh họa  .

1. Giả sử rằng phương trình vi phân 

y' = f(x,y)  thỏa mãn điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm với 2 nghiệm riêng tìm được là 

a. Vẽ đồ thị 2 nghiệm này trên cùng hệ trục toa độ .

b. Hãy cho biết tính chất của nghiệm y(x) thỏa mãn  y(0) = 1   trên đoạn [ -1/2 , 1/2 ] . Có thể phát biểu gì cho y(x)  khi  

Lời giải .

a.  Dùng FooPlot vẽ 2 nghiệm riêng 

Để ý rằng y2(0)  = 2  và  y1(0)  = 0

b.  Dựa vào a. nếu nghiệm y(x) thỏa mãn  y(0) = 1   trên đoạn [ -1/2 , 1/2 ] thì 

Vì miền thác triển nghiệm quá lớn nên không có dự báo gì về tính chất cho hàm  y(x)  khi  

2.

a. Tìm nghiệm của phương trình .
b. Kiểm tra tính duy nhất nghiệm của phương trình trên đoạn [ - 4 , 4 ] . Vẽ đồ thị minh họa .

Lời giải .
a.  

b.  Tính duy nhất nghiệm bị phá vỡ do hàm 

không liên tục trên [ - 4 , 4 ] x [ 0 - b , 0 + b ] .

+ Kiểm tra bằng Maple , vẽ đồ thị nghiệm phương trình 

Xem tiếp http://cohtran-toan-don-gian.blogspot.com/2012/12/gioi-thieu-ve-phuong-trinh-vi-phan.html

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.




-------------------------------------------------------------------------------------------
Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.
Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.
Albert Einstein .